Setning 11.3.8: Uniform konvergens av følger av kontinuerlige
Setning 11.3.8: Uniform konvergens av følger av
kontinuerlige funksjoner
La f og f1 , f2 , . . . være funksjoner på en mengde A. Anta at f1 , f2 , . . .
kontinuerlige og at følgen {fn } konvergerer uniformt mot f på A. Da
er f kontinuerlig i A.
1
2
Setning 11.4.1: Integrasjon av funksjonsfølger
La {fn } være en følge av kontinuerlige funksjoner på [a, b] og la
Z
x
gn (x) =
fn (t)dt,
c
der c ∈ [a, b]. Anta at {fn } konvergerer uniformt mot en funksjon f på
[a, b].
Da konvergerer følgen {gn } uniformt mot funksjonen
Z
g(x) =
c
på [a, b].
x
fn (t)dt
3
Setning 11.4.3: Funksjonsfølger og derivasjon
La {fn } være en følge av kontinuerlige funksjoner på [a, b] og anta at
de deriverte fn0 er kontinuerlige funksjoner som konvergerer uniformt
mot en grensefunksjon h. Anta videre at det nnes (minst) en d ∈ [a, b]
slik at tallfølgen {fn (d)} konvergerer.
Da konvergerer {fn } uniformt mot en deriverbar funksjon f , og f 0 =
h. Altså
lim fn0 (x) = [ lim fn (x)]0 .
n→∞
n→∞
4
Setning 12.5.1: Wierstrass'
M -test
La n=0 vn (x) være en rekke av funksjoner denert
P∞på en mengde
A. Anta at det nnes en konvergent rekke (av tall) n=0 Mn slik at
P∞
|vn (a)| ≤ Mn
for alle n og alle a ∈ A. Da konvergerer
absolutt på A.
P∞
n=0
vn (x) uniformt og
5
Lemma 12.6.7: Uniform konvergens av potensrekker som
konvergerer for ett punkt (bortsett fra 0)
n
Anta at potensrekken ∞
n=0 an x konvergerer for x = b, b 6= 0. Da
konvergerer den absolutt for alle x med |x| < |b|. Konvergensen er
uniform på ethvert intervall [−c, c] med 0 < c < |b|.
P
6
Setning 12.6.8: Kontinuitet av potensrekker
Anta at potensrekken
∞
X
an (x − a)n
n=0
har konvergensradius r > 0. Da er funksjonen
s(x) =
∞
X
an (x − a)n
n=0
kontinuerlig i intervallet (a−r, a+r). Dersom potensrekken konvergerer
for alle x ∈ R, så er s kontinuerlig for alle x.
7
Setning 12.6.9: Abels teorem (kontinuitet i
endepunktene)
Summen s(x) av en potensrekke
∞
X
an (x − a)n
n=0
er kontinuerlig i hele konvergensområdet. Hvis rekken konvergerer i det
høyre endepunktet a + r, har vi
∞
X
n=0
an rn = s(a + r) =
lim s(x)
s→a+r−
og hvis rekken konvergerer i det venstre endepunktet a − r har vi
∞
X
n=0
an (−r)n = s(a − r) =
lim s(x).
s→a−r+
© Copyright 2024