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제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
- 36 -
2.9 미정계수에 의한 해
미정계수법(method of undetermined coefficients)
상계수와 특별한 우변 r ( x ) , 즉 지수함수, 다항식, 사인, 코사인, 또는
이들 함수의 곱과 합을 갖는 방정식에 적용
(1)
y ′′ + ay ′ + by = r ( x )
미정계수법을 위한 법칙
(A) 기본법칙(basic rule)
만약 식 (1)에서 r ( x ) 가 표 2.1의 첫번째 열에 있는 함수들 중의 하
나라면, 두번째 열에 있는 대응하는 함수 y p 를 선택하고, y p 와 그
도함수들을 식 (1)에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.
(B) 변형법칙(modification rule)
만약 y p 로 선택된 항이 식 (1)에 대응하는 제차방정식의 해가 된다
면, 선택된 y p 에 x (또는 만약 이 해가 제차방정식의 특성방정식의
이중근에 해당한다면 x 2 )를 곱한다.
(C) 합법칙(sum rule)
만약 r ( x ) 가 표 2.1의 첫번째 열의 여러 개의 줄에 있는 함수들의
합이라면, 두번째 열의 대응하는 줄에 있는 함수들의 합으로 y p 를
선택한다.
표 2.1 미정계수법
r (x ) 의 항
y p 에 대한 선택
keγx
kx n (n = 0, 1, ")
Ceγx
K n x n + K n −1 x n −1 + " + K1 x + K 0
k cos ωx
k sin ωx

 K cos ωx + M sin ωx

 αx
 e (K cos ωx + M sin ωx )

keαx cos ωx
keαx sin ωx
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
예제 1
y ′′ + 4 y = 8 x 2 법칙 (A)
λ2 + 4 = 0
λ2 = −4
yh = A cos 2 x + B sin 2 x
λ = ±2i
′
y p = 2 K 2 x + K1
y p = K 2 x 2 + K1 x + K 0
- 37 -
″
y p = 2 K2
″
y p + 4 y p = 2 K 2 + 4(K 2 x 2 + K1 x + K 0 ) = 8 x 2
4 K2 = 8
K2 = 2
일반해는
예제 2
4 K1 = 0
K1 = 0
2 K2 + 4 K0 = 0
K 0 = −1
y = yh + y p = A cos 2 x + B sin 2 x + 2 x 2 − 1
y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e x 법칙 (B) 단순근
λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2 ) = 0
λ = 1, 2
yh = c1e x + c2 e 2 x
y p = Cxe x
′
y p = Ce x + Cxe x
″
y p = Ce x + Ce x + Cxe x
″
′
y p − 3 y p + 2 y p = 2Ce x + Cxe x − 3(Ce x + Cxe x ) + 2Cxe x = e x
C = −1
일반해
예제 3
y = yh + y p = c1e x + c2e 2 x − xe x
y ′′ + 2 y ′ + y = e − x ,
y (0) = −1,
λ2 + 2λ + 1 = (λ + 1)2 = 0
y ′(0) = 1 법칙 (B) 이중근
λ = −1
yh = (c1 + c2 x )e − x
y p = Cx 2 e − x
′
y p = 2Cxe − x − Cx 2e − x
″
y p = 2Ce − x − 2Cxe − x − 2Cxe − x + Cx 2 e − x
′
″
y p + 2 y p + y p = 2Ce − x − 4Cxe − x + Cx 2 e − x + 2(2Cxe − x − Cx 2 e − x ) + Cx 2 e − x = e − x
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
C=1
2C = 1
2
y = yh + y p = (c1 + c2 x )e − x +
일반해
1 2 −x
xe
2
y ′ = c2e − x − (c1 + c2 x )e − x + xe − x −
y ′(0) = c2 − c1 = 1
y = −e − x +
특수해
y (0 ) = c1 = −1
1 2 −x
xe
2
c2 = 0
1 2 −x  1 2  −x
x e =  x − 1e
2
2

0.5 x
예제 4 y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 1.25e
+ 40 cos 4 x − 55 sin 4 x,
λ2 + 2λ + 5 = (λ + 1)2 + 4 = 0
y (0) = 0.2,
λ + 1 = ±2i
y ′(0) = 60.1 법칙(C)
λ = −1 ± 2i
yh = e − x ( A cos 2 x + B sin 2 x )
y p = Ce0.5 x + K cos 4 x + M sin 4 x
′
y p = 0.5Ce0.5 x − 4 K sin 4 x + 4 M cos 4 x
″
y p = 0.25Ce0.5 x − 16 K cos 4 x − 16 M sin 4 x
″
′
y p + 2 y p + 5 y p = 0.25Ce0.5 x − 16 K cos 4 x − 16 M sin 4 x
