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VII-1
VII-2
정리
-----------------------------------------------연속 주기 신호
7 장
-> 푸리에 급수 -> 이산 비주기 스펙트럼
연속 비주기 신호 -> 푸리에 변환 -> 연속 비주기 스펙트럼
-----------------------------------------------이산 주기 신호
-> 푸리에 변환 -> 이산 주기 스펙트럼
이산 비주기 신호 -> 푸리에 변환 -> 이산 주기 스펙트럼
-----------------------------------------------푸리에 변환 : 정상 응답, 주파수 응답
Z-변환
7.1 z-변환
7.2 역 z-변환
7.3 z-변환의 성질
7.4 LTI 시스템의 전달 함수
7.5 LTI 시스템의 구현
연속신호 -> 라플라스 변환 -> 과도응답 -> ROC
이산신호 -> 라플라스 변환 -> Z 변환
-> ROC
-----------------------------------------------time -> FT ->

time -> LT ->
s    j
time -> ZT ->
z  e sT
주파수 평면
복소 평면
복소 평면
이산신호의 라플라스 변환: Z 변환
X ( s )   x (t )e st dt
X ( z )   x( nT ) e
t  nT
 snT
z  e sT
  x[ n] z  n
VII-3
VII-4
7.1.1 양측 z-변환
7.1 z-변환


L
 x(nT ) (t  nT )   x(nT )e
n 
X (z) 

 sTn
 x[n]z
n
n 
n 
X ( z )  Z [ x[n]].
x[ n]  x ( nT )
Z
X ( z ) 
 Z [ x[n]]
ze
sT
-> Z 변환

X (z) 
 x[n]z
z  e sT
j
n
n  
 s=j
단위원
-> 푸리에 변환, 주파수 응답

 x[n]e
X (e ) 
단위원 밖
z=esT
RHP

sT
jIm[z]
1
 sTn
LHP
n 
단위원 안

X (e jT ) 
 x[n]e
 jTn
s-평면
n
z-평면
sT
그림 7.1 z=e 에 의한 s-평면의 z-평면에로의 사상.
 =T
-> 시이산 신호의 푸리에 변환
s    j 를

X ( e j ) 

x[n]e  jn .
대입할 때 S 평면이 Z 평면으로 사상
z  esT  e T  e jT  re j
n
z  r  e sT  e T e jT  e T

 < 0: RHP
 단위원 안
 = 0: 허수축  단위원 상 -> 이산신호: 주기신호
 > 0: LHP  단위원 밖
Re[z]
VII-5
VII-6
예제 7.1

X (z) 

x[n]z n
x[n]  a n u[ n]
n 
 z=rej : ->
RSS(우측 신호)의 z-변환
원통 좌표계로 표시하면
r  e T

X (z) 

 a u[n]z
n
n

n 
 (az
1 n
)
:등비수열
n 0

X (re j ) 
 x[n]r
n
e  j n
 az1<1 또는 z>a일 경우에만 수렴
n  
Z 평면에서 수렴 영역이 단위원의 바깥쪽인 경우 (r>1) -> (>0): 우측 신호
X ( z) 
1
,
1  az 1
X ( z) 
z
,
za

r 1

X (re j ) 
 x[n]r
 n  jn
e
: RSS
n  no
Z 평면에서 수렴 영역이 단위원의 안쪽인 경우 (r<1) -> (<0): 좌측 신호
Z
a n u[ n] 

no
r 1

X (re j ) 
 x[n]r
 n  jn
e
z  a.
za
z
,
z a
: LSS
z  a.
x[n]  a n u[ n]
n  
우측신호의 수렴영역 -> 원의 바깥쪽
- 극점의 위치는
a
- 영점의 위치는 원점
k

