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8.1 Z-변환
8.1.1 Z -변환의 정의
◎ 이산 신호 x[ n]의 z -변환
: 멱급수(power series) 형태로 정의
: 시간 영역에서 표현된 신호를 z - 1 에 대한 다항식이나
또는 분모나 분자가 다항식으로 구성된 유리 함수의 형태로 표현
∞
X(z)≡ ∑ x[n]z - n
n =- ∞
여기서, z 는 복소 변수로써 복소 평면에서 정의
- 1 -
(8.1)
◎ 이산 신호 x[ n]의 z -변환의 표현
X( z)≡Z {x[ n] }
또는
Z
x[ n] ←─→ X( z)
: z -변환은 무한 급수(합의 구간이 - ∞ 에서 ∞ 까지)이므로 급수가
수렴하는 영역에서만 그 값이 존재하고 그렇지 않은 경우는 z -변환
자체가 존재하지 않음
◎ X( z) 가 유한한 값을 갖는 모든 z 값
: X( z)의 수렴 영역(region of convergence : ROC)이라고 정의
: z -변환이 존재하면 항상 수렴 영역이 존재하게 되고
z -변환과 수렴 영역은 반드시 함께 정의됨
- 2 -
[예제 8.1] 다음 유한 구간을 갖는 신호의 z -변환을 구하여라.
(a)
x 1 [n] = { 1, 2, 3, 4, 5 }
(c)
x 3 [n] = δ [ n]
(풀이)
(b)
(d)
x 2 [n] = { 1, 2, 3, 4, 5 }
↑
x 4 [n] = δ [ n - k], k > 0
여기서, ↑ 는 신호의 원점의 위치를 나타내며 화살표가 없는 경우는
맨 처음 샘플이 원점에서의 이산 신호의 값이 됨
식 (8. 1)의 z -변환 정의로부터
(a) X 1 (z) = 1 + 2z - 1 + 3z - 2 + 4z - 3 +5z - 4 ,
ROC : z = 0 을 제외한 모든 z -영역
(b) X 2 (z) = z 2 + 2z + 3 + 4z - 1 +5z - 2 ,
ROC : z = 0 과 z = ∞ 을 제외한 모든
(c) X 3 (z) = 1 ,
z -영역
ROC : 모든 z -영역
(d) X 4 (z) = z - k ,
ROC : z = 0 을 제외한 모든 z -영역
- 3 -
◎ 유한한 구간에서 존재하는 신호의 수렴 영역
: z = 0 이나 z = ∞ 를 제외한 모든 z -영역( z -평면)이 되는 것을 알 수 있음
: z = 0 인 경우는 z - k ( k > 0) 항이 무한대가 되고
z = ∞ 인 경우는 z k ( k > 0) 항이 무한대가 되기 때문에 수렴 영역에서
제외되었다는 것을 알 수 있음
◎ z -변환에서 z - n 항의 계수
: 시각 n 에서 신호의 값이므로 z 2 항의 계수는 신호 x[ - 2] 값을 의미하고
z - 2 의 항은 x[ 2] 의 값을 의미
: 다시 말하면 z 의 지수항은 이산 신호 샘플의 위치를 알 수 있는
시간 정보를 포함하고 있는 것임
- 4 -
[예제 8.2] 다음 식으로 주어진 z -변환 X( z)를 역변환하여 x[ n]을 구해보자.
X(z) = 1 - 2z - 1 + 3z - 3 -z - 5
(풀이) z-변환에서
z - n 항의 계수는 시각 n에서 신호의 값이라고 했으므로
x 1 [n] = { 1, - 2, 0, 3, 0, - 1 }이 된다. 앞에서 배운 단위 임펄스
함수를 이용하여 이 신호를 다시 표현하면 x[ n]은 다음과 같이 된다.
x[ n] =δ [ n] - 2δ [ n - 1] + 3δ [ n - 3] - δ [ n - 5]
- 5 -
[예제 8.3] 다음 두 이산 신호의 z -변환을 구해보자.
