RC ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﻣﺪار ﻣﺮﺗﺒﻪ اول RC ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر اﻟﻒ
ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﻣﺪار ﻣﺮﺗﺒﻪ اول RC اﻟﻒ – ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر RC ﻣﻘﺪﻣﺎت: ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻣﺪار ﺳﺮي Rو Cرا ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. R Rg )Vo(t C Vg ﺷﻜﻞ )(1-2 ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ ﺛﺎﺑﺖ Vimو ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮ fﺑﻪ دو ﺳﺮ ورودي اﻳﻦ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻣﻲ ﺷﻮد ،وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ )ﻳﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﻣﺪار( ﻧﻴﺰ ﻣﻮﺟﻲ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ وﻟﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ و ﻓﺎزي ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﺎ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺑﻮده و ﺑﻄﻮر ﻛﻠﻲ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻮج ورودي ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﮔﺮ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺑﻪ ﺻﻮرت Vi (t ) = Vim sin ωt = Vie∠0oﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻲ ﺗﻮان وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ را ﺑﺼﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ: Vo (t ) = Vom sin(ωt + ϕ ) = Voe∠ϕ o ﻧﺴﺒﺖ وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺗﺎﺑﻌﻲ از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻮده و ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻊ اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ و ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد: Vo Vo = ∠ϕ o V i Vi = AV Vo V ﺑﻄﻮرﻳﻜﻪ ﺧﻮاﻫﻴﻢ دﻳﺪ o ،و ϕﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ fﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد .ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﻐﻴﻴﺮات Vi Vi ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﭘﺎﺳﺦ داﻣﻨﻪ و ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮات ϕﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻓﺎز ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن ﻣﺪار RCﺷﻜﻞ ﺑﺎﻻ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ .ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺪار ﺑﺼﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﺷﻮد: Vo 1 = = AV ∠ϕ o V i 1 + jωRC = ⇒ AV 1 ⎧ ⎪⎪Vi = ( R + jωC ) I ⎨ ⎪V = ( 1 ) I o jωc ⎪⎩ ﻛﻪ در آن: Vo 1 = 2 Vi ) 1 + (ωRC = AV ) ϕ = Arctg (−ωRC ٣٨ Vo راﺑﻄﻪ ﻧﺨﺴﺖ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﭘﺎﻳﻴﻦ ،وﻗﺘﻴﻜﻪ ωRC << 1اﺳﺖ ≈ 1 Vi Vo ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺎﻻ ،وﻗﺘﻴﻜﻪ ωRC >> 1ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ≈ 0 ، Vi ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﺳﺖ .ﻣﺪار RCﻓﻮق ﻛﻪ وﻟﺘﺎژﻫﺎي ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﻳﻴﻦ را از ﺧﻮد ﻋﺒﻮر ﻣﻲ دﻫﺪ و وﻟﺘﺎژﻫﺎي ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ را ﺑﻪ ﺷﺪت ﺗﻀﻌﻴﻒ ﻣﻲ ﻧﻤﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ. ﺧﺎﺻﻴﺖ دﻳﮕﺮ اﻳﻦ ﻣﺪار اﺧﺘﻼف ﻓﺎزي اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ و وﻟﺘﺎژ ورودي اﻳﺠﺎد ﻣﻲ ﻧﻤﺎﻳﺪ .ﺑﻄﻮرﻳﻜﻪ از راﺑﻄﻪ دوم )ﻓﺎز( ﺑﺮ ﻣﻲ آﻳﺪ ،در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﭘﺎﻳﻴﻦ ϕ ≈ 0oﺑﻮده و در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺎﻻ ϕ ≈ − π 2ﺧﻮاﻫﺪ o ﺑﻮد. ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊ ﻳﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﺼﻒ ﻗﺪرت ﻛﻪ ﺑﺎ f cﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد ،ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺻﺎﻓﻲ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ از آن را ﺑﻪ ﺷﺪت ﺗﻀﻌﻴﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .در اﻳﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﻧﺪازه ﺗﻮان ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﻧﺼﻒ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺗﻮان ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﻲ رﺳﺪ )در اﻳﻦ ﻣﺪار وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ 2 1وﻟﺘﺎژ ورودي در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻋﺒﻮر ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ( .