+ Ce0.5 x
+ 8M cos 4 x − 8K sin 4 x
+ 5Ce0.5 x
+ 5K cos 4 x + 5M sin 4 x
= 6.25Ce0.5 x + (8M − 11K )cos 4 x + (− 11M − 8K )sin 4 x
= 1.25e 0.5 x + 40 cos 4 x − 55 sin 4 x
6.25C = 1.25
8M − 11K = 40
− 11M − 8K = −55
C = 0.2
K =0
M =5
y = yh + y p = e − x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) + 0.2e0.5 x + 5 sin 4 x
일반해
y (0 ) = A + 0.2 = 0.2
A=0
y = Be − x sin 2 x + 0.2e 0.5 x + 5 sin 4 x
y ′ = − Be − x sin 2 x + 2 Be − x cos 2 x + 0.1e 0.5 x + 20 cos 4 x
y ′(0) = 2 B + 0.1 + 20 = 60.1
특수해 y = 20e
−x
- 38 -
B = 20
sin 2 x + 0.2e0.5 x + 5 sin 4 x
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
- 39 -
2.11 모형화 : 강제진동, 공진
질량-용수철계의 자유진동
(1)
my ′′ + cy ′ + ky = 0
강제진동
my ′′ + cy ′ + ky = r (t )
여기서,
r (t ) : 입력(input), 구동력(driving force)
y (t ) : 출력(output), 구동력에 대한 계의 응답(response)
구동력이 주기적인 힘
(F0 > 0, ω > 0)
my ′′ + cy ′ + ky = F0 cos ωt
(2)
방정식의 풀이
y p (t ) = a cos ωt + b sin ωt
(3)
′
y p (t ) = −ωa sin ωt + ωb cos ωt
″
y p (t ) = −ω 2a cos ωt − ω 2b sin ωt
윗 식들을 식 (2)에 대입하면
″
′
my p + cy p + ky p = − mω 2 a cos ωt − mω 2b sin ωt
+ cωb cos ωt − cωa sin ωt
+ ka cos ωt
+ kb sin ωt
ωcb
F0
= {(k − mω 2 )a + ωcb}cos ωt + {− ωca + (k − mω 2 )b}sin ωt = F0 cos ωt
(k − mω )a
+
− ωca
+
2
(4)
(k − mω )b
2
=
= 0
Cramer rule에 의해
ωc
k − mω 2
F0 (k − mω 2 )
a=
=
k − mω 2
ωc
(k − mω 2 )2 + ω 2c2
k − mω 2
− ωc
F0
0
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
b=
k − mω 2
F0
− ωc
0
k − mω 2
− ωc
ωc
k − mω 2
a=
F0ωc
(k − mω )
(
F0m ω0 − ω 2
(
2
m ω0 − ω
2
+ ω 2c 2
2 2
k
= ω 0 (> 0) 이라 놓으면
m
2.5절에서와 같이
(5)
=
- 40 -
2
)
) +ω c
2 2
,
2 2
b=
F0ωc
(
)
2
m ω0 − ω 2 + ω 2c 2
2
2
따라서 식 (2)의 일반해는
(6)
y (t ) = yh (t ) + y p (t )
경우 1. 비감쇠 강제진동. 공진
c=0
가정 ω 2 ≠ ω0 = k m
2
식 (3)과 (5)로부터
(7)
y p (t ) =
F0
cos ωt =
2
m ω0 − ω 2
(
)
F0
k   ω 
m 1 −  
m   ω0 

2



cos ωt =
이 식과 2.5절의 식 (4*) (p.88) 로부터 일반해는
F0
y (t ) = C cos(ω 0t − δ ) +
(8)
cos ωt
2
m ω0 − ω 2
(
)
두 개의 조화진동의 중첩
계의 고유주파수(natural frequency)
입력의 주파수
ω
2π
ω0
2π
F0
  ω  2 
k 1 −   
  ω 0  
cos ωt
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
- 41 -
식 (7)로부터 y p 의 최대진폭은
(9)
a0 =
F0
ρ
k
여기서
ρ =
1
ω 
1 −  
 ω0 
2
ω = ω0
공진(resonance)
공진인자(resonance factor)
Æ
그림 57
공진의 경우, 방정식 (2)는
y ′′ +
(10)
F
k
y = 0 cos ω0t
m
m
y ′′ + ω 0 y =
2
F0
cos ω 0t
m
yh = A cos ω 0t + B sin ω 0t
y p = t (a cos ω 0t + b sin ω0t )
′
y p = a cos ω0t + b sin ω 0t + t (− ω 0a sin ω 0t + ω 0b cos ω0t )
″
y p = −ω0a sin ω0t + ω 0b cos ω0t − ω 0a sin ω 0t + ω 0b cos ω 0t
(
+ t − aω 0 cos ω 0t − ω0 b sin ω0t
2
2
)
(
2
2
2
″
y p + ω 0 y p = −2ω 0a sin ω0t + 2ω 0b cos ω 0t + t − aω 0 cos ω0t − ω 0 b sin ω 0t
(
+ t ω 0 a cos ω 0t + ω 0 b sin ω 0t
