1. No category

Oppgave 1
Skal finne egenverdier og egenvektorer.
a)
√1
2
√1
2
− √12
!
√1
2
Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet:
1
r
2
√ − λ
− √12 1
1
1
1
2
1
= √ −λ + =0 ⇒ λ= √ ± −
√1 − λ
√
2
2
2
2
2
2
Vi får negativt under rottegnet som vil si at matrisen ikke har reelle
egenverdier og egenvektorer.
b)
2
4
11
−5
Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet:
2 − λ
11 = (2−λ)(−5−λ)−44 = λ2 +3λ−54 = (λ+9)(λ−6) = 0
4
−5 − λ
Vi får da egenverdiene λ1 = −9 og λ2 = 6.
Finner egenvektorene for λ1 = −9:
2 11
v1
v
= −9 1
4 −5
v2
v2
Trenger bare å se på ligningen for den øverste komponenten:
2v1 + 11v2 = −9v1
⇔
v1 = −v2
Har én fri parameter. Ved å sette v2 = t får vi v1 = −t. Totalt gir dette
alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi −9:
−1
v=t
, t fri
1
Finner egenvektorene for λ1 = 6:
2 11
v1
v
=6 1
4 −5
v2
v2
Trenger bare å se på ligningen for den øverste komponenten:
2v1 + 11v2 = 6v1
1
⇔
v1 =
11
v2
4
Har én fri parameter. Ved å sette v2 = 4t får vi v1 = 11t. Totalt gir dette
alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi 6:
11
v=t
, t fri
4
c)
0
2
2
4
Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet:
2 − λ
0 = (2 − λ)2 = 0 ⇒ λ = 2
4
2 − λ
Vi har bare én egenverdi λ = 2. Finner egenvektorene:
2 0
v1
v
=2 1
4 2
v2
v2
Ligningen for den øverste komponenten gir ingen informasjon, ser på
ligningen for den nederste komponenten:
⇔
4v1 + 2v2 = 2v2
v1 = 0
Vi har v1 = 0 og v2 fri. Ved å sette v2 = t får vi alle egenvektorene med
egenverdi 2:
0
v=t
, t fri
1
Oppgave 2
Skal finne basis for rekkerom og søylerom.
a)
A=
3
−6
Finner den reduserte matrisen:
3
4 2 0 r1 /3 1 4/3
∼
−6 −8 3 1 r2 +2r1 0 0
4
−8
2 0
3 1
2/3 0 r1 −2r2 /21 1 4/3 0
∼
r2 /7
7 1
0 0 1
−2/21
1/7
De radene i den reduserte matrisen som har en ledende ener (d.v.s. begge
radene) gir en basis for rekkerommet:

 

1
0 




 0 
4/3 




Row(A) = Span 
,
0   1 





−2/21
1/7
2
De søylene i den opprinnelige matrisen som inneholder en ledende ener i
den reduserte matrisen (d.v.s. søyle nr 1 og 3) gir en basis for søylerommet:
3
2
Col(A) = Span
,
−6
3
b)

1
0
B=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
4
0

0
2

1
0
Matrisen er allerede på redusert form. De radene som har en ledende ener
(d.v.s. rad nr 1, 2 og 3) gir en basis for rekkerommet:
     
0 
0
1



     


0 1 0






Row(B) = Span 0 , 0 , 1



  0 4



 1


1
2
0
De søylene som inneholder en ledende ener (d.v.s. søyle nr 1, 2 og 3) gir
en basis for søylerommet:
     
0 
0
1



     
1
0
 ,   , 0
Col(B) = Span 
  0 1


 0


0
0
0
Oppgave 3
Skal, om mulig, uttrykke x som en lineærkombinasjon av v1 og v2 .
a)
2
x=
,
1
1
v1 =
,
2
v2 =
1
−2
Skal prøve å finne c1 og c2 slik at x = c1 v1 + c2 v2 . Det gir:
1
1
2
1 1
c1
2
c1
+ c2
=
⇒
=
2
−2
1
2 −2
c2
1
Løser ved rekkeoperasjoner på den utvidete matrisen:
r1
1 1 2
1 1
2 r1 +r2 /4 1
∼
∼
2 −2 1 r2 −2r1 0 −4 −3 −r2 /4 0
Vi får c1 =
5
4
og c2 =
3
4
som vil si at x = 54 v1 + 34 v2 .
3
0
1
5/4
3/4
b)


