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Chapter 4
Frequency Domain Analysis
(z-Transform)
Introduction
ᆞ
디지털 신호 및 프로세서의 표현
ᆞ
z 변환과 푸리에 변환은 밀접하게 연관되어 있다
ᆞ
z 변환을 다루는 3 가지 주요 이유
1) 간단하고 편리한 수단
2) 디지털 신호처리 설계에 많이 이용
3) 극점과 영점 해석 : 프로세서의 안정성 및 주파수응답 특성 분석
•
단방향 변환
X (z) =
∞
∑
x[ n ] z − n
n=0
–
X(z)는 n=0 이전의 x[n]과는 상관 없음
–
일반적인 코절 신호나 코절 선형시불변 프로세서의 분석에 적합
–
참고: 양방향 z 변환
z-1
•
X(z)는
•
푸리에 변환과 밀접한 관계
의 멱급수(power series)
z = exp ( j Ω )
X ( z ) | z = exp( jΩ ) =
X (z) =
∞
∑ x[ n ] z − n
n = −∞
∞
∑
n=0
x[ n ] exp ( − jΩ n )
Ω=
2π
k
N
예제 4.1
(a) 다음 지수 감쇠 신호의 z 변환을 구하고 간단하게 표현하라
∞
X ( z ) = ∑ x[ n ] z − n = 1 + 0 .8 z −1 + 0 .64 z − 2 + 0 .512 z − 3 + L
n=0
= 1 + ( 0 .8 z −1 ) + ( 0 .8 z −1 ) 2 + ( 0 .8 z −1 ) 3 + L =
∞
∑A
n=0
n
=
1
1− A
where
( A < 1)
(b) 다음 z 변환에 대응하는 신호를 구하고 그림으로 표현하라
z −1
1
X ( z) =
=
= z −1(1 + 1.2z −1)−1
−1
z + 1.2 (1 + 1.2z )
{
}
= z −1 1 + (−1.2z −1) + (−1.2z −1)2 + (−1.2z −1)3 + L
= z −1 −1.2z −2 + 1.44z −3 −1.728z −4 + L
x [1 ] = 1
x [2 ] = − 1 . 2
x [3 ] = 1 . 44
x [4 ] = − 1 . 728
ROC
X (z) =
1
z
=
−1
1 − 0 .8 z
z − 0 .8
z > 0 .8
1
z + 1 .2
z-변환의 정의
•
z는 시간 이동요소
–
한 샘플 시간 지연 :
z −1
–
한 샘플 시간 앞섬 :
z
–
m 샘플 만큼 시간이 앞서거나 지연 :
X (z) =
∞
∑ δ [ n ]z
n=0
−n
z±m
= z − n |n = 0 = 1
δ [n] ↔ 1 ⇒ δ [n ± m] ↔ z± m
∞
Q
∑ δ [n
± m]z
-n
= z±m
n=0
단방향 z 변환의 경우는 초기 조건들을 포함하며, 이러한 이유로
코절 선형 시불변 프로세서의 과도응답을 계산하는데 적합
z-변환의 정의
•
컨벌루션 특성
x[n] ↔ X (z), h[n] ↔ H(z) ⇒ y[n] = h[n]∗ x[n], Y(z) = H(z) X (z)
임펄스 응답 : h(n)
•
전달 함수 : H (z )
컨벌루션 특성 예
n= 0
1
2
3
4
5
6
x[n] = 1
-2
3
-1
-1
0
0
0
0 ...
h[n] = 2
1
-1
0
0
0
0
0
0 …
y[n] = 2
-3
3
3
-6
0
7
1
y[n] = x[n]* h[n]
X ( z ) = 1 − 2 z −1 + 3 z −2 − z −3 − z −4
전달함수
H (Ω ) 와 대응
H ( z ) = 2 + z −1 − z − 2
Y(z) = X(z)H(z)
X ( z ) H ( z ) = 2 − 3 z −1 + 3z −2 + 3 z −3 − 6 z −4 + z −6
8 …
0
0
...
