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위상수학 중간고사 (2008년 5월 16일(금) 4시-5시 50분)
아래 제시된 1-8번 문제를 푸시오. 9번은 풀기를 원하는 학생만 푸시면 됩니다.
1. X가 위상공간일때, 다음과 같이 정의된 d : X × X → R은 거리함수(metric)
임을 증명하시오.[10점]
(1) d(x, y) = 0 iff x = y
(2) For any x, y, z ∈ X, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
2. 집합 X = {a, b, c, d, e}에 S = {{a, b}, {a, c, d}, {a, b, e}}를 부분기저(subbasis)
로 갖는 위상이 주어져 있다. S로 부터 얻어지는 X의 위상 TS 를 구하고, A =
{a, b, d}일 때, Ai , Ae , Ab 를 구하시오. [10점]
3. 위상공간 X의 부분집합 A ⊆ X에 대하여 특성함수(characteristic function)
를 다음과 같이 정의한다.
(
1, if x ∈ A
χA (x) =
0, if x ∈
/ A.
χA 는 x ∈ (Ai ∪ Ae )에서 연속이고, x ∈ Ab 에서 불연속임을 보이시오. [10점]
4. 다음에 제시된 명제를 증명하든지 반례를 하나 제시하시오.[20점]
(1) A가 X의 닫힌(closed) 부분집합이고, B ⊆ A가 A의 부분위상(subspace
topology)으로 닫힌(closed) 집합이면 B는 X의 닫힌(closed) 부분집합이
다.
(2) 모든 compact set은 닫힌집합(closed set)이다.
5. X가 Hausdorff space이고 A ⊆ X일 때, x ∈ A0 이면 x를 포함하는 임의의 열린
집합은 A의 원소를 무한히 많이 포함함을 보이시오.(A0 는 A의 derived set이다.)
[10점]
6. 다음에 제시된 보기중 compact set인 예를 모두 고르시오.(증명할 필요 없음)
[10점]
(1) { n1 | n ∈ N}
(2) a half open interval [0, 1) ⊂ R` where R` is R with lower limit topology.
(3) S 1 ⊂ R2 with product topology on R2
(4) X is an infinite set with finite complement topology
(5) {0} ∪ { n1 | n ∈ N}
7. 다음 질문에 답하시오. [20점]
(1) X가 Hausdorff space이고 A가 X의 부분집합으로 compact set이면, A가 X
의 닫힌 부분집합임을 보이시오.
(2) X가 거리공간(metric space)이고 A가 X의 부분집합으로 닫힌(closed) 집
합이고 유계(bounded)인 집합이지만 compact set이 아닌 예를 하나 드시
오.
8. A, B가 거리공간 (X, d)의 부분집합이고 compact set이면 A ∩ B도 compact
set임을 보이시오. [10점]
9. [Extra credit 10 point] (문제를 다 풀고 시간이 남는 학생들만 푸시오.) X가
Hausdorff space이고 A, B가 X의 부분집합으로 compact set이고 A ∩ B = ∅이면,
A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩V = ∅인 X의 열린(open) 부분집합 U , V 가 존재함을 보이시오.
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