1. No category

Prosjektanalyse
ITD20106: Statestikk og Økonomi
1
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Vi skal se på lønnsomhet av investeringsprosjekter.
I Investeringsanalysen studerer vi:
Realinvesteringer (maskiner, bygninger, osv.)
Finansinvesteringer (aksjer, utlån, osv.)
Vi skal konsentrere oss mest om realinvesteringer
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Lønnsomheten av et investeringsprosjekt må alltid
vurderes ut fra prosjektets kontantstrømmer
Eksempel: Du setter 2 000 kr i Sparebanken AS.
Etter et år kan du ta ut 2 100 kr. Er dette lønnsomt?
Om det er lønnsomt eller ikke, avhenger av betingelsene
andre banker tilbyr.
2 100
= 1, 05
2 000
Dette prosjektet gir 5 % rente per år (
)
Dersom andre banker f.eks. tilbyr bare 4 % rente, er
prosjektet lønnsomt.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Eksempel (tall i 1 000 kr)
– Du har gjennomført en markedsundersøkelse som kostet 500, og vurderer nå
å sette i gang produksjon og salg av det nye produktet GoldenEye. Prosjektet
går over 5 år. Se bort fra skatt.
– Egenkapital er 11 000 (de pengene du investerer).
– Produksjonsutstyret koster 35 000 og kan selges etter 5 år for 2 000.
– Prosjektet binder 1 000 i omløpsmidler (lager, debitorer, kontanter).
– Det må tas opp et serielån på 25 000 til 10 % rente p.a. Renter og avdrag
betales i slutten av hvert år.
År
1
2
3
4
5
Innbetalinger fra drift
12 000
16 000
24 000
19 000
17 500
Utbetalinger fra drift
– 3 500
– 4 500
– 11 500
– 8 000
– 11 000
(Alle kontantstrømmer plasseres i slutten av året)
Du kan også investere dine 11 000 i et annet prosjekt med samme risiko som dette.
Dette alternativet forventes å gi en avkastning på 18 %. Hva bør du gjøre?
Kapittel 11 Prosjektanalyse
År
0
Investering
-35 000
Utbetalt lån
25 000
1
2
3
4
5
2 000
Avdrag lån
-5 000
-5 000
-5 000
-5 000
-5 000
Renter lån
-2 500
-2 000
-1 500
-1 000
-500
Økning omløpsmidler
-1 000
1 000
Innbetalinger fra drift
12 000
16 000
24 000
19 000
17 500
Utbetalinger fra drift
-3 500
-4 000
-11 500
-8 000
-11 000
1 000
5 000
6 000
5 000
4 000
Kontantstrøm
-11 000
Er dette prosjektet lønnsomt i forhold til alternativet med samme risiko som gir
18 % avkastning? Ja, dette prosjektet gir ca. 23 % avkastning.
Metoder som kan benyttes for å finne denne løsningen presenteres senere !
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Vi må alltid ha en korrekt kontantstrøm for prosjektet før vi kan si
noe om lønnsomheten.
For å finne en korrekt kontantstrøm, husk at:
- Kalkulatoriske kostnader (f.eks. avskrivninger) gir ikke
utbetalinger
- Allerede medgåtte kostnader regnes ikke med
- Påvirkning på andre eksisterende prosjekt, som f.eks. redusert
salg, skal regnes med.
Før vi ser på ulike metoder i investeringsanalysen, må vi lære litt
finansmatematikk…
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Finansmatematikk
Sluttverdi: En krone som står i banken til renten r = 5 %, vokser
etter 1 år til: (1+p) = (1+0,05) = 1,05 kr
( p = r / 100% )
etter 2 år til: (1+p)(1+p) = (1+p)2 = 1,052 = 1,1025 kr
etter 3 år til: (1+p)(1+p)(1+p) = (1+p)3 = 1,053 = 1,1576 kr
…
etter n år til (1+p)n
Her er nåverdien 1 kr og sluttverdien (1+p)n.
Eksempel: Du setter 12 000 kr i banken i dag til 8 % rente p.a. Hvor mye
kan du ta ut etter 5 år med renter og rentes rente?
12 000 (1+0,08)5 = 17 631,94 kr
Nåverdi: Vi så at beløpet K0 vokser til Kn = K0 (1+p)n
i løpet av n år når renten p legges til beløpet hvert år.