z-변환의 정의
•
z 역변환 : 경로 적분
x[n] =
•
1
n −1
∫ X ( z ) z dz (4.7)
2πj
Cauchy의 적분 공식
함수 f가 closed contour C 위나 내부에서 analytic 하다면, C내의 모든 점 z0에서 다음 식 성립
f ( z0 ) =
•
1
2π j
f (z)
∫z−z
dz ⇒
0
f (z)
∫C z − z
dz = 2π jf ( z 0 )
0
주로 사용되는 역변환 방법
–
z-변환쌍 표를 이용하는 방법 : 표 4.1
–
부분 분수 방법
z-변환 쌍
예제 4.2
표 4.1을 이용하여 역변환을 구하고 멱급수 방법으로 구한 결과와 일치하는지 확인
풀이) 부분 분수 방법 (변환쌍 이용)
X (z) =
1
z ( z − 1 )(2 z − 1 )
( z − 1)( 2 z − 1) A + z ( 2 z − 1) B + z ( z − 1) C
A
B
C
+
+
=
z ( z − 1) ( 2 z − 1)
z ( z − 1)( 2 z − 1)
2 A + 2 B + C = 0, 3 A + B + C = 0, A = 1
A = 1, B = 1, C = − 4
=
1
1
2z
−4
z
)
+
+
= z −1 ( 1 +
−
z z −1 2z −1
z − 1 z − 0 .5
⇒ 1 → δ ( n ), 1 ⋅ z −1 → δ ( n − 1)
z
z
→ u ( n ),
⋅ z −1 → u ( n − 1)
z −1
z −1
⇒ 역변환 ⇒ δ [ n ] + u [ n ] − 2 ( 0 . 5 n u [ n ])
(
)
x[n ] = δ [n − 1] + u [n − 1] − 2 0.5 n −1 u [n − 1]
n=
x[n] =
0
0
1
0
2
0
3 4 5.......
0.5 0.75 0.875......
예제 4.2
풀이) 멱급수 전개 방법
0.5 z
2 z + 3z + z
2
3
−3
−4
+ 0.75 z + 0.875 z
−5
1
−1
− 1 .5 z + 0 .5 z
1
−1
−2
−2
1 .5 z − 0 .5 z
−1
−2
−3
1.5 z − 2.25 z + 0.75 z
1.75 z
−2
− 0.75 z
X ( z ) = 0.5 z
−3
−4
+ 0.75z + 0.875z
−5
−3
풀이) 전달함수로 가정하고 임펄스 응답을 구하는 방법
1
Y ( z)
=
z ( z − 1)(2 z − 1) X ( z )
Y ( z ) {z (z − 1)(2 z − 1)} = X ( z )
H ( z) =
{
}
Y ( z ) 2 z 3 − 3z 2 + z = X ( z )
∴2 z 3Y ( z ) − 3z 2Y ( z ) + zY ( z ) = X ( z )
2 y (n + 3) − 3 y (n + 2) + y (n + 1) = x(n)
2 y (n) − 3 y (n − 1) + y (n − 2) = x(n − 3)
∴ y (n) = 1.5 y (n − 1) − 0.5 y (n − 2) + 0.5 x(n − 3)
impulse response
h(0) = 1.5h(−1) − 0.5h(−2) + 0.5δ (−3) = 0
h(1) = 1.5h(0) − 0.5h(−1) + 0.5δ (−2) = 0
h(2) = 1.5h(1) − 0.5h(0) + 0.5δ (−1) = 0
h(3) = 1.5h(2) − 0.5h(1) + 0.5δ (0) = 0.5
h(4) = 1.5h(3) − 0.5h(2) + 0.5δ (1) = 1.5 × 0.5 = 0.75
복잡한 전달함수
H ( z) =
=
2
Y (z)
z 2 ( 2 z − 1) ( z + 1)
