1. No category

‫‪١‬‬
‫ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪Multiple Linear Regression‬‬
‫ﺍﻥ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻫﻭ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻨﺤﺩﺍﺭ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ )‪ (Y‬ﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ X1 , X2 , ...XK‬ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻫﺫﺍ ﺒﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬
‫ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪. Multiple Linear Regression ،‬‬
‫ﻭﻴﻬﺩﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺎل ﺇﻟﻰ ﺘﻭﻀﻴﺢ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‬
‫‪ ، ،‬ﺜﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺃﻫﻡ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ ،‬ﻴﻀﺎﻑ ﺇﻟﻲ ﺫﻟﻙ ﺒﻴﺎﻥ ﻋﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﻼﻗﺔ‬
‫ﺨﻁﻴﺔ ﺘﺎﻤﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻭﻜﻴﻑ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ) ‪ ، (X `X‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ‬
‫ﻏﻴﺭ ﺸﺎﺫﺓ ) ‪ ( Singular–Non‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﺩﺩﻫﺎ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍ ‪ .‬ﺜﻡ ﻴﺘﻡ ﺒﻌﺩ‬
‫ﺫﻟﻙ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ ،‬ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬
‫ﺍﻟﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﻬﺎ ﻟﻠﻭﺼﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪.‬‬
‫ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪:‬‬
‫ﻴﺴﺘﻨﺩ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻓﺘﺭﺍﺽ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﻐﻴﺭ‬
‫ﺘﺎﺒﻊ ‪ Yi‬ﻭﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ X1,X2,...XK‬ﻭﺤﺩ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ‪ ، Ui‬ﻭﻴﻌﺒﺭ‬
‫ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل‪ n‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻭ‪ k‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ ،‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‬
‫ﺁﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫)‪Yi = B0 + B1Xi1 + B2Xi1 + … + BKXik + Ui …. (1‬‬
‫ﻭﻓﻲ ﻭﺍﻗﻊ ﺍﻵﻤﺭ ﻓﺎﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻴﺒﻠﻎ ﻋﺩﺩﻫﺎ )‪(n‬‬
‫ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺁﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪Y1 = B0 + B0X11 + B2X12 + … + BKX1K + U1‬‬
‫‪Y2 = B0 + B1X21 + B2X22 + … BKX2K + U2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. .. ..‬‬
‫…‬
‫…‬
‫…‬
‫‪..‬‬
‫‪…. .. ..‬‬
‫‪..‬‬
‫…‬
‫…‬
‫‪… ..‬‬
‫‪Yn = B0 + B1Xn1 + B2Xn2 + … + BKXnK + Un‬‬
‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺘﻀﻤﻥ )‪ (k+١‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺒﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‬
‫ﻤﻨﻬﺎ )‪ (B0‬ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ ،‬ﺍﻵﻤﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﻟﻠﺠﻭﺀ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺎﺕ‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﺎﺕ‪ .‬ﻋﻠﻴﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﻲ ﺼﻭﺭﺓ‬
‫ﻤﺼﻔﻭﻓﺎﺕ ﻭﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫) ‪…. ( 2‬‬
‫⎤ ‪⎡U 0‬‬
‫⎥ ‪⎢U‬‬
‫⎥‪⎢ 1‬‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣U n‬‬
‫‪+‬‬
‫⎤ ‪⎡ B0‬‬
‫⎥ ‪⎢B‬‬
‫⎥‪⎢ 1‬‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣ BK‬‬
‫⎤ ‪... X 1K‬‬
‫⎥⎥ ‪... X 2 K‬‬
‫‪...‬‬
‫⎥ ‪.‬‬
‫⎥‬
‫⎦ ‪... X nk‬‬
‫‪X 12‬‬
‫‪X 22‬‬
‫‪.‬‬
‫‪X n2‬‬
‫‪⎡1 X 11‬‬
‫‪⎢1 X‬‬
‫‪21‬‬
‫⎢‬
‫‪⎢.‬‬
‫‪.‬‬
‫⎢‬
‫‪⎣1 X n1‬‬
‫=‬
‫⎤ ‪⎡Y1‬‬
‫⎥ ‪⎢Y‬‬
‫⎥‪⎢ 2‬‬
‫⎥‪⎢.‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣Yn‬‬
‫ﻭﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ‬
‫‪Y = XB + U‬‬
‫‪ :Y‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ )‪ ( n+١‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪.‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪ : X‬ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ )‪ ( n × k+١‬ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤـﺴﺘﻘﻠﺔ‬
‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻤﻭﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪.‬‬
‫‪ :B‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ) ‪ (K + ١ ×١‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ‪.‬‬
‫‪ :U‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ )‪ (n ×١‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺨﻁﺎﺀ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪.‬‬
‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (1‬ﻫﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴـﺔ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟـﺔ ﻭﺍﻟﻤـﺭﺍﺩ ﺘﻘـﺩﻴﺭﻫﺎ‬
‫ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻹﺤﺼﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻭﻓﺭﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ ، Y ،‬ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤـﺴﺘﻘﻠﺔ ‪،‬‬
‫‪ ، X1,X2,..XK‬ﻓﺎﻨﻪ ﻴﺴﺘﻭﺠﺏ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻔﺭﻭﺽ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺏ‪ Ui‬ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫) ‪Ui ~ N ( 0 , σ 2 I n‬‬
‫ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ‪ Ui‬ﻴﺘﻭﺯﻉ ﺘﻭﺯﻴﻌﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ )‪ (N‬ﻤﺘﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻟﻤﺘﺠـﻪ ﻭﺴـﻁﻪ‬
‫ﺼﻔﺭﻱ )‪ (٠‬ﻭﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻫﻲ ) ‪. ( σ 2 In‬‬
‫ﻓﺭﻀﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪:‬‬
‫ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ OLS‬ﻓﻲ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪ ،‬ﻓﺎﻨﻪ‬
‫ﻴﺠﺏ ﺘﻭﺍﻓﺭ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﺎﺕ ﺁﻻﺘﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ -١‬ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺤﺩ ﺍﻟﺨﻁﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍ ﺃﻱ ﺃﻥ ‪: E ( Ui ) = ٠ ،‬‬
‫⎤ ‪⎡0‬‬
‫⎥ ‪⎢0‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎥‪⎢.‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣0‬‬
‫=‬
‫⎤ ) ‪⎡ E (U 1‬‬
‫⎥ ) ‪⎢ E (U‬‬
‫⎥ ‪2‬‬
‫⎢‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎢‬
‫⎥‬
‫⎦) ‪⎣ E (U n‬‬
‫=‬
‫⎤ ‪⎡U 1‬‬
‫⎥ ‪⎢U‬‬
‫⎥‪⎢ 2‬‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣U n‬‬
‫‪E (Ui) = E‬‬
‫‪ -٢‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺜﺎﺒﺕ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍ ‪ ،‬ﺃﻱ‬
‫ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Cov (U) = E ( U U ′ ) = σ In‬‬
‫] ‪Un‬‬
‫⎤ ‪U 1U n‬‬
‫⎥‬
‫⎥ ‪U 2U n‬‬
‫⎥ ‪.‬‬
‫⎥‬
‫⎦⎥ ‪U n2‬‬