= −2ω0a sin ω 0t + 2ω 0b cos ω0t =
a = 0,
(11)
yp =
b=
F0
2 mω 0
F0
t sin ω 0t
2mω 0
Æ
그림 58
2
F0
cos ω0t
m
2
)
)
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
ω 가 ω 0 에 가까울 때
Æ
예) 초기조건 y (0) = 0,
y ′(0) = 0 에 해당하는 특수해
y (t ) = A cos ω0t + B sin ω 0t +
y (0) = A +
맥놀이 현상 발생
F0
cos ωt
2
m ω0 − ω 2
(
)
F0
=0
2
m ω0 − ω 2
(
)
y ′(t ) = −ω 0 A sin ω 0t + ω 0 B cos ω 0t − ω
y ′(0) = ω 0 B = 0
(12)
y (t ) =
(
)
F0
sin ωt
2
m ω0 − ω 2
(
B=0
F0
(cosωt − cosω0t )
2
m ω0 − ω 2
(
F0
2
m ω0 − ω 2
A=−
)
)
(ω ≠ ω0 )
cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
cos( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B
cos( A − B ) − cos( A + B ) = 2 sin A sin B
A− B = a
A+ B = b
A=
a+b
2
cos a − cos b = 2 sin
y (t ) =
B=
b−a
2
a+b
b−a
sin
2
2
2 F0
 ω + ω   ω0 − ω 
t  sin
t
sin 0
2
2
m ω0 − ω
 2
  2

(
)
Æ
그림 59
- 42 -
제2장 2계 및 고계 선형미분방정식
- 43 -
경우 2. 감쇠강제진동
c>0
yh (t ) = c1e
과감쇠
− (α − β )t
+ c2 e
임계감쇠 yh (t ) = (c1 + c2t )e −αt
yh (t ) = e −αt (A cos ω *t + B sin ω *t ) ω * =
저감쇠
y = yh + y p
4mk − c 2
k
c2
=
−
m 4m 2
2m
(> 0)
과도해(transient solution)
정상상태 해 (steady-state solution)
yp
Æ
c 2 − 4mk
β=
>0
2m
c
α=
>0
2m
− (α + β )t
실제적인 공진(비감쇠와는 달리 진폭은 유한)
y p 의 진폭
식 (3)을 다른 형태로 표현
y p (t ) = C * cos(ωt − η )
(13)
(
)
2
2

 

F0 m ω 0 − ω 2
F0ωc
C * (ω ) = a 2 + b 2 = 
+
 

2
2
 m 2 ω 0 2 − ω 2 + ω 2c 2   m 2 ω 0 2 − ω 2 + ω 2c 2 
(
{m (ω
(
2
2
2
=
)
) +ω c }
F0 m 2 ω 0 − ω 2 + F0 ω 2c 2
2
2
tan η =
0
−ω2
(
(
2
2
ωc
b
=
a m ω02 − ω 2
)
2 2
2
=
(
F0
m2 ω 0 − ω
2
)
2
) +ω c
2 2
2 2
2
=
(
F0
)
2
m 2 ω 0 − ω 2 + ω 2c 2
2
)
dC * (ω )
= 0 를 사용하여, 최대진폭이 발생하는 ω 를 구하면,
dω
− 2m 2 (ω 0 − ω 2 ) + c 2 = 0
2
ω 2 = ω02 −
c2
2mk − c 2
=
2m 2
2m 2
∴ ω=
2mk − c 2
Æ 식 (14)에 대입 Æ 식 (16)
2m 2
m = 1, k = 1 일 때, 최대진폭(공진)을 발생시키는 ω Æ 그림 60
제 5 장 라플라스 변환
- 44 -
제 5 장 Laplace 변환
► 미분방정식과 그에 대응하는 초기치 및 경계치문제를 푸는 한가지 방법
► 해를 구하는
제 1 단계 :
제 2 단계 :
제 3 단계 :
과정(3 단계)
주어진 복잡한 문제를 간단한 방정식(보조방정식)으로 변환
순수한 대수적인 연산에 의해서 그 보조방정식을 풀이
주어진 문제의 해를 얻기 위하여 보조방정식의 해를 역변환
► 공학문제에 널리 사용
→ 짧은 시간 동안만 작용하는 힘
→ sine 이나 cosine 함수가 아닌 주기적 함수 등
► 일반해를 먼저 구하지 않고서도 초기치문제를 풀 수 있음
► 비제차방정식도 그에 대응하는 제차방정식을 먼저 풀지 않고서도 그 해
를 구할 수 있음
5.1
Laplace 변환, 역변환, 선형성, 이동
f (t ) : 모든 t ≥ 0 에서 정의된 주어진 함수
∞
F ( s) = ∫ e − st f (t )dt
0
F ( s) : 원래의 함수 f (t ) 의 Laplace 변환(Laplace transform)
( f ) 로 표시
F (s ) =
(1)
►
∞
( f ) = ∫0
e − st f (t )dt
Laplace 변환(Laplace transformation)
주어진 함수 f (t ) 로부터 F ( s) 를 얻는 연산
► 역변환(inverse transform)
원래의 함수 f (t ) 를 F ( s) 로부터 얻는 연산,
즉
f (t ) =
−1
(F)
−1
(F) 로
표시
제 5 장 라플라스 변환
- 47 -
중요한 변환의 간단한 표
Æ 몇 개의 중요한 초등함수와 그 Laplace 변환식을 표 5.1 로 정리하여
놓았다
Æ 표 5.1 에 있는 변환식을 일단 이해하면, 필요로 하는 거의 모든 변환
식은 다음 절에서 고찰될 몇 개의 간단한 일반적인 정리를 사용하여
얻을 수 있다.