=
X ( z ) ( z + 0 .8 )( z 2 + 1 .38593 z + 0 .9604 )( z 2 − 1 .64545 z + 0 .9025 )
z5 − z 4 + z3 − z 2
z 5 + 0 .54048 z 4 − 0 .62519 z 3 − 0 .66354 z 2 + 0 .60317 z + 0 .69341
y ( n ) = − 0 .54048 y ( n − 1) + 0 .62519 y ( n − 2 ) + 0 .66354 y ( n − 3) − 0 .60317 y ( n − 4 )
− 0 .69341 y ( n − 5 ) + x ( n ) − x ( n − 1) + x ( n − 2 ) − x ( n − 3)
h(n)
그림 4.2
z-변환의 특성
표 4.2
z-변환의 특성
•
만일 x [ n ] ↔ X [ z ] 이면
최종값 정리
lim
x[ n ] =
n→ ∞
–
lim
z→1
⎛ z −1⎞
⎜
⎟ X (z)
⎝ z ⎠
예 : 단위 계단함수 입력에 대한 시스템의 안정상태 응답
⎛ z ⎞
Y (z) = ⎜
⎟H (z)
⎝ z −1⎠
⎛ z − 1 ⎞⎛ z ⎞
⎟⎜
⎟ H ( z ) = lim H ( z )
z ⎠⎝ z − 1 ⎠
z →1
y[n] = lim ⎜
lim
n →∞
z →1 ⎝
Y (z )
z = e jΩ 로 놓으면
z = 1 일때 Ω = 0 이므로
최종값은 주파수 0에 대한 주파수 응답
[
]
Y (z) 1− 0.8z −1 = X (z)
y[n] − 0.8 y[n − 1] = x[n]
H ( z ) = z /( z − 0.8)
y[n] = y[∞] = lim H ( z ) = 1 /(1 − 0.8) = 5.0
lim
n →∞
z →1
z 평면의 영점과 극점
•
유리함수로 주어지는 z 변환
–
거의 대부분의 실제적인 신호의 z 변환
–
선형 시불변 시스템의 전달함수
X (z) =
=
N (z
D (z
K (z
(z −
)
: 유리함수
)
− z 1 )( z − z 2 )( z − z 3 )...
p 1 )( z − p 2 )( z − p 3 )...
•
영점 : z1 , z 2 , z3 , K
•
극점 : p1 , p2 , p3 , K
•
실수함수의 z 변환의 영점과 극점 : 실수 또는 공액복소쌍으로 나타남
•
이득 : K
z 평면의 영점과 극점
z 평면
z 허수부
단위원
z 실수부
0
–
선형 시불변 시스템의 주파수 응답이나
신호의 스펙트럼을 보여 주는 쉽고 효율적인 방법
–
극점과 영점을 복소 평면에 표시하여
전달 함수의 특성을 나타냄
예제 4.3
다음 z 변환의 극점과 영점을 z 평면 상에 그리시오
(a ) X ( z ) =
z 2 ( z − 1 .2 )( z + 1)
( z − 0 .5 + j 0 .7 )( z − 0 .5 − j 0 .7 )( z − 0 .8 )
( b ) X ( z ) = ( z 5 − 1)( z 2 + 1)
z = ± j
z = exp( j 2 π n / 5 ), n = 0 ,1 , 2 , 3 , 4
z 평면의 영점과 극점
•
전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 실수 극점
전달 함수 :
Y (z)
1
=
X (z)
z −α
zY ( z ) − α Y ( z ) = X ( z )
H (z) =
이산방정식 :
y ( n + 1) − α y ( n ) = x ( n )
y ( n ) = α y ( n − 1) + x ( n − 1)
임펄스 응답 :
h ( n ) = α h ( n − 1) + δ ( n − 1)