‫⎤ ) ‪.... E (U 1U n‬‬
‫⎥‬
‫⎥) ‪.... E (U 2U n‬‬
‫⎥‬
‫‪.....‬‬
‫‪.‬‬
‫⎥‬
‫⎥⎦ ) ‪E (U n2‬‬
‫‪....‬‬
‫⎤ ‪⎡U 1‬‬
‫⎥ ‪⎢U‬‬
‫‪U U ′ ) = E ⎢ 2 ⎥ [U 1 U 2 ...‬‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎦ ‪⎣U n‬‬
‫‪⎡ U 12‬‬
‫‪U 1U 2 ...‬‬
‫⎢‬
‫‪UU‬‬
‫‪U 22‬‬
‫‪...‬‬
‫‪= E ⎢⎢ 2 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫⎢‬
‫‪⎢⎣U nU 1 U nU 2 ...‬‬
‫) ‪⎡ E (U 12‬‬
‫) ‪E (U 1U 2‬‬
‫⎢‬
‫) ‪E (U U‬‬
‫) ‪E (U 22‬‬
‫‪= ⎢⎢ 2 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫⎢‬
‫) ‪⎣⎢ E (U nU 1 ) E (U nU 2‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫(‪E‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٣‬‬
‫⎤‪.... Cov(U 1U n 0‬‬
‫⎥⎥ ) ‪.... Cov(U 2U n‬‬
‫⎥‬
‫‪....‬‬
‫‪.‬‬
‫⎥‬
‫⎦ ) ‪.... Var (U n‬‬
‫) ‪Cov(U 1U 2‬‬
‫) ‪⎡ var(U 1‬‬
‫) ‪⎢Cov(U U ) Var (U‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫⎢‬
‫⎢‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫⎢‬
‫) ‪⎣Cov(U nU 1 ) Cov(U nU 2‬‬
‫=‬
‫‪var (Ui) = E( U i2 ) = σ 2‬‬
‫‪Q Cov ( U iU j ) = E (U iU j ) = 0 , I # j‬‬
‫‪Q‬‬
‫⎤‪0‬‬
‫⎥‬
‫⎥ ‪...... 0‬‬
‫⎦⎥ ‪...... σ n2‬‬
‫‪......‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ‪= ....... = σ n2 :‬‬
‫‪σ 22‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪⎡σ 12‬‬
‫‪E( UU ′) = ⎢⎢ 0‬‬
‫‪⎢0‬‬
‫⎣‬
‫‪σ 12‬‬
‫⎤‪⎡1 0 ..... 0‬‬
‫⎥⎥‪σ 2 ⎢⎢0 1 ...... 0‬‬
‫⎦⎥‪⎢⎣0 0 ...... 1‬‬
‫=‬
‫‪= σ 2 In‬‬
‫ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﺒﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺒـﺎﻴﻥ ﻭﺍﻟﺘﺒـﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤـﺸﺘﺭﻙ –‬
‫‪ Variance Covariance Matrix‬ﻟﺤﺩ ﺍﻟﺨﻁﺎ‪ ، U‬ﺤﻴﺙ ﺘﺸﻜل ﺍﻟﻌﻨﺎﺼـﺭ‬
‫ﺍﻟﻘﻁﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ‪ ،‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ U‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻘﻁﺭﻴـﺔ )‬
‫ﺃﻋﻠﻰ ﻭﺍﺴﻔل ﺍﻟﻘﻁﺭ ( ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻻﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻙ ﻭﺍﻟﺘﺭﺍﺒﻁ ﺒﻴﻥ‬
‫ﻗﻴﻡ ‪. Ui‬‬
‫‪ -٣‬ﻟﻴﺱ ﻫﻨﺎﻙ ﻋﻼﻗﺔ ﺨﻁﻴﺔ ﺘﺎﻤﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴـﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤـﺴﺘﻘﻠﺔ ﻜﻤـﺎ ﻭﺍﻥ ﻋـﺩﺩ‬
‫ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﻴﺤﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺯﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪R (x) = k + 1 < n‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﺃﻥ )‪ (r‬ﺭﺘﺒﺔ ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ‪ (x) ،‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ )‪ (k‬ﺯﺍﺌـﺩﺍ‬
‫)‪ (١‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ ،‬ﻭﻫﻲ ﺍﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤـﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )‪ . (n‬ﻭﻫـﺫﻩ ﺍﻟﻔﺭﻀـﻴﺔ‬
‫ﻀﺭﻭﺭﻴﺔ ﺠﺩﺍ ﻟﻀﻤﺎﻥ ﺃﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﻜﻭﺱ ﺍﻟﻤـﺼﻔﻭﻓﺔ ) ‪ ، ( x′x‬ﺇﺫ ﺃﻥ ﺍﻨﺘﻔـﺎﺀ ﻫـﺫﺍ‬
‫ﺍﻟﻔﺭﺽ ﻴﺠﻌل ﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ )‪ (X‬ﺍﻗل ﻤﻥ ) ‪ (K+١‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻥ ﺭﺘﺒﺔ ) ‪( x′x‬‬
‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻘﺩﺭﺍﺕ ‪ OLS‬ﺒـﺩﻭﺭﻫﺎ ﺍﻗـل ﻤـﻥ )‪(K+١‬‬
‫ﻭﻻﻴﻤﻜﻥ ﺃﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﻜﻭﺴﻬﺎ ﺒﺴﺒﺏ ﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﺒﻤﺸﻜل ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺨﻁـﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌـﺩﺩ ‪،‬‬
‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻘﺩﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ ‪. OLS ،‬‬
‫ﻁﺭﻕ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪:‬‬
‫ﻓﻲ ﻀﻭﺀ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ OLS‬ﻓﻲ ﺘﻘﺩﻴﺭ‬
‫ﻤﻌﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪ ،‬ﻭﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻐﺭﺽ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒـﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ )‪(1‬‬
‫ﺒﺼﻴﻐﺘﻬﺎ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﻴﺔ ﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪Yˆi = Bˆ 0 + Bˆ1 X i1 + Bˆ 2 X i 2‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٣‬‬
‫‪٤‬‬
‫ﻭﻟﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻫﺩﻓﻨﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ ﻜل ﻤﻥ ‪ Bˆ 0 , Bˆ1 , Bˆ 2‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ﻤﺠﻤـﻭﻉ‬
‫ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻗل ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ‪ ،‬ﺃﻱ ﺘﺼﻐﻴﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ ) ∑ ei2‬ﻤﺒﺩﺍ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌـﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ ( ﺇﻟﻰ ﺍﻗل ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ‪ ،‬ﺃﻱ ‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Min → ∑i =1 ei2‬‬
‫‪Q ei = YI − Yˆi‬‬
‫‪= ∑ (YI − Yˆi ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪∑e‬‬
‫ﻭﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﻥ ‪ Yˆi‬ﺒﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻴﻬﺎ ﻭﺍﺨﺫ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟـﻰ‬
‫‪ Bˆ 2 , Bˆ1 , Bˆ 0‬ﻭﻤﺴﺎﻭﺍﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺼﻔﺭ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬
‫‪= ∑ (Yi − Bˆ 0 − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪∑e‬‬
‫‪δei2‬‬
‫‪= 2∑ (Yi − Bˆ 0 − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 )(−1) = 0‬‬
‫‪δBˆ 0‬‬
‫‪-2 ∑ (Yi − Bˆ 0 − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) = 0‬‬
‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (٢-‬ﻭﻓﻙ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫‪− Bˆ 2 ∑ X i 2 = 0‬‬
‫‪+ Bˆ 2 ∑ X i 2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪− Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 )(− X i1 ) = 0‬‬
‫‪∑ Y − nBˆ − Bˆ ∑ X‬‬
‫‪∑ Y = nBˆ + Bˆ ∑ X‬‬
‫‪δ ∑e‬‬
‫ˆ‪= 2∑ (Y − B‬‬
‫ˆ‪δB‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ )‪ (٢-‬ﻭﻓﻙ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫‪− 2∑ X i1 (Yi − Bˆ 0 − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) = 0‬‬
‫‪∑ X Y − Bˆ ∑ X − Bˆ X − Bˆ ∑ X x = 0‬‬
‫‪∑ X Y = Bˆ ∑ X + Bˆ ∑ X + Bˆ ∑ X X‬‬
‫‪δ ∑e‬‬
‫‪= 2∑ (Y − Bˆ − Bˆ X − Bˆ X )(− X ) = 0‬‬
‫ˆ‪δB‬‬
‫‪i1 i 2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪i1 i‬‬
‫‪i1 i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 2∑ X i 2 (Yi − Bˆ 0 − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) = 0‬‬
‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (٢-‬ﻭﻓﻙ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫‪Y − Bˆ 0 ∑ X i 2 − Bˆ1 ∑ X i1 X i 2 − Bˆ 2 ∑ X i22 = 0‬‬
‫‪i2 i‬‬
‫)‪(٥‬‬