1 r n
1 r
k

1
, ( r  1)
1 r
n 1
r
k 0

r
k 0
VII-7
x[n]  a n u[ n] 에
VII-8
예제 7.2
대하여 X(z)의 극점과 수렴 영역에 따라
LSS (좌측 신호)의 z-변환
x[n]  a n u[ n  1]
jIm[z]
jIm[z]
단위원
1
X ( z)    a n z n
RSS
n 
RSS

a
Re[z]
1
Re[z]
  a n z n
n 1

:등비수열
   a  ( n 1) z ( n 1)
n 0

(a) 0<a<1 : 안정된 RSS
  a 1 z  (a 1 z ) n   a 1 z 
(b) a>1 : 비안정 RSS
n 0
1
1

1
1  a z 1  az 1
1
jIm[z]
 a z<1 또는 z<a일 경우에만 수렴
jIm[z]
RSS
RSS
X ( z) 
a
Re[z]
1
1
,
1  az 1
z  a . 또는
Re[z]
Z
 a nu[ n  1] 

z
,
za
좌측신호->원(극점) 안쪽
(c) 1<a<0 : 안정된 RSS
X (z) 
(d) a<1 : 비안정 RSS
그림 7.2 식 (7.1-14)의 RSS에 대한 ROC.
ROC가 단위원을 포함하는 경우 안정
0<a<1 -> 신호가 수렴
-1<a<0 -> 진동하면서 수렴
- 극점의 위치는
a
- 영점의 위치는 원점
z  a.
z
,
za
za
VII-9
좌측신호
VII-10
x[n]  a n u[ n  1] 의 X ( z )
예제 7.3
의 수렴영역
TSS (양측 신호)의 z-변환
x[n]  a n u[n]  b n u[ n  1], a  b
jIm[z]
jIm[z]
X (z) 
LSS
a
1
LSS
Re[z]
1
a
z
z
(a  b) z


,
z  a z  b ( z  a )( z  b)
a z b
Re[z]
jIm[z]
jIm[z]
안정된 RSS
안정된 RSS
안정된 LSS
비안정 LSS
(a) 0<a<1 : 비안정 LSS
(b) a>1 : 안정된 LSS
jIm[z]
jIm[z]
Re[z]
a b
a
LSS
LSS
a
1
Re[z]
a
1
Re[z]
(a) 1>b>a>0 : 비안정 TSS
(b) b>1>a>0 : 안정된 TSS
jIm[z]
(c) 1<a<0 : 비안정 LSS
(d) a<1 : 안정된 LSS
비안정 RSS
안정 LSS
ROC가 단위원을 포함하는 경우 안정
0<a<1 -> 신호가 발산
-1<a<0 -> 진동하면서 발산
a
b
Re[z]
(c) b>a>1 : 비안정 TSS
그림 7.4 식 (7.1-24)의 TSS에 대한 ROC.
b
Re[z]
VII-11
VII-12
n
7.1.2 단측 z-변환
1
x[ n]    .
 2
예제 7.4

X (z) 
정의:
 x[n]z
n
.
 1  n
  , n  0
 2 
x[n]  
n
 1 
 2  , n  0
 
n0
반인과 신호의 단측 Z-변환:

X (z) 
 x[n]u[n  1]z
n
n
n  

 x[n]z
n
n  
n
1
   u[n]  2n u[ n  1].
2
 n=m으로 치환

X ( z) 


m
 x[m]z  {x[m]u[m]  x[0] [n]}z
m 1

m0
 x[m]u[m]z
m
m
 x[0]
 인과 신호
 Z [ x[ n]u[ n]] z  z 1  x[0].
Z
x[ n]u[ n  1] 
Z [ x[ n]u[ n]] z  z 1  x[0],
z
,
z a
Z
 a nu[ n  1] 

n
1
   u[n]  ( 2n )u[ n  1].
2
m0
Z
a n u[ n] 

n
1
1
   u[n]    u[ n  1]
2
 2
1
n
z
1
Z
,
  u[ n] 
2
z

12
 
z r
1
2
 반인과 신호
n
 1

Z   u[n]
 2 
z  a.
z
,
za
z

z  z 1
1 
z
z 1 2

z  a.
X ( z) 
z
z

,
z 1 2 z  2
z
,
z 2
1
z  z 1
z  2.
1
 z 2
2
VII-13
7.1.3 ROC의 성질 정리
VII-14
7.2 역z-변환
-> pp.309
 RSS (우측신호)