h ( n ) = 0 , 1, α , α
2
,α 3 ,α
4
⋅ ⋅ ⋅
(실수 지수함수의 포락선 형태)
•
시스템이 안정되기 위해서는 극점이 단위 원 안에 위치하여야 한다
α < 1 : n → ∞일 때 0으로 감소 : 안정한 시스템
α > 1 : n → ∞일 때 무한히 증가 : 불안정한 시스템
| α | < 1 : 안정한 시스템의 조건
z 평면의 영점과 극점
•
전달 함수의 안정성과 극점의 위치 : 허수 극점
H (z) =
1
1
Y (z)
=
=
2
( z − j α )( z + j α )
(z + α
X (z)
2
)
z 2Y ( z ) + α 2Y ( z ) = X ( z )
y (n) = − α
2
y (n − 2) + x(n − 2)
h(n) = − α 2h(n − 2) + δ (n − 2)
h ( n ) = 0 , 0 , 1 , 0 , - α 2 , 0, α 4 , 0, - α 6 , 0 ⋅ ⋅ ⋅
•
단위 원 밖에 한 개 이상의 극점을 갖고 있다면 n → ∞ 가 됨에 따라 발산
이 경우에도
α < 1 : n → ∞일 때 0으로 감소 : 안정한 시스템
α > 1 : 무한히 증가 : 불안정한 시스템
| α | < 1 : 안정한 시스템의 조건
영점과 극점의 극좌표계 표현
•
예 : 공액 복소 극점쌍
⎛
a + jb ⎜ θ = tan
⎝
b⎞
⎟
a⎠
–
극점의 반지름과 각도 : r 과 θ
–
극점의 위치 :
re jθ 과 re − jθ
–
전달 함수 :
H (z) =
–
이산방정식 :
y [ n ] = 2 r cos θ y [ n − 1 ] − r 2 y [ n − 2 ] + x [ n − 2 ]
−1
Y (z)
1
=
jθ
X (z)
( z − re )( z − re − jθ )
1
1
= 2
=
z − r ( e jθ + e − jθ ) z + r 2
z 2 − 2 rz cos θ + r 2
h [ n ] = 0 , 0 , 1, 2 r cos θ , 4 r 2 cos
2
θ − r2, ⋅ ⋅ ⋅
r < 1 일 때만 안정
영점과 극점의 극좌표계 표현
•
예 : H ( z) =
2
Y ( z)
z 2 (2 z − 1) ( z + 1)
=
X ( z ) ( z + 0.8)( z 2 + 1.38593 z + 0.9604)( z 2 − 1.64545 z + 0.9025)
z = −0 .8
–
실수 극점 :
–
공액 복소 극점쌍 :
z 2 + 1.38593z + 0.9604 = 0, z 2 − 1.64545z + 0.9025 = 0
r 2 = 0 .942 그리고 2 r cos θ = − 1 .38593 따라서 r = 0 .98 그리고 θ = 45 o
r 2 = 0 .9025 그리고 2 r cos θ = 1 .64545 따라서 r = 0 .95 그리고 θ = 150 o
그림 4.2
극점이 단위 원 안에 있으므로 n → ∞ 로 갈 때 시간 함수는 0으로 수렴
영점과 극점의 극좌표계 표현
•
영점
–
영점의 위치는 시스템의 안정성과 관계가 없음
–
최소 지연 시스템 : 영점과 극점의 수가 같을 때
극점의 수가 많을 때는 원점에 영점을 추가
1
H (z) = 2
z − 2 rz cos θ + r 2
y[n] = 2r cosθy[n − 1] − r 2 y[n − 2] + x[n − 2]
–
z2
H (z) = 2
z − 2 rz cos θ + r 2
y[ n ] = 2 r cos θ y[ n − 1] − r 2 y[ n − 2 ] + x[ n ]
전달 함수가 극점보다 많은 수의 영점을 가질 때는 비코졀 시스템이 된다.