‫‪Y i= Bˆ 0 ∑ X i 2 + Bˆ1 ∑ X i1 X i 2 + Bˆ 2 ∑ X i22‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪∑X‬‬
‫‪∑X‬‬
‫ﻭﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ )‪ ( ٤) ، (٣‬ﻭ )‪ (٥‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﺘﻲ ﺘـﺴﺘﺨﺩﻡ‬
‫ﻓﻲ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ‪ . Bˆ 2 , Bˆ1 , Bˆ 0‬ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺤﻠﻬـﺎ‬
‫ﺒﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺁﻻﺘﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٤‬‬
٥
: ‫ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺍﺕ‬: ‫ﺃﻭﻻ‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﻜﺭﺍ ﻴﻤﺭ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ‬
: ‫ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻤﺎﺕ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺁﻻﺘﻲ‬Bˆ K
∑ Y = nBˆ + Bˆ ∑ X + Bˆ ∑ X
∑ X Y = Bˆ ∑ X + Bˆ ∑ X + Bˆ ∑ X
0
i
i1 i
1
0
i1
i1
∑ X Y = Bˆ ∑ X
⎡ ∑Y ⎤ ⎡ n
⎥ ⎢
⎢
⎢∑ X Y ⎥ = ⎢∑ X
⎢ ∑ X Y ⎥ ⎢∑ X
⎦ ⎣
⎣
i2 i
0
2
i2
2
i1
1
i2
i1
i2 i
i2
i1
X i2
+ Bˆ1 ∑ X i 2 + Bˆ 2 ∑ X i22
∑X
∑X
∑X X
∑X
∑X X
∑X
⎤
⎥
i1 i 2 ⎥
2
⎥
i2 ⎦
i1
2
i1
i
i1 i
2
i1
i2
i2
: ‫ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺍﺕ ﺁﻻﺘﻴﺔ‬، ‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻋﻼﻩ‬
∑Y
∑X
∑X
|D| = ∑ X Y ∑ X
∑X X
∑X Y ∑X X
∑X
n
∑Y
∑X
|N1| = ∑ X ∑ X Y ∑ X X
∑X ∑X Y ∑X
n
∑X
∑Y
|N2| = ∑ X
∑X
∑X Y
∑X ∑X X ∑X Y
n
∑Y
∑X
∑X ∑X Y ∑X X
|N |
∑X ∑X Y ∑X
Bˆ =
=
|D|
∑Y
∑X
∑X
∑X Y ∑X
∑X X
∑X Y ∑X X
∑X
n
∑Y
∑X
∑X ∑X Y ∑X X
|N |
∑X ∑X Y ∑X
Bˆ 2 =
=
|D|
∑Y
∑X
∑X
∑X Y ∑X
∑X X
∑X Y ∑X X
∑X
i1
2
i1
i
i1 i
i2 i
i1
i2
i1
i2
1
i1
i2
i1 i
i2
i1
i1
2
i1
i2
i1
i2
2
i2
i2 i
i1
i2
2
i2
i
i1 i
i2
i2 i
i2
i
i1
i1 i
i2
i2 i
i1 i
i1
2
i1
1
i1
i2
2
i2
1
i
i2 i
i1
i2
i1
i2
i2
i
i1
i1 i
i2
i2 i
i1 i
i1
2
i1
2
i
i2 i
i1
i2
2
i2
i1
i2
2
i2
i2
i1
i2
i2
2
i2
: ‫ ﻓﻴﺘﻡ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻴﻪ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ‬Bˆ 0 ‫ﺃﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ل‬
Bˆ 0 = Y − Bˆ1 X 1 − Bˆ 2 X 2
٥
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٦‬‬
‫ﺜﺎﻨﻴﺎ ‪ :‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ‪:‬‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺃﺴﻠﻭﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺃﻭ ﻤﺎ‬
‫ﻴﺴﻤﻰ ﺒﺎﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ‪ ،‬ﺃﻱ ﺍﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻋﻥ ﻭﺴﻁﻬﺎ ﻭﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫ﻭﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻐﺭﺽ ﻨﺄﺨﺫ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﻴﻥ ‪ X1‬ﻭ ‪:X2‬‬
‫‪Yˆi = Bˆ 0 + Bˆ1 X i1 + Bˆ 2 X i 2 + ei‬‬
‫ﻭﺒﺂﺨﺫ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬
‫‪ei = 0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪Y = Bˆ 0 + Bˆ1 X 1 + Bˆ 2 X 2 + ei‬‬
‫‪Yˆi − Y = Bˆ1 ( X i1 − X 1 ) + Bˆ 2 ( X i 2 − X 2 ) + ei‬‬
‫‪yˆ i = Bˆ 1 X i1 + Bˆ 2 X i 2 + ei‬‬
‫ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ‬
‫‪=Y‬‬
‫‪:Y‬‬
‫‪Yˆi = Bˆ 0 + Bˆ 1 X i‬‬
‫ﻭﺒﺎﺩﺨﺎل ∑ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬
‫‪= nBˆ 0 + Bˆ1 ∑ X i‬‬
‫ﻭﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪: n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪∑X‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪........ (٦‬‬
‫)‪...... (٧‬‬
‫‪i‬‬
‫ˆ‪∑ Y‬‬
‫ˆ ‪n‬‬
‫‪+ B1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0 n‬‬
‫‪Yi = Bˆ 0 + Bˆ 1 X i‬‬
‫‪∴ Bˆ = Y − Bˆ X‬‬
‫ˆ‪= B‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪..........(٨‬‬
‫ﻭﺒﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (٨‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (٦‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫ˆ‪∑ Y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∴ Y = Bˆ 0 + Bˆ1 X 1‬‬
‫‪Yi − Y = Bˆ 0 + Bˆ1 X i − Bˆ 0 − Bˆ1 X i‬‬
‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻻﻴﻤﻥ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫‪Yˆi − Y = 0‬‬
‫ﻭﻤﻨﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬
‫‪∴ Yˆi = Y‬‬
‫‪or‬‬
‫) ‪( I=1,2,3,……,n‬‬
‫)‪…(٩‬‬
‫‪yi = Bˆ1 X i1 + Bˆ 2 X i 2 + ei‬‬
‫ﻭﻓﻲ ﻭﺍﻗﻊ ﺍﻷﻤﺭ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻴﺒﻠﻎ ﻋﺩﺩﻫﺎ ‪n‬‬
‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬
‫‪Y1 = B1 X 11 + B 2 X 12 + ........ + BK X 1K + e1‬‬
‫‪B1 X 21 + B 2 X 22 + ........ + BK X 2 K + e2‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫= ‪Y2‬‬
‫‪٦‬‬
‫‪٧‬‬
‫‪……….‬‬
‫………‬
‫‪B1 X n1 + B 2 X n 2 + ........ + B K X nK + en‬‬
‫‪….‬‬
‫= ‪yn‬‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﻓﻲ ﻫﻴﺌﺔ ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﻭﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬
‫⎤ ‪X 1K ⎤ ⎡ Bˆ1 ⎤ ⎡ e1‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎥⎥ ‪... X 2 K ⎥⎥ ⎢ Bˆ 2 ⎥ ⎢⎢e2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪.‬‬
‫⎥ ‪. ⎥⎢ . ⎥ ⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥‬
‫⎦ ‪... X nk ⎦ ⎣⎢ Bˆ K ⎦⎥ ⎣en‬‬
‫‪...‬‬
‫‪X 12‬‬
‫‪X 22‬‬
‫‪.‬‬
‫‪X n2‬‬
‫‪⎡ y1 ⎤ ⎡ X 11‬‬
‫‪⎢y ⎥ ⎢X‬‬
‫‪⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21‬‬
‫‪⎢ . ⎥ ⎢ .‬‬
‫⎢ ⎥ ⎢‬
‫‪⎣ y n ⎦ ⎣ X n1‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺫﻟﻙ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺎﺕ ‪:‬‬
‫‪Bˆ + e‬‬
‫‪Y=x‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪ :Y‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ) ‪ (n ×١‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪.‬‬
‫‪ :X‬ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ) ‪ ( n × k – ١‬ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺤﻴﺙ ﺃﻨﻬﺎ ﻻ ﺘﺘﻀﻤﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ .‬ﺤﻴﺙ‬
‫ﻴﻤﻜﻥ ﺒﺫﻟﻙ ﺍﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ Bˆ 0‬ﻤﻥ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ‬
‫ﺁﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪Bˆ 0 = Y − Bˆ1 X 1 − Bˆ 2 X 2‬‬
‫‪or‬‬
‫) ‪Bˆ 0 = Y − ( Bˆ1 X 1 − Bˆ 2 X 2‬‬
‫ˆ‪ : B‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ) ‪ ( K – ١ ×١‬ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ‪.‬‬
‫‪ : E‬ﻤﺘﺠﻪ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ) ‪ ( n ×١‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻭﺍﻗﻲ ‪.‬‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻭﺼل ﺍﻟﻰ ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺒﺎﺘﺒﺎﻉ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﺒﺎﻋﺎﺩﺓ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ‪ ( ٧ . ٤‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪ei = y i − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2‬‬