Kn = sluttverdi = K0 (1+p)n
Kn
K0 = nåverdi =
( 1+ p
)
n
Eksempel: Hva er nåverdien av å motta 50 000 kr om 15 år
dersom renten er 12 %?
Kn
K0 =
( 1+ p
)n
50 000
=
= 9 134, 81 kr
15
( 1 + 0,12 )
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Oppgaver:
1.
Du setter 38 500 kr i banken til 7,5 % rente p.a. Hvor mye kan du ta
ut etter 4 år?
2.
Hva er nåverdien av å få utbetalt 500 kr om 10 år når renten er 9 %?
3.
Du setter 200 kr i banken og kan ta ut 300 kr etter 5 år. Hvilken rente
(p.a.) gir dette?
4.
Du får 7,25 % rente p.a. på en innskuddskonto. Hvor lenge må et
beløp stå på denne kontoen for å bli fordoblet?
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Løsninger:
1. Kn = K0 (1+p)n = 38 500 (1+0,075)4 = 51 415, 56 kr
2.
3.
K0 =
Kn
( 1+ p
)
n
=
500
( 1 + 0,09
)
10
= 211, 21 kr
300
æ 300 ö
200 (1 + p ) = 300 Þ (1 + p ) =
Þ 1+ p = ç
÷
200
è 200 ø
5
5
1
5
æ 300 ö
Þ p=ç
÷ - 1 = 0,0845 = 8, 45 %
è 200 ø
1
5
Kapittel 11 Prosjektanalyse
4.
(1 + 0,0725)n = 2
Þ
Þ ln 1, 0725 n = ln 2 Þ n ln 1, 0725 = ln 2
ln 2
n=
= 9, 9 år
ln 1, 0725
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdien av å motta flere ulike beløp på fremtidige tidspunkt blir
summen av beløpenes nåverdi
Eksempel: Hva er nåverdien av å motta 200 kr om 1 år, 400 kr om 2
år og 300 kr om 3 år, dersom renten er 6,5 % p.a.?
K1
K2
K0 =
+
1+ p ( 1+ p
)2
K3
+
( 1+ p
)3
200
400
300
=
+
+
= 788, 81 kr
2
3
1 + 0,065 ( 1 + 0,065 )
( 1 + 0,065 )
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdien av å motta et fast beløp på fremtidige tidspunkt blir
summen av beløpenes nåverdi
K
K
K0 =
+
1+ p ( 1+ p
)
2
K
+ ... +
( 1+ p
)
n
= K
(1 + p ) n - 1
n
p (1 + p )
Nåverdien av å motta 1 kr i slutten av hvert år i n år, når renten er p,
kalles etterskuddsannuiteten A:
A p, n =
1
1
+
1+ p ( 1+ p
)
2
+ ... +
1
( 1+ p
(1 + p ) - 1
n
p (1 + p )
n
)
n
=
(Utledning i matematikkfaget)
Verdier kan finnes i en tabell bakerst i boka eller med Excel / kalkulator
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdien av å motta 1 kr i slutten av hvert år i n år til rente p var:
A p, n =
(1 + p ) n - 1
n
p (1 + p )
Dermed må
A-p1, n
p (1 + p )
=
(1 + p ) n - 1
n
bli det faste beløpet som utgjør renter og avdrag på et annuitetslån
på 1 kr til rente p over n år.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Oppgaver
1.
Hva er nåverdien av å motta 50 kr i slutten av hvert år i 7 år når
renten er 8 %?
2.
Du tar opp et gebyrfritt annuitetslån på 100 000 kr til 12 % rente
p.a. over 5 år. Lag en nedbetalingsplan for lånet som viser
renter, avdrag og lånets størrelse år for år.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Løsninger
1.
K0 = K
(1 + p ) n - 1 = 50 (1 + 0,08) 7 - 1
n
7
p (1 + p )
0,08 (1 + 0,08 )
2.