X ( z) 
 x[n]z
.
j
->
X (re ) 
n  no
rmax  z
1
z k 1dz   [ k ]
2j 


n
 x[n]r
 n  j n
e
n  no
:
(0  n0  n)
: Cauchy의 적분 정리

→ 인과적인 우측신호

X (z) 
 x[n]z
n
n  
rmax  z   : ( n0  0, n0  n ) → 비인과적인 우측신호
rmax 최대

1
1 
X ( z ) z k 1dz 
x[n]z n  z k 1dz

2j 
2j  n 0


1

x[n]
z  n k 1dz
2j 
n 0

 LSS (좌측신호)
no
X ( z) 
 x[n]z
n
.
->
X (re j ) 
n  
z  rmin
( n  n0  0)
0  z  rmin
rmin 최소


극점까지의 거리
no
 x[n]r

 n  jn

e
 x[n] [n  k ]  x[k ].
n 0
n  
→ 반인과적인 좌측신호
(0  n0 , n  n0 ) →

반인과적이 아닌 좌측신호
극점까지의 거리
 TSS (양측신호)
r1  z  r2
r1은 RSS에 해당하는 극점들의 크기 중에서 가장 큰은 값
r2는 LSS에 해당하는 극점들의 크기 중에서 가장 작은 값
x[n] 
1
2j
 X (z)z

n 1
dz : 유수(residue) 정리
VII-15
7.2.1 멱급수 전개법
VII-16
X ( z) 
예제 7.5
RSS: 우측신호
M
X (z) 
N ( z)

D( z)
b z
k
1  az
k
k 0
N
,
a z
z  rmax
1  az 1  a 2 z  2  
1
az 1
k 0
x[0]  x[1] z 1  x[2]z 2  
a0  a1 z 1    a N z  N b0  b1 z 1    bM z  M
X ( z )   x[n]z  n x[0]  x[1] z 1  x[2] z 2  
az 1  a 2 z  2
a 2 z 2


X ( z )  1  az 1  a 2 z 2  
LSS: 좌측신호
X ( z )   x[ n] z  n 관계로부터
M
N ( z)

D( z)
za
1  az 1
k
k
X (z) 
1
1
,
1  az 1
b z
k
k
k 0
N

,
z  rmin
ak z k
k 0
x[0]  x[1] z  x[2]z 2  
a0  a1 z    aN z N b0  b1 z    bM z M
.
X ( z )   x[n]z n x[0]  x[1]z1  x[2] z 2  
TSS:
X ( z )  X  ( z )  X  ( z ), r1  z  r2
x[n]  x [ n]  x [ n]
x[0]=1, x[1]=a, x[2]=a2, 등이므로
x[n]  a nu[n].
: RSS 신호
VII-17
예제 7.6
X ( z) 
1
,
1  az 1
za
VII-18
7.2.2 부분 분수 전개법
: LSS 신호
M
b z
k 0
N

1
a z
,
z  rmax
ak z  k
k 0
 a 1 z  a  2 z 2  a  3 z 3  
a z z
.
z  a 1 z 2
k
k
N ( z)
X (z) 

D( z)
z
X ( z) 
za
--①---------------------------------------------------------------------
2
 M<N 및 단순 극점
a 1 z 2  a  2 z 3
2
a z
3
N
X ( z) 
rk
1 p z
k 1


1
k
rk  X ( z )(1  pk z 1 ) z  p
k
X ( z )  a 1 z  a  2 z 2  a  3 z 3  
X ( z )   x[ n] z  n 관계로부터
x[0]=0, x[-1]= -a-1 , x[-2]= -a-2, 등등
x[n]  a n u[ n  1].
Z
pkn u[n] 
1
z