‫ﻭﻟﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻓﻀل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﺼﻐﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻼﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺘﺘﻡ‬
‫ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺘﺭﺒﻴﻌﻬﺎ ﻭﺒﺠﻌل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺘﻬﺎ ﺍﺼﻐﺭ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ‪ .‬ﻭﺒﺄﺨﺫ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬
‫ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ‪ Bˆ1 , Bˆ1‬ﻭﻤﺴﺎﻭﺍﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺼﻔﺭ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬
‫) ‪∑ e = ∑ ( y − Bˆ x − Bˆ x‬‬
‫‪δ ∑e‬‬
‫‪= 2∑ ( y − Bˆ x − Bˆ X‬‬
‫ˆ‬
‫‪δB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪)(− xi1 ) = 0‬‬
‫‪1 i1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 i1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 2∑ X i1 ( y i − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) = 0‬‬
‫ﻭﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (٢-‬ﻭﻓﻙ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬
‫‪− Bˆ 2 ∑ X i1 X i 2 = 0‬‬
‫‪+ Bˆ 2 ∑ X i1 X i 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪∑ X y − Bˆ ∑ X‬‬
‫‪∑ x y = Bˆ ∑ X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i1‬‬
‫) ‪... ( ١٠‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٧‬‬
‫‪٨‬‬
‫‪= 2∑ ( y i − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 )(− X i 2 ) = 0‬‬
‫‪δ ∑ ei2‬‬
‫‪δBˆ 2‬‬
‫‪− 2∑ xi 2 ( y i − Bˆ1 X i1 − Bˆ 2 X i 2 ) = 0‬‬
‫ﻭﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (٢-‬ﻭﻓﻙ ﺍﻟﻘﻭﺱ ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ‪:‬‬
‫‪y i − Bˆ1 ∑ X i1 X i 2 − Bˆ 2 ∑ X i22 = 0‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪y i = Bˆ1 ∑ X i1 X i 2 + Bˆ 2 ∑ X i22‬‬
‫‪i2‬‬
‫)‪...(11‬‬
‫‪∑X‬‬
‫‪∑X‬‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﻭﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫⎤ ‪⎤ ⎡ Bˆ1‬‬
‫⎥ ˆ ⎢⎥‬
‫⎦ ‪⎥⎦ ⎣ B2‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪⎡ ∑ X i1 y i ⎤ ⎡ ∑ X i21‬‬
‫⎢=⎥‬
‫⎢‬
‫‪X‬‬
‫‪y‬‬
‫∑‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪⎦ ⎢⎣∑ X i1 X i 2‬‬
‫⎣‬
‫‪∑X X‬‬
‫‪∑X‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i2‬‬
‫ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻋﻼﻩ ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻋﺎﺩﺓ ﻜﺘﺎﺒﺘﻪ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬
‫ˆ‪x ′y = ( x ′x) B‬‬
‫‪−1‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ ﺒﺄﺴـﻠﻭﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓـﺎﺕ ﻴﺄﺨـﺫ‬
‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪Bˆ = ( X ′X ) −1 X ′Y‬‬
‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺤﺘﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ X ′Y‬ﻭﻤﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺔ | ‪ | X ′X‬ﺍﻟـﺫﻱ ﻴﻨﺒﻐـﻲ ﺃﻥ ﻻ‬
‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼـﻔﺭﺍ ﻨﻭﺠـﺩ ﻤﻘﻠـﻭﺏ ﺍﻟﻤـﺼﻔﻭﻓﺔ ﺍﻟـﺫﻱ ﻫـﻭ ﻋﺒـﺎﺭﺓ ﻋـﻥ‬
‫)‪adj ( x ′x‬‬
‫| ‪| x ′x‬‬
‫= ‪( X ′X ) −1‬‬
‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺃﻋﻼﻩ ‪ .‬ﺃﻤﺎ‬
‫‪Bˆ 0‬‬
‫ﻓﻴﻤﻜﻥ ﺤـﺴﺎﺒﻪ‬
‫ﺒﻤﻭﺠﺏ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺁﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪Bˆ 0 = Y − Bˆ1 X 1 − Bˆ 2 X 2‬‬
‫ﻫﺫﺍ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺒﺎﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺭﺠﻭﻉ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ‬
‫ﻭﻜﻤﺎ ﻤﺒﻴﻥ ﺃﺩﻨﺎﻩ ‪:‬‬
‫‪(∑ Yi ) 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(∑ Yi ) 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(∑ Yi ) 2‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(∑ X 1 )(∑ Y‬‬
‫‪n‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪= ∑ Yi −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪∑y‬‬
‫‪∑ y12 = ∑ Yi 2 −‬‬
‫‪∑ y 22 = ∑ Yi 2 −‬‬
‫‪∑x y = ∑X Y −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪٨‬‬
‫‪٩‬‬
‫) ‪(∑ X 1 )(∑ Y‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪(∑ X 1 )(∑ X 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪∑ x2 y = ∑ X Y −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= ∑ X1X 2 −‬‬
‫‪∑x x‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺤﺎﺴﻭﺏ ‪ ،‬ﻓﻘﺩ ﺍﺼﺒﺢ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﺎﺤﺙ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻱ ﺃﻥ‬
‫ﻴﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺃﺠﺎﺩﺘﻪ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺎﺕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬
‫ﺃﻤﺜﺎل ‪ ، ، SPSS ، EXCEL‬ﻭﻻﻴﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺼﻴﻎ ﺃﻋﻼﻩ ﻓﻲ‬
‫ﺍﻟﺠﻭﺍﻨﺏ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻥ ﺘﻡ ﻋﺭﻀﻬﺎ ﻫﻨﺎ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﻋﻤل ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‪.‬‬
‫ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺎﺕ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪:‬‬
‫ﻴﻬﺩﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﺇﻟﻰ ﺘﻭﺴﻴﻊ ﻤﻌﺎﺭﻓﻨﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﻭﺫﻟﻙ‬
‫ﺒﺄﺠﺭﺍﺀ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻭﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺇﺤﺼﺎﺀﻩ ‪F‬‬
‫ﻭﻤﻘﺎﺭﻨﺘﻪ ﺒﺎﺨﺘﺒﺎﺭ ‪ t‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻷﺩﺍﺀ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ‪R 2‬‬
‫ﻭﻤﻘﺎﺭﻨﺘﻪ ﺒﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩل ‪ ، R 2‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ‪ F‬ﻭ ‪R 2‬‬
‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ ، ANOVA ،‬ﺜﻡ ﻋﻼﻗﺔ ‪ R 2‬ﺒﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‬
‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ‪. ∑ ei2 ،‬‬
‫ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ )‪: (t‬‬
‫ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪ t‬ﻟﺘﻘﻴﻴﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ x1,x2,...xk‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‬
‫ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ y‬ﻓﻲ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻋﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻭﺽ ‪:‬‬
‫ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﻡ ‪B1 = B2 = B3 ...= BK = 0 H0‬‬
‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ‪B1 = B2 # B3 # ...BK = 0 H1‬‬
‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺤﺘﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ )‪ (t‬ﺘﻘﺎﺭﻥ ﻤﻊ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﺔ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﺒﻭل ﺍﻭ ﺭﻓﺽ ﻓﺭﻀﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﻌﺩﻡ ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ‪ ،‬ﻭﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻟﻬﺫﺍ‬