(f)
표 5.1 몇 개의 함수 f (t ) 와 그들의 Laplace 변환
(f)
f (t )
1
1
2
t
3
t2
4
5
tn
(n = 0,1,2,…)
(a
6
ta
positive)
e at
(f)
f (t )
1
7 cosωt
s
1
8 sinωt
s2
2!
9 coshat
s3
n!
10 sinhat
s n +1
Γ(a + 1)
11 cosωt
s a +1
1
12 sin ωt
s−a
s
s +ω2
2
ω
s +ω2
s
2
s − a2
a
2
s − a2
s−a
(s − a )2 + ω 2
2
ω
(s − a )2 + ω 2
보다 포괄적인 함수와 변환의 표는 5.9 절에 주어져 있다.
증명들
공식 (1), (2), (3)은 공식 (4)의 특수한 경우이다.
공식 (4)는 다음과 같이 귀납법으로 증명한다.
n = 0 인 경우는 예제 1 및 0! = 1 에서 분명하다.
귀납법의 가설로서 임의의 양의 정수 n 에 대해서도 성립한다고 하자.
∞
∞
∞
n + 1 ∞ − st n
1
1
t n +1 = ∫ e − st t n +1dt = − e − st t n +1 − ∫  −  (n + 1)e − st t n dt =
e t dt
0
0 
s
s
s ∫0
0
( )
n +1!
(t ) = n +s 1 sn! = ( s )
n +1
n +1
n+2
공식 (4)는 공식 (5)와 Γ(n + 1) = n! (단, n 은 음이 아닌 정수)로부
터 유도할 수도 있다.
제5장 라플라스 변환 - 57 -
5.3 Unit Step, Delta Functions
미분의 라플라스변환 : s×L ( s ) - 미분방정식을 푸는데 사용
라플라스 기법의 3단계 :
라플라스 변환을하여 보조방정식 구함
보조방정식의 해 Y(s) 계산
Y(s)를 역변환하여 y(t) 계산
■ 단위계단함수
- 단위계단함수(Heaviside 함수) u ( t - a) 의 정의 - (그림 110, 그림 111)
u ( t - a) =
{ 01
t<a
t≥a
(1)
- 공학적 응용 : On 과 Off 상태가 되는 함수를 표현하는데 매우 유용
함수 f(t)에 u(t-a)를 곱해서 다양한 효과를 낼 수 있음
(그림 112, 그림 113)
t이동 : f(t)의 t를 t-a로 대체함
제1이동 정리 : f(t)의 라플라스 변환이 F(s)이면,
at
e f(t) 의 라플라스 변환은 F(s-a)
(즉, s의 이동)
제2이동 정리 : t의 이동
정리 1. 이동된 함수(shifted function)의 라플라스 변환 (제2 이동정리)
함수 f ( t) 의 라플라스 변환이 F( s) 이면 이동된 함수 ˜f ( t)
{
˜f ( t)= f ( t - a) u( t - a) = 0
f ( t - a)
t<a
t≥a
(a ≥0)
(2)
의 라플라스 변환은
L{ f ( t - a) u( t - a)} = e
- as
F(s)
(3)
제5장 라플라스 변환 - 58 -
역변환은
f ( t - a) u( t - a) = L
-1
(3*)
{ e - asF(s) }
증 명
∞
e - asF(s) = e - as ⌠
⌡e
0
∞
f ( τ) dτ = ⌠
⌡ e
-sτ
τ + a = t → τ = t - a, dτ = dt,
e
- s ( τ + a)
f ( τ) dτ
0
∞
τ=0 → t=a
∞
- st
⌠ - st
F(s) = ⌠
⌡ e f ( t - a) dt = ⌡ e f ( t - a) u( t - a)dt
- as
a
0
(이 결과는 원래의 라플라스 정의식으로부터도 증명될 수 있다)
■ 단위계단함수의 변환
∞
- st
L{ u ( t - a) } = ⌠
⌡ e u ( t - a) dt
0
a
=⌠
⌡e
- st
0
∞
1 - st
- st
0dt + ⌠
⌡a e 1dt =- s e
|
∞
=
a
e
- as
s
( s > 0)
a = 0인 경우에는,
L{ u ( t) } =
1
s
(이 식을 보면 u(t-a) = 1․u(t-a)이므로, y(t)=1이 이동된 것임을 알 수 있다)
◎ 예제 1. 정리1의 응용, 단위계단함수의 이용
2
f ( t) = 0
sin t
( 0 < t < π)
( π < t < 2π) ,
( t > 2 π)
{
F( s) = ?
