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이산수학(Discrete Mathematics)
이산수학(Discrete
관계와 그 특성
(Relations
(R l ti
and
d It
Its P
Properties)
ti )
2011년 봄학기
2011년
강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세
Binary Relations (이진
(이진 관계)
관계)
7.1 Relations & Its Properties
Let A, B be any two sets.
A binary relation R from A to B, written R:A↔B, is a subset of
A×B. (A에서 B로의 이진 관계 R은 R:A↔B로 표기하며 A×B의 부분집합이다.)
• E.g., let < : N↔N :≡ {(n,m) | n < m}
The notation a R b or aRb means (a,b)R.
• E.g.,
g , a < b means ((a,b)
, ) <
If aRb, we may say “a is related to b (by relation R).”
( Rb이면 “a는
(aRb이면,
“ 는 (관계 R에 의해서) b에 관계된다”고 말한다.)
말한다 )
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by Yang-Sae Moon
Complementary Relations (보수
(보수 관계)
관계)
7.1 Relations & Its Properties
Let R:A↔B be any binary relation.
Then, R:A↔B, the complement of R, is the binary relation
defined by
R :≡ {(a,b) | (a,b)R} = (A×B) − R
Note the complement of R is R.
Example: < = {(a,b) | (a,b)
<} = {(a
{(a,b) | ¬(
¬(a
a<b)} = ≥
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Complementary Relation Example
7.1 Relations & Its Properties
예제:
A = {0,
{0 1,
1 2}
2}, B = {a,
{a b}라 하면,
하면 {(0,a),
{(0 a) (0
(0,b),
b) (1
(1,a),
a) (2
(2,b)}는
b)}는 A에서 B로
의 관계 R로 표현할 수 있다. 이 때,
• (0,a)R 이므로, 0Ra라 할 수 있다.
• 그러나, (1,b)R 이므로, 1Rb라 할 수 있다.
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Inverse Relations (역
(역 관계
관계))
7.1 Relations & Its Properties
Any binary relation R:A↔B has an inverse relation R−1:B↔A,
d fi d by
defined
b
R−1 :≡ {(b,a) | (a,b)R}.
E.g., <−1 = {(b,a) | a<b} = {(b,a) | b>a} = >.
E.g., if R:People↔Foods is defined by
aRb  a eats b, then:
b R−1 a  b is eaten by a. (Passive voice.)
(R−1 will
be “i
“is eaten
ill b
t by.”)
b ”)
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Relations on a Set
7.1 Relations & Its Properties
A (binary) relation from a set A to itself is called a relation
on the
th sett A.
A
(집합 A에서 A로의 관계를 집합 A상의 관계라 한다.)
한다 )
E.g., the “<” relation from earlier was defined as a
relation on the set N of natural numbers.
((“<”은
< 은 정수 집합 N에 대한 관계이다.)
관계이다 )
The identity relation IA on a set A is the set {(a,a)|aA}.
(집합 A에 대한 항등 관계 IA는 집합 {(a,a)|aA}를 의미한다.)
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Examples of Relations on a Set (1/2)
7.1 Relations & Its Properties
예제:
A = {1
{1, 2
2, 3
3, 4}라 할 때,
때 관계 R = {(a,b)|
{(a b)| a divides b}에 속하는 순서쌍은?
• A x A의 원소인 (a,b)에 있어서 b를 a로 나눌 수 있는 순서쌍을 구한다.
• 즉, R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}이다.
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Examples of Relations on a Set (2/2)
7.1 Relations & Its Properties
예제:
n개의 원소를 갖는 집합에는 몇 개의 관계가 있는가?
• 정의에 의해, 집합 A에 대한 관계는 A x A의 부분집합이다.
• A x A의 원소 개수는 n2이다.
• 또한,
또한 m개의 원소를 가지는 집합의 부분집합 개수는 2m개 이다.
이다
2
• 그러므로, A x A의 부분집합 개수는 2 n 이 된다.
n2
• 결국, n개 원소를 갖는 집합에 대한 가능한 관계의 수는 2 이다.
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Reflexivity (반사성
(반사성))
7.1 Relations & Its Properties
A relation R on A is reflexive if aA, aRa.
• E.g., the relation ≥ :≡ {(a,b) | a≥b} is reflexive.
• 즉, (a,a)를 원소로 가지면 반사적(reflexive)이라고 이야기한다.
A relation is irreflexive iff its complementary relation is
reflexive.
• Example:
< is irreflexive.
p
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Reflexivity Example
7.1 Relations & Its Properties
예제:
양의 정수 집합에 대해 “나누다”
나누다 관계는 반사적인가?
