1. No category

7
Rayleigh-Ritz’ metode
Innhold:
 Diskretisering
 Rayleigh-Ritz’ metode
 Essensielle og naturlige randbetingelser
 Nøyaktighet
 Hermittiske polynomer
Litteratur:
Cook & Young, ”Advanced Mechanics of Materials”, kap. 4.11 og 4.13
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-1
Rayleigh-Ritz' metode
Diskretisering
De aller fleste mekaniske systemer, herunder alle problemer
som involverer tverrforskyvning (bjelker og rammer), har
uendelig mange frihetsgrader. Vi vet ikke à priori hvordan forholdet er mellom forskyvningene (eller vinklene) i to forskjellige
punkter.
For å kunne benytte prinsippet om stasjonær potensiell energi,
er vi avhengig av at det er et endelig antall (for håndberegning:
så få som mulig) frihetsgrader.
DISKRETISERING: Det kontinuerlige problemet med uendelig
mange frihetsgrader idealiseres til et problem med få frihetsgrader. Løsningen av det diskretiserte systemet vil i de aller
fleste tilfeller være en tilnærmet løsning.
Diskretiseringen er den vesentlige antagelsen og tilnærmelsen
når et gitt problem skal løses numerisk med elementmetoden.
All diskretisering handler i praksis om å anta/velge et forskyvningsfelt. Dette gjelder både for elementmetoden og
håndberegninger. Jo nærmere det valgte forskyvningsfeltet er
den korrekte deformasjonen, desto mer nøyaktig er den tilnærmede løsningen.
q
F
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
Ukjent, eksakt løsning
(Usymmetrisk)
Tilnærmelse: Parabel
(Enkelt, men ikke optimalt)
7-2
Rayleigh-Ritz' metode
Valg av forskyvningsfelt
Vi holder oss foreløpig til det 1-dimensjonale tilfellet, dvs
bjelker. Dermed kan vi nøye oss med å se på forskyvningen
w(x) i tverretning.
En tilnærmet forskyvningsfunksjon for konstruksjonen velges
på formen
n
w  x    ai fi  x 
i 1
hvor
 ai kalles generaliserte frihetsgrader. Etter at fi  x  er valgt,
er de n generaliserte frihetsgradene de ukjente. RayleighRitz’ metode gir løsningen til de n ukjente ai.
 fi  x  er valgte formfunksjoner. Disse må tilfredsstille
o Kontinuitetskrav
o Essensielle randbetingelser (se neste side)
Typiske valg er polynomer eller trigonometriske funksjoner
f  x   a0  a1x  a2 x 2  a3 x 3  ....
x 
 2 x 
 3 x 
f  x   a0  a1 sin 
 a2 sin 
 a3 sin 


  ....
L
L
L






NB: I mange tilfeller må ett eller flere ledd utelates pga
randbetingelser, symmetri el.
Figuren nedenfor viser eksempler på uakseptable (til venstre)
og akseptable (til høyre), om enn urealistiske, formfunksjoner.
z, w
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
z, w
7-3
Rayleigh-Ritz' metode
Randbetingelser
I faststoffmekanikk skilles det mellom to typer av randbetingelser:
Essensielle randbetingelser er randbetingelser som er knyttet
til forskyvninger eller vinkler. Et annet navn på disse er
kinematiske randbetingelser.
Fritt opplegg:
w
v=0
Fast innspenning:
w
v=0
=0w
v´´ = 0
Naturlige randbetingelser er randbetingelser som er knyttet til
krefter og momenter. Et annet navn på disse er dynamiske
randbetingelser.
Fritt opplegg:
 M = 0 w
v´´= 0
Fri ende:
 M = 0 w
v´´ = 0
 V = 0 w
v´´´ = 0
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-4
Rayleigh-Ritz' metode
Rayleigh-Ritz’ metode
Rayleigh-Ritz’ metode tar utgangspunkt i prinsippet om
stasjonær potensiell energi for å bestemme de n ukjente frihetsgradene ai i et valgt forskyvningsfelt. Prosedyre:
n
1. Velg et forskyvningsfelt w  x    ai fi  x  .
i 1
2. Regn ut systemets potensielle energi  med bruk av det
valgte forskyvningsfeltet.
 Indre energi U beregnes ved å ta utgangspunkt i
uttrykkene for U som funksjon av deformasjon, se
side 3-18 (og eventuelt 3-17 og 3-19)
 Lastpotensialet  bestemmes ved å regne ut
arbeidet som kreftene på systemet gjør over forskyvningen w(x).
Den potensielle energien er nå funksjon av de generaliserte frihetsgradene: = ai.
3. Forskyvningen som tilsvarer likevekt bestemmes fra prinsippet om stasjonær potensiell energi:

 0 for i = 1, …, n
ai
4. Prinsippet om stasjonær potensiell energi gir et system
med n algebraiske ligninger (som har n ukjente a1, …,an).
Når dette systemet er løst mhp ai er det tilnærmede
forskyvningsfeltet entydig bestemt.
5. Sekundære størrelser kan bestemmes ved derivasjon av
det beregnede forskyvningsfeltet w(x). Eksempelvis:
M  x   EI  x   w   x 
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-5
Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.1: Fritt opplagt bjelke
q
L
En fritt opplagt bjelke er påkjent av en jevnt fordelt last q.
Bjelken har lengde L og konstant bøyestivhet EI.
Bruk Rayleigh-Ritz’ metode med ulike valg av formfunksjoner til
å estimere bjelkens maksimale nedbøyning og momentdiagram:
 2. grads-polynom, dvs parabel (1 frihetsgrad)
 Høyere-ordens polynom (2 frihetsgrader)
 Trigonometrisk funksjon (1 frihetsgrad)
Sammenlign med eksakt løsning.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-6
Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.2: Bjelke med overheng
F
A
B
C
3L/4
L/4
Benytt Rayleigh-Ritz’ metode med én generalisert frihetsgrad til
å analysere bjelken i figuren. Bjelken har konstant bøyestivhet
EI.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-7
Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.3: Bjelke understøttet av to
fjærer
(Cook&Young, oppgave 4.11-5) Benytt Rayleigh-Ritz’ metode
med to generaliserte frihetsgrader til å bestemme en tilnærmet
verdi for nedbøyningen under lasten F. Bjelken har konstant
bøyestivhet EI. Sett k = EI/L3.
Hvor stor blir den maksimale nedbøyningen?
Er momentdiagrammet fra Rayleigh-Ritz-løsningen realistisk?
I konstruksjonsanalyser er det ganske vanlig å introdusere
fjærer i beregningsmodellene. Hva kan slike fjærer representere?
Fasit: wmax = 0,388 F/k
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-8
Rayleigh-Ritz' metode
Eksempel 7.4: Stav med avtrappet
tverrsnitt
(Cook&Young, oppgave 4.11-8) Staven i figuren har et
tverrsnittsareal som avtar lineært fra A0 i innspenningen (x = 0)
til A0/2 ved den høyre enden (x = L). I høyre ende virker det en
kraft N som forskyver denne stavenden uL mot høyre.
Benytt Rayleigh-Ritz’ metode med to generaliserte frihetsgrader
og polynomer som formfunksjoner til å bestemme størrelsen på
kraften N (som funksjon av bl.a uL).
Sammenlign med eksakt løsning.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-9
Rayleigh-Ritz' metode
Karakteristisk for Rayleigh-Ritz’
metode
 Rayleigh-Ritz’ metode gir en tilnærmet løsning. Hvis de
valgte funksjonene i forskyvningsfeltet w  x    ai fi  x 
samsvarer med den eksakte løsningsfunksjonen, vil
Rayleigh-Ritz gi korrekt løsning.
 En Rayleigh-Ritz – løsning er enten eksakt eller for stiv.
Dette skyldes at systemet ”tvinges” til å deformere seg i
henhold til det valgte forskyvningsfeltet w  x    ai fi  x  .
Dermed blir forskyvningene i middel noe mindre enn de
ville ha vært hvis systemet fikk deformere seg fritt etter
eget ”forgodtbefinnende”, dvs korrekt løsning.
 Funksjonene fi  x  må tilfredsstille de essensielle randbetingelsene til problemet. Hvis de i tillegg tilfredsstiller
naturlige randbetingelser, forbedres ofte løsningen.
 Nøyaktigheten er vanligvis best for forskyvningene w. I
numerisk matematikk vil derivasjon forstørre eventuelle
feil. Dermed må det forventes at feilen er større for helning
, bøyemoment M, spenninger  osv., som alle beregnes
ved suksessiv derivasjon av w(x). Verst i så måte blir
skjærkraft V (tre gangers derivasjon).
 Ulemper ved Rayleigh-Ritz:
o Intet feilestimat. Man kan ikke vite noe om avvik fra
den eksakte løsningen.
o Forskyvningsfeltet w  x    ai fi  x  må defineres for
hele konstruksjonen. Blir fort intrikat.
Dette leder til elementmetoden: Systemet deles inn i
mindre deler (elementer), og det velges et Rayleigh-Ritz –
forskyvningsfelt stykkevis for hvert element.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-10
Rayleigh-Ritz' metode
Hermittiske polynomer
Dette er en spesiell type polynomer som fremkommer ved at de
skal ha bestemte verdier av både den 0’te og 1’ste ordens
deriverte i predefinerte punkter. Når det hermittiske polynomet
beskriver forskyvning, vil 0’te og 1’ste ordens deriverte uttrykke
hhv forskyvning og helningsvinkel.
For bjelker benyttes ofte fire hermittiske polynomer som
defineres ved at forskyvning eller vinkel i den ene av endene
skal være lik 1, mens de øvrige forskyvningene/vinklene er lik
0.
Figuren nedenfor viser polynomene slik de benyttes i TKT4180
KMEK Beregningsmetoder. Les dessuten Cook avsn. 4.13.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-11
Rayleigh-Ritz' metode
Hermittiske polynomer og
elementmetoden
De hermittiske polynomene er utgangspunktet for elementmetoden for bjelker:
 Hvert element har fire frihetsgrader som representerer
bøyning: Tverrforskyvning og rotasjon i hvert knutepunkt
 De hermittiske polynomene representerer formfunksjonene til disse fire frihetsgradene
 Rayleigh-Ritz gir egenskapene, dvs sammenheng mellom
belastning og deformasjon, til hvert element
 Kompatibilitet: Naboelementer som møtes i et knutepunkt
må ha samme størrelse/verdi på frihetsgradene i det
aktuelle knutepunktet
 Dette gir muligheten til å bygge opp en elementmodell for
hele systemet: Et ligningssystem hvor det totale antall
frihetsgrader er de ukjente
Element med
frihetsgrader
System
Mer om dette i TKT4180 KMEK-Beregningsmetoder.
Og enda viktigere: Dette kan generaliseres til 2D og 3D.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
7-12
Rayleigh-Ritz' metode