,
1
1  pk z
z  pk
Z
 pkn u[  n  1] 
z  pk ,
1
z

,
1
1  pk z
z  pk
z  pk
VII-19
X ( z) 
예제 7.7
VII-20
1  0.2 z 1
.
1  1.7 z 1  0.6 z 2
X ( z)  
1  0.2 z 1
r1
r2


(1  0.5 z 1 )(1  1.2 z 1 ) 1  0.5 z 1 1  1.2 z 1
X (z) 
r1  X ( z )(1  0.5 z 1 ) z  0.5 
r2  X ( z )(1  1.2 z 1 ) z 1.2 
1  0.2 z 1
1  1.2 z 1
z  0 .5
1  0.2 z 1
1  0.5 z 1
z 1.2
 1,
 2.
1
2

1  0.5 z 1 1  1.2 z 1
z
,
z a
z
Z
 a n u[ n  1] 
,
za
Z
a nu[n] 
에 대하여
z  a.
z  a.
(a) 두 극점 모두 RSS
n
x[n]  0.5 n u[n]  21.2 u[n]
X (z) 
1
2

1  0.5 z 1 1  1.2 z 1
ROC 내에 단위원이 포함되지 않으므로 비안정 수열
(b) 극점 0.5는 RSS에, 극점 1.2는 LSS에 해당
극점의 위치와 수렴구간의 결정
n
x[ n]  0.5 n u[n]  21.2  u[ n  1]
jIm[ z]
ROC 내에 단위원이 포함되므로 안정된 수열
RSS
0.5
1.2
(c) 두 극점 모두 LSS에 해당
Re[z]
n
x[ n]  0.5 n u[ n  1]  21.2  u[ n  1]
(a)
jIm[z]
RSS
LSS
0.5
(b)
1.2
ROC 내에 단위원이 포함되지 않으므로 비안정 수열
jIm[ z]
LSS
Re[z]
0.5
1.2
Re[z]
(c)
그림 7.5 식 (7.2-13)에 대한 가능한 ROC의 형태.
VII-21
VII-22
-②----------------------------------------------------------------------------------------------
예제 7.8
X (z) 
분자의 차수가 분모보다 큰 경우
M
N ( z)
X (z) 

D( z)
b z

z  rmax
,
ak z  k
k 0
 NM
z  2  2.5 z 1  2
M
b z
k
k
X (z) 
k 0
N

ak z  k
N ' ( z)
 G( z) 
,
D( z )
z  2  3z 1  2
z  rmax
1
0
.
5 z
.
N ' ( z)
k 0
 G ( z )   z 1  2
M=N+L이라면
g L z  L    g1 z 1  g 0  N ' ( z ) D( z )
aN z
N
z  1.
G( z )



 z 1  2
2
1
3
2
1
0
.5
z 

1.
5 z



1  0.5 z  2.5 z  3.5 z  2
D( z )
 0.5 z  3  1.5 z  2 
z 1
k
k
k 0
N
2  3.5 z 1  2.5 z 2  0.5 z 3
,
1  1.5 z 1  0.5 z 2
   a1 z  a0 bM z
1
   b1 z  b0
M
1
N ' ( z)
0.5 z 1
1
1



,
1
2
1
D( z ) 1  1.5 z  0.5 z
1 z
1  0.5 z 1
L
G ( z )  g L z  L    g1 z 1  g 0 
g z
k
k
k 0
L
X ( z) 
N
g z
k
k 0
k

qk
1 p z
k 1
관계로부터
N
k 1

x[n]  2 [n]   [ n  1]  {1  0.5n }u[ n].
x[n]   g k  [ n  k ]   qk ( pk ) n u[n].
k 0

