1. No category

Logik:
bevis, sanning och konsekvens
Martin Kaså
Logik (tfB och fristående)
Föreläsning 1
HT 2013
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Giltiga argument
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn är på tjänsterummet eller i köket
Hon är inte i tjänsterummet
Professorn är i köket
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Giltiga argument
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn är på tjänsterummet eller i köket
Hon är inte i tjänsterummet
Professorn är i köket
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det regnar inte
Det blåser
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Giltiga argument
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn är på tjänsterummet eller i köket
Hon är inte i tjänsterummet
Professorn är i köket
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det regnar inte
Det blåser
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
P eller Q
inte P
Q
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Giltiga argument
I
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn är på tjänsterummet eller i köket
Hon är inte i tjänsterummet
Professorn är i köket
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det regnar inte
Det blåser
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
P eller Q
inte P
Q
Vi använder P och Q som (sats)variabler, medan vi betraktar
inte och eller som ord som uttrycker (logiska) konstanter.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Preliminär definition 1.
Logik är studiet av argument med avseende på giltighet, när
giltigheten beror av form snarare än innehåll.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Preliminär definition 1.
Logik är studiet av argument med avseende på giltighet, när
giltigheten beror av form snarare än innehåll.
Preliminär definition 2.
Ett argument är giltigt om det är så att om premisserna är
sanna så måste också slutsatsen vara sann.
Annorlunda uttryckt:
Det finns ingen situation där samtliga premisser i argumentet
är sanna, men där slutsatsen är falsk.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Preliminär definition 1.
Logik är studiet av argument med avseende på giltighet, när
giltigheten beror av form snarare än innehåll.
Preliminär definition 2.
Ett argument är giltigt om det är så att om premisserna är
sanna så måste också slutsatsen vara sann.
Annorlunda uttryckt:
Det finns ingen situation där samtliga premisser i argumentet
är sanna, men där slutsatsen är falsk.
I
Vi skriver Premiss 1,Premiss 2 Slutsats.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
De två argumenten ovan är båda giltiga, och de är giltiga i kraft av
sin form. De har samma form – den vi har isolerat genom att
ersätta de konkreta påståendesatserna med variabler.
Om första premissen är sann så är någon (minst en) av P och Q
sann (i kraft av betydelsen hos eller). Om även andra premissen är
sann så är P falsk (i kraft av betydelsen hos inte). Men då är det
klart att Q är sann. Alltså är argumentet giltigt enligt vår
preliminära definition.
Alla konkreta instanser av denna form är alltså giltiga argument.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
P eller Q
Q eller R
P eller R
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
P eller Q
Q eller R
P eller R
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 4
2 + 2 = 4 eller 2 + 2 = 5
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 5
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
P eller Q
Q eller R
P eller R
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 4
2 + 2 = 4 eller 2 + 2 = 5
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 5
I
Vi kan hitta ett motexempel på samma form.
Argumentet är ogiltigt.
Premiss 1,Premiss 2 2 Slutsats
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Det regnar och blåser
Det blåser och haglar
Det regnar och haglar
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Det regnar och blåser
Det blåser och haglar
Det regnar och haglar
Pär är glad och Kajsa är arg
Kajsa är arg och Mia är snäll
Pär är glad och Mia är snäll
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Det regnar och blåser
Det blåser och haglar
Det regnar och haglar
Pär är glad och Kajsa är arg
Kajsa är arg och Mia är snäll
Pär är glad och Mia är snäll
P och Q
Q och R
P och R
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Det regnar och blåser
Det blåser och haglar
Det regnar och haglar
Pär är glad och Kajsa är arg
Kajsa är arg och Mia är snäll
Pär är glad och Mia är snäll
P och Q
Q och R
P och R
I
Här betraktar vi och som en logisk konstant.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Bivalens
Varje sats har (i en situation) precis ett av två sanningsvärden:
sann/falsk.
Sanningsfunktionalitet
De logiska konstanter vi hittills introducerat är sanningsfunktioner:
sanningsvärdet hos den komplexa satsen bestäms entydigt av
sanningsvärdena hos delarna, och sättet de är sammansatta på.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Bivalens
Varje sats har (i en situation) precis ett av två sanningsvärden:
sann/falsk.
Sanningsfunktionalitet
De logiska konstanter vi hittills introducerat är sanningsfunktioner:
sanningsvärdet hos den komplexa satsen bestäms entydigt av
sanningsvärdena hos delarna, och sättet de är sammansatta på.