x[ n] =
{
1 n
, n≥0
2
0,
n<0
( )
{
n
1
2
y[ n] =
0,
,
( ),
n<0
n≥0
(풀이) 식 (8.1)로부터 기하 급수가 되며,
X(z)
1
1
= 1+ z-1+
2
2
( )
∞
= ∑
n=0
1
2
n
( )z
-n
2
z
∞
= ∑
1
+
2
3
1 -1
z
2
n
-2
n=0
(
( )
)
z
-3
1
+⋯+
2
( )
n
z-n+⋯
(8.2)
기하 급수에서 다음 성질을 상기하면,
1+A+A2+A3+⋯ =
1
,
1-A
- 6 -
만약 |A| < 1
(8.3)
식 (8.2)는
|
1 -1
z
< 1 즉,
2
|
|z| >
1 에 대하여 수렴한다는 것을
2
쉽게 알 수 있음
X( z) =
(
1
1
1- z-1
2
)
, ROC : |z| >
1
2
(8.4)
마찬가지 방법으로 y[ n]에 대한 z -변환을 구해보면
-1
1
Y(z) = ∑ 2
n =- ∞
식 (8.3)으로부터
Y( z) =-
( )
n
z
|2z| < 1
2z
=
1 - 2z
(
-n
-1
=- ∑
n =- ∞
즉,
|z| <
- 7 -
)
n
∞
=- ∑ (2z) n
(8.5)
m=1
1 에 대하여
2
1
,
1 -1
1- z
2
)
(
1 -1
z
2
ROC : |z| <
1
2
(8.6)
◎ 식 (8.4)와 식 (8.6)을 비교해 보면
: 두 신호의 z -변환된 형태는 동일하나 시간 영역에서는 완전히 다른 형태를
하고 있음(그림 8.1과 같이 수렴 영역은 서로 다름)
: z -변환과 그것의 시간 영역에서의 신호를 서로 같게 대응시키기 위해서는
반드시 z -변환의 수렴 영역을 명시하여야 함
: 이산 신호 x[ n]은 z -변환 X( z)와 X( z)의 수렴 영역(ROC)이
모두 주어져야 완전하게 결정될 수 있음
그림 8.1 예제 8.3의
- 8 -
X( z) 와
수렴 영역
8.1.2 Z -변환의 수렴
◎ 이산 신호 x[ n]에 대응하는 z -변환 X( z)는
∞
X(z)=
∑ x[n]z - n
(8.7)
n =-∞
: 식 (8.7)에서 X( z)가 존재하는 z 의 수렴영역은 x[ n]의 특성에 따라
일정한 규칙이 존재
: 이 규칙을 쉽게 보기 위해서는 복소 변수 z 를
극형식(polar form)
z=re
jθ
로 표현하는 것이 필요
∞
| X( z)|
z = re
jθ
=
∑ x[n]r - ne
n =- ∞
- 9 -
- j θn
: 수렴 영역에서 |X( z)| < ∞를 만족하여야 하고
|X( z)|
=
|
∞
∑ x[n]r - ne
n =- ∞
∞
≤ ∑ |x[n]r
n =- ∞
-n
e
- j θn
- j θn
|
(8.8)
∞
|= ∑ |x[n]r - n|
n =- ∞
: 위 식의 마지막 항인 수열 x[n]r - n 의 절대값의 합이 수렴하면
|X( z)|도 유한한 값을 갖게 됨
: X( z)의 수렴 영역(ROC)을 찾는 일은 수열 x[n]r - n 의 절대값의 합이
수렴하기 위한 r 의 영역을 찾는 것과 동일
- 10 -
◆ 이산 신호를 인과 신호(causal signal)와 비인과 신호(anticausal signal)로
구분하여 임의의 이산 신호 x[ n]을 인과 부분과 반인과 부분으로 나누면
x + [n] = x[ n]u[ n]
(8.9)
x - [n] = x[ n]u[ - n -1]
: 식 (8.9)를 식 (8.8)에 대입하여 정리하면
-1
|X( z)|
≤ ∑ |x - [n] r
-n
n =- ∞
∞
∞
|+ ∑
n=0
n
∞
≤ ∑ |x - [-n] r | + ∑
n=1
n=0
- 11 -
|
|
x + [n]
rn
x + [n]
rn
|
|
(8.10)
◆ 결국 X( z)가 수렴하기 위해서는
: 식 (8.10)의 두 합이 동시에 유한한 값을 가져야 함
◆ 식 (8.10)의 첫 번째 항이 수렴하기 위해서는 r 의 값이 매우 작아서
x - [-n] r n 의 합이 유한한 값을 가져야 함
: 첫 번째 항의 수렴영역은 그림 8.2의 (a)와 같이 복소 평면 위에서 임의의
반지름 r 1 (r 1 < ∞)을 가지는 원의 내부가 되어야만 함
◆ 식 (8.10)의 두 번째 항이 수렴하기 위해서는 r 의 값이 매우 커서
|
x + [n]
의 합이 유한한 값을 가져야 함
n
r
|
: 두 번째 항의 수렴 영역은 그림 8.2의 (b)에서 보듯이 반지름 r 2인 원의
외부가 되어야 함
- 12 -
◎ X( z)가 수렴하기 위해서는
: 식 (8.10)의 우변의 두 항이 동시에 수렴하여야 하고 X( z)의 수렴영역은
그림 8.2의 (c)에서 보듯이 복소 평면에서 두 원이 만나는 반지(ring) 모양의
영역 r 2 < r < r 1이 존재하여야 함
: 만약 r 2 > r 1이 되어 두 원의 중복 영역이 존재하지 않게 되면
X( z)도 수렴하지 않게 되고 따라서 x[ n]의 z -변환은 존재하지 않게 됨
- 13 -
그림 8.2
X( z) 의
수렴 영역(ROC)과 대응하는 인과, 비인과 부분의 수렴 영역
- 14 -
[예제 8.4] 다음 이산 신호의 z -변환을 구하여라.
x[ n] = a nu[n]+b nu[-n-1]
(풀이) 식 (8.1)의 z -변환 정의로부터
∞
X(z)
n
= ∑a z
-n
n=0
∞
= ∑ ( az
+ ∑ b nz - n
n =- ∞
-1 n
n=0
-1
∞
) + ∑ ( b - 1z )
l
l=1
첫 번째 항은 |az - 1| < 1, 즉 |z| > |a|일 때 수렴하고,
두 번째 항은 |b - 1z| < 1, 즉 |z| < |b|일 경우에 수렴한다.