År
Lån IB
1
100 000
2
R+A=
Lån*A-1p,n
= 260, 32 kr
Rente
Avdrag
Lån UB
27 741
12 000
15 741
84 259
84 259
27 741
10 111
17 630
66 629
3
66 629
27 741
7 995
19 745
46 884
4
46 884
27 741
5 626
22 115
24 769
5
24 769
27 741
2 972
24 769
0
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Investeringsanalyse
Vi skal se på:
- Tilbakebetalingsmetoden
- Nåverdimetoden
- Internrentemetoden
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Tilbakebetalingsmetoden
Med denne forenklede metoden beregner man tiden det tar før
investeringsbeløpet er inntjent
For et prosjekt med kontantstrømmen:
År
0
1
2
3
4
– 260 130 130 130 130
blir tilbakebetalingstiden:
260
= 2 år
130
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Dersom beregningen ikke gir et helt antall år, beregnes andelen av
det siste året
For et prosjekt med kontantstrømmen:
År
0
1
– 260
80
2
3
4
60 100
40
ser man at 240 er tjent inn etter 3 år. De 20 som mangler,
tjenes inn i løpet av første halvår i det fjerde året.
Tilbakebetalingstid: 3,5 år
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Tilbakebetalingsmetoden har åpenbare svakheter
-
Den tar ikke hensyn til innbetalinger etter tilbakebetalingstiden
Den tar ikke hensyn til renter, dvs. at pengene blir mindre
verdt lenger ut i tid
La oss se på prosjektene:
År
0
1
2
3
4
5
Prosjekt A:
– 40 5
5
10
20
20
Prosjekt B:
– 40 30
5
0
5
20
Begge har tilbakebetalingstid 4 år, men prosjekt B er best siden
pengene kommer inn tidligere i dette prosjektet
Nåverdimetoden er den viktigste i investeringsanalysen
Her beregnes netto nåverdi fra prosjektets kontantstrømmer (NV i boka):
K1
K2
NNV = K 0 +
+
1+ p ( 1+ p
)2
Kn
+ ... +
( 1+ p
)n
Investeringen er lønnsom dersom NNV > 0
Her er K0 = – investeringsbeløpet
Avkastningskravet (kalkulasjonsrenten, rentekravet) p er den alternative
avkastningen man oppnår i andre prosjekt med samme risiko.
Den kan fastsettes som p = risikofri rente + risikotillegg
(man krever høyere forventet avkastning ved høyere risiko)
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Eksempel
Prosjektet GoldenEye hadde følgende forventede kontantstrøm:
År
Kontantstrøm
0
1
2
3
4
5
-11 000
1 000
5 000
6 000
5 000
4 000
Aksjene i et annet selskap, som kun produserer et tilsvarende produkt, har
de siste årene gitt en avkastning på 18 %. Vi velger derfor 18 % som
avkastningskrav:
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
NNV = - 11 000 +
+
+
+
+
= 1 418
2
3
4
5
1,18 1,18
1,18
1,18
1,18
Prosjektet er lønnsomt siden NNV > 0
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Beregningen av netto nåverdi for prosjektet GoldenEye (i 1 000 kr):
NNV = - 11 000 +
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
+
+
+
+
= 1 418
2
3
4
5
1, 18 1, 18
1, 18 1, 18
1, 18
forteller oss at vi blir 1 418 000 kr rikere (målt i dagens pengeverdi)
ved å investere i GoldenEye fremfor å plassere pengene våre til
18 % (i et tilsvarende prosjekt med samme risiko).
Dette kan illustreres med at vi tar opp et lån på 12 418 000 kr
(= 11 000 000 + 1 418 000) til 18 % rente p.a.
Da kan vi plassere 11 000 000 i prosjektet og ta 1 418 000 kr til privat forbruk.
Prosjektet vil deretter betale tilbake lånet med renter og avdrag.
Netto nåverdi for et prosjekt avhenger av avkastningskravet.
For GoldenEye:
NNV ( p = 0,10) = - 11 000 +
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
+
+
+
+
= 4 448
1, 1
1, 1 2
1, 13
1, 1 4
1, 1 5
NNV ( p = 0,18) = - 11 000 +
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
+
+
+
+
= 1 418
1, 18 1, 18 2 1, 18 3 1, 18 4 1, 18 5
NNV ( p = 0,20) = - 11 000 +
NNV ( p = 0,25) = - 11 000 +
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
+
+
+
+
= 797
2
3
4
5
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
1 000 5 000 6 000 5 000 4 000
+
+
+
+
= -569
1, 25 1, 25 2 1, 25 3 1, 25 4 1, 25 5
Jo høyere avkastningskrav, jo lavere netto nåverdi.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Netto nåverdi som funksjon av avkastningskravet gir en nåverdiprofil
Det avkastningskravet som gir NNV = 0 er prosjektets avkastning, den
såkalte internrenten
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Internrentemetoden
Her beregnes prosjektets avkastning = internrenten = IR
Denne tilsvarer det avkastningskrav som gir NNV = 0.