‫ﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺒﻴﺎﻨﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬
‫ﺍ – ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ‪Bˆ1‬‬
‫‪Bˆ1‬‬
‫ˆ‪S B‬‬
‫= ‪tBˆ1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S Bˆ = S 2 Bˆ1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S = var( Bˆ1 ) = S 2 ea11‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Bˆ1‬‬
‫‪var( Bˆ ) = S 2 e( x′x ) −1‬‬
‫‪∑y‬‬
‫‪e′e‬‬
‫‪Y ′Y − Bˆ ′X ′Y‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‪S e‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫) ‪− ( Bˆ1 ∑ x1 y + Bˆ 2 ∑ x2 y‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٩‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪١٠‬‬
‫ﺏ – ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺍﻟﻰ ‪: Bˆ 2‬‬
‫‪Bˆ 2‬‬
‫ˆ‪S B‬‬
‫= ˆ‪t B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S Bˆ = S 2 Bˆ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= var( Bˆ 2 ) = S 2 ea 22‬‬
‫‪e′e‬‬
‫= ‪S 2e‬‬
‫‪n − k −1‬‬
‫‪Bˆ 2‬‬
‫ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ‪R2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Multiple Coefficient of determination‬‬
‫ﻭﻴﻌﺩ ﻤﺅﺸﺭ ﺃﺴﺎﺱ ﻓﻲ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﻤﺩﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ )‪(Y‬‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ) ‪ ( XK‬ﺇﺫ ) ‪ ، ( k = ١ ، ... ، k‬ﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻫﻭ ﻤﻘﻴﺎﺱ‬
‫ﻴﻭﻀﺢ ﻨﺴﺒﺔ ﻤﺴﺎﻫﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﻲ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﺎﺼل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‬
‫ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ .‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺸﺘﻘﺎﻗﻪ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﺼﻔﻭﻓﺎﺕ ﺒﺎﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪Q y = xBˆ + e‬‬
‫ˆ‪e = y − B‬‬
‫) ˆ‪e′e = ( y − xBˆ )′( y − xB‬‬
‫ˆ‪e′e = y ′y − y ′xBˆ − x ′Bˆ ′y + Bˆ ′x ′xB‬‬
‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻜﻤﺎ ﻭﺍﻥ ﻜﻼ ﻤﻨﻬﺎ ﻴﻤﺜل ﻤﺒﺩﻻ ﻟﻶﺨﺭ ﻓﺎﻥ‬
‫‪:‬‬
‫ˆ‪∴ e′e = y ′y − 2 Bˆ x ′y + Bˆ ′x ′y + Bˆ ′x ′xB‬‬
‫‪∴ Bˆ = ( x ′x) −1 x ′y‬‬
‫‪( x ′x) = Bˆ = x ′y‬‬
‫‪e′e = y ′y − 2 Bˆ ′x ′y + Bˆ ′x ′y‬‬
‫‪e′e = y ′y − Bˆ ′x ′y‬‬
‫ﺒﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻜﺂﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫‪y ′y = Bˆ x ′y − e′e‬‬
‫ﺇﺫ ﺃﻥ ‪:‬‬
‫‪ :‬ﺘﻤﺜل ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪y ′y‬‬
‫‪ : Bˆ ′x′y‬ﺘﻤﺜل ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻤﻥ ﻗﻴل ﺨﻁ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ‪.‬‬
‫‪ : e′e‬ﺘﻤﺜﻼ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ‪.‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٠‬‬
‫‪١١‬‬
‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ‪ R2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻤﻥ‬
‫ﻗﻴل ﺨﻁ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻓﺎﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪ ، Total variation ،‬ﻓﺎﻨﻪ‬
‫ﻴﻤﺜل ﻨﺴﺒﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ‬
‫ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪Bˆ x ′y Bˆ ′x ′y‬‬
‫=‬
‫‪y ′y‬‬
‫‪∑ y2‬‬
‫= ‪∴ R2‬‬
‫‪e′e‬‬
‫‪y ′y − nY 2‬‬
‫‪Bˆ1 ∑ x1 y + Bˆ 2 ∑ x 2 y‬‬
‫‪R2 = 1−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∑y‬‬
‫= ‪R2‬‬
‫ﺃﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺭﻓﻊ ﻗﻴﻤﺔ ‪ ، R2‬ﻭﺫﻟﻙ‬
‫ﻟﺜﺒﺎﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭﺘﻐﻴﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺒﺴﻁ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ )‪ ( Bˆ xy‬ﻏﻴﺭ ﺃﻥ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺴﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺍﻨﺨﻔﺎﺽ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ‬
‫‪-2‬‬
‫)‪ ، ( n-k-1‬ﻤﻤﺎ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺼﺤﺢ ‪ R‬ﻭﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬
‫⎤ ‪n −1‬‬
‫⎡‬
‫) ‪R 2 = ⎢(1 − R 2‬‬
‫⎦⎥ ‪n − k − 1‬‬
‫⎣‬
‫ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪Statistics–F ، F‬‬
‫ﻴﺴﺘﻬﺩﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺩﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ X1 , X2 , ...XK‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ ، Y‬ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬
‫ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ﻓﺄﻨﻪ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻋﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻭﺽ ‪:‬‬
‫ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﻡ ‪ : H0‬ﻭﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻜل ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪ Xk …X1, X2,‬ﻭﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ ، Y‬ﺃﻱ ‪:‬‬
‫‪H 0 : Bˆ1 = Bˆ 2 = Bˆ K = 0‬‬
‫ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ‪ :H1‬ﻭﺘﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﻼﻗﺔ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ ،‬ﺃﻱ ‪:‬‬
‫ﻭﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ﻫﻲ ‪:‬‬
‫‪H 1 : Bˆ1 # Bˆ 2 #...Bˆ k #0‬‬
‫‪Bˆ ′x′ylk‬‬
‫‪e′e ln − k − 1‬‬
‫=‪F‬‬
‫‪or‬‬
‫‪R 2lk‬‬
‫‪1 − R 2 ln − k − 1‬‬
‫=‪F‬‬
‫ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺤﺘﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ‪ F‬ﺘﻘﺎﺭﻥ ﻤﻊ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﺔ ﺒﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﻴﺔ )‪ (k‬ﻭ )‪( n-k-1‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١١‬‬
‫‪١٢‬‬
‫ﻟﻠﺒﺴﻁ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﻴﻥ ‪ .‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺘﺴﺒﺔ ﺍﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬
‫ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﺔ ﺘﺭﻓﺽ ‪ H0‬ﻭﺘﻘﺒل ‪ H1‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ‪ ،‬ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻷﻗل ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﺴﺘﻘل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ XK‬ﺫﻭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻓﻲ ‪ . Y‬ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺤﺘﺴﺒﺔ ﺍﺼﻐﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭﻟﻴﺔ ﻓﺎﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﻌﻨﻲ ﻗﺒﻭل ‪ H0‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺃﻱ ﺍﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﺜﻤﺔ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺃﻱ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‬
‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪.‬‬
‫ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪: ANOVA ،‬‬
‫ﻟﻐﺭﺽ ﺍﻟﻭﻗﻭﻑ ﻋﻠﻰ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻜل ﻤﻥ ‪ X2 ،X1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺘﺎﺒﻊ ‪ ، Y‬ﻻﺒﺩ‬
‫ﻤﻥ ﻋﻤل ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻟﺒﻴﺎﻥ ﺍﺜﺭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﻴﻥ ‪ X2، X1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ‪.‬‬
‫ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪F‬‬
‫‪Bˆ ′x ′ylk‬‬
‫‪e′e ln − k − 1‬‬
‫=‪F‬‬
‫ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‬
‫ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ‬
‫ﻤﺘﻭﺴﻁ‬
‫ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﺨﻁﺎ‬
‫‪K‬‬
‫‪Bˆ ′x ′ylk‬‬
‫‪e′e ln − k − 1‬‬
‫ﻤﺠﻤﻭﻉ‬
‫ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﺨﻁﺎ‬
‫‪Bˆ ′x ′y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n − k − 1‬‬
‫‪e′e‬‬
‫‪n−k‬‬
‫‪y ′y‬‬
‫ﻤﺼﺩﺭ‬
‫ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ‬
‫ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬
‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﻤﻥ‬
‫ﻗﺒل ‪x2,x1‬‬
‫ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬
‫ﻏﻴﺭ‬
‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ‬
‫ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬
‫ﺍﻟﻜﻠﻲ‬
‫ﻗﻴﺎﺱ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻘﺔ ‪:‬‬
‫ﻻﺤﺘﺴﺎﺏ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻘﺔ ﻻﻴﺔ ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ )ﻨﻘﻁﺔ ( ﻤﻥ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ ﺨﻁ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬
‫ﻟﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻭ ﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﺍﺨﺭﻯ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺍل ‪ Y‬ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ‬
‫ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﻴﻥ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ‪ .‬ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺍﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ‬
‫ﺜﻘﺘﻬﺎ ﻫﻲ )‪ . E(Y0‬ﻭﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻥ ﺘﻘﻊ ﻓﻴﻪ ﻗﻴﻤﺔ )‪ E(Y0‬ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ‬
‫ﻟﺘﺸﻜﻴﻠﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ )‪ (K‬ﻴﺠﺏ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪.E(Y0‬‬
‫] ‪X 0 = [1X 01 X 02 ... X 0 K‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٢‬‬
‫‪١٣‬‬
‫⎤ ‪⎡ Bˆ 0‬‬
‫⎥ ˆ ⎢‬
‫⎥ ‪⎢ B1‬‬
‫ˆ‬
‫⎥ ‪Y0 = [1X 01 X 02 ... X 0 K ]⎢ .‬‬
‫⎥ ⎢‬
‫⎥ ‪⎢ .‬‬
‫⎥ ˆ‪⎢ B‬‬
‫⎦‪⎣ K‬‬
‫‪Yˆ0 = Bˆ 0 + B/ˆ1 X 01 + ... + Bˆ K X 0 K‬‬
‫ﻭﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ ‪:‬‬
‫ˆ‪Yˆ0 = X 0 B‬‬
‫ﻭﻟﻐﺭﺽ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺒﺘﻘﺩﻴﺭ ﻓﺘﺭﺍﺕ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ )‪ E(Y0‬ﻴﺠﺏ‬
‫ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ) ‪ (Yˆ0‬ﻭﻜﺎﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫ﻻﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﻓﺎﻨﻨﺎ ﻨﺎﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ل ) ‪: (Yˆ0‬‬
‫) ˆ‪E (Yˆ0 ) = E ( X 0 B‬‬
‫) ˆ‪E (Yˆ ) = X E ( B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Q E ( Bˆ ) = B‬‬
‫‪∴ E (Yˆ0 ) = X 0 B‬‬
‫ﻭﻻﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ‪:‬‬
‫}‪(Yˆ0 ) = E{(Yˆ0 − E (Yˆ0 )(Yˆ0 − E (Yˆ0 ) ′‬‬
‫‪Var‬‬
‫}‪= E{(Yˆ0 − X 0 B)(Yˆ0 − X 0 B )′‬‬
‫ˆ‪Q Yˆ = X B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫}‪∴ var(Yˆ0 ) = E{( X 0 Bˆ − X 0 B)′‬‬
‫‪= X {E ( Bˆ − B)( Bˆ − B)′} X ′‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= σ X 0 ( X ′X ) X 0′‬‬
‫) ‪ var(Yˆ0‬ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪ ، S 2 (Yˆ0‬ﻓﺎﻥ ‪:‬‬
‫‪S 2 (Yˆ ) = S 2 X ( X ′X ) −1 X ′‬‬
‫‪−1‬‬
‫ﻭﺍﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﻴﺔ ﻟﺘﺒﻠﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻘﺔ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ) ‪ E (Y0‬ﺘﻜﻭﻥ ‪:‬‬
‫) ‪E (Y0 ) = Yˆ0 m tαl 2 .S (Yˆ0‬‬
‫) ‪E (Y0 ) = X 0 Bˆ m TαL 2 .S (Yˆ0‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٣‬‬
‫‪١٤‬‬
‫ﺍﻭﻻ ‪:‬ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ ﻟﻼﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‬
‫ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻻﺜﺭ ﺍﻭ ﺍ ﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ )ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻭﺍﺤﺩ( ﻤﻥ ﺨﻼل ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻭﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻻﺘﻲ‪:‬‬
‫)‪….(1‬‬
‫)‪Y = f (X1, X2, X3‬‬
‫ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺭﻴﺩ ﺍﻥ ﻨﻌﺭﻑ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪ X1‬ﻭ ‪ X2‬ﻭ ‪ X3‬ﻋﻠﻰ‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ ، Y‬ﻭﻨﺴﺘﻌﻴﻥ ﺒﻌﻠﻡ ﺍﻻﺤﺼﺎﺀ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﻔﺔ ﺍﻟﺫﻜﺭ ‪.‬‬
‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﻴﺔ ﺤﺴﺏ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ )ﺒﺎﻟﻨﺴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ (١‬ﺘﻜﻭﻥ ﻭﻓﻕ ﺍﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫)‪Y = a + b X1 + c X2 + d X3 + u …………….. (2‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ‪:‬‬
‫ِ‪ : a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‬
‫‪ : d ، c ، b‬ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ )ﻤﻴﻭل( ‪.‬‬
‫‪ ، U‬ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺨﻁﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﺍﻭ ﺍﻟﺨﻁﺎ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ‬
‫ﻭﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻴﺔ ) ‪Ordinary Least‬‬
‫‪ ، (Squares‬ﻭﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻲ ‪ SPSS‬ﻴﻘﻭﻡ ﺒﺸﻜل ﺘﻠﻘﺎﺌﻲ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬
‫)‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﻭ ‪( d‬‬
‫ﺜﺎﻨﻴﺎ ‪ :‬ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‬
‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ )ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﻭ ‪ ( d‬ﻴﺠﺏ‬
‫ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺍﻥ ﻨﺒﻴﻥ ﻫل ﺍﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺎﺤﻴﺔ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‬
‫ﺍﺤﺼﺎﺌﻴﺎ( ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﻟﻜل ﻤﻌﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺤﺩﺓ ‪ ،‬ﻟﻜﻲ ﻨﺤﻜﻡ ﻋﻠﻰ‬