따라서 a 와 b 의 값에 따라
X( z) 의
- 15 -
수렴성이 결정된다.
(8.11)
◎ |b| < |a|인 경우
: 식 (8.11)의 두 항의 수렴 영역은 그림 8.3(a)와 같이 중복되지 않음
: 두 항이 동시에 수렴하는 영역을 찾을 수 없으므로
X( z) 는
존재하지 않음
◎ |b| > |a|인 경우
: 그림 8.3의 (b)와 같이 복소 평면상에서 두 영역이 중복되어 반지 모양이
되는 영역이 존재
: 식 (8.11)의 두 항이 동시에 수렴하는 영역이 존재하고
X( z)
1
1 - az - 1
-
존재
1
1 - bz - 1
(
) (
)
b-a
=(
,
ROC
)
a + b - z - abz
=
X( z) 도
-1
- 16 -
: |a| < |z| < |b|
그림 8.3 예제 8.4의 z -변환 수렴 영역
- 17 -
◆ 인과 신호의 수렴 영역은 복소 평면상에서 원의 외부가 되고
비인과 신호의 수렴 영역은 원의 내부가 되는 것을 확인할 수 있음
◆ 인과 성분과 비인과 성분을 모두 가지는 무한 길이의 이산 신호는
: 그 수렴 영역이 반드시 원의 내부와 외부가 중복되어 만들어지는
반지 모양(ring)이 된다는 것을 알 수 있음
: 다시 말하면 주어진 신호의 수렴 영역은 그 신호가 유한 구간에서
존재하는지 아니면 무한 구간에서 존재하는지 뿐만 아니라 인과 또는
비인과 신호인지 아니면 두 성분을 모두 가졌는지에 의해서도 결정됨
- 18 -
그림 8.4 신호의 특성과 수렴 영역과의 관계
- 19 -
8.2 Z-변환의 성질
(1) 선형성(Linearity)
Z
만약 x 1 [n] ←─→
X 1 (z)와
Z
x 2 [n] ←─→ X 2 (z) 라면
Z
x[ n] =a 1x 1 [n] + a 2x 2 [n] ←─→ X( z) =a 1X 1 (z) + a 2X(z)
[예제 8.5] 다음 신호의 z -변환을 구하여라.
x[ n] = ( cos ω 0n)u[ n]
(풀이) 오일러 공식(Euler's identity)을 이용하면
1
x[ n] = ( cos ω 0n)u[ n] = e
2
- 20 -
jω 0n
1
u[n] + e
2
- j ω 0n
u[n]
(8.12)
식 (8.12)의 z -변환의 선형성을 이용하면
1
X( z) = Z {e
2
jω 0n
1
u[n] } + Z {e
2
Z
예제 (8.3)에서 a nu[n] ←─→
상기하고 a=e
e
e
jω 0n
- j ω 0n
u[n]
u[n]
식 (8.13)의
X( z)
±jω 0
x[ n] 의
1
-1 ,
1 - az
- j ω 0n
z -변환은
u[n] }
(8.13)
ROC : |z| > |a| 임을
이라고 하면
Z
←─→
1
jω
1-e z-1
Z
1
←─→
-jω
1-e
z-1
0
0
ROC : |z| > 1
ROC : |z| > 1
X( z) 는
=
1
1
1
1
+
ω
2 1-e j z-1
2 1-e -jω z-1
0
0
1 - z - 1 cos ω 0
=
-1
-2 ,
ω
1-2z cos 0 +z
- 21 -
ROC : |z| > 1
(8.14)
(2) 시간 이동성(Time Shift)
◆ 만약
Z
x[ n] ←─→ X( z) 이면 x[ n] 을 k
만큼 시간 이동한
x[ n - k] 의 z -변환은
Z
x[ n - k] ←─→ z - kX( z)
◆ 이때
k>0
z - kX( z) 의
인 경우는
수렴 영역은
z=0
이,
k<0
X( z) 의
수렴 영역과 같으나
일 경우는
z=∞
z-k
항 때문에
가 수렴 영역에서 제외되어야 함
◎ 시간 이동성을 증명하면
: 식 (8.1)의 z -변환 정의를 이용하면
∞
Z
x[ n - k] ←─→ ∑ x[n-k]z - n
(8.15)
n =- ∞
: 식 (8. 15)에서 우변을
∞
∑ x[n-k]z
n =- ∞
-n
n-k= l
∞
=
로 변수 치환하면
∑ x[l]z
- ( l + k)
n =- ∞
- 22 -
=z
-k
∞
∑ x[l]z - l = z - kX(z)
n =- ∞
(3) z -영역에서의 척도 조절성(Scaling Property)
Z
◆ 만약 x[n] ←─→
X( z), ROC : r 1 < |z| < r 2 이면, 임의의 상수 a 에 대하여
Z
a nx[n] ←─→ X( a - 1z),
ROC : |a|r 1 < |z| < |a|r 2
◎ 이 성질을 증명하기 위하여
: 먼저 식 (8.1)의 z -변환 정의를 이용하면
∞
n
n
Z {a x[n] } = ∑ a x[n]z
n =- ∞
:
X( z) 의
-n
∞
= ∑ x[n]( a - 1 z) - n = X( a - 1z)
n =- ∞
수렴 영역이 r 1 < |z| < r 2 이므로
X( a - 1z) 의
수렴 영역은 r 1 < |a - 1z| < r 2 또는 |a|r 1 < |z| < |a|r 2 이 됨
- 23 -
(8.16)
[예제 8.6] 다음 이산 신호의 z -변환을 척도 조절 성질을 이용하여 풀어 보자.