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: Vo 1 1 1 = = = ⇒ fc 2 Vi 2πRC 2 ) 1 + (ωRC ﺷﺮح آزﻣﺎﻳﺶ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎوﻣﺖ R=10 kΩو C=0/22 μFﻣﺪاري ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر ﺑﺴﺎزﻳﺪ .ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻧﻮﺳﺎن ﺳﺎز ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﭘﻴﻚ 4وﻟﺖ ﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ و ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﺟﺪول زﻳﺮ ﻗﻴﺪ ﺷﺪه ﻣﻘﺪار وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ را ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ اﺳﻴﻠﻮﺳﻜﻮپ اﻧﺪازه ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﻳﺎدداﺷﺖ ﻛﻨﻴﺪ .دﻗﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ در ﻫﻨﮕﺎﻣﻴﻜﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﻮﺳﺎن ﺳﺎز را ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ دﻫﻴﺪ ،وﻟﺘﺎژ ورودي ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﻜﻨﺪ و ﻫﻤﻮاره روي 4وﻟﺖ ﭘﻴﻚ ﺛﺎﻳﺖ ﺑﻤﺎﻧﺪ. ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺟﺪول زﻳﺮ ،اﺧﺘﻼف ﻓﺎز ، ϕﺑﻴﻦ ﻣﻮج ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ را ﺑﺎ اﺳﻴﻠﻮﺳﻜﻮپ اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﻛﻨﻴﺪ. ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f )(Hz 20 50 100 150 250 500 1000 3000 10,000 V0اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه ϕاﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه V0ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ٣٩ ϕﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ﻳﻚ ﻣﻘﺎوﻣﺖ 56 kΩرا ﺑﺼﻮرت ﻣﻮازي ﺑﺎ Cدر ﻣﺪار ﻗﺮار دﻫﻴﺪ و ْآزﻣﺎﻳﺶ ﻗﺒﻞ را ﺗﻜﺮار ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ و ﺟﺪول زﻳﺮ را ﺗﻜﻤﻴﻞ ﻛﻨﻴﺪ .ﻣﻘﺎوﻣﺖ 56 kΩرا ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣﺼﺮﻓﻲ و ﻳﺎ اﻣﭙﺪاﻧﺲ ورودي ﻣﺪار ﺑﻌﺪي ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﺎﻓﻲ اﺗﺼﺎل ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ،در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و اﺛﺮ ﺑﺎر را ﺑﺮ روي ﺻﺎﻓﻲ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻧﻤﻮد. ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f )(Hz 20 50 100 150 250 500 1000 3000 10,000 V0اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه ϕاﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه V0ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ϕﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ب – اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮRC ﻣﻘﺪﻣﺎت: ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ Rو Cﻃﻮري اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ωRC >> 1ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻄﻮرﻳﻜﻪ دﻳﺪه اﻳﻢ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ، f cاﻧﺪازه Voﺑﺴﻴﺎر ﻛﻮﭼﻚ و ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ .در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﺪار ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: ) dVo (t 1 = ) ⇒ Vo (t Vi (t )dt dt ∫ RC Vi (t ) = Ri (t ) + Vo (t ) ≈ Ri (t ) = RC راﺑﻄﻪ ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ اﻧﺘﮕﺮال )ﺗﺎﺑﻊ اوﻟﻴﻪ( وﻟﺘﺎژ ورودي اﺳﺖ .ﻟﺬا ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻂ ωRC >> 1ﻣﺪار ﻓﻮق را ﻳﻚ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮ ﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺷﺮح آزﻣﺎﻳﺶ: ﻣﺪار ﻓﻮق را ﺑﺎ ﻣﻘﺎوﻣﺖ Rو ﺧﺎزن C=0/22 μFﻣﻴﻜﺮو ﻓﺎراد ﺗﺸﻜﻴﻞ دﻫﻴﺪ .ﻧﻮﺳﺎن ﺳﺎز را ﺑﻪ ورودي ﻣﺪار ﻣﺘﺼﻞ ﻧﻤﻮده و ﻳﻚ ﻣﻮج ﻣﺮﺑﻌﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ 4وﻟﺖ ) ( V p − pﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ و ﭘﺎﺳﺦ ﻣﺪار را ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ اﺳﻴﻠﻮﺳﻜﻮپ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ .ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻮج ورودي را در ﺣﺪود 100ﻛﻴﻠﻮ ﻫﺮﺗﺰ اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎوﻣﺘﻬﺎي 22 kΩ ،10 kΩ ،6/8 kΩو 150 kΩﺑﻪ ﺟﺎي Rﺷﻜﻞ ﻣﻮج ﺧﺮوﺟﻲ را در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺸﺎﻫﺪه و ﺑﻪ دﻗﺖ رﺳﻢ ﻧﻤﺎﻳﺪ .