‫ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﻨﺴﺘﻌﻴﻥ ﺒﺎﺨﺘﺒﺎﺭ ‪ T‬ﺍﻭ ﺍﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ ، t‬ﻭﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻬﺎ ‪ ،‬ﻭﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ‪ SPSS‬ﻴﻘﻭﻡ ﺘﻠﻘﺎﺌﻴﺎ ﺒﺎﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪ t‬ﻭﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻬﺎ‪.‬‬
‫ﺜﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻻﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬
‫‪2- 2‬‬
‫ﻫﻨﺎﻙ ﺍﺤﺼﺎﺌﻴﺎﺕ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻻﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ ﻭﻤﻨﻬﺎ ‪، R R R‬‬
‫ﺍﻻﻭل ‪ R‬ﻫﻲ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ )ﻴﻘﻴﺱ ﻗﻭﺓ ﺍ ﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺍﻭ ﺍﻜﺜﺭ (‬
‫ﺍﻤﺎ ‪ R2‬ﻓﻬﻭ ﻴﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ‪ ،‬ﻭﻫﻭ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ‬
‫ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ )ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭﺓ( ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ )ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﺴﺘﻘل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻊ‬
‫ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﻌﺘﻤﺩ ﻭﺍﺤﺩ( ‪ ،‬ﺍﻤﺎ ‪ R2-‬ﻓﻬﻭ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ‬
‫ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ )ﻻﻨﻪ ﻴﺎﺨﺫ ﺒﻨﻅﺭ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺴﻤﻰ‬
‫ﺒﺎﻟﻤﺼﺤﺢ ‪ ،‬ﻻﻨﻪ ﺒﺎﻻﺼل ﻤﺸﺘﻕ ﻤﻥ ‪ . ( R2‬ﻭﺍﻴﻀﺎ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ F‬ﻟﻠﺤﻜﻡ ﻋﻠﻰ‬
‫ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ ﻜﻜل ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﻤﻌﻴﻥ )ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﺤﺘﻤﺎل (‪.‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٤‬‬
‫‪١٥‬‬
‫ﺭﺍﺒﻌﺎ ‪ :‬ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻲ ‪SPSS‬‬
‫ﺍﺫﺍ ﺘﻭﻓﺭﺕ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻻﺘﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ‬
‫‪1981‬‬
‫‪1982‬‬
‫‪1983‬‬
‫‪1984‬‬
‫‪1985‬‬
‫‪1986‬‬
‫‪1987‬‬
‫‪1988‬‬
‫‪1989‬‬
‫‪1990‬‬
‫‪1991‬‬
‫‪1992‬‬
‫‪1993‬‬
‫‪1994‬‬
‫‪1995‬‬
‫ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ‬
‫‪ Y‬ﺍﻟﺴﻌﺭ ‪ X1‬ﺍﻟﺩﺨل ‪X2‬‬
‫‪400‬‬
‫‪9‬‬
‫‪40‬‬
‫‪500‬‬
‫‪8‬‬
‫‪45‬‬
‫‪600‬‬
‫‪9‬‬
‫‪50‬‬
‫‪700‬‬
‫‪8‬‬
‫‪55‬‬
‫‪800‬‬
‫‪7‬‬
‫‪60‬‬
‫‪900‬‬
‫‪6‬‬
‫‪70‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪6‬‬
‫‪65‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪8‬‬
‫‪65‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪5‬‬
‫‪75‬‬
‫‪1300‬‬
‫‪5‬‬
‫‪75‬‬
‫‪1400‬‬
‫‪5‬‬
‫‪80‬‬
‫‪1500‬‬
‫‪3‬‬
‫‪100‬‬
‫‪1600‬‬
‫‪4‬‬
‫‪90‬‬
‫‪1700‬‬
‫‪3‬‬
‫‪95‬‬
‫‪1800‬‬
‫‪4‬‬
‫‪85‬‬
‫ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ‬
‫ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ‪X3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪22‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪23‬‬
‫‪18‬‬
‫‪24‬‬
‫‪21‬‬
‫ﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﺴﻠﻌﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ )‪ (Y‬ﻭﺍﻟﻌﻭﺍﻤل ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻬﺎ‬
‫ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺴﻌﺭ )‪ ، (X1‬ﺩﺨل ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻙ )‪ (X2‬ﺒﺎﻟﺩﻭﻻﺭ ‪ ،‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ )‪. (X3‬‬
‫ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ﻫﻨﺎﻙ ﻋﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ‬
‫ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ )ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ (ﺍﻻﺨﺭﻯ ﻭﻫﻲ )ﺍﻟﺴﻌﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺨل ‪ ،‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ‬
‫ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ (‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻻﺜﺭ ﺍﻭ ﺍ ﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ ﻤﻥ‬
‫ﺨﻼل ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻭﺒﺎﻟﺸﻜل )ﺸﻜل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ( ﺍﻻﺘﻲ‪:‬‬
‫)‪Y = f (X1 , X2 , X3‬‬
‫)‪….(1‬‬
‫ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻘﺩﻴﺭﻴﺔ ﺤﺴﺏ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﻭﻓﻕ ﺍﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫)‪Y = a + b X1 + cX2 + dX3 + u …………….. (2‬‬
‫ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ‪:‬‬
‫ِ‪ : a‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٥‬‬
‫‪١٦‬‬
‫‪ : d ، c ، b‬ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‬
‫‪ ، U‬ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺨﻁﺎ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﺍﻭ ﺍﻟﺨﻁﺎ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻲ ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﻤﻘﺩﺭ‬
‫ﻭﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻴﺔ ) ‪Ordinary Least‬‬
‫‪(Squares‬‬
‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺴﺎﻟﻑ ﺍﻟﺫﻜﺭ ﻓﻲ )‪. (٢‬‬
‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻲ ﺍﻟﻤﻤﺘﺎﺯ ‪ SPSS‬ﺍﻻﺼﺩﺍﺭ ‪ ١١,٠‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺼﻭل‬
‫ﻋﻠﻰ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻭﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬
‫ﺍﻭﻻ ‪ :‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺎﺩﺨﺎل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺤﺭﺭ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ‪SPSS‬‬
‫ﺜﺎﻨﻴﺎ ‪ :‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺴﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻻﺘﻲ‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٦‬‬
‫‪١٧‬‬
‫ﺜﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﻨﺫﻫﺏ ﺍﻟﻰ ﻗﺎﺌﻤﺔ ‪ analyze‬ﻭﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻻﻤﺭ ‪ Regression‬ﻭﻤﻥ‬
‫ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﺔ ﻨﺨﺘﺎﺭ ‪ ، Linear‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫ﺭﺍﺒﻌﺎ ‪ :‬ﻤﻥ ﻨﺎﻓﺫﺓ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ )‪ (Y‬ﻭﻨﻨﻘﻠﻪ ﺍﻟﻰ ﺨﺎﻨﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ ‪ ،‬ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻭﻨﻨﻘﻠﻬﺎ ﺍﻟﻰ ﺨﺎﻨﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ‪،‬‬
‫ﺜﻡ ﻨﻨﻘﺭ ‪ OK‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻻﺘﻲ ‪:‬‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٧‬‬
١٨
: ‫ ﺴﻭﻑ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺸﺎﺸﺔ ﺍﻟﻤﺨﺭﺠﺎﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ‬: ‫ﺨﺎﻤﺴﺎ‬
Regression
Variables Entered/Removedb
Model
1
Variables
Entered
X3, X2, X1a
Variables
Removed
Method
Enter
.