x[ n] = a n ( cos ω 0n)u[ n]
(풀이) 식 (8.14)와 식 (8.16)으로부터
-1
1
az
cos ω 0
Z
n
x[ n] = a ( cos ω 0n)u[ n] ←─→
,
1-2az - 1 cos ω 0 +a 2z - 2
- 24 -
ROC : |z| > |a|
(4) Z -영역에서의 미분
: 만약
Z
x[ n] ←─→ X( z) 이면,
Z
dX( z)
nx[ n] ←─→ - z
dz
(8.17)
◎ 이 성질을 증명하기 위해서 z -변환의 정의를 다시 쓰면
∞
X(z)≡ ∑ x[n]z - n
(8.18)
n =- ∞
◎ 식 (8.18)의 양변을 z 에 대해 미분하면
dX( z)
dz
∞
= ∑ x[n](-n)z
-n-1
n =- ∞
=- z
-1
∞
∑ nx[n]z
n =- ∞
=- z - 1 z {nx[ n] }
:
x[ n] 이나 nx[ n] 의
z -변환은 같은 수렴 영역을 갖는다.
- 25 -
-n
[예제 8.7] 다음 이산 신호의 z -변환을 구하여라.
x[ n] = na nu[n]
(풀이)
x 1 [n]= a nu[n] 이라고
하면 예제 8.4로부터
Z
x 1 [n] = a nu[n] ←─→ X 1 (z) =
x[ n] =nx 1 [n] 이므로
x[ n]
x 1 [n] 의
1
-1 ,
1 - az
z -변환은
ROC : |z| > |a|
식 (8.17)으로부터
dX 1 (z)
Z
= na nu[n] ←─→ X( z) =- z
dz
az - 1
ROC : |z| > |a|
=
-1 2
(1-az )
- 26 -
(5) 두 신호의 컨벌루션
: 만약
Z
Z
x 1 [n] ←─→ X 1 (z) 이고 x 2 [n] ←─→ X 2 (z) 이면
Z
x[ n] = x 1 [n] * x 2 [n] ←─→ X( z) = X 1 (z) X 2 (z)
◎ z -변환을 이용하여 시스템을 해석하는 과정
(i) 입력 신호
x[ n] 과
시스템의 임펄스 응답
h[ n] 을
z -영역에서
표현하기 위해 각각 z -변환한다.
X( z) = Z {x[ n] },
여기서,
(ⅱ) z -변환된
H( z) 는
H( z) = Z {h[ n] }
시스템의 전달 함수(transfer function)
X( z) 와 H( z) 을
곱한다.
Y( z) = X( z) H( z)
- 27 -
(8.19)
(iii)
Y( z) 의
z -역변환을 구하여 시간 영역에서 신호를 표현하면
시스템의 출력 신호
y[ n] 이
된다.
y[ n] = Z - 1 {Y( z) }
◎ 두 이산 신호
x 1 [n] 과 x 2 [n] 의
컨벌루션(식 (8.19)의 증명)
∞
x[ n] = ∑ x 1 [k] x 2 [n-k]
(8.20)
k =- ∞
: 식 (8.20)의
x[ n] 에
z -변환의 정의식인 식 (8.18)을 적용하면
∞
X(z) = ∑ x[n]z
-n
n =- ∞
∞
X( z)
= ∑ x 1 [k]
k =- ∞
{
∞
∞
n =- ∞
k =- ∞
= ∑ { ∑ x 1 [k] x 2 [n-k] }z - n
∞
∑ x 2 [n-k] z - n
n =- ∞
∞
}
= X 2 (z) ∑ x 1 [k] z - k = X 2 (z) X 1 (z)
k =- ∞
- 28 -
(8.21)
(8.22)
[예제 8.8] 입력 신호
출력
x[ n] 과
y[ n] 을
임펄스 응답
h[ n] 이
다음과 같을 때 시스템의
z -변환을 이용하여 구하여 보자.
x[ n] = {1, - 2, 1 }
h[ n] =
(풀이) 식 (8.18)에서부터
{
1,
0≤n≤5
0,
다른경우
x[ n] 과 h[ n] 의
z -변환을 구해보면 다음과 같다.
