Eksempel 1
STK1100 våren 2017
Vi vil først ved hjelp av et eksempel se
intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr.
Betinget sannsynlighet
og uavhengighet
Vi legger fire røde kort og to svarte kort i
en bunke.
Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka
Ørnulf Borgan
Matematisk institutt
Universitetet i Oslo
1
Vi trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til:
2
I eksempel 1 er det intuitivt klart hva betinget
sannsynlighet er.
Det er ikke alltid like enkelt:
Se på begivenhetene:
A = «første kort er rødt»
B = «andre kort er svart»
Vi har at P(A) = 4/6 = 2/3.
Hvis A har inntruffet er sannsynligheten for B lik 2/5.
Dette er den betingede sannsynligheten for B gitt A.
Vi skriver P(B | A) = 2/5.
• Hva er den betingede sannsynligheten for at
begge kortene er røde gitt at minst ett av dem er
rødt?
• Hva er den betingede sannsynligheten for at det
første kortet er rødt gitt at det andre er svart?
Vi trenger en definisjon av
betinget sannsynlighet!
Vi vil bruke et eksempel til å motivere definisjonen.
4
Eksempel 2
Se på de som handler i en kolonialbutikk en dag:
Melk
Ikke melk
Totalt
Brød
40
20
60
Ikke brød
30
10
40
Eksemplet motiverer definisjonen:
Totalt
70
30
100
P( A | B) =
Vi velger tilfeldig en kunde og ser på begivenhetene:
A = «handler melk»
B = «handler brød»
Vi har P (B ) =
60
100
og
Ved å bytte om «rollene» til A og B
P( A ∩ B) =
40
100
P (B | A ) =
Det er «opplagt» at:
P( A | B) =
P( A ∩ B)
P (B )
P( A ∩ B)
40
40 / 100
=
=
P (B )
60
60 / 100
P( A ∩ B)
P ( A)
5
6
Vi kan trekke to kort på 6 . 5 = 30 måter.
Eksempel 3
Vi ser igjen på korteksemplet.
Vi kan trekke først et rødt og så et svart kort på
4 . 2 = 8 måter.
Vi trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til.
Vi kan trekke det første kort rødt på 4 . 5 = 20 måter.
Det gir
P( A ∩ B) =
og
P ( A) =
20
30
Dermed er
Se på begivenhetene:
P (B | A ) =
A = «første kort er rødt»
B = «andre kort er svart»
Vi vil bestemme P (B | A) ut fra definisjonen.
Det gir en sjekk på at definisjonen er rimelig.
8
30
P( A ∩ B)
8 / 30
8
2
=
=
=
P ( A)
20 / 30
20 5
(selvfølgelig!)
7
8
8
.
30
Eksempel 4
Vi har funnet at P ( A ∩ B ) =
Hva er den betingede sannsynligheten for at det
første kortet er rødt gitt at det andre er svart?
(Jf. det andre spørsmålet ovenfor.)
Vi kan få et svart kort andre gang på to måter:
• først rødt, så svart kort, dvs A ∩ B
• to svarte kort, dvs A′ ∩ B
Derfor kan vi skrive B som en disjunkt union:
B = ( A ∩ B ) ∪ ( A′ ∩ B )
Det gir at
P (B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A′ ∩ B ) =
Se på begivenhetene:
A = «første kort er rødt»
B = «andre kort er svart»
Vi vil bestemme P ( A | B ) .
Altså har vi at
9
Hva betyr det egentlig at den betingede
sannsynligheten er 4/5 = 80% for at det første
kortet er rødt gitt at det andre er svart?
P( A | B) =
P( A ∩ B)
8 / 30
8 4
=
=
=
P (B )
10 / 30
10 5
10
Produktsetningen
Definisjon av betinget sannsynlighet:
Husk at sannsynlighet er relativ frekvens
«i det lange løp».
P( A | B) =
Vi tenker oss at vi trekker to kort mange ganger.
P( A ∩ B)
P (B )
Denne gir produktsetningen:
P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) ⋅ P (B )
• At P(A) = 2/3 betyr at det første kortet vil
være rødt ca 2/3 av gangene.
• At P(A | B) = 4/5 betyr at hvis vi bare teller
med de gangene der det andre kortet er
svart, så vil det første kortet være rødt
ca 4/5 av disse gangene.
4 ⋅ 2 2 ⋅ 1 10 1
+
=
=
6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 30 3
Tilsvarende:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B | A )
11
12
Eksempel 5
Produktsetningen for tre begivenheter:
Ovenfor fant vi P ( A ∩ B ) i korteksemplet som
antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall
(når vi trekker to kort).
P ( A1 ∩ A 2 ∩ A 3 )
Vi kan også finne denne sannsynligheten ved
produktsetningen.
Vi har P ( A) =
= P ( A1 ∩ A 2 ) ⋅ P ( A 3 | A1 ∩ A 2 )
4
2
og P (B | A) =
6
5
= P ( A1 ) ⋅ P ( A 2 | A1 ) ⋅ P ( A 3 | A1 ∩ A 2 )
Dermed gir produktsetningen:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B | A ) =
4 2 4
⋅ =
6 5 15
Produktsetningen gjelder på tilsvarende måte
for fire og flere begivenheter.