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: Y
Model Summary
Model
1
R
R Square
.975a
.951
Adjusted
R Square
.938
Std. Error of
the Estimate
4.52761
a. Predictors: (Constant), X3, X2, X1
١٨
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٩‬‬
‫‪ANOVAb‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.000 a‬‬
‫‪F‬‬
‫‪71.133‬‬
‫‪Sig.‬‬
‫‪.002‬‬
‫‪.011‬‬
‫‪.055‬‬
‫‪.789‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3.999‬‬
‫‪-3.059‬‬
‫‪2.146‬‬
‫‪.275‬‬
‫‪Mean Square‬‬
‫‪1458.169‬‬
‫‪20.499‬‬
‫‪Sum of‬‬
‫‪Squares‬‬
‫‪4374.508‬‬
‫‪225.492‬‬
‫‪4600.000‬‬
‫‪df‬‬
‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪14‬‬
‫‪Regression‬‬
‫‪Residual‬‬
‫‪Total‬‬
‫‪Model‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a. Predictors: (Constant), X3, X2, X1‬‬
‫‪b. Dependent Variable: Y‬‬
‫‪Coefficientsa‬‬
‫‪Standardized‬‬
‫‪Coefficients‬‬
‫‪Beta‬‬
‫‪-.563‬‬
‫‪.392‬‬
‫‪.043‬‬
‫‪Unstandardized‬‬
‫‪Coefficients‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Std. Error‬‬
‫‪79.106‬‬
‫‪19.782‬‬
‫‪-4.928‬‬
‫‪1.611‬‬
‫‪1.590E-02‬‬
‫‪.007‬‬
‫‪.175‬‬
‫‪.637‬‬
‫)‪(Constant‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪X3‬‬
‫‪Model‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a. Dependent Variable: Y‬‬
‫ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ‪SPSS‬‬
‫ﺍﻭﻻ‪ :‬ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ‬
‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻷﻭل ﻴﻤﺜل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻭﻫﻲ ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪ Enter‬ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺒﻴﻥ ﺍﻥ‬
‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﻗﺎﻡ ﺒﺎﺩﺨﺎل ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ‪.‬‬
‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ :‬ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﻤل‬
‫ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ‪ R‬ﺤﻴﺙ ﺒﻠﻎ ‪ ٠,٩٧‬ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ‪ R2‬ﻭﻫﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪٠,٩٥‬‬
‫ﻭﺍﺨﻴﺭﺍ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﺼﺤﺢ ‪ R2-‬ﻭﺍﻟﺫﻱ ﺒﻠﻎ ‪ ٠,٩٤‬ﻤﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ )ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ( )ﺍﻟﺴﻌﺭ ‪ ،‬ﺍﻟﺩﺨل ‪ ،‬ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻻﺨﺭﻯ ( ﺍﺴﺘﻁﺎﻋﺕ ﺍﻥ ﺘﻔﺴﺭ‬
‫‪ ٠,٩٤‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺎﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ )‪ (Y‬ﻭﺍﻟﺒﺎﻗﻲ )‪ (٠,٠٦‬ﻴﻌﺯﻯ‬
‫ﺍﻟﻰ ﻋﻭﺍﻤل ﺍﺨﺭﻯ‪.‬‬
‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻥ‬
‫ﺨﻼﻟﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ﻟﻠﻨﻤﻭﺫﺝ ﻜﻜل ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﺍﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ F‬ﻭﻜﻤﺎ ﻨﺸﺎﻫﺩ ﻤﻥ‬
‫ﺠﺩﻭل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ ﻻﺨﺘﺒﺎﺭ ‪ . ( P < 0.0001) F‬ﻤﻤﺎ ﻴﺅﻜﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ‬
‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ ﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺎﺤﻴﺔ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪.‬‬
‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ‪ :‬ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻭﺍﻷﺨﻴﺭ ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﻟﻠﻤﻘﺩﺭﺍﺕ‬
‫ﻭﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻠﺨﻴﺹ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬
‫ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻻﺘﻲ‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪١٩‬‬
‫‪٢٠‬‬
‫‪X3‬‬
‫‪0.17‬‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‬
‫‪X1‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪-4.93‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪0.275‬‬
‫‪2.146‬‬
‫‪-3.059‬‬
‫‪0.789‬‬
‫‪0.055‬‬
‫‪0.01‬‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩ‬
‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‬
‫‪Y‬‬
‫‪٧٩,١‬‬
‫ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل‬
‫ﻗﻴﻡ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪T‬‬
‫‪3.99‬‬
‫‪0.002‬‬
‫ﺍﻟﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‬
‫ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ )ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ( ﻜﺎﻥ ﻤﻌﻨﻭﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺎﺤﻴﺔ‬
‫ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪) t‬ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ‪ ، ( P ≤ 0.05‬ﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﻜﺎﺩ‬
‫ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺨل ﺍﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﻨﻭﻱ )ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ‪ . ( P ≤ 0.05‬ﺍﻻ ﺍﻥ‬
‫ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘل )ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ( ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺫﻭ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﻤﻌﻨﻭﻱ ﻓﻲ ﻨﻤﻭﺫﺝ‬
‫ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ‪. t‬‬
‫ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻱ ‪:‬‬
‫ﺤﺴﺏ ﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ‪ ،‬ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺴﻠﻌﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺘﺭﺘﺒﻁ ﺒﻌﻼﻗﺔ‬
‫ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﻌﺭ ‪ ،‬ﻭﺒﻌﻼﻗﺔ ﻁﺭﺩﻴﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺩﺨل ‪ ،‬ﻭﺒﻌﻼﻗﺔ ﻁﺭﺩﻴﺔ ﻤﻊ ﺴﻌﺭ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ‬
‫ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ‪ ،‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻨﺠﺩ ﺍﻻﺘﻲ ‪) :‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻻﺸﺎﺭﺍﺕ ﻜﺎﻨﺕ‬
‫ﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ(‬
‫ﺍﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺴﻌﺭ ﻜﺎﻥ ) ‪ (-4.93‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻁﺎﺒﻕ ﻟﻤﻨﻁﻕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ‪ ،‬ﻤﻤﺎ‬
‫ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻥ ﻜل ﺯﻴﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻌﺭ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺩﻭﻻﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﺴﻴﺅﺩﻱ ﺍﻟﻰ ﺍﻨﺨﻔﺎﺽ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ ٥‬ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ )‪ ، (٤,٩٣‬ﺍﻤﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﻟﺩﺨل ‪ ،‬ﺍﻴﻀﺎ ﻜﺎﻥ‬
‫ﻤﻁﺎﺒﻕ ﻟﻠﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﻜﺎﻥ )‪ (1. 6‬ﻤﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻨﻪ ﻜل ﺯﻴﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﺨل‬
‫ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺩﻭﻻﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﺴﺘﺅﺩﻱ ﺍﻟﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻴﻤﻘﺩﺍﺭ )‪ (1.6‬ﻭﺤﺩﺓ ‪،‬‬
‫ﻭﺍﺨﻴﺭﺍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻌﺎﻤل ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ‪ ،‬ﻨﺠﺩ ﺍﻨﻪ ﺍﻴﻀﺎ ﻤﻁﺎﺒﻕ ﻟﻠﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ‬
‫ﺤﻴﺙ ﺒﻠﻐﺕ ﻗﻴﻤﺘﻪ )‪ ، ( 0.17‬ﺃﻱ ﺍﻨﻪ ﺍﺫﺍ ﺍﺯﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ‬
‫ﻭﺤﺩﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻁﻠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻠﻌﺔ ﺍﻟﺒﺩﻴﻠﺔ ﺴﻭﻑ ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ‪ ٠,١٧‬ﻭﺤﺩﺓ ‪.‬‬
‫ﻭﺍﷲ ﻭﻟﻲ ﺍﻟﺘﻭﻓﻴﻕ‬
‫ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ ﻋﻠﻴﻜﻡ ﻭﺭﺤﻤﺔ ﺍﷲ ﻭﺒﺭﻜﺎﺘﻪ‬
‫ﻣﻊ ﺗﺤﻴﺎت أﺧﻮآﻢ‪ :‬اﻟﺸﻤﺮي‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻻﻧﺤﺪﺍﺭ ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩ‬
‫‪٢٠‬‬