f ( t) = 2u ( t) - 2u ( t - π) + u ( t - 2 π) sin t
= 2u ( t) - 2u ( t - π) + u ( t - 2 π) sin ( t - 2π)
-πs
F( s) =
2
2e
s
s
- 2 πs
+
e
s 2 +1
제5장 라플라스 변환 - 59 -
◎ 예제 2. 정리1의 응용, 역변환의 이용
- 2s
F( s) =
L
-1
(
L
-1
(
2
2e
s2
s2
1
2 ) = t,
s
e
L
-
-1
(
4e
- 2s
- πs
+
s
e - 2s
) = ( t - 2)u ( t - 2)
2
s
- 2s
s
se
s 2 +1
) = u ( t - 2) ,
L
-1
(e
- πs
s
) = cos ( t - π)u ( t - π)
s +1
2
f ( t) = 2t - 2( t - 2) u ( t - 2) - 4 u ( t - 2) + cos ( t - π) u ( t - π)
= 2t - 2t u ( t - 2) - cos t u ( t - π)
2t
f ( t) = 0
- cos t
{
(0< t< t)
( 2 < t < π)
(t> π)
■ 짧은 충격, Dirac 델타함수
- 짧은 시간동안에 매우 큰 힘(또는 전압)이 가해지는 경우의 문제에 적용
* 테니스 공 타격
* 물체가 해머로 가격될 때
* 비행기의 hard landing
* 배가 높은 파도에 한번 부딪힐 때
- 역학에서의 f(t)의 a ≤ t ≤ a + k 동안의 충격(impulse)
* a ≤ t ≤ a + k 구간에서 f(t)의 적분으로 정의
* 실용적으로 관심있는 경우 : k가 매우 작을 때(거의 zero)
(5)
f k ( t - a) =
{
1/k
0
a≤t≤a + k
otherwise
적분하면, 충격 I k 는 직사각형 면적
(6)
∞
a+k
⌠
Ik= ⌠
⌡ f k (t-a) dt = ⌡
0
a
1
dt = 1
k
(그림 117)
제5장 라플라스 변환 - 60 -
- f k (t- a) 를 두 개의 단위계단함수로 나타내면
f k ( t - a) =
1
[ u( t - a) - u( t - a - k)]
k
- f k (t- a) 의 라플라스 변환
L{ f k ( t - a) } =
1
- as
[e
-e
ks
- ( a + k) s
]=e
- as
1 -e - ks
ks
- Dirac Delta 함수의 정의
δ( t - a) = lim f k (t-a) =
k→0
{ ∞0
t = a,
t≠a
∞
⌠ δ( t - a) dt = 1
⌡0
- Dirac Delta 함수의 라플라스 변환
L{ δ( t - a)} = lim e - as
k→0
1 -e
ks
- ks
= e - as (정의로부터도 유도가능)
L{ δ( t)} = 1
◎ 예제 4 질량-용수철 감쇠계의 응답 계산
y'' + 3y' + 2y = r( t),
y( 0) = 0, y'( 0) = 0, r( t) = δ( t - 1) ,
2
s Y + 3sY + 2Y = e
-s
,
Y = F( s)e
1
1
1
=
( s + 2)( s + 1 )
s+1
s+2
F( s) =
f ( t) = L
-1
( F( s)) = e
y( t) = L
-1
( F( s) e
y ( t) =
⇒
{ e0
- ( t - 1)
-s
-t
-e
- 2t
) = f ( t - 1) u ( t - 1)
-e - 2( t - 1)
( 0≤t < 1)
( t > 1)
-s
제5장 라플라스 변환 - 61 -
5.4 Differentation and Integration(변환의 미분과 적분)
■
변환 F( s) 의 미분
∞
- st
F( s) = L( f) = ⌠
⌡ e f ( t) dt
0
F( s) 의 s에 대한 도함수
F'( s) =
∞
dF
- st
=- ⌠
⌡0 e t f ( t) dt
ds
or
L{ t f ( t) } =- F '( s)
◎ 예제 1 변환의 미분
■
L
-1
{ F '( s)} = t f ( t)
→ 풀이
변환의 적분
L
{
∞
f ( t)
˜ ˜,
=⌠
⌡s F( s )d s
t
}
L
-1
{
∞
∞
⌠ F(˜s )d˜s = f ( t)
⌡s
t
}
∞
⌠ F(˜s )ds˜ = ⌠
⌡s
⌡s
(증명)
∞
=⌠
⌡
0
여기서
∞
⌠ e
⌡s
˜
[
⌠ f ( t) e
⌡s
1
ds˜ =- [ e
t
- st
∞
∴
∞
[
∞
⌠ e
⌡0
˜
ds˜
- st
˜
- st ∞
s =
]
∞
˜
- st
⌠ F(˜s )d˜s = ⌠ e
⌡s
⌡0
]
f ( t) dt
] d˜s
∞
∞
⌠
dt = ⌠
⌡0 f ( t) ⌡s e
1
e
t
- st
- st
f ( t)
dt
t
[
˜
ds˜
- st
] dt
제5장 라플라스 변환 - 62 -
(
◎ Ex 2.