1
k
g k  [n  k ]  g k z  k
L
1
 1

 X ( z )  2  z 1  

,
1
1 
1  0.5 z 
1 z
z 1
VII-23
VII-24
7.3 z-변환의 성질
7.3.2 시간 천이
Z
x[n  no ]u[n] 
 z n X (z)
7.3.1 선형성
o
 z ( n 1) x[1]    z 1 x[ no  1]  x[ no ]
o
Z
a1 x1[n]  a2 x2 [n] 
 a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z ), R '  R1  R2
no=1:

n
예제 7.9 x1[n]  a u[n],
1
X 1 ( z) 
,
1  az 1
n
n
x2 [n]  a u[n]  b u[n  1] (a  b)
0
Z x[ n  1]u[n]   x[ n  1] z n
n 0

 x[ 1]   x[n  1]z  n
z  a,
n 1

 x[ 1]  z 1  x[ m]z  m
1
(a  b) z
X 2 ( z) 
,
(1  az 1 )(1  bz 1 )
a  z  b.
m 0
1
1
(a  b) z 1
X ( z )  X 1 ( z )  X 2 ( z) 

1  az 1 (1  az 1 )(1  bz 1 )

1  (a  2b) z 1
,
(1  az 1 )(1  bz 1 )
m=n-1
 x[ 1]  z X ( z ).
Zx[ n  1]u[ n]  z 1 X ( z )  x[ 1]
a zb
no=2:

R'  R1  R2  R2
Zx[ n  2]u[n]   x[ n  2] z  n
n 0

1
X ( z)  X1 ( z)  X 2 ( z) 
1
(a  b) z

1  az 1 (1  az 1 )(1  bz 1 )
1  az 1
(1  az 1 )(1  bz 1 )
1

, zb
1  bz 1

 x[ 2]   x[n  2] z  n
n 1
:(n-2)=>(m-1)

 x[ 2]  z
1
 x[m  1]z
m
m0
 x[ 2]  z 1Zx[ n  1]u[n]
Z x[ n  2]u[n]  z 2 X ( z )  z 1 x[1]  x[2]
VII-25
VII-26
응용 7.1
Z
x[n  no ] u[n  no ] 
 z  n X ( z)
o


 x[n  n ]u[n  n ]z
o
n
o
 x[n  n ] z

=> pp.321
y[n]  ay[ n  1]  x[n], n  0,
n
o
n 0
차분 방정식의 해법
y[1]  Y1
n no


 x[m] z
( m no )
Y ( z )  a{z 1Y ( z )  y[1]}  X ( z )
m 0
0
:(n-n0)=m

 z n
o
 x[m] z
m
Y ( z) 
m 0
z
z 1
 no
X ( z ).
X ( z)
aY1

.
1
1
1
az 1
az
Yzs ( z )
Yzi ( z )
y zi [n]  aY1a n u[ n]  Y1a n 1u[n]
-> 단위지연
임펄스응답: 모든 초기치=0
X ( z) 
예제 7.10
1
,
za
z 1
1
z
a u[ n] 

1  az 1 z  a
1
 z 
Z
a n 1u[n  1] 
z 1 

 za z a
n
Z
1
1 n
Z
.
 a u[n  1] 
za
a
1
a n 1u[ n]  a n 1u[n  1]  a 1    a nu[n]
a
 z  1  1  z
Z

 z 1 
a  
 za 
 a  ( z  a)
X ( z )  Z [ [n]]  1
Y ( z) 
1
1  az 1
 y[n]  h[n]  a n u[n]
다른 예제: 2차 차분 방정식
y[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  x[n], n  0,
y[1]  Y1 ,
y[2]  Y2
Y ( z )  a1{z 1Y ( z )  y[ 1]}  a2 {z 2Y ( z )  z 1 y[1]  y[ 2]}  X ( z )
Y (z) 
X ( z)
(a1Y1  a2Y2 )  a2 z 1Y1

.
1  a1 z 1  a2 z 2
1  a1 z 1  a2 z  2
 
Yzs ( z )
Yzi ( z )
VII-27
VII-28
7.3.3 변조
Z
 a n cos(  o n) u[ n] 