이때는 원점에 극점을 추가하여 영점과 극점의 수가 같도록 하여야 한다
–
z 평면의 원점에 위치한 영점이나 극점은 시간의 전진, 지연에만 영향을 미침
(신호의 특징과는 무관)
z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정
•
Z 변환
푸리에 변환 : z = exp( jΩ ) 는 항상 단위 진폭
H (z) =
•
z − 0 .8
| z = exp(
z + 0 .8
jΩ ) =
exp( j Ω ) − 0 . 8
exp( j Ω ) + 0 . 8
사인 주파수에 대응하는 z 평면 단위 원 상의 여러 점들의 예
그림 4.5
•
스펙트럼 특성은 항상 주파수 축상에서 2π 간격으로 반복
•
2π 구간 : z 평면의 단위 원 상에서 한번 회전 하는 구간
z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정
•
H (Ω) 의 분석 : H ( z ) =
z − 0 .8
| z = exp(
z + 0 .8
jΩ ) =
exp( j Ω ) − 0 .8
exp( j Ω ) + 0 .8
–
영점 벡터
Z1
: 영점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터
–
극점 벡터
P1
: 극점으로부터 단위 원 상의 관찰 주파수 점까지의 벡터
•
스펙트럼의 진폭 : 영점 벡터의 크기 / 극점 벡터의 크기
•
스펙트럼의 위상 : 영점 벡터의 위상 - 극점 벡터의 위상
350
0.8그림 4.6(a)
110 0
0.8
임의의 주파수 Ω = Ω1 에서
z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정
Ω = 0 ( z = 1)
Ω=
π
2
Ω =π
H (Ω) =
(Equal length )
0.2
= 0.111
1.8
H (Ω) = 1
H (Ω) =
1.8
x
o
0.2
1.8
=9
0.2
1.8
x
0.2
그림 4.6(b)
고역 필터
o
z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정
•
스펙트럼 함수의 진폭은 모든 영점 벡터의 길이의 곱을 모든 극점 벡터의 길이의 곱으로 나눈 값
•
추가적인 이득요소는 고려되어야 하지만 단지 함수의 모양이 아닌 크기만 변화
•
위상은 모든 영점 벡터의 위상들의 합에서 모든 극점들의 위상들의 합을 뺀 것과 동일
•
극점 가까이 갈수록 진폭 함수는 커진다
•
영점 가까이 갈수록 진폭 함수는 작아진다
•
단위 원 상의 영점 : 해당 주파수 성분을 완전히 제거한다
•
단위 원 상의 극점 : 해당 주파수에서 발진
예제 4.4
전달 함수로부터 시스템의 주파수 특성을 그래프로 표현
z 2 ( z − 1 .2 )( z + 1)
(a ) X ( z ) =
( z − 0 .5 + j 0 .7 )( z − 0 .5 − j 0 .7 )( z − 0 .8)
(b ) X ( z ) = ( z 5 − 1)( z 2 + 1)
z 평면에서 푸리에 변환의 기하학적 측정
z 2 ( z − 1)( z 2 + 1)
X (z) =
( z + 0 . 8 )( z 2 + 1 . 38593 z + 0 . 9604 )( z 2 − 1 . 64545 z + 0 . 9025 )
•
예 : 영점 : z = 1, z = ± j
⇒
Ω = π/2에서 출력은 0
(원점의 2중 영점 ⇒ 진폭에 아무런 영향을 미치지 않는다)
극점
r
Ω
공액복소쌍
0.98
0.25 π
2π/8
공액복소쌍
0.95
0.833π
2π/ (2/0.833)
0.8
π
2π/2
실수극점
세 개의
주요 신호 성분
주기 당 8 샘플
주기 당 2.4 샘플
주기 당 2 샘플
1차, 2차 선형 시불변 시스템
1차 시스템
H1(z) =
z − z1
z − p1
2차 시스템
H 2 (z) =
( z − z 2 )( z − z 3 )
( z − p 2 )( z − p 3 )
H 2 (z) =
하나의 실수 극점, 하나의 실수 영점
2개의 실수 또는 공액 복소쌍 극점
2개의 실수 또는 공액 복소쌍 영점
( z − z3 )