For prosjektet GoldenEye må vi løse en 5.gradsligning!
- 11 000 +
1 000
5 000
6 000
5 000
4 000
+
+
+
+
=0
2
3
4
5
(1 + IR) (1 + IR)
(1 + IR)
(1 + IR)
(1 + IR)
Fra nåverdiprofilen ser vi at IR = 22,8 % (der NNV = 0)
IR kan også beregnes med Excel, eller kalkulator med finansfunksjoner
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Internrentemetoden har flere svakheter.
Derfor bør man helst benytte nåverdimetoden
For enkelte prosjekter der kontantstrømmen skifter fortegn to eller flere
ganger, er ikke internrenten definert (den kan ikke beregnes)
Eksempel
Prosjektet RoboCop forventes å gi følgende kontantstrøm (i 1 000 kr):
År
0
1
2
3
4
-2500
3000
1000
1400
-3100
Vurder prosjektets lønnsomhet
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdiprofilen viser to meningsløse ”internrenter” på ca 12 % og 23 % :
Internrenten kan ikke beregnes for dette prosjektet.
Prosjektet er lønnsomt for avkastningskrav mellom 12 % og 23 %
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Svakheter ved Internrentemetoden (kap 11.5)
Internrentemetoden tar ikke hensyn til størrelsen på prosjektet. Metoden må
derfor benyttes med varsomhet når to prosjekter sammenlignes
Eksempel 1
Du skal velge prosjekt A eller B med følgende kontantstrømmer (i 1 000 kr):
År
0
1
IR
Prosjekt A
– 200
280
40 %
Prosjekt B
– 450
585
30 %
De to prosjektene har ulike investeringsbeløp.
Om du skal velge A eller B, avhenger av avkastningskravet.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdiprofilen viser at prosjekt B bør velges når avkastningskravet er mindre
enn 22 %. For avkastningskrav mellom 22 % og 40 % bør prosjekt A velges.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Svakheter ved Internrentemetoden
Eksempel 2
Du skal velge prosjekt A eller B med følgende kontantstrømmer (i 1 000 kr):
År
0
1
2
3
4
5
IR
Prosjekt A
– 100
70
30
20
5
5
16,4 %
Prosjekt B
– 100
5
10
10
50
85
11,9 %
Summen av netto innbetalinger er størst for prosjekt B. Men innbetalingene
kommer tidligere i prosjekt A.
Om du skal velge A eller B, avhenger av avkastningskravet – ikke av internrenten.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Nåverdiprofilen viser at prosjekt B bør velges når avkastningskravet er mindre enn
9 %. For avkastningskrav mellom 9 % og 16 % bør prosjekt A velges.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Følsomhetsanalyser
Variable størrelser:
I en investeringsanalyse er alle størrelser usikre.
Ant. Solgte pr år = n
Effekten av endringer i pris, kostnader, osv.
kan studeres med stokastiske modeller
og simulering. Det er ikke pensum her!
Pris pr. stk. = p
10,00
VEK
5,00
FK
70 000
I følsomhetsanalyser studerer vi effekten
endringer i en variabel har på resultatet
Investering = I
500 000
Nto innbet pr år
180 000
I tabellen har vi en nåverdiberegning som
utgangspunkt. Så kan vi se hvor mye
NNV endres når prisen endres, når antall
solgte endres, osv. (Endrer kun en
variabel i gangen.)
NNV
103 388
Vi ser at NNV er mest følsom med hensyn på
pris og variabel enhetskostnad ¯
50 000
Parametre:
Levetid (år)
Avkastn.krav
5
15 %
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Oppgaver
År
1. Beregn tilbakebetalingstid for prosjektet:
0
1
2
3
4
5
– 85
20
30
25
20
10
2. Bruk 15 % som avkastningskrav og vurder om disse prosjektene er lønnsomme.
Beregn evt. netto nåverdi og internrentene. Bruk de angitte metodene.