• 임의의 양의 정수 a에 대해 a|a가 성립한다.
• 즉, 양의 정수 a는 자기 자신 a로 나누어 떨어진다.
• 따라서,
따라서 “나누다”는
나누다 는 양의 정수 집합에 대해 반사적이다.
반사적이다
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Symmetry & Antisymmetry (대칭성
(대칭성))
7.1 Relations & Its Properties
A binary relation R on A is symmetric iff R = R−1, that is, if
( b)R ↔ (b,a)
(a,b)
(b )R.
R
• E.g., = (equality) is symmetric. < is not.
• “is married to” is symmetric, but “likes” is not.
• 즉,
즉 (a,b)가
( b)가 R의 원소일 때,
때 반드시 (b,a)도
(b )도 원소이면 대칭적이라 한다.
한다
A binaryy relation R is antisymmetric
if ((a,b)
y
, )R → ((b,a)
, )R.
• < is antisymmetric, “likes” is also antisymmetric.
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Symmetry & Antisymmetry Example
7.1 Relations & Its Properties
예제:
양의 정수 집합에 대한 “나누다”
나누다 관계는 대칭인가? 반대칭인가?
• 반례(counterexample)를 들어 반대칭임을 보인다.
• 즉, 1|2 이지만 2|1이므로, 반대칭이다.
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Transitivity (전이성
(전이성))
7.1 Relations & Its Properties
A relation R is transitive iff (for all a,b,c)
( b)R  (b,c)
(a,b)
(b )R → (a,c)
( )R.
R
A relation is intransitive if it is not transitive.
Examples: “is an ancestor of” is transitive.
“likes” is intransitive.
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Transitivity Example
7.1 Relations & Its Properties
예제:
양의 정수 집합에 대한 “나누다”
나누다 관계가 전이적인가?
• 양의 정수 a, b, c에 대해서, a가 b를 나누고, b가 c를 나눈다고 하자.
• 즉, a|b, b|c가 성립한다고 가정하자.
• 그러면,
그러면 b = ak,
ak c = bl인 양의 정수 k와 l이 있다.
있다
• 따라서, c = a(kl)이 성립하므로, a는 c를 나눌 수 있다.
• 즉, a|c가 성립하므로, “나누다”는 전이적이다.
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Composite Relations (관계
(관계 합성
합성/
/결합
결합))
7.1 Relations & Its Properties
Let R:A↔B, and S:B↔C. Then the composite SR of R and
S is
i d
defined
fi d as:
SR = {(a,c) | b: aRb  bSc}
((a,b)R이고 (b,c)S이면, SR은 (a,c)을 원소로 하는 관계이다.)
Note function composition fg is an example.
The nth power Rn of a relation R on a set A can be defined
recursively by:
R0 ::≡ IA ;
Rn+1 ::≡ RnR
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for all n≥0.
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Examples of Composite Relations (1/2)
7.1 Relations & Its Properties
예제:
{1 2,
{1,
2 3}에서 {1,
{1 2
2, 3
3, 4}로의 관계 R = {(1,1),
{(1 1) (1
(1,4),
4) (2
(2,3),
3) (3
(3,1),
1) (3
(3,4)}
4)}
과, {1, 2, 3, 4}에서 {0, 1, 2}로의 관계 S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2),
(4 1)}가 있을 때,
(4,1)}가
때 R과 S의 합성 SR 은?
• SR의 구성을 위해서는, R에 속한 순서쌍의 두 번째 원소와 S에 속한
순서쌍의 첫 번째 원소가 같은 것을 찾으면 된다.
된다
• 예를 들어, R의 (2,3)과 S의 (3,1)을 바탕으로 SR의 순서쌍 (2,1)을 만
든다.
, ), ((1,1),
, ), ((2,1),
, ), ((2,2),
, ), ((3,0),
, ), ((3,1)}이
, )} 된다.
{(1,0),
• 결국,, SR = {(
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Examples of Composite Relations (2/2)
7.1 Relations & Its Properties
예제:
R = {(1,1),
{(1 1) (2
(2,1),
1) (3
(3,2),
2) (4
(4,3)}이라
3)}이라 하자.
하자 n = 2,
2 3
3, 4
4, … 일 때,
때 거듭 제곱
Rn을 구하라.
• R2 = RR = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,2)}
• R3 = R2R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
• R4 = R3R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
• …
• Rn = Rn-1R = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
You can get Rn using “induction.”
(교재의 R3와 R4는 잘못 구해진 것으로 보임…)
보임 )
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