Institutt for matematiske fag
Eksamensoppgave i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II
Faglig kontakt under eksamen: Eduard Ortega
Tlf: 46760087
Eksamensdato: 2. juni 2015
Eksamenstid (fra–til): 09:00–13:00
Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: (Kode D): Tillatt enkel kalkulator
Annen informasjon:
Alle svar må begrunnes og det skal gå klart frem hvordan svarene er oppnådd. Alle de 10
deloppgaver av eksamen har samme vekt for beregning av endelig karakter.
Målform/språk: bokmål
Antall sider: 2
Antall sider vedlegg: 2
Kontrollert av:
Dato
Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt.
Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
MA1102 Grunnkurs i analyse II, 2. juni 2015
Oppgave 1
Side 1 av 2
Gitt ligningen til et ikke-degenert kjeglesnitt
x2 + 8x − 4y 2 = −12 .
Bestem hvilken type kjeglesnitt dette er, og finn eksentrisitet og sentrum.
Oppgave 2
En parametrisk kurve er gitt på formen
1
t
1
t
~r(t) =
cos t + sin t, sin t − cos t
2
2
2
2
t ≥ 0.
Finn hastigheten ~v , farten v, akselerasjonen ~a og baneakselerasjonen a til kurven
~r.
Finn buelengden til kurven fra t = 0 til t = 1.
Oppgave 3
a) Finn den generelle løsningen til differensialligningen
y 00 + 4y 0 + 4y = 0 .
b) Finn den generelle løsningen til differensialligningen
y 00 + 4y 0 + 4y = (x + 1)e2x .
c) Finn potensrekkeløsningen y =
sialligningen
P∞
n=0
an xn på intervallet (−1, 1) til differen-
xy 0 − y =
x2
1+x
som tilfredsstiller y(0) = 0 og y 0 (0) = 0.
Oppgave 4
2
Funksjonen f (x) = x − e−x har nøyaktig ett nullpunkt.
a) Bruk Newtons metode 4 ganger for å finne en tilnærmet verdi for nullpunktet.
Sett x0 = 0 og bruk kun 4 desimaler i beregningene dine.
b) Evaluer integralet
Z 1
2
x − e−x dx
0
numerisk med Simpsons metode slik at approksimasjonsfeilen er mindre enn
0,001. Bruk kun 4 desimaler i beregningene dine. (Bruk at maksverdien til
|f (4) (x)| på intervallet [0, 1] er 12).
Side 2 av 2
MA1102 Grunnkurs i analyse II, 2. juni 2015
Oppgave 5
a) Finn Taylor-polynomet til f (x) = ln(cos x) av grad 4 om punktet 0. Finn
ln(cos x) + 21 x2
.
x→0
x4
lim
b) Finn konvergensområdet til potensrekken
∞
X
n n+2
n2 x
(−1)
n=0
n+1
.
Finn summen av rekken der den konvergerer.
Oppgave 6
La følgen {fn (x)} være gitt ved
fn (x) =
1 − nx2
1 + nx2
x ∈ R.
Bestem funksjonen f (x) slikt at {fn (x)} konvergerer punktvis mot f (x).
Konvergerer {fn (x)} uniformt mot f (x)?
MA1102 Grunnkurs i analyse II, 2. juni 2015
Side i av ii
Numeriske metoder
• Newtons metode: xn+1 = xn −
• Simpsons metode:
f (xn )
.
f 0 (xn )
Rb
a f (x) dx ≈ Sn :=
h
3
h
f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + . . . + 2fn−2 +
i
4fn−1 + fn der fi = f (xi ). Husk: n må være et partall.
Hvis f har en kontinuerlig fjerderivert på [a, b], så har vi
|
Z b
a
f (x) dx − Sn | =
(b − a)5 (4)
f (c)
180n4
hvor c ∈ [a, b]
• Eulers metode: yn+1 = yn + hf (xn , yn )
0
)
• Eulers midtpunktsmetode: yn = yn−1 + hf (x0n−1 , yn−1
0
) = (xn−1 + h2 , yn−1 + h2 f (xn−1 , yn−1 )).
der (x0n−1 , yn−1
• Runge–Kuttas metode:
m2 = f (xn + h2 , yn + h2 m1 ),
m1 = f (xn , yn ),
m3 = f (xn + h2 , yn + h2 m2 ),
m4 = f (xn + h, yn + h2 m3 ),
yn+1 = yn + h6 (m1 + 2m2 + 2m3 + m4 ).
Taylorrekker
ex =
∞
X
1 n
x
n=0 n!
sin x =
∞
X
(−1)n 2n+1
x
n=0 (2n + 1)!
cos x =
∞
X
1
=
xn
1 − x n=0
Taylors formel med restledd
f (x) = Tn f (x) +
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
der c er et tall i det åpne intervallet mellom a og x.
∞
X
(−1)n 2n
x
n=0 (2n)!
Side ii av ii
MA1102 Grunnkurs i analyse II, 2. juni 2015
Kjeglesnitt
Ligning for kjeglesnitt med eksentrisitet ε 6= 1 (dvs. ellipse eller hyperbel), styrelinje x = L og brennpunkt i (B, 0) (med B > L):
y 2 = (ε2 − 1)((x − x̄)2 − a2 ) ,
der x̄ =
B−ε2 L
1−ε2
er sentrum i kjeglesnittet og a2 = ( ε(B−L)
)2 .
1−ε2
For ε = 1 (parabel) har vi
y 2 = 2(B − L)x + L2 − B 2 .