År
0
1
2
3
4
A
– 800
900
B
– 1 200
300
400
700
300
C
– 25
9
9
9
9
D
– 1 500
300
900
200
E
– 20
22
– 20
22
– 20
5
200
22
NNV
IR
På papir
På papir
Excel
Excel og NNV-profil
Tabell for Ap,n
Tabell for Ap,n
I hodet
I hodet
Excel
I hodet
3. Du skal velge et av to gjensidig utelukkende investeringsalternativ. Finn ut
hvordan lønnsomheten av prosjektene avhenger av avkastningskravet.
Investeringsutgift
Innbetalingsoverskudd pr. år
Levetid
Alt. 1
Alt. 2
– 200
– 160
72
61
5 år
5 år
4. Bygningsfirmaet Cela skal bygge en bro for en oppdragsgiver. De kan bygge
broen på 2 eller 3 år. Ved det 2-årige prosjektet påløper det 50 000 000 i
betalbare kostnader det første året, og de mottar 60 000 000 det andre året.
Ved det 3-årige prosjektet påløper det 23 000 000 i betalbare kostnader det
første året og 20 000 000 det andre året. De mottar 55 000 000 det tredje
året. Hvilket prosjekt bør de velge? Regn med alle kontantstrømmer på
slutten av årene.
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Løsninger
1.
2.
3,5 år
Prosjekt A:
- 800 +
900
NNV = - 800 +
= - 17,4
1 + 0,15
900
900
900
= 0 Þ 1 + IR =
Þ IR =
- 1 = 0,125 = 12,5 %
1 + IR
800
800
IR = 18,4 %
Nåverdiprofil ¯
Prosjekt B:
NNV = 94,5
Prosjekt C:
NNV = 0,7
Prosjekt D:
NNV er negativ for alle avkastningskrav > 0%
Prosjekt E:
NNV = – 2,0
IR = 16,4 %
IR = 10,0 %
Beregning ¯
Kapittel 11 Prosjektanalyse
Prosjekt B:
Prosjekt C:
9
9
9
9
NNV = - 25 +
+
+
+
2
3
1 + 0,15 (1 + 0,15 )
(1 + 0,15) (1 + 0,15)4
é 1
ù
1
1
1
= - 25 + 9 ê
+
+
+
2
3
4ú
1
+
0
,
15
(
)
(
)
(
)
1
+
0
,
15
1
+
0
,
15
1
+
0
,
15
ë
û
= - 25 + 9 A15%, 4 år = - 25 + 9 × 2,854974 = 0,6948 » 0,7
- 25 +
9
9
9
9
+
+
+
=0
2
3
4
1 + IR (1 + IR)
(1 + IR) (1 + IR)
é 1
1
1
1 ù
Þ - 25 + 9 ê
+
+
+
=0
2
3
4ú
(1 + IR) (1 + IR) û
ë1 + IR (1 + IR)
Þ - 25 + 9 A p , 4 år = 0 Þ A p , 4 år =
25
= 2,778
9
Fra rentetabell: A16%, 4år = 2,798 og A17%, 4år = 2,743
Vi interpolerer til ca 16,4 %
Løsninger
3. Oppgaven kan løses ved å studere nåverdiprofiler,
eller ved å betrakte differanseinvesteringen
Alt. 1
Alt. 2
Diff: Alt 1 – Alt 2
– 200
– 160
– 40
72
61
11
5 år
5 år
5 år
23,4 %
26,2 %
11,6 %
Investeringsutgift
Innbetalingsoverskudd pr. år
Levetid
Internrenter:
Ved 0 % som avkastningskrav blir:
NNV(alt 1) = – 200 + 5 • 72 = 160 og NNV(alt 2) = – 160 + 5 • 61 = 145
Det betyr:
For avkastningskrav < 11,6 % er NNV(alt 1) > NNV(alt 2)
For avkastningskrav > 11,6 % er NNV(alt 2) > NNV(alt 1)
For avkastningskrav > 26,2 % er ingen av prosjektene lønnsomme.
Løsninger
4. Kontantstrømmer i millioner kr:
År
1
2
3
Internrenter
3-årig prosjekt
– 23
– 20
55
17,2 %
2-årig prosjekt
– 50
60
Differanse (2årig – 3årig)
– 27
80
20,0 %
– 55
?
Nåverdiprofilen ¯ viser:
3-årig prosjekt bør velges dersom avkastningskravet < 8,4 %
2-årig prosjekt bør velges dersom 8,4 % < avkastningskravet < 20,0 %