X(z) = 1 - 2z - 1 + z - 2
H(z)= 1 +z - 1 +z - 2 +z - 3 +z - 4 +z - 5
X( z) 와 H( z) 을
곱하여 정리하면
- 29 -
Y(z)
= X( z) H( z)
= ( 1 - 2z - 1 + z - 2 )( 1 + z - 1 + z - 2 + z - 3 + z - 4 + z - 5 )
= 1 + ( 1 - 2) z - 1 +(1-2+1) z - 2 + ( 1 - 2 + 1) z - 3
(8.23)
+ ( 1 - 2 + 1) z - 4 +(1-2+1) z - 5 -(-2+1) z - 6 + z - 7
= 1-z - 1-z - 6+z - 7
◆ z -변환에서 z - n 항의 계수는 시각 n 에서 신호의 값이므로
z 의 지수항은 신호 샘플의 위치를 알 수 있는 시간 정보를 포함하고 있음
◆ 식(8.23)를 시간 영역에서 다시 표현하면
y[ n] = { 1, - 1, 0, 0, 0, 0, - 1, 1 }
- 30 -
8.3 Z-역변환
x[ n] =
여기서,
⌠
⌡c
1 ⌠
X(z)z
2πj ⌡c
n-1
(8.24)
dz
는 폐경로(closed contour)
C
를 따라 z -평면에서
반시계 방향으로 적분하는 것을 의미하며
경로
C
는
X( z) 의
수렴영역 내에서만 선택되어야 함
◎ z -역변환을 구하는 방법
① 식 (8.24)를 직접 계산하는 방법
② 멱급수 전개(power series expansion)를 이용하는 방법
③ 부분 분수 전개(partial fraction expansion)를 이용하는 방법
- 31 -
8.3.1 멱급수 전개에 의한 Z -역변환
◎ z -변환의 정의 식인 식 (8.18)을 이용하여 멱급수 형태로 전개
◎ 멱급수는 수렴 영역 안에서 수렴하여야 함
∞
X(z)= ∑ c nz - n
n =- ∞
◎ 식 (8.25)와 식 (8.18)로부터 모든 n 에 대하여 다음을 만족해야 함
x[n] = c
◎
X( z) 가
n
유리 함수일 경우
: 장제법(long division)을 이용하여 멱급수로 전개된 형태를 찾음
- 32 -
(8.25)
[예제 8.9] 다음 z -변환의 역변환을 구하여라.
1
X(z) =
1-
(a) 수렴영역 :
3 -1
1
z + z-2
2
2
(b) 수렴영역 :
|z| > 1
|z| < 0.5
(풀이)
(a) 수렴 영역이 원의 외부이므로
x[ n] 이
인과 신호라는 것을 예상할 수 있다.
따라서 전개하려는 멱급수에서는 z 에 대한 지수항이 음(-)이 되도록 만들어야
한다.
X( z) 를
다시 쓰면
z2
X( z) =
3
1
z 2 - z+
2
2
이 되고 분자를 분모로 나누면
- 33 -
(8.26)
1+
z2-
3
1
z+
2
2
3 -1
7
15 - 3
31 - 4
z + z-2+
z +
z +⋯
2
4
8
16
)z 2
z 2-
3
1
z+
2
2
3
1
z2
2
3
9
3
z- + z-1
2
4
4
7
3
- z-1
4
4
7
21 - 1
7
z + z-2
4
8
8
15 - 1 7 - 2
z - z
8
8
15 - 1
45 - 2
15 - 3
z z +
z
8
16
16
31 - 2 15 - 3
z z
16
16
- 34 -
X( z) 를
아래의 멱급수 형태로 다시 쓰면
X( z) = 1 +
3 -1
7
15 - 3
31 - 4
z + z-2+
z +
z +⋯
2
4
8
16
(8.27)
z 의 지수항은 시간 정보를 포함하고 있기 때문에
식 (8.26)의 z -역변환을 다음과 같이 쉽게 구할 수 있음
x[ n] =
{
1,
3
,
2
7
,
4
15
,
8
31
, ⋯
16
}
(b) 이 경우는 수렴 영역이 원의 내부이며 신호는 비인과 신호이다.
비인과 신호를 표현하기 위해서는 z 의 지수항이 양(+)이 되어야 한다.
장제법을 사용하여 식 (8.26)의 분자를 분모로 나누면
- 35 -
2z 2 + 6z 3 + 14z 4 + 30z 5 + 62z 6 + ⋯
1 -2
3
z - z-1+1
2
2
)1
1 - 3z + 2z 2
3z - 2z 2
3z - 9z 2 + 6z 3
7z 2 -6z 3
7z 2 - 21z 3 + 14z 4
15z 3 -14z 4
15z 3 - 45z 4 + 30z 5
31z 3 -30z 4
1
X( z) =
1-
3 -1
1
z + z-2
2
2
식 (8.18)과 비교해 보면
= 2z 2 + 6z 3 + 14z 4 + 30z 5 + 62z 6 + ⋯
x[ n] 이
다음과 같이 됨을 알 수 있음
x[ n] ={ ⋯, 62, 30, 14, 6, 2, 0, 0}
↑
- 36 -
8.3.2 부분 분수 전개에 의한 Z -역변환
◎
X( z) 를
다음과 같이 분해한 후
X 1 (z), ⋯,X K (z) 의
역변환
x 1 [n], ⋯,x K [n] 을
표에서 찾는 방법
◎
X( z) 가
X( z) =α 1X 1 (z) + α 2X 2 (z) + ⋯ + α KX K (z)
(8.28)
x[ n] =α 1x 1 [n] + α 2x 2 [n] + ⋯ + α Kx K [n]
(8.29)
다음과 같이 유리 함수의 형태로 주어졌을 때 유효하게 사용되며
부분 분수 전개에 의한 z -역변환이라고 부름
b 0 + b 1z - 1 + ⋯ + b M z - M
N( z)
X(z) =
=
D( z)
1+a 1z - 1 +⋯+a Nz - N
- 37 -
(8.30)
[예제 8.10] 다음 z -변환의 역변환을 부분 분수 전개에 의한 방법으로 구하여라.
