236353 – אוטומטים ושפות פורמליות 1 ב"ת
סמסטר חורף 2016-2017
אוטומטים ושפות פורמליות – 236353
ת"ב 1
המתרגלת האחראית על התרגיל :מיכל הורוביץ
הוראות לפתרון התרגיל:
-
בכל מקרה בו אתם מתבקשים להוכיח ,עליכם לרשום הוכחה פורמלית מלאה.
-
בכל מקרה בו אתם מנסים להפריך ,נסו למצוא דוגמא נגדית קצרה ופשוטה ככל האפשר.
-
אם נדרש הסבר או נימוק בלבד ,עליו להיות קצר אך בעל מבנה כללי של הוכחה (למשל
הסבר/נימוק מדוע שתי שפות שוות צריך לכלול שני כיווני הכלה וכו') .בפרט ,אין צורך
לספק הוכחות אינדוקטיביות לכל טענות העזר.
-
בכל מקום בו נדרשת בנייה פורמלית של אוטומט ,ניתן להסתפק בשרטוט לתיאור
פונקציית המעברים ,אך יש לרשום הגדרה פורמאלית לשאר הרכיבים.
-
יש להקפיד על סימון ה"כובעים" כאשר משתמשים בפונקציית המעברים למילים.
נושאי התרגיל :אוטומט סופי דטרמיניסטי ומושגים בסיסיים.
.1יהי Σא"ב כלשהו ,ותהיינה 𝐿, 𝐿1 , 𝐿2שפות כלשהן מעל הא"ב .Σעבור כל אחת מהטענות
הבאות ,קבעו האם מתקיים שיוויון ,או שמתקיימת הכלה בכיוון אחד בלבד ,או שלא
מתקיימת הכלה באף כיוון .עבור כל טענה של שיוויון או הכלה עליכם להוכיח את תשובתכם.
עבור כל טענה שאין הכלה ,יש לספק דוגמה נגדית.
א)
}𝜖{ ∖ ∗𝐿 = ∗)}𝜖{ ∖ 𝐿(
ב)
∗) ∗𝐿( = ∗𝐿
ג)
∗) (𝐿∗ )+ = (𝐿+
ד)
∗) (𝐿1 ∪ 𝐿2 )∗ = (𝐿∗1 ⋅ 𝐿∗2
ה)
∗Σ∗ = Σ∗ ⋅ Σ
.2תהי 𝐿 שפה כלשהי מעל הא"ב }𝑏 .{𝑎,הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות:
א)
∗𝐿 אינסופית
ב)
𝜖 ∈ 𝐿 ⟺ 𝜖 ∈ 𝐿+
ג)
𝑐) ∗𝐿( ≠ ∗) 𝑐𝐿( (כאשר 𝑐𝐿 הוא המשלים של 𝐿 ,ביחס ל-א"ב }𝑏 ){𝑎,
.3הוכיחו/הפריכו :לכל זוג שפות ,𝐿1 , 𝐿2כך ש 𝐿2 ≠ ∅-מתקיים.𝐿2 ⊆ 𝐿1 ⋅ 𝐿2 ⇔ 𝜖 ∈ 𝐿1 :
.4בנו אוטומט סופי דטרמיניסטי עבור השפה הבאה 𝐿 = {𝜎𝑢𝜎 ∶ 𝜎 ∈ Σ, 𝑢 ∈ Σ ∗ } :מעל א"ב
}𝑏 .Σ = {𝑎,יש לתת בנייה פורמלית מלאה ולהסביר אותה בקצרה .אין צורך להוכיח נכונות.
שימו לב :ניתן להסתפק בשרטוט לתיאור פונקציית המעברים ,אך יש לרשום הגדרה
פורמלית לשאר הרכיבים.
.5יהי }𝑏 Σ = {𝑎,א"ב .נגדיר שפה:
} המילה 𝑤 לא מכילה את הרצף 𝑎𝑎 | ∗ 𝐿 = { 𝑤 ∈ Σ
נגדיר אוטומט )𝐹 𝐴 = (𝑄, Σ, 𝑞0 , 𝛿,כך ש 𝐹 = {𝑞0 , 𝑞1 } , 𝑄 = {𝑞0 , 𝑞1 , 𝑞2 } -ו 𝛿 -מוגדרת
ע"י השרטוט הבא:
𝑏 𝑎,
𝑞2
𝑎
𝑎
𝑞0
𝑞1
𝑏
𝑏
הוכיחו ש.𝐿(𝐴) = 𝐿 -
הנחיה :כפי שלמדנו בכיתה ,על מנת להוכיח שפה של אוטומט ,צריך להוכיח את שפות כל
המצבים (חוץ ממצב שהוא בור לא מקבל) .על כן ,הוכיחו את שתי הטענות הבאות ,והסיקו
מתוכן ש .𝐿(𝐴) = 𝐿 -נגדיר:
}המילה 𝑤 אינה מסתיימת ב𝐿0 = { 𝑤 ∈ 𝐿 | 𝑎-
}המילה 𝑤 מסתיימת ב𝐿1 = { 𝑤 ∈ 𝐿 | 𝑎-
הוכיחו:
(𝐿(𝑞0 ) = 𝐿0 )1
(𝐿(𝑞1 ) = 𝐿1 )2
הסיקו מכך ש.𝐿(𝐴) = 𝐿 -
.6יהי )} 𝑓𝑞{ 𝐴 = (𝑄, Σ, 𝑞0 , 𝛿,אוטומט סופי דטרמיניסטי .נתון כי )𝜎 𝛿(𝑞0 , 𝜎) = 𝛿(𝑞𝑓 ,לכל
.𝜎 ∈ Σהוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות:
א)
לכל 𝜖 ≠ 𝑤 מתקיים )𝑤 .𝛿̂ (𝑞0 , 𝑤) = 𝛿̂ (𝑞𝑓 ,
ב)
אם )𝐴(𝐿 ∈ 𝑥 אז לכל 𝑘 > 0מתקיים )𝐴(𝐿 ∈ 𝑘 𝑥.
.7סטודנט בקורס "אוטומטים ושפות פורמליות" התבקש לבנות אוטומט סופי דטרמיניסטי
עבור השפה }𝑏𝑎𝑢𝑎 = 𝑤 .𝐿 = {𝑤 ∈ {𝑎, 𝑏}∗ : ∃𝑢 ∈ {𝑎, 𝑏}∗ ,
מצאו את השגיאות בפתרון שסיפק:
האוטומט 𝐴 = {{𝑞0 , 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 }, Σ = {𝑎, 𝑏}, 𝑞0 , 𝛿, {𝑞2 }} :כאשר 𝛿 מוגדרת בצורה הבאה:
𝛿(𝑞0 , 𝑎) = 𝑞1 ,
𝛿(𝑞0 , 𝑏) = 𝑞3 ,
𝛿(𝑞1 , 𝑎𝑏) = 𝑞2 ,
∀w ∈ 𝛴 ∗ ∖ {𝑎𝑏}: 𝛿(𝑞1 , 𝑤) = 𝑞1
∀𝑤 ∈ Σ ∗ : 𝛿(𝑞3 , 𝑤) = 𝑞3
© Copyright 2024