2
F( s) = ln 1 +
ω
,
s2
)
f ( t) = ? ,
자연 로그형태는 역변환이 안되므로 미분을 하여 이를 없애는 방법을 고려
G(s) = F '( s) =
̇
g( t) = L
-1
{ G( s)} =- 2+ 2 cos ωt
g( t) = L
-1
{ G( s)} = L
f ( t) =
■
1
ω2
2ω 2
2
2s
+ 2
(-2)
=2
2
3
2
2 =2
s
1 + ω /s
s +ω
s
s(s +ω )
-1
{ F '( s)} =- tf ( t)
2
( 1 - cos ωt)
t
변수계수를 갖는 미분 방정식
(7)
L(t y ') =-
(8)
L(t y '') =-
d
dY( s)
[ sY( s) - y( 0)] =- Y( s) - s
ds
ds
d
dY( s)
+ y( 0)
[ s 2Y(s) - s y( 0) - y'( 0) ] =- 2sY( s) - s 2
ds
ds
5.5 합성곱(Convolution) ■ 합성곱의 정의
만일 알려진 두 역변환 L - 1 { F( s)} = f( t),
L
-1
{ G( s)} = g( t) 이 있을 때,
변환의 곱 H( s) = F( s) G( s) 의 역변환을 f( t) 와 g( t) 로 얻고자 하면,
h( t) = ( f * g)( t) 로 표기하고, 이를 f 와 g 의 합성곱(convolution)이라고 한다.
- 함수의 합성곱 ( convolution )
h( t) = ( f * g)( t) = f( t) * g( t)
t
t
⌠
= ⌠
⌡0 f(t-τ) g( τ) dτ = ⌡0 f(τ) g( t - τ) dτ
제5장 라플라스 변환 - 63 -
1
2
( s +1)
◎ 예제 1. H( s) =
2
h( t) = ? ,
⇒
1
1
1
= 2
= F( s)G( s) ,
( s 2 +1) 2
s +1 s 2 +1
H( s) =
f ( t) = g( t) = sin t
t
h( t) = f ( t) * g( t) = ⌠
⌡ sin ( τ ) sin ( t - τ)dτ
0
여기서 sin ( τ ) sin ( t - τ) = 1 [ - cos t + cos ( 2 τ - t)] 이므로,
2
h( t) =
1 ⌠t
1
1
[ - cos t + cos ( 2 τ - t)]dτ =- t cos t + sin t
2 ⌡0
2
2
◎ 예제 2. H( s) = 13
s
H( s) =
⇒
h( t) = ?
1
1
⋅ 2 = F( s)G( s)
s
s
f( t) = 1,
이므로,
g( t) = t
t
1 2
h( t) = f ( t) * g( t) = ⌠
⌡0 1⋅( t - τ) dτ = tτ - 2 τ
[
◎ 예제 3. H( s) =
1
2
s (s-a )
H( s) ==
1
1
= F( s)G( s)
2
s
a
s
t
2
=
t
2
h( t) = ? ,
⇒
h( t) = f ( t) * g( t) = ⌠
⌡ τe
]
t
0
t
at
dτ = e ⌠
τe
⌡
0
a( t -τ)
0
,
f ( t) = t,
- aτ
dτ =
g( t) = e
at
1
at
2 (e - at - 1)
a
- 디랙 델타함수 δ( t) 는 합성곱의 항등원이다
t
⌠ δ( t - τ) f( τ) dτ = f( t) 이므로
⌡0
∴ δ*f = f*δ = f
※ 따라서, 1 * f ≠ f 임에 주의
☞ 엄밀한 의미에서 δ( t) 는 함수가 아니며(
δ( 0) = ∞ ),
보통 특수함수처럼 취급
제5장 라플라스 변환 - 64 -
미분방정식
(2)
y'' + ay' + by = r( t)
양변을 라플라스 변환하면,
( s 2 +as+ b)Y( s)= ( s + a)y( 0) + y'( 0) + R( s)
(3) ∴ Y( s) = [ ( s + a)y( 0 ) + y'( 0)]Q( s) + R( s)Q ( s) ,
여기서 Q( s) =
1
s 2 +as+ b
초기값 y( 0) = y'( 0) = 0 인 경우,
Y( s) = R( s)Q( s)
해 y( t) 를 구하면,
(4)
t
t
⌠
y( t) = r(t) * q( t) = ⌠
⌡0 r(τ) q( t - τ) dτ = ⌡0 q(τ) r ( t - τ) dτ
◎ 예제 4. 5.3절의 예제 4를 합성곱 정리를 사용하여 재검토
y'' + 3y' + 2y = r( t),
y( 0) = 0, y'( 0) = 0
,
ꀌ0, 0 < t < 1 ꀍ
︳
r( t) = ︳
︳
︳1, 1 < t < 2 ︳
︳
ꀘ0, 2 < t ꀙ
입력이 잠깐 동안 가해지는 경우의 적용
Q( s) =
1
2
s + 3s + 2
=
1
( s + 1)( s + 2 )
1
1
s+1
s+2
=
∴ q( t) =e - t -e - 2t
① t < 1 의 경우, r( t) = 0
y( t) = r(t) * q( t) = 0 * q( t) = 0
② 1 < t < 2 의 경우, r( t) = 1
t
y( t) = r(t) * q( t) = ⌠