1
x =  1 ,
−1


4
v1 = −2 ,
3
 
1
v2 = 1
1
Skal prøve å finne c1 og c2 slik at x = c1 v1 + c2 v2 . Det gir:
 
   


 
4
1
1
4 1 1
c
c1 −2 + c2 1 =  1  ⇒ −2 1 1 =  1 
c2
3
1
−1
3 1
−1
Løser

4
−2
3
ved rekkeoperasjoner på den utvidete matrisen:




1 1 r1 − r3
1 0 2
r1
1
1 1  r2 ∼ −2 1 1  r2 + 2r1 ∼ 0
1 −1
r3
3 1 −1 r3 − 3r1
0
0
1
1


0
r1
1
5  r2 ∼ 0
−7 r3 − r2
0
Nederste raden gir selvmotsigelsen 0 = −12 som vil si at det ikke er mulig
å uttrykke x som en lineærkombinasjon av v1 og v2 .
Oppgave 4
a)
7
3
π = 14π − 3π = 11π
2π b)
3
2
1
1
0
6
4 0
2 = 3 6
−1
2 2
−1
−1 1
2 2
+4
−1 1
0
= 3·(−12)−(−4)+4·12 = 16
6
c)
2
1
−1
6 2
4
4 0 = 2 3
3 7
1
0
−
6
−1
7
1
0
+
2
−1
7
4
= 2 · 28 − 6 · 7 + 2 · 7 = 28
3
Oppgave 5
La tilstanden ved tid n være gitt ved
 n
x0
xn1 
 n

xn = 
x2n 
x3 
xn4
hvor xn0 er antallet som er 0 år ved tid n, xn1 antallet som er 1 år ved tid n osv.
4
0
1
0

0
5 
−12
a) Vi ønsker å finne en matrise M som flytter også ett år frem i tid hver gang
vi ganger med den, d.v.s. xn+1 = Mxn . Fra reglene har vi
xn+1
= 0.9xn2 + 0.9xn3 + 0.6xn4
0
xn+1
= (1 − 0.2)xn0 = 0.8xn0
1
xn+1
= (1 − 0.1)xn1 = 0.9xn1
2
xn+1
= (1 − 0.1)xn2 = 0.9xn2
3
xn+1
= (1 − 0.5)xn3 = 0.5xn3
4
som gir overgangsmatrisen M:

0
0.8

M=
0
0
0
0
0
0.9
0
0
0.9
0
0
0.9
0
0.9
0
0
0
0.5

0.6
0

0

0
0
Vi har følgene initiel tilstand ved tid 0:
 
40
35
 

x0 = 
35
40
10
Ønsker å finne tilstanden x1 ved tid 1.
i) Ved å bruke overgangsmatrisen får vi:
 

40
0
0 0.9 0.9 0.6
 35
0.8 0
0
0
0
 

 
0
0
x1 = Mx0 = 
 35 =
 0 0.9 0

0
0 0.9 0
0 40
10
0
0
0 0.5 0

 

0 + 0 + 0.9 · 35 + 0.9 · 40 + 0.6 · 10
73.5

  32 
0.8 · 40 + 0 + 0 + 0 + 0

 


 = 31.5
0 + 0.9 · 35 + 0 + 0 + 0

 


 31.5
0 + 0 + 0.9 · 35 + 0 + 0
0 + 0 + 0 + 0.5 · 40 + 0
20
ii) Tilsvarende ved å bruke reglene direkte får vi:
x10 = 0.9x02 + 0.9x03 + 0.6x04 = 0.9 · 35 + 0.9 · 40 + 0.6 · 10 = 73.5
x11 = 0.8x00 = 0.8 · 40 = 32
x12 = 0.9x01 = 0.9 · 35 = 31.5
x13 = 0.9x02 = 0.9 · 35 = 31.5
x14 = 0.5x03 = 0.5 · 40 = 20
5
c) Ønsker å vite hva som skjer når tiden går mot uendelig, d.vs.
lim xt = Mt x0
t→∞
Bruker MATLAB til å sjekke hva tilstanden er ved tid 1000 og 2000:


6.6758
4.8473



x1000 = M1000 x0 = 1043 
3.9596
3.2344
1.4678

8.2989
6.0258


2000 0
85 
=M
x = 10 4.9222

4.0208
1.8247

x2000
Vi ser at antallet individer med de ulike aldrene i populasjonen går mot
uendelig når t → ∞.
6