1. No category

HEKSAFLEKSAGONER
MATEMATIKK OG FYSIKK VED UIS, ÅPEN DAG 07.03.2017
Heksafleksagoner er papirbretteleker som kan lages av en enkel papirremse med triangler. Et heksafleksagon har totalt seks sider, men bare to er synlige samtidig - de andre fire er gjemt inn heksafleksagonet. Ved å bøye og brette heksafleksagonet kan de gjemte sidene bringes til overflaten.
Klarer du å finne alle?
1. Knuteteori – Perko-paret
Når er en knute ikke en knute? Og når er to tilsynelatende forskjellige
knuter faktisk like?
Tro det eller ei, et felt i matematikken kalt knuteteori er blitt utviklet
for å svare på disse overraskende vanskelige spørsmålene. Forbløffende
nok har knuteteori vist seg å ha viktige anvendelser i mange forskjellige
områder, fra DNA-analyser i biologi til streng-teori i teoretisk fysikk.
I mange år var knutene på bildet til venstre listet som to forskjellige
knuter i alle knutetabeller. Først i 1974 klare matematikeren Kenneth
Perko å finne en måte å transformere den ene knuten til den andre, uten å kutte tråden, og dermed
vise at de faktisk begge er samme knuten. De to knutene (eller faktisk bar en!) blir nå kalt Perkoparet.
2. Irrasjonelle og komplekse tall – Euler’s formel
Euler’s formel, eiπ + 1 = 0, er en av de vakreste formlene i matematikken siden den binder samme
fem av de viktigste tallene:
• 0 som kan adderes til hvilket som helst tall uten å endre det,
• 1 som kan multiplisere med hvilket som helst tall uten å endre det,
• π kalt ‘pi’, lengden til omkretsen av en sirkel delt på diameteren, tilnærmet lik 355/113 =
3.14159...,
• e kalt Euler’s tall, definert ved egenskapen at den derivert av ex er lik ex , og tilnærmet lik
2.71828...,
• i kvadratroten til −1, slik at i2 = −1.
, der m og n er
π og e er begge irrasjonelle tall, som betyr at de ikke kan skrives som en brøk m
n
heltall. Dette er det samme som å si at desimalene til π og e fortsetter for evig og går aldri inn i et
repeterende mønster.
Det komplekse tallet i ble opprinnelig oppfunnet for å gi løsning til ligninger som x2 + 1 = 0.
Til tross for at noen matematikere i begynnelsen kjempet mot ideen om komplekse tall, hadde de
vunnet bred aksept rundt år 1800 og har nå en rik matematisk teori kalt kompleks analyse. Kompleks
analyse har viktige anvendelser i områder som ingeniørfag, elektromagnetisme og kvantefysikk.
3. Topologi – Klein-flasken
En gren av matematikfaget kalt for topologi omhandler egenskaper til objekter som er like når de
strekkes, uten at det er lov å kutte, rive eller lime. Et eksempel er antall hull i en overflate. For en
topolog er en kaffekopp og en smultring det samme siden begge har ett hull!
I topologi kalles en overflate for orienterbar dersom den har to ulike
sider. Klein-flasken er en lukket overflate som bare har en side, innsiden
er den samme som utsiden, og dette gjøre den til en ikke-orienterbar
overflate.
I tre dimensjoner må en Klein-flaske ha skjæringspunkter med seg selv,
men i fire dimensjoner finnes ekte Klein-flasker uten skjæringspunkter.
4. Fraktaler – Menger-svampen
Menger-svampen er et eksempel på en fraktal. For å lage svampen:
(1) Start med en kube.
(2) Del hver av de 6 overflatene til kuben inn i 9 kvadrater, slik at hele kuben blir delt inn i 27
mindre kuber.
(3) Av disse 27 kubene, fjern den midtre kuben fra hver av de 6 overflatene og kuben helt i
midten. Da gjenstår det 20 kuber, og dette gir første steget i svampen.
(4) Gjenta punkt (2) og (3) for hver av de 20 mindre kubene, dette gir det andre steget i svampen.
(5) Fortsett å gjenta (2) og (3) et uendelig antall ganger og du får Menger-svampen.
Bildet viser det tredje steget av svampen. Hvert steg reduserer volumet
til svampen og øker det totale overflatearealet. Til slutt har Mengersvampen faktisk null volum og uendelig overflate!
Fraktaler finnes overalt i naturen, fra bregneblader til formen på skyer
og fjellformasjoner - og til og med i sirkulasjonssystemet til dyr. Fraktaler har blant annet anvendelser i områder som bildekompresjon, dataspill,
design av antenner og analyser av akjsemarkeder.
5. Geometri – Costa’s minimale overflate
En minimal overflate får navnet sitt fra det faktumet at den har minimalt
areal. Dersom den deformeres hvor som helst, for eksempel ved å lage
en fordypning ved å trykke på den med en finger, vil det alltid medføre
at arealet til overflaten øker.
Minimale overflate opptrer naturlig. For eksempel vil en såpefilm på
et gitter alltid forme en overflate med minst mulig energi, som nettopp
er en mimial overflate.
Det var lenge antatt at de eneste mimiale overflatene var det flate
planet og to andre kalt katenoide og helikoide. Men, Costa viste i 1982 at dette var helt feil ved
oppdagelsen av sin minimale overflate vist på figuren til høyre.
Der er alltid nye og spennende ting å oppdage i matematikken, i dag mer enn noen gang!