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수리경제학입문 기말고사
서강대학교 경제학과
2005 년 1 학기
담당교수: 전성훈
허용시간 75 분, 총배점 45 점
Ⅰ. 다음을 정의, 기술 혹은 증명하시오. (총 10 점, 각 1 점)
(1). 2 차형식을 이용하여 A(nxn 행열: 이하 동일) 가 양정부호(positive definite) 행렬일 조건을
정의하라.
(2). A 의 주소행열식을 이용하여 A 가 양정부호(positive definite) 행렬일 조건을 기술하라.
(3). A 의 고유치 λ 와 고유벡터 q 를 정의하라.
(4). A 가 양정부호이면 A 의 고유치가 모두 양임을 증명하라.
(5). A 의 행열식을 Laplace 전개를 이용하여 정의하라.
(6). A 의 행열식을 permutation 을 이용하여 정의하라.
(7). A 의 역행열을 구하는 법을 기술하라.
1
2
m
(8). n 차원 벡터의 집합 { q , q , ……, q } 이 선형독립일 조건을 정의하라.
(9). A 의 rank 를 정의하라.
(10). Weierstrass 의 정리를 기술하라.
Ⅱ. 다음 문제에 대해 답하시오. (총 15 점)
−1
(1) P = X ( X X ) X 가 idempotent matrix 임을 증명하라. (2 점)
T
⎡1
⎢1
(2) X = ⎢
⎢1
⎢
⎣1
T
2⎤
4 ⎥⎥
일 때, 위 P 의 고유치를 구하라. (2 점)
1⎥
⎥
3⎦
⎡ 1 -1 -3 0 ⎤
⎢ 0 1 0 4⎥
⎥ 의 행열식을 구하라.
(3) A = ⎢
⎢ -1 2 8 5 ⎥
⎢
⎥
⎣ -1 -1 -2 3⎦
(2 점)
(4) 생산함수가 y = 12 ⎡⎣ 0.4 x1
−1/ 2
δy δy
,
δ x1 δ x2
+ 0.6−21/ 2 ⎤⎦
−2
의 형태로 주어져 있다. 한계실물생산함수인
를 구하라. (3 점)
(5) y = x1 + x2 + x3 (단, xi > 0 ) 의 Hessian 행열을 구하고, 이 함수가 엄정오목이기 위해서는
α
α, β ,γ
β
γ
가 어떤 조건을 충족해야 하는지를 밝혀라. (3 점)
(6) 동일한 산출물을 두 개의 공장에서 생산하는 독점기업이 있다. 각 공장의 비용함수는
C1 = q12 , C2 = 2q2 이고, 수요함수는 p = 70 − 2(q1 + q2 ) 이다. 독점기업의 이윤을 극대화하는
각 공장의 산출량을 구하라. (3 점)
Ⅲ. 다음 문제를 푸시오. (총 8 점)
어떤 기업의 생산함수가 y = AL K 로 주어져 있다. 이 기업은 완전경쟁시장에서 생산하는 가
α
β
격 수용기업으로서 산출물 y 의 단위당 가격은 p, 생산요소 L, K 의 단위당 비용은 각각 w, r 로
주어져 있다.
(1) 이윤극대화의 1 계조건을 이용하여, 생산요소 수요함수 및 산출물 공급함수를 구하라. (4 점)
(2) 이윤극대화의 1 계 조건이 유일한 극대해의 필요충분조건임을 보장하는 조건을 제시하라.
(4 점)
Ⅳ. 다음 문제를 푸시오. (총 12 점 + 보너스 3 점)
어떤 소비자의 효용함수가 u ( x1 , x2 ) 로 주어져 있다. 두 재화의 가격은 p1 , p2 이고,
소비자의 소득은 m 이다.
(1) 라그랑지 방법을 이용하여 예산제약하의 최적화의 1 계조건을 나타내라. (3 점)
(2) 1 계조건이 최적화문제의 유일한 극대해의 필요충분조건임을 보장하는 조건을 제시하라. (3
점)
(3) 1 계조건에 implicit function rule 을 적용해서
∂x1
을 표현하라. (3 점)
∂p1
(4) 1 계조건에 implicit function rule 을 적용해서
∂x1
을 표현하라. (3 점)
∂m
(5) Slutsky equation 을 표현하라. (보너스 3 점)