X( z) =
(풀이) 먼저 분모와 분자에
1
1 - 1.5z - 1 + 0.5z - 2
z2
을 곱해서
z의
,
|z| > 1
지수항이 양의 값이 되도록 한다.
z2
X( z) = 2
z -1.5z+0.5
X( z) 의
극점(pole)을 찾으면 p 1 = 1과 p 2 = 0.5이다.
따라서 부분 분수로 전개하면
A 1z
A 2z
z2
X( z) =
=
+
(z-1)(z-0.5)
z-1
z - 0.5
- 38 -
(8.31)
이 되고, A 1과 A 2 를 구하기 위해 식 (8.31)의 양변에 ( z - 1)( z - 0 .5)를
곱하면
z 2 = ( z - 0.5) A 1z + ( z - 1) A 2z
가 되고
(8.32)
A 2 가 포함된 항을 없애기 위해 식 (8.32)에 z = 1을 삽입하면
1 = ( 1 - 0.5) A 1
이 되어 A 1 =2을 얻게 된다. 다시 식 (8.32)에서 z = 0.5을 삽입하면
A 1 이 포함된 항이 없어지게 되고
0.5 2 = (0.5-1) A 2 (0.5)
가 되어 A 2 =- 1의 값을 얻게된다. 따라서 부분 분수 전개한 결과는
- 39 -
X( z) =
2z
z
z-1
z - 0.5
이 된다. 이제 주어진 수렴영역
|z| > 1에 대하여 표 8.1에서
식 (8.33)의 각항에 대한 역변환을 찾으면 된다.
x[ n] =2u[ n] - ( 0.5) n u[n]
- 40 -
(8.33)
표 8.1 주요 신호의 z -변환
x[ n],
n≥0
X( z)
수렴영역
| z| > R
1
0
1. δ [ n]
2. δ [ n - m]
z
3. u[ n]
z
z-1
-m
z
( z - 1)
4. u
5. n
2
6. a
n
7. n a
n
0
1
2
1
z(z+1)
( z - 1) 3
1
z
z-a
|a|
az
( z - a)
- 41 -
2
|a|
표 8.1 주요 신호의 z -변환(계속)
x[ n],
8. ( n + 1) a
n≥0
수렴영역
| z| > R
X( z)
z2
(z-a)
n
|a|
2
z m+1
(z-a) m + 1
|a|
10. cos ω 0n
z( z - cos ω 0 )
z 2 -2z cos ω 0 +1
1
11. sin ω 0n
z sin ω 0
z 2 -2z cos ω 0 +1
1
9.
( n + 1)( n + 2 )⋯( n + m) a
m!
12. a
n
13. a
n
n
cos ω 0n
z(z-a cos ω 0 )
z 2 -2za cos ω 0 + a
sin ω 0n
za sin ω 0
z 2 -2za cos ω 0 + a 2
- 42 -
2
|a|
|a|
표 8.1 주요 신호의 z -변환(계속)
x[ n],
X( z)
수렴영역
| z| > R
z
z - exp [ - aT]
| exp [ - aT]|
Tz
( z - 1)
1
n≥0
14. exp [ - anT]
15. nT
16. nT exp [ - anT]
17. cos nω 0T
18. sin nω 0T
2
Tz exp [ - aT]
[ z - exp [ - aT]] 2
z( z - cos ω 0 T)
z 2 -2z cos ω 0 T+1
z sin ω 0 T
z 2 -2z cos ω 0 T+1
| exp [ - aT]|
1
1
19. exp [ - anT] cos nω 0T
z[z-exp [-aT] cos ω 0 T]
z 2 -2z exp [-aT] cos ω 0 T+exp [-2aT]
| exp [ - aT]|
20. exp [ - anT] sin nω 0T
z[ z-exp [-aT] sin ω 0 T]
z 2 -2z exp [-aT] cos ω 0 T+exp [-2aT]
| exp [ - aT]|
- 43 -
8.4 단방향 Z-변환
◎ n≥0 경우에만 신호가 존재하는 경우의 z -변환 방법
∞
+
X (z) = ∑ x[n]z - n
(8.34)
n=0
◎ 양방향 z -변환과 구분하기 위해
+
Z {x[ n] }
또는
X + (z)의 기호를 사용
Z+
x[ n] ←──→ X + (z)
8.4.1 단방향 Z -변환의 성질
◎ 식 (8.34)를 보면
x[ n] 에
대하여 음(-)의 시간에 대한 정보를 포함하지 않고
있기 때문에 인과 신호에 대해서만 유일하게 존재
◎
x[ n]u[ n] 의
양방향 z -변환과 동일한 값을 갖음
◎
x[ n]u[ n] 이
인과 신호이므로
X + (z) 의
수렴영역은 복소평면에서
반드시 원의 외부가 되므로 수렴 영역을 특별히 언급할 필요가 없음
- 44 -
[예제 8.11] 다음 신호의 단방향 z -변환을 구하여라.