( z − z2 )
×
= H 11 ( z ) H 12 ( z )
( z − p2 )
( z − p3 )
h1
h2
1차 시스템
H1 (Z ) =
Z
Z −α
=
exp( jΩ )
exp( jΩ )
exp( jΩ ) − α
‘ 양의 실수축 (0 < α < 1)
: Ω = 0 → 저역 통과 시스템
G1 =
exp( 0 )
1
=
exp( 0 ) − α 1 − α
최대이득
G2 =
exp( jπ )
1
=
exp( jπ ) − α 1 + α
최소이득
‘ 음의 실수축 (-1 < α < 0)
: Ω =π → 고역 통과 시스템
극점이 단위원 가까이 이동하면
• 최고 이득이 증가
• 대역폭 감소(cutoff 특성이 좋아짐)
• 단위 임펄스 응답이 서서히 감소
(시간과 주파수영역의 상반성)
그림 4.9
2차 시스템
z2
z2
H 2 ( z) = 2
=
z − 2rz cosθ + r 2 {z − r exp( jθ ) }{z − r exp(− jθ )
}
- 최고 이득 주파수는 θ에 의하여 결정됨
- 주파수 선택성 또는 대역폭은 변수 r에 의하여 결정됨
위의 식을
z2
(e )
으로 나누면
H 2 (z) =
jΩ − 1
= e − jΩ = cos Ω − j sin Ω
Y (z)
1
=
X ( z ) 1 − 2 r cos θ z − 1 + r 2 z − 2
y [n ] = 2 r cos θ y [n − 1] − r 2 y [n − 2 ] + x [n ]
h(n) ⇒ 임펄스 응답
H 2 (Ω ) =
{(1 − 2r cos θ cos Ω + r
1
2
cos 2Ω ) 2 + (1 − 2 r cos θ sin Ω + r 2 sin 2Ω ) 2
최고 이득이 주파수 Ω = θ 에서 발생한다고 가정
}12
2차 극점이
실수축에 위치
극점이 단위원에
가깝게(0.99) 위치
그림 4.11
주파수 영역에서
덜 선택적
(짧은 임펄스응답)
0이 아닌 보조조건
•
단방향 z 변환은 시스템의 초기값이 0이 아닌 보조 조건들을 다루는데 매우 유용
–
–
•
이전에 인가된 입력 신호에 의한 과도 응답 분석
n=0 이전에 인가된 입력 신호들에 대한 출력 분석
단방향 z 변환은 n=0 이전에 대한 설명을 할 수는 없지만 영이 아닌 보조 조건을 다룸으로써
그 효과를 요약할 수 있다
•
일반적인 시간 이동 특성
x[n] ↔ X ( z )
x[n − 1] ↔ x[−1] + z −1 X ( z )
∞
Q ∑ x[n − 1]z
−n
n=0
= x[−1] + ∑ x[n − 1]z
x[n − 2] ↔ x[−2] + z −1 x[−1] + z − 2 X ( z )
초기치(보조 조건)
∞
n =1
−n
−1 ⎧
∞
⎫
= x[−1] + z ⎨ ∑ x[n]z − n ⎬
⎩n = 0
⎭
0이 아닌 보조조건
•
예 : 1차 저역 통과 시스템
{
y [ n ] − α y [ n − 1] = x [ n ]
}
Y [ z ] − α y [ − 1 ] + z − 1Y ( z ) = X ( z )
{
}
초기 조건에 의한 출력
∴ Y ( z ) 1 − α z − 1 = X ( z ) + α y [ − 1]
X ( z ) + α y [ − 1]
1
α
∴ Y (z) =
=
X
(
z
)
+
y [ − 1]
1 − α z −1
1 − α z −1
1 − α z −1
–
특별한 경우 : Y [ z ] ≠ H ( z ) X ( z ) if y [ − 1] ≠ 0
y[ − 1] = − 1 / α , x[ n ] = δ [ n ]
Y (z) =
•
1
1 − α z −1
+
−1
α
= 0
1 − α z −1 α
선형 시불변 시스템의 임펄스 응답은 초기 조건이 0일 때의 입력 입펄스에 대한 응답
초기조건에 의한 응답이 입력에 대한 응답을 상쇄한 경우
Y (z) = H (z) X (z) +
•
•
α
y [ − 1] = H ( z ) X ( z ) | y [ − 1 ] = 0
1 − α z −1
1차 시스템의 초기치 : y[-1]
2차 시스템의 초기치 : y[-1], y[-2]
예제 4.5
n = 0 이전에 인가된 입력에 대한 시스템의 과거 값의 요약