ﺑﻪ ﺟﺎي ﻣﻮج ﻣﺮﺑﻌﻲ در ﺣﺎﻟﺖ اﺧﻴﺮ ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ 4وﻟﺖ ) ( V p − pﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻛﻨﻴﺪ ) .(R=150 kΩﺑﻪ ﻓﺎز وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ .اﻳﻦ اﺧﺘﻼف ﻓﺎز را ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﺪ؟ ٤٠ ج – ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺎﻻ ﮔﺬر ﻣﻘﺪﻣﺎت: ﺷﻜﻞ زﻳﺮ را ﻛﻪ از اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﺧﺎزن و ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﺷﻜﻞ )(2-2 ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺪار ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از: Vo jωRC = V i 1 + jωRC Vo ωRC = Vi 1 + (ωRC ) 2 1 ) ωRC = AV = AV ( ϕ = Arctg Vo در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺎﻻ ،وﻗﺘﻴﻜﻪ ωRC >> 1اﺳﺖ ϕ ≈ 0o ،و ≈ 1 Vi Vo ϕ ≈ 90oو ≈ 0 Vi و وﻗﺘﻴﻜﻪ ωRC << 1ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ، و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﺪار RCﻓﻮق ﻛﻪ وﻟﺘﺎژﻫﺎي ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ را از ﺧﻮد ﻋﺒﻮر ﻣﻲ دﻫﺪ و وﻟﺘﺎژﻫﺎي ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﻳﻴﻦ را ﺑﻪ ﺷﺪت ﺗﻀﻌﻴﻒ ﻣﻲ ﻧﻤﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺎﻻ ﮔﺬر ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ. در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻴﺰ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊ ﺟﺎﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ 2 1وﻟﺘﺎژ ورودي در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻋﺒﻮر ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ: Vo ωRC 1 1 = = = ⇒ fc 2 Vi 2πRC 2 ) 1 + (ωRC ﺷﺮح آزﻣﺎﻳﺶ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از R=10 kΩو C=0/22 μFﻣﺪار ﺑﺎﻻ ﮔﺬري ﺑﺴﺎزﻳﺪ .ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ وﻟﺘﺎژ ﭘﻴﻚ 2 وﻟﺖ ﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻧﻤﻮده و ﺑﺮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي داده ﺷﺪه در ﺟﺪول زﻳﺮ ،ﻣﻘﺪار وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ واﺧﺘﻼف ﻓﺎز را اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ .دﻗﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ در ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﻮﺳﺎن ﺳﺎز را ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ دﻫﻴﺪ ،وﻟﺘﺎژ ورودي ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﻜﻨﺪ و ﻫﻤﻮاره روي 2وﻟﺖ ﭘﻴﻚ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻤﺎﻧﺪ. ﻳﻚ ﻣﻘﺎوﻣﺖ 56 kΩرا ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﻮازي ﺑﺎ Rدر ﻣﺪار ﻗﺮار دﻫﻴﺪ و آزﻣﺎﻳﺶ ﻗﺒﻞ را ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ و ﺟﺪول زﻳﺮ را ﻛﺎﻣﻞ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ. ٤١ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f )(Hz 20 50 100 150 250 500 1000 3000 10,000 V0اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه ϕاﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه V0ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ϕﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه د – ﻣﺪار ﻣﺸﺘﻖ ﮔﻴﺮ ﻣﻘﺪﻣﺎت: اﮔﺮ ﻣﻘﺎدﻳﺮ Rو Cﻃﻮري اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ωRC << 1ﺑﺎﺷﺪ ،در اﻳﻦ ﺻﻮرت Voدر ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از f cﺑﺴﻴﺎر ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از ) Viﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺻﻔﺮ( ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد و در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: ) dV (t 1 ) 1 V (t idt + Vo (t ) ≈ ∫ o dt ⇒ Vo (t ) = RC i ∫ C C R dt = ) Vi (t راﺑﻄﻪ ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻂ ﻳﺎد ﺷﺪه ،وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺸﺘﻖ وﻟﺘﺎژ ورودي اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﺤﺖ اﻳﻦ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺪار RCرا ﻳﻚ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﻴﺮ ﮔﻮﻳﻨﺪ. ﺷﺮح آزﻣﺎﻳﺶ: ﻣﺪار ﺑﺎﻻﮔﺬري را ﺑﺎ ﻣﻘﺎوﻣﺖ Rو ﺧﺎزن C=0/22 μFﺳﺎﺧﺘﻪ و ﻳﻚ ﻣﻮج ﻣﺮﺑﻌﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ 4وﻟﺖ ) ( V p − pو ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺣﺪود 100 Hzاﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮده و ﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻛﻨﻴﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎوﻣﺘﻬﺎي ،10 kΩ ،15 kΩ ، 2/2 kΩ ،4/7 kΩﺑﻪ ﺟﺎي Rﺷﻜﻞ ﻣﻮج ﻣﺮﺑﻌﻲ را در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻪ دﻗﺖ ﻣﺸﺎﻫﺪه و رﺳﻢ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ .ﺑﻪ ﺟﺎي ﻣﺮﺑﻌﻲ در ﺣﺎﻟﺖ اﺧﻴﺮ ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ 4وﻟﺖ ) ( V p − pﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻛﻨﻴﺪ ) (R=2/2 kΩﺑﻪ ﻓﺎز وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ورودي ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ .اﻳﻦ اﺧﺘﻼف ﻓﺎز را ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﺪ؟ ه – ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻴﺎن ﮔﺬر ﻣﻘﺪﻣﺎت: ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺗﺮﻛﻴﺐ دو ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﮔﺬر و ﺑﺎﻻﮔﺬر را ﺑﻄﻮر ﺳﺮي ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. ﺷﻜﻞ )(3-2 ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺪار ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از: ٤٢ Vo jωRC = V i 1 + 3 jωRC − ω 2 R 2C 2 Vo ωRC = 2 2 Vi (1 − ω R C 2 ) 2 + 9ω 2 R 2C 2 = AV = AV 3ωRC ) 1 − ω 2 R 2C 2 ( ϕ = 90o − Arctg در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﺑﺎﻻ ) ( ωRC >> 1و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﭘﺎﻳﻴﻦ ) ( ωRC << 1ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ: Vo ≈0 Vi ﻟﺬا ﺧﺮوﺟﻲ در ﺑﻌﻀﻲ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي ﻣﻴﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﻣﻘﺪار ﺧﻮد ﺧﻮاﻫﺪ رﺳﻴﺪ و ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺻﻌﻮدي ﻳﺎ ﻧﺰوﻟﻲ ﺧﺮوﺟﻲ ﻛﺎﻫﺶ ﺧﻮاﻫﺪ ﻳﺎﻓﺖ ،ﻟﺬا اﻳﻦ ﻣﺪار ﺑﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻴﺎن ﮔﺬر ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ. ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻪ در آن ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺧﻮد ﻣﻲ رﺳﺪ ،ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺮﻛﺰي ﻳﺎ ﻣﻴﺎﻧﻲ ﻧﺎﻣﻴﺪه و ﺑﺎ f 0ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻨﺪ .اﺧﺘﻼف ﺑﻴﻦ دو ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ 1ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺧﻮدش ﻣﻲ رﺳﺪ ،ﭘﻬﻨﺎي ﺑﺎﻧﺪ 2 ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد .در اﻳﻦ دو ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺗﻮان ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﻧﺼﻒ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺗﻮان ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﻲ رﺳﺪ. ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺮﻛﺰي ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﺷﻮد: d AV 1 1 = =0⇒ω = ⇒ f0 2πRC dω RC 1 j = ) AV ( f 0 = ) ⇒ AV ( f 0 1+ 3 j −1 3 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﭘﻬﻨﺎي ﺑﺎﻧﺪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ اﺳﺖ: ⇒ R 4C 4ω 4 − 11R 2C 2ω 2 + 1 = 0 ω1 ω , f2 = 2 2π 2π 1 3 2 = AV = BW = f1 − f 2 , f1 11 1 3 = − 2 2 2 ⇒ ω1 − ω 2 2 2 RC RC RC 3 3.3 0.3 = , ω1 = , ω2 = BW 2πRC RC RC = (ω1 − ω 2 ) 2 = ω1 + ω 2 − 2ω1ω 2 2 2 ﺷﺮح آزﻣﺎﻳﺶ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از R=10 kΩو C=0/22 μFﻣﺪار ﻣﻴﺎن ﮔﺬري ﺑﺴﺎزﻳﺪ .ﻳﻚ ﻣﻮج ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ وﻟﺘﺎژ ﭘﻴﻚ 4 وﻟﺖ ﺑﻪ ﻣﺪار اﻋﻤﺎل ﻧﻤﻮده و ﺑﺮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻬﺎي داده ﺷﺪه در ﺟﺪول زﻳﺮ ،ﻣﻘﺪار وﻟﺘﺎژ ﺧﺮوﺟﻲ و اﺧﺘﻼف ﻓﺎز را اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﻛﻨﻴﺪ .دﻗﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ﻧﻮﺳﺎن ﺳﺎز را ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ دﻫﻴﺪ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﻜﻨﺪ و ﻫﻤﻮاره ﺑﺮ روي 4وﻟﺖ داﻣﻨﻪ ﺑﻤﺎﻧﺪ. ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f )(Hz 10 25 50 100 150 200 500 1000 2000 V0اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﺷﺪه ϕاﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ٤٣ ﺷﺪه V0ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ϕﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺷﺪه ٤٤
© Copyright 2025