(풀이) 식 (8.34)의 정의로부터
(a)
z+
x 1 [n] = { 1, 2, 3, 4, 0, 2 } ←─
-1
→ X+
+ 3z - 2 + 4z - 3 + 2z - 5
1 (z) = 1 +2z
↑
+
z
[n]
=
{
1,
2,
3,
4,
0,
2
}
x
-1
2
(b)
←──→ X +
+ 2z - 3
2 (z) = 3 + 4z
↑
+
z
[n]
=
{
7,
8,
3,
4,
0,
2
}
x
-1
-3
(c) 3
←──→ X +
(z)
=
3
+
4z
+
2z
3
↑
(d) x 4 [n] = δ [ n - k],
z+
-k
k > 0 ←──→ X +
4 (z) = z
(e) x 5 [n] = δ [ n + k],
z+
k > 0 ←──→ X +
5 (z) = 0
- 45 -
(1) 시간 이동성(Shifting Property)
(i) 시간 지연(Time Delay)
+
Z
◎ 만약 x[ n] ←──→ X + (z)이면
k
Z+
-k
+
x[ n - k] ←──→ z
X (z) + ∑ x[-n]z n
{
n=1
}
k>0
(8.35)
◎ 만약 x[ n]이 인과 신호일 경우
Z+
x[ n - k] ←──→ z - kX + (z)
◎ z -변환 성질의 증명
∞
+
Z {x[ n - k] } = ∑ x[n-k]z
n=0
=z
-k
{
∞
∑ x[l]z
l=0
-l
-n
∞
= ∑ x[l]z - ( k + l)
n =- k
-1
+ ∑ x[l]z
l =- k
- 46 -
-l
}
=z
-k
{
+
k
X (z) + ∑ x[-n]z n
n=1
}
◎ 단방향 z -변환의 시간 이동성을 이해하기 위해서 식 (8.35)를 다시쓰면
z + {x[ n - k] } =
(8.36)
{ x[ - k] + x[ - k + 1]z - 1 + ⋯ + x[ - 1]z
-k+1
} + z - kX + (z)
k>0
즉, x[ n]으로부터 x[ n - k]를 얻기 위해서는 x[ n]을 k 샘플만큼 오른쪽으로
이동하여야 하며 k 개의 새로운 샘플,
x[ - k],x[ - k + 1],⋯,x[ - 1]이
양(+)의 시간을 채우게 된다. 식 (8.36)의 처음 항들이 바로 이 성분들을
의미한다.
(ii) 시간 선행(Time Advance)
+
Z
만약 x[ n] ←──→ X + (z) 이면
k-1
Z+
k
+
x[ n + k] ←──→ z X (z) - ∑ x[n]z - n
{
n=0
- 47 -
}
k>0
(8.37)
8.4.2 단방향 Z -변환을 이용한 차분 방정식의 풀이
[예제 8.12] 다음 차분 방정식으로 표현되는 이산 시스템이 있다.
시스템의 출력
y[ n] -
y[ n] 을
구해 보자.
1
y[ n - 1] = δ [ n],
2
(풀이) 주어진 차분 방정식의 출력
y[ n] 은
y [ - 1] = 3
(8.38)
3장에서 배운 차분 방정식의 풀이법을
이용해도 구할 수 있으나 z -변환을 이용하여 차분 방정식을 풀어 보면
{
Z + y[ n] -
1
y[ n - 1] = Z + {δ [ n] }
2
}
(8.39)
식 (8.39)의 좌변에 z -변환의 선형성과 시간 이동성을 적용하면
Y + (z) -
1 -1
z { Y + (z) + y[ - 1]z } = 1
2
- 48 -
(8.40)
식 (8.40)에 주어진 초기 조건을 삽입하고 다시 정렬하면
5
2
5
z
Y + (z) =
=
1
2
1
1- z-1
z2
2
표 8.1로부터
Y + (z) 의
역변환을 찾으면
y[ n] =
5 1 n
( ) ,
2 2
n≥0
이 결과는 물론 차분 방정식의 풀이법을 이용하였을 때와 같은 결과이다.
- 49 -
[예제 8.13] 다음 차분 방정식을 풀어라.