Jämför satser som (kanske) inte har sanningsvärden, tex
”Vindkraftverk är vackra”, samt icke (rent) sanningsfunktionella
användningar av orden, tex ”Hon gifte sig och blev gravid” contra
”Hon blev gravid och gifte sig”.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Formalisering
Negation
Disjunktion
Konjunktion
icke P
¬P
P eller Q
(P ∨ Q)
P och Q
(P ∧ Q)
Parenteserna används för gruppering i mer komplexa satser.
Liknande hur vi gör för att skilja mellan de aritmetiska uttrycken
(2 · 3) + 4 respektive 2 + (3 · 4)
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett (delvis) annat perspektiv.
Att definiera vad (t.ex.) och betyder genom att titta på
användandet av ordet, dess funktion i argument (och i annan
kommunikation).
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Betrakta exemplet igen
(P ∧ Q)
(Q ∧ R)
(P ∧ R)
Argument
Från första premissen kan vi få ut informationen P. Andra
premissen ger oss informationen R. Därför är vi, givet dessa två
premisser, berättigade att dra slutsatsen (P ∧ R).
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Två sorters principer tycks vara aktuella här.
I
Principer för vad som berättigar hävdandet av ett påstående
av en viss form.
I
Principer för att få ut information ur påståenden av en viss
form.
I den typ av formella logiska bevissystem som studeras inom denna
kurs så kallas detta introduktionsregler respektive eliminationsregler.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Naturlig deduktion (exemplet konjunktion)
ϕ
ψ
∧Intro
(ϕ ∧ ψ)
(ϕ ∧ ψ)
∧Elim1
ϕ
Martin Kaså
(ϕ ∧ ψ)
∧Elim2
ψ
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Titta på exemplet igen.
(P ∧ Q)
∧Elim1
P
(P ∧ R)
(Q ∧ R)
∧Elim2
R
∧Intro
Vi skulle (som ett alternativ till den tidigare analysen) kunna säga
att argumentet är giltigt för att det är konstruerat med hjälp av
regler som är korrekta. Vi skriver (P ∧ Q), (Q ∧ R) ` (P ∧ R).
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Titta på exemplet igen.
(P ∧ Q)
∧Elim1
P
(P ∧ R)
(Q ∧ R)
∧Elim2
R
∧Intro
Vi skulle (som ett alternativ till den tidigare analysen) kunna säga
att argumentet är giltigt för att det är konstruerat med hjälp av
regler som är korrekta. Vi skriver (P ∧ Q), (Q ∧ R) ` (P ∧ R).
Vad betyder korrekt i detta sammanhang?
I
Hänvisa direkt till användande – bevis är det primära
I
Relatera till den semantiska analysen – sanning är det primära
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Det är intuitivt klart att bevisreglerna ovan är sunda i meningen att
om det som står ovanför strecket är sant, så är det som står under
strecket också sant.
Så dessa regler kommer aldrig att ta oss från sanna premisser till en
falsk slutsats.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
I
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
I
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
I
Kan sammanfattas i en sanningsvärdestabell.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
I
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
I
Kan
ϕ
T
T
F
F
sammanfattas i en sanningsvärdestabell.
ψ (ϕ ∧ ψ)
T
T
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
I
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
I
Kan
ϕ
T
T
F
F
I
Raderna representerar tilldelningar av sanningsvärden till
delsatserna. Eller olika situationer. Eller möjliga världar.
sammanfattas i en sanningsvärdestabell.
ψ (ϕ ∧ ψ)
T
T
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
I
Hur definierar vi meningen hos och direkt i semantiska termer?
I
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
I
Kan
ϕ
T
T
F
F
I
Raderna representerar tilldelningar av sanningsvärden till
delsatserna. Eller olika situationer. Eller möjliga världar.
I
Vi kan använda tabellerna för att avgöra om argument (av
denna enkla typ) är giltiga.
sammanfattas i en sanningsvärdestabell.
ψ (ϕ ∧ ψ)
T
T
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
F
¬P
F
F
T
T
Q
T
F
T
F
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
F
¬P
F
F
T
T
Q
T
F
T
F
Det finns ingen rad (sanningsvärdestilldelning, situation, möjlig
värld) där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen är falsk.