13
Eksempel 6
Opplysningene gir:
Etter offentlig statistikk er sannsynligheten
P ( A1 ) = 0.95
• 95% for at 65 år gammel kvinne skal bli minst 70 år
P ( A 2 | A1 ) = 0.92
• 92% for at 70 år gammel kvinne skal bli minst 75 år
P ( A 3 | A1 ∩ A 2 ) = 0.87
• 87% for at 75 år gammel kvinne skal bli minst 80 år
Hvis kvinnen blir minst 80 år, blir hun også
minst 70 år og minst 75 år
Hva er sannsynligheten for at 65 år gammel
kvinne skal bli minst 80 år?
Derfor er A1 ∩ A 2 ∩ A 3 = A 3
Vi tar for oss 65 år gammel kvinne og ser på
begivenhetene
P (minst 80 år) = P ( A 3 ) = P ( A1 ∩ A 2 ∩ A 3 )
A1 = «kvinnen blir minst 70 år»
= P ( A1 ) ⋅ P ( A 2 | A1 ) ⋅ P ( A 3 | A1 ∩ A 2 )
A2 = «kvinnen blir minst 75 år»
A3 = «kvinnen blir minst 80 år»
14
15
= 0.95 ⋅ 0.92 ⋅ 0.87 = 0.76
16
Total sannsynlighet
A3
A1
Anta at A1 , A 2 , ...., A k
er disjunkte og at
B
A2
A1 ∪ A 2 ∪ .... ∪ A k = S
A4
3% av varene fra maskin I er defekte.
1% av varene fra maskin II er defekte.
B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A 2 ∩ B ) ∪ .... ∪ ( A k ∩ B )
Dette og produktsetningen gir setningen om
total sannsynlighet
k
i =1
i =1
En bedrift produserer varer på to maskiner.
Maskin I produserer 35% av varene.
Maskin II produserer 65% av varene.
Vi kan da skrive en begivenhet B som en
union av disjunkte begivenheter:
k
Eksempel 7
En vare velges tilfeldig fra lageret.
Hva er sannsynligheten for at varen er defekt?
P ( B ) = ∑ P ( A i ∩ B ) = ∑ P (B | A i ) P ( A i )
18
17
Vi ser på hendelsene:
Eksempel 8
B = «varen er defekt»
A1 = «varen kommer fra maskin I»
A2 = «varen kommer fra maskin II»
Vi legger
• fire røde kort og to svarte kort i bunke I
Da er:
• to røde kort og fire svarte kort i bunke II
P ( A1 ) = 0.35
P ( A 2 ) = 0.65
P (B | A1 ) = 0.03
P (B | A 2 ) = 0.01
Vi velger tilfeldig en bunke og trekker to kort
fra denne.
Setningen om total sannsynlighet gir:
Hva er sannsynligheten for at vi får to røde kort?
P ( B ) = P ( B | A 1 ) ⋅ P ( A 1 ) + P (B | A 2 ) ⋅ P ( A 2 )
= 0.03 ⋅ 0.35 + 0.01⋅ 0.65 = 0.017
19
20
A1 = «vi trekker fra bunke I»
Bayes' setning
A2 = «vi trekker fra bunke II»
B = «vi trekker to røde kort»
Anta at A1 , A 2 , ...., A k er disjunkte og at
Opplysningene gir:
Definisjonen av betinget sannsynlighet gir at
P ( A1 ) = P ( A 2 ) =
A1 ∪ A 2 ∪ .... ∪ A k = S
1
2
P ( Aj | B ) =
4⋅3 6
P (B | A 1 ) =
=
6 ⋅ 5 15
P (B | A 2 ) =
2 ⋅1 1
=
6 ⋅ 5 15
Setningen om total sannsynlighet gir
P (B ) =
7
6 1 1 1
= 0.233
⋅ +
⋅ =
15 2 15 2 30
P (B )
Vi bruker produktsetningen for telleren og total
sannsynlighet for nevneren og får Bayes' setning:
P ( Aj | B ) =
P (B | A j ) ⋅ P ( A j )
k
∑ P (B | A ) P ( A )
i =1
21
Eksempel 9
P ( Aj ∩ B )
i
22
Bayes setning gir:
Se på eksempelet med produksjon av varer.
P ( A1 | B ) =
Hvis varen er defekt, hva er da sannsynligheten
for at den kommer fra den første maskinen?
Vi har disse begivenhetene og sannsynlighetene:
B = «varen er defekt»
A1 = «varen kommer fra maskin I»
A2 = «varen kommer fra maskin II»
P ( A1 ) = 0.35
P ( A 2 ) = 0.65
i
=
P (B | A 1 ) ⋅ P ( A 1 )
P (B | A 1 ) ⋅ P ( A 1 ) + P (B | A 2 ) ⋅ P ( A 2 )
0.03 ⋅ 0.35
0.03 ⋅ 0.35 + 0.01⋅ 0.65
= 0.62
I det lange løp kommer 62% av de defekte
varene fra maskin I.