Z
zon x[n] 
 X z zo , R'  zo R.
1  a(cos  o ) z 1
,
1  2a(cos  o ) z 1  a 2 z 2
jIm[z]
j
 zo  e
o
인 경우 주파수 응답
Z
e jo n x[ n] 
X ( ze  jo ), R '  R
o
a
Re[z]
x[n]  a n (cos  o n) u[ n].
예제 7.11
1
1
cos o n  e jo n  e  jo n
2
2
1
a u[n]  
,
1  az 1
n
Z
a n (cos  o n) u[ n] 에 대한 극-영점도 및 ROC.
그림 7.6
: 진동 -> 복소극점
z a
7.3.4 z상의 미분
따라서
1
x[n]  a n (e jo n  e  jo n ) u[n].
2
<- 변조

X (z) 
 x[n]z
n
.
n 0

X (z) 
12
1  az 1

z  ze  j  o
12
1  az 1

12
12

1  ae j z 1 1  ae  j z 1
1  a(cos  o ) z 1

(1  ae j z 1 )(1  ae  j z 1 )

o

{nx[n]}z
 n 1
n0
o
o

dX ( z )

dz
z  ze j o
Z
nx[ n] 
 z
:분모가 2차식
o
1  a (cos  o ) z 1
,
1  2a (cos  o ) z 1  a 2 z  2
dX ( z )
, R '  R.
dz
k
z  a.

d 

Z
n k x[n] 
  z  X ( z )
dz


z  a.
VII-29
예제 7.11
X ( z )   log(1  az 1 ),
VII-30
7.3.5 컨벌류션
z  a.
Z
h[n]  x[n] 
 H ( z ) X ( z ), R '  Rh  Rx
'
미분을 해서 log를 없애자.
d
f ( x)
log f ( x ) 
dx
f ( x)
⇒
예제 7.12
dX ( z )  az  2

,
dz
1  az 1
h[n]   [ n]  2 [n  1]   [n  3]   [ n  4],
z a
x[n]   [ n]  3 [n  1]   [n  3]  2 [n  4].
dX ( z )
az 1
Z
nx[n] 
z

.
dz
1  az 1

Z
 [n  no ] 
 [n  no ]z n  z no
 1 
nx[ n] (a ) z 
1 
 1  az 
Z
1
n 1
H ( z )  1  2 z 1  z  3  z  4
n
nx[ n]  (a) a u[n  1]  a u[ n  1] (선형성 및 시간천이)
X ( z )  1  3z 1  z 3  2 z  4
 x[n] 
an
u[ n  1].
n
재미 있네 !

H ( z ) X ( z )  1  5 z 1  5 z 2  5 z 3  6 z 4  4 z 5  z 6  2 z 7 .

 [n  k ]  z  k
로 부터
h[n]  x[ n]  1  5 [n  1]  5 [n  2]  5 [ n  3]
 6 [n  4]  4 [ n  5]   [n  6]  2 [n  7].
VII-31
VII-32
7.3.6 차분(difference)과 누산(accumulation)
x1[n]  a nu[n], x2 [n]  u[n].
예제 7.14
차분: (미분에 해당)
x[n]  x1 [n]  x2 [n]
y[n]  x[n]  x[ n  1]
Y ( z )  (1  z 1 ) X ( z )  x[1]
X1 (z) 
1
,
1  az 1
X 2 ( z) 
1
,
1  z 1
 x[1]=0일 경우
Z
x[n]  x[n  1] 
(1  z 1 ) X ( z )
차분
dx(t ) L

 sX ( s)
dt
미분
x(0  )  0
1  z 1  s
z a
z 1
 X ( z )  X 1 ( z ) X 2 ( z) 
1
,
(1  az )(1  z 1 )
1
z  max a , 1.
(1) a1인 경우: 부분분수 전개하면
누산: (적분에 해당)
 a  1
 1  1
X (z)  



1
1
 a  1  1  az
 a 1  1  z
n
y[n] 
 x[k ]
k 
1
 a  n
 1 
x[n]  
(a n1  1)u[n].
 a u[n]  
u[n] 
a 1
 a 1 
 a 1 

y[ n]  x[ n]  u[ n]
(2) a=1인 경우
Z
u[ n]  (1) n u[n] 
1
1  z 1
X ( z) 