y[ n + 2] - y[n + 1] +
2
y[ n] = u[ n],
9
y[ 1] = 1,
y[ 0] = 1
(8.41)
(풀이) 식 (8.37)의 시간 선행 성질을 이용하여 식 (8.41)의 양변에
단방향 z -변환을 취하면
z 2 { Y + (z) - y[ 0]- y[ 1]z - 1 } - z { Y + (z) - y[ 0] } +
표 8.1로부터 X + (z) =
(
z
이므로 주어진 초기 조건을 이용하면
( z - 1)
2
z -z+
Y + (z) =
9
2
)
2 +
Y (z) = X + (z)
9
(
z
+z2 = z
z-1
)
- 50 -
(
z 2 -z+ 1
z-1
)
다시 정렬하면
+
Y (z) = z
{
z 2 -z+ 1
1
2
( z - 1) z z3
3
(
)(
)
}
부분 분수 전개에 의한 역변환 방법을 이용하면
Y + (z) = z
{
9
2
+
( z - 1)
7
2
(
z-
1
3
)
-
7
(
z-
2
3
)
다시 표 8.1을 이용하면
9
7
y[ n] = u[ n] +
2
2
1
3
( )
- 51 -
n
2
u[n] - 7
3
n
( ) u[n]
}
8.5 Z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특성
◎ 이산 선형 시불변(LTI) 시스템의 전달 함수
: 임펄스 응답
h[ n] 의
z -변환
: 이산 LTI 시스템의 출력은 시스템의 임펄스 응답
h[ n] 과
입력
x[ n] 의
컨벌루션 합으로 표현됨
y[ n] = x[ n] * h[ n]
(8.42)
: z -변환의 컨벌루션 성질을 이용하여 식 (8.42)의 양변에 z -변환을 취하면
Y( z) = X( z)H( z)
◎ 전달함수 H( z)
: 입력과 출력 신호의 z -변환의 비율
H( z) =
- 52 -
Y( z)
X( z)
(8.43)
8.5.1 전달 함수와 차분 방정식과의 관계
◎ 입력 신호 x[ n]과 출력 신호 y[ n]을 갖는 선형 시불변 시스템의 입출력
관계식을 N 차 차분 방정식으로 표현하면
N
M
k=1
k=0
y[ n] =- ∑ a ky[n-k] + ∑ b kx[n-k]
(8.44)
◎ 식 (8.44)의 양변에 z -변환을 취하고 시간 이동 성질을 이용하여
전달 함수를 구하면(단, 시스템의 초기 조건을 0 이라고 가정)
{
N
∑ a kz
k=0
-k
}
{
M
}
Y( z) = ∑ b kz - k X( z)
H( z) =
{
k=0
N
∑ b kz - k
k=0
M
∑ a kz - k
k=0
- 53 -
}
(8.45)
[예제8.14] 다음 전달 함수를 갖는 시스템의 차분 방정식을 구하여라.
H( z) =
5z + 2
z 2 + 3z + 2
(풀이) H( z)를 z - 1의 다항식의 비로 다시 표현하면
5z - 1 +2z - 2
H(z)=
1+3z - 1 +2z - 2
식 (8.44)와 식 (8.45)를 참조하여 시스템의 차분 방정식을 구하면
y[ n] + 3y[ n - 1] + 2y[ n - 2]= 5x[ n - 1] + 2x[ n - 2]
- 54 -
8.5.2 시스템의 안정도와 인과성
◎ 선형 시불변 시스템이 인과적이면 임펄스 응답은 다음 조건을 만족
h[ n] = 0 , n < 0
: 임펄스 응답의 z -변환인 선형 시불변 시스템의 전달 함수의 수렴 영역이
반지름 r < ∞인 원의 외부가 된다면 그 시스템은 반드시 인과적이 됨
: 인과적 시스템의 전달 함수는 그 수렴 영역이 원의 외부가 되어야 함
◎ 선형 시불변 시스템의 안정도
: 입력이 유한할 때 출력도 유한하다면 이 때 시스템은 BIBO 안정이라고 함
: 모든
n에
대하여 유한한
M x와 M y가
존재하고 다음 식을 만족하면 시스템은
BIBO 안정하다고 함
|x[ n]|≤M x < ∞ ,
- 55 -
|y[ n]|≤M y < ∞
(8.46)
: 식 (8.46)의 BIBO안정도 조건을 시스템의 임펄스 응답에 대한 조건으로
바꾸기 위해서 시스템의 입출력 관계를 컨벌루션 합의 형태로 표현하면
∞
y[ n] = ∑ h[k]x[ n - k]
k =- ∞
: 이 방정식의 양변에 절대값을 취하면
|y[ n]| =
|
∞
|
∞
∞
k =- ∞
k =- ∞
∑ h[k]x[ n - k] ≤ ∑ |h[k]||x[n - k]|≤M x ∑ |h[k]| (8.47)
k =- ∞
◎ 시스템의 임펄스 응답에 대한 조건
: 출력이 유한한 값을 가지게 될 조건
: 선형 시불변 시스템이 BIBO 안정하기 위한 필요 충분 조건
: 이 조건은
H( z) 가
단위원을 수렴영역 안에 포함한다는 것을 의미
∞
∑ |h[k]| < ∞
k =- ∞
- 56 -
(8.48)
: z -변환의 정의로부터
∞
H(z)=
∑ h[n]z - n
n =- ∞
: 양변에 절대값을 취하면
∞
|H( z)|≤ ∑ |h[n]z
-n
n =- ∞
∞
| = ∑ |h[n]||z - n|
n =- ∞
: 식 (8.49)을 복소 평면의 단위원(즉,
|z| = 1 )
∞
상에서 구하면
|H( z)|≤ ∑ |h[n]|
n =- ∞
- 57 -
(8.49)
◎ 선형 시불변 시스템이 BIBO 안정하기 위한 필요 충분 조건
: 시스템의 전달 함수
H( z) 의
수렴 영역 안에 반드시 단위원이
포함되어야 함
: 시스템이 인과적이며 동시에 안정하다면 전달 함수의 수렴 영역은
원의 외부이면서 단위원을 포함하여야 함(그림 8.5(a))
: 반면에 인과적이지만 안정하지 못한 경우는 수렴 영역이 원의 외부이면서
단위원을 포함하지 않아야 함(그림 8.5(b))
- 58 -
(a) 안정 인과적 시스템
(b) 비안정 인과적 시스템
그림 8.5 연속 및 이산 시스템의 성질과 수렴 영역과의 관계
- 59 -