P (B | A1 ) = 0.03
P (B | A 2 ) = 0.01
23
24
Eksempel 10
Vi ser på eksempel 8
Hvis begge kortene er røde, hva er
sannsynligheten for at vi trakk fra bunke I ?
Eksempel 11
En kvinne tar en mamografiundersøkelse.
Se på begivenhetene:
A1 = «vi trekker fra bunke I»
A2 = «vi trekker fra bunke II»
B = «vi trekker to røde kort»
P ( A1 ) = P ( A 2 ) =
1
2
S = «kvinnen har brystkreft»
M = «undersøkelsen viser tegn på kreft»
P (B | A 1 ) =
6
15
P (B | A 2 ) =
1
15
Fra erfaringer med mammografi har vi
P (M | S ) = 0.95
P (M | S ′ ) = 0.035
Bayes setning gir:
P ( A1 | B ) =
6 1
⋅
15 2
6 1
1 1
⋅ +
⋅
15 2 15 2
6
=
7
Vi antar at P (S ) = 0.007
25
26
Anta at undersøkelsen viser tegn på kreft
Avhengige og uavhengige begivenheter
Hva er da sannsynligheten for at kvinnen virkelig
har kreft?
Husk definisjonen av betinget sannsynlighet:
P( A | B) =
Bayes setning gir:
P (S | M ) =
=
P (M | S ) ⋅ P (S )
P (M | S ) ⋅ P (S ) + P (M | S ′ ) ⋅ P (S ′ )
P( A ∩ B)
P (B )
Hvis P(A | B) = P(A) er A og B
uavhengige begivenheter.
0.95 ⋅ 0.007
0.95 ⋅ 0.007 + 0.035 ⋅ 0.993
Hvis P(A | B) ≠ P(A) er A og B
avhengige begivenheter.
= 0.16
Merk at hvis P(A | B) = P(A), så er
Selv om undersøkelsen viser tegn på kreft, er
det bare 16% sannsynlig at hun virkelig har det
27
P (B | A ) =
P ( A ∩ B ) P ( A ) ⋅ P (B )
=
= P (B )
P ( A)
P ( A)
28
Eksempel 12: Kast én terning to ganger.
A = «minst fem øyne i første kast»
B = «sum øyne lik sju»
12
P( A) =
C = «minst én sekser»
36
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
P(B | A) =
2
36
12
36
=
2
= P(B)
12
P(C | A) =
6
36
11
P(C) =
36
2
P( A ∩ B) =
36
7
P( A ∩ C) =
36
P(B) =
7
36
12
36
=
7
≠ P(C)
12
Utfallsrom U = {MM, MK, KM, KK}
A = {MM, MK}
B = {MM, KM}
C = {MK, KM}
P ( A ) ⋅ P (B ) =
MK
A og B er uavhengige
A og C er uavhengige
1
2 2
= = P( A ∩ B)
⋅
4
4 4
B og C er uavhengige
MM
KM
• P ( A′ | B ) = P ( A′) , dvs A′ og B er uavhengige
• P ( A | B′) = P ( A) , dvs A og B′ er uavhengige
• P ( A′ | B′) = P ( A′), dvs A′ og B′ er uavhengige
Viktig resultat:
A og B er uavhengige hvis og bare hvis
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P (B )
Eksempel 13: Kast kronestykke og femkrone
La for eksempel KM bety krone på
kronstykket og mynt på femkronen
KK
Hvis P(A | B) = P(A), dvs A og B er uavhengige
begivenheter, så er
Men P ( A ∩ B ∩ C ) = 0
så A, B og C er ikke uavhengige
Resultatet gjelder også når A og/eller B har
sannsynlighet null.
30
Uavhengighet for flere begivenheter
Begivenhetene A1 , A 2 , ...., A n er uavhenige hvis
vi for enhver k og enhver delmengde av indekser
i1 , i 2 , ...., i k har at
P ( A i1 ∩ A i2 ∩ .... ∩ A ik ) = P ( A i1 ) ⋅ P ( A i2 ) ⋅ ... ⋅ P ( A ik )
Ovenfor har vi sett på situasjoner der vi kan
vise at begivenheter er uavhengige.
Men vanligvis er uavhengighet en forutsetning
for sannsynlighetsmodellen vår.
32
Eksempel 14
Eksempel 15
Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for
at vi ikke får en eneste sekser?
Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for at
alle terningene viser samme antall øyne (yatzy).
Vi finner først
Vi har at
5
P (ingen seksere) =
5 5 5 5 5 5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= 0.402
6 6 6 6 6  6 
P (yatzy) = P (fem enere) + P (fem toere) + P (fem treere)
+ P (fem firere) + P (fem femere) + P (fem seksere)
Dermed er
5
5
5
5
5
 1  1  1  1  1  1
=  +  +  +  +  + 
6 6 6 6 6 6
P (minst én sekser ) = 1 − P (ingen seksere )
= 1 − 0.402 = 0.598
5
5
33
 1
= 6 ⋅   = 0.00077
6
34