⌡0 r(τ) q( t - τ) dτ
1
t
⌠
= ⌠
⌡0 r(τ) q ( t - τ) dτ + ⌡1 r(τ) q ( t - τ) dτ
제5장 라플라스 변환 - 65 -
t
= 0 + ⌠
⌡1 1⋅ q ( t - τ) dτ
t
- ( t - τ)
- 2( t - τ)
= ⌠
-e
) dτ
⌡1 ( e
1 - 2( t - τ) τ = t
- ( t - τ)
- e
= e
2
τ=1
1
1 - 2( t - 1)
- ( t - 1)
e
= ( 1- ) - ( e
2
2
1
1 - 2( t - 1)
- e - ( t - 1) +
e
=
2
2
[
(
]
)
③ 2 < t 의 경우,
t
= ⌠
⌡0 r(τ) q( t - τ) dτ
1
2
t
⌠ r(τ) q ( t - τ) dτ + ⌠ r(τ) q ( t - τ) dτ
r(τ)
q
(
t
τ)
dτ
+
= ⌠
⌡1
⌡2
⌡0
2
= 0 + ⌠
⌡1 1⋅ q ( t - τ) dτ + 0
2
- ( t - τ)
- 2( t - τ)
-e
) dτ
= ⌠
⌡1 ( e
τ=2
1
= e - ( t - τ) - e - 2( t - τ)
2
τ=1
1 - 2( t - 2)
1 - 2( t - 1)
- ( t - 2)
- ( t - 1)
e
e
= (e
) - (e
)
2
2
1 - 2( t - 2)
- ( t - 2)
- ( t - 1)
- 2( t - 1)
= e
- e
[e
) - e
)]
2
y( t) = r(t) * q( t)
[
(
]
)
적분방정식
합성곱 형태의 적분을 포함한 방정식의 풀이에 사용
◎ 예제 5. 적분방정식
t
y( t) = t + ⌠
⌡ y(τ) sin ( t - τ) dτ
0
① 1단계 : 합성곱의 식으로 표현
y( t) = t + y * sin t
② 2단계 : 합성곱 정리를 적용
Y( s) =
1
1
2 + Y( s)
2
s
s +1
③ 3단계 : 역변환 취하기
y(t) = t +
1
t
6
3
2
∴ Y( s) =
s +1
1
1
= 2+ 4
s4
s
s
제5장 라플라스 변환 - 66 -
5.6 부분분수(Partial Fraction), 미분방정식
■ 미분방정식의 해
- 보조방정식
Y( s) =
F( s)
G( s)
여기서 G(s)를 곱의 형태로 전개하여 역변환
☞ Case I. 단순인자인 경우 : G( s) = s - a
◎ Ex 1.
y'' + y' - 6y = 1,
보조방정식
(단순근에 해당)
y( 0) = 0, y'( 0) = 1
2
s Y - sy( 0) - y'( 0) + sY - y( 0) - 6Y =
( s 2 + s - 6)Y = 1 +
Y( s) =
1
s
1
s
A1
A2
A3
s+1
=
+
+
s( s - 2)( s + 3)
s
s-2
s+3
A 1, A 2, A 3 = ?
s + 1 = A 1 ( s - 2)( s + 3) + A 2s( s + 3) + A 3s( s - 2)
s =0 → 1 = A 1 (-2 )( 3) ,
s = 2 → 3 = A 2⋅2⋅5,
A 1 =- 1/6
A 2 = 3/10
s =- 3 → - 2= A 3 (-3) ( - 5 ),
해
y(t) =-
1
3 2t
2 - 3t
+
e e
6
10
15
⇒ Case II. 다중인자인 경우 : G(s) = ( s - a) m
e.g.) G( s) = ( s - a) 3
⇒
A3=- 2/15
A1
(s-a)
+
(다중근에 해당)
A2
2
(s-a)
+
A3
으로 전개
3
(s-a)
제5장 라플라스 변환 - 67 -
◎ Ex 2.
y'' - 3 y' + 2y = 4t,
보조방정식
y( 0) = 1, y'( 0) =- 1
2
s Y - sy( 0) - y'( 0) - 3 sY + 3 y( 0) + 2Y =
2
(s -3 s + 2) Y =
Y=
4
2
s
4
4 - s 3 - 4s 2
2 + s - 4=
2
s
s
3
2
A1
A2
A3
A4
4 + s - 4s
+
+
= 2 +
s
s-1
s-2
s (s-1) ( s - 2)
s
2
A 1, A 2, A 3, A 4 = ?
3
2
2
2
4 + s - 4s = A 1 (s-1) ( s - 2) + A 2s( s - 1) ( s - 2) + A 3s (s-2) + A 4s (s-1)
s =1 → 1 =+ A 3 (1) ( - 1),
A 3 =- 1
s = 2 → - 4=+ A 4⋅4⋅1,
A 4 =-1
s = 0 → 4 = A 1 (-1) ( - 2) ,
A1= 2
양변을 미분
2
3s - 8s = A 1 (2s - 3)+ A 2 (s-1) ( s - 2) + s( k( s))
s = 0 → 0 = A 1 (-3) + A 2 (-1) ( - 2) =- 6+ 2A 2,
2t
y(t) = 2t + 3 - e - e
t
⇒ Case III. 단순복소인자 : G( s) = ( s - a)( a - a)
( a = α + iβ,
e.g.)