Alltså är argumentet giltigt.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q
T
T
F
F
T
T
F
F
R
T
F
T
F
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
T
T
T
F
F
(Q ∨ R)
T
T
T
F
T
T
T
F
Martin Kaså
(P ∨ R)
T
T
T
T
T
F
T
F
Logik: bevis, sanning och konsekvens
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q
T
T
F
F
T
T
F
F
R
T
F
T
F
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
T
T
T
F
F
(Q ∨ R)
T
T
T
F
T
T
T
F
(P ∨ R)
T
T
T
T
T
F
T
F
Rad 6 representerar ett motexempel – en möjlighet för slutsatsen
att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna.
Alltså är argumentet ogiltigt.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q
T
T
F
F
T
T
F
F
R
T
F
T
F
T
F
T
F
(P ∧ Q)
T
T
F
F
F
F
F
F
(Q ∧ R)
T
F
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
(P ∧ R)
T
F
T
F
F
F
F
F
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
1. Monotonicitet: om vi lägger till fler premisser till ett giltigt
argument så blir det resulterande argumentet fortfarande
giltigt.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
1. Monotonicitet: om vi lägger till fler premisser till ett giltigt
argument så blir det resulterande argumentet fortfarande
giltigt.
I
Detta följer av den preliminära definitionen av giltighet. Vi
sade att Γ ϕ betyder att det inte finns någon situation där
samtliga premisser i Γ är sanna och ϕ är falsk. Då finns det
naturligtvis ingen situation i vilken samtliga premisser Γ och
dessutom den extra premissen ψ är sanna och ϕ är falsk. Så
om vi vet att Γ ϕ så följer trivialt att Γ, ψ ϕ för vilken sats
ψ som helst.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
1. Monotonicitet: om vi lägger till fler premisser till ett giltigt
argument så blir det resulterande argumentet fortfarande
giltigt.
I
Detta följer av den preliminära definitionen av giltighet. Vi
sade att Γ ϕ betyder att det inte finns någon situation där
samtliga premisser i Γ är sanna och ϕ är falsk. Då finns det
naturligtvis ingen situation i vilken samtliga premisser Γ och
dessutom den extra premissen ψ är sanna och ϕ är falsk. Så
om vi vet att Γ ϕ så följer trivialt att Γ, ψ ϕ för vilken sats
ψ som helst.
I
Observera att det finns andra typer av ”inferens” där denna
princip inte är rimlig!
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
2. Ex falso quodilbet: Vad som helst följer av en motsägelse.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
2. Ex falso quodilbet: Vad som helst följer av en motsägelse.
I
Igen följer detta av den preliminära definitionen. Oavsett vad
ϕ är för en sats, så finns ingen situation där både ϕ och ¬ϕ är
sanna. Så, oavsett vad ψ är för en sats, så följer det trivialt att
det inte finns någon situation ϕ och ¬ϕ båda är sanna, men ψ
falsk. Så enligt vår definition av giltighet gäller ϕ, ¬ϕ ψ.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Ett relevant sidospår: två giltiga principer
2. Ex falso quodilbet: Vad som helst följer av en motsägelse.
I
Igen följer detta av den preliminära definitionen. Oavsett vad
ϕ är för en sats, så finns ingen situation där både ϕ och ¬ϕ är
sanna. Så, oavsett vad ψ är för en sats, så följer det trivialt att
det inte finns någon situation ϕ och ¬ϕ båda är sanna, men ψ
falsk. Så enligt vår definition av giltighet gäller ϕ, ¬ϕ ψ.
I
Fundera över om det finns tillämpningar där du skulle vilja ha
ett inferenssystem som inte följer denna princip!
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
I
Sundhet: Om Γ ` ϕ så Γ ϕ
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
I
Sundhet: Om Γ ` ϕ så Γ ϕ
I
Fullständighet: Om Γ ϕ så Γ ` ϕ
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
I
Sundhet: Om Γ ` ϕ så Γ ϕ
I
Fullständighet: Om Γ ϕ så Γ ` ϕ
Och ibland:
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Metalogik
När vi har definierat relationerna ` (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
I
Sundhet: Om Γ ` ϕ så Γ ϕ
I
Fullständighet: Om Γ ϕ så Γ ` ϕ
Och ibland:
I
Avgörbarhet: Det finns en algoritm som besvarar frågan ” ϕ?”
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens
Slut för idag
. . . och tack för idag.
Martin Kaså
Logik: bevis, sanning och konsekvens