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위상수학 졸업시험 # 2 (5월 16일)
다음에 제시된 모든 문제를 푸시오.
1. X = {a, b, c, d, e}일 때, 다음 질문에 답하시오.
(1) S = {{a}, {a, b, c}, {c, d, e}}가 X의 어떤 위상의 부분기저(subbasis)
가 됨을 보이고 , S로 부터 얻어지는 X의 위상 TS 를 구하시오.[10
점]
(2) 위상공간 (X, TS )의 부분집합 A = {a, b, d}에 대하여, A의 내점(interior) Ai , 경계(frontier or boundary) Ab , 폐포(closure) A를 구하시
오. [10점]
(3) 함수 f : (X, TS ) → (X, TS )가 f (c) = c, f (d) = d로 주어져 있을 때,
이 함수가 위상동형사상이 되도록 f (a), f (b), f (e)의 값을 정하여라.
[10점]
2. A가 위상공간 X의 닫힌 부분집합이고, B가 A의 부분위상(subspace
topology)으로 닫힌집합이면 B는 X의 닫힌 부분집합임을 증명하시오. [10
점]
3. 다음 질문에 답하시오.
(1) f : X → Y 가 연속사상이고 X가 compact space이면 f (X)도 compact space임을 보이시오.[10점]
(2) (1)의 명제를 이용하여, 실수집합 R의 닫힌구간 [0, 1]과 실수전체의
집합 R은 위상동형이지 않음을 보이시오. [10점]
4. 다음 질문에 답하시오.
(1) f : X → {−1, 1} ⊂ R인 연속인 전사함수가 존재하면 X가 연결되지
않은 공간(disconnected space)임을 보이시오 [10점]
(2) (1)의 명제를 이용하여, 임의의 연속사상 f : S 2 → R는 f (x) =
f (−x)를 만족하는 점 x ∈ S 2 이 존재함을 보이시오.[10점]
5. X가 compact space이고 Y 가 Hausdorff space라 하자. f : X → Y 가
연속인 전단사사상이면 f 는 닫힌사상(closed map)임을 보이시오. [10점]
6. X가 compact space이고 f : X → R이 연속사상이면 f 는 최대값과
최소값을 가짐을 보이시오.[10점]
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