As + B
( s - a) ( s - a)
or
a = α - iβ
(복소수근)
인 경우 )
As + B
로 전개
2
2
(s-α) +β
A2= 3
제5장 라플라스 변환 - 68 -
◎ Ex 3.
y'' + 2 y' + 2y = r( t),
y( 0) = 1, y'( 0) =- 5
여기서, r( t) = 10 sin 2t [ 1 - u( t - π)] = 10 sin 2t - 10 u( t - π) sin 2( t - π)
양변을 라플라스 변환하면,
2
- πs
)
(1-e
s +4
2
[ s Y(s)-sy(0) - y'( 0)]+ 2[ Y( s)- y( 0)] + 2Y ( s) = 10
2
2
( 1 - e - πs )
s2+4
( s 2 +2s+ 2) Y( s) = sy( 0) + y'(0) + 2y( 0)+ 10
2
- πs
)
(1-e
s +4
- πs
20
20e
= s-3+ 2
- 2
s +4
s +4
= s - 5 + 2+ 10
∴
① L-1
Y( s) =
s-3
20
20e - πs
+
- 2
2
2
2
s +2s+ 2
( s + 4)( s +2s+ 2)
(s +4)( s +2s+ 2)
2
s-3
=L
{ s +2s+
{
2 }
-1
2
2
( s +1) - 4
2
( s + 1) +1
} = L { s +s 1 }
-1
=e
② L
-1
{
-t
- 4L - 1
s → s+1
cost - 4e
-t
{ s +1 1 }
s → s +1
sint
20
As + B
Cs + D
= 2
+ 2
2
( s + 4)( s +2s+ 2)
s +4
s + 2s + 2
}
2
( As + B)( s 2+ 2s + 2) = ( Cs + D)( s 2+ 4)
s 3, s 2, s 1, s 0 항의 계수를 비교
∴ L-1
{
20
( s + 4)( s 2 +2s+ 2)
2
→
A =- 2, B =-2, C = 2, D = 6
2
2s + 6
+
} = L { -s 2s+4
s + 2s + 2 }
-1
2
=- 2 L
-1
2
{ s +s 4 } - L { s +2 4 } + L { 2(( ss++1)1) ++ 14 }
-1
-1
2
2
{
=- 2 cos 2t - sin 2t + L - 1 2
2
s
1
+4 2
s +1
s +1
2
=- 2 cos 2t- sin 2t+ e - t (2 cos t+4 sin t)
}
s → s +1
제5장 라플라스 변환 - 69 -
③
-L-1
{
- πs
20e
(s 2 +4)( s 2 +2s+ 2)
} = - [ - 2 cos 2( t - π) - sin 2( t - π)
+ e - ( t - π) ( 2 cos ( t - π) + 4 sin ( t - π) ) ] u( t - π)
= - [ - 2 cos 2t - sin 2t + e - ( t - π) (-2 cos t - 4 sin t) ]
= [ 2 cos 2t + sin 2t + e - ( t - π) (2 cos t + 4 sin t) ] u( t - π)
y( t) = ① + ② + ③ = [ e - t cost - 4e - t sint] + [ - 2 cos 2t - sin 2t + e - t ( 2 cos t + 4 sin t)]
+ [ 2 cos 2t + sin 2t + e - ( t - π) (2 cos t + 4 sin t) ] u( t - π)
= - 2 cos 2t - sin 2t + 3e - t cost
+ [ 2 cos 2t + sin 2t + e - ( t - π) (2 cos t + 4 sin t) ] u( t - π)
구간별로 정리하면,
y( t) =
{
- 2 cos 2t - sin 2t + 3e - t cost , 0 < t < π
e - t [ ( 3 + 2e π ) cos t + 4e π sint ]
,
π<t
⇒ Case IV. 다중복소인자 : G(s) = [ ( s - a)( a - a)] 2
As + B
As + B
로 전개
2 +
[ ( s - a) ( s - a)]
( s - a) ( s - a)
e.g.)
◎ Ex 3.
(복소수근)
y'' + w 0y = K sin w 0t,
y( 0) = 0, y'( 0) = 0
보조방정식
2
2
s Y(s) + w 0Y(s) =
∴
Y( s) =
Kw 0
2 2
(s + w 0 )
2
Kw 0
2
s +w 0
2
=
w0
w0
K
2
2 ⋅ 2
2
w0 s +w 0
s +w 0
=
K
×F( s)G( s)
w0
제5장 라플라스 변환 - 70 -
f( t) = sin w 0t ,
y( t) =
g( t) = sin w 0t 이므로,
K
K ⌠t
f( t) * g( t) =
sinw 0τ sin w 0 (t-τ) dτ
w0
w0 ⌡
0
=
K ⌠t 1
[ cos { w 0τ - w 0 (t-τ) } - cos { w 0τ + w 0 (t-τ) }]dτ
w0 ⌡
0 2
=
t
K ⌠t
⌠ cosw t dτ
cos
(
2w
τ
w
t)
dτ
0
0
0
⌡0
2w 0 ⌡0
=
K
2w 0
=
[
[ 2w1
0
( sin w 0t + sin w 0t ) - t cos w 0t
K
2 ( sin w 0t - w 0t cos w 0t)
2w 0
]
]