1
,
(1  z 1 ) 2
z 1
x[n]  (n  1)u[n]
n
X ( z)
x[k ] 
, Ry  Rx  z  1.
1  z 1
k  


t

-> pp.326 계산 [예제7.13]
Z
L
x( ) d 
X (s)
s
적분: 누산
계산은 밑에 봅시다.
1
1

1
1 z
s
↓
VII-33
1
z
Z
u[n] 

,
1  z1 z  1
Z
nx[ n] 
z
Z
x[n  1]u[n] 
zX ( z) 의
u[n] 
1
z

1  z 1 z  1
VII-34
dX ( z )
dz
표 7.2 중요 z-변환쌍.
신호
성질을 이용하여
충격 함수

1
 z 2
 z 


 
2
(1  z 1 ) 2
 z  1  ( z  1)
  z 2 
z 1
z 1

nu[n]   z 

1 2 
1 2
(1  z 1 ) 2
 (1  z )  (1  z )
단위 계단
표 7.1 z-변환의 성질.
성질
시간 영역
지수 함수
변환
a1 x1[ n]  a2 x2 [ n]
a1 X 1 ( z )  a2 X 2 ( z )
R '  R1  R2
시간 천이
x[ n  no ]u[ n  no ]
z  n X (z )
R '  R  {0  z  }
x[ n  no ]u[ n]
z  n X (z )
o
램프 함수
o 1)
x[ 1]    x[  no ]
nx[n]
n x[n]
컨벌류션
x1 [n]  x2 [ n]
누산
 x[k ]
n
k  
 [n  no ], no  0
z
no
u[n]
1
1  z 1
z 1
 u[n  1]
1
1  z 1
z 1
a nu[n]
1
1  az 1
za
 a n u[ n  1]
1
1  az 1
za
z 1
(1  z 1 ) 2
z 1
1
(1  az 1 ) 2
za
az 1
(1  az 1 ) 2
za
nu[n]
z X (z )
X  z zo 
na n u[n]
z
R '  zo R
dX ( z )
dz
z 0
o
z 0
z 
d 

  z  X (z )
dz 

X1(z) X 2 (z)
X ( z)
1  z 1
정현파
(sin  o n) u[ n]
sin(  o ) z 1
1  2(cos  o ) z 1  z  2
z 1
여현파
(cos  o n) u[ n]
1  cos(  o ) z 1
1  2(cos  o ) z 1  z  2
z 1
감쇠 정현
a n (sin  o n) u[ n]
a(sin  o ) z 1
1  2a(cos  o ) z 1  a 2 z  2
za
감쇠 여현
a n (cos  o n) u[ n]
1  a(cos  o ) z 1
1  2a(cos  o ) z 1  a 2 z  2
za
R'  R
k
k
z n
가중 지수 함수 ( n  1) a n u[ n]
o
미분
1
 [n  no ], no  0
no
 x[0]  z 1 x[1]  z  ( n 1) x[ no ]
zon x[n]
ROC
o
 z (n
변조
변환
 [n]
ROC
선형성
x[ n  no ]u[ n]
시간 영역
R'  R
R'  R1  R2
R'  R1  R2
VII-35
VII-36
7.4 LTI 시스템의 전달 함수
⇒ 우측신호
y[n]  h[n]  x[n]
j
Y ( z)  H ( z) X ( z)
RSS

H ( z )   h[ n]z
7.4.1 인과성과 안정성
n
n 0
jIm[z]
단위원
z-평면
s-평면
RSS
Y (z)

: 전달 함수
X (z)
Re[z]

N

M
ak y[ n  k ] 
k 0
 b x[n  k ]
k
difference equation → 차분 방정식
k 0
(a) 안정된 RSS
N
M
a z
k
k
Y ( z) 
k 0
b z
k
k
X ( z)
→ 초기조건은 모두 zero
k 0
 N

 M

Y ( z ) ak z k   X ( z ) bk z  k 
 k 0

 k 0


jIm[z]
z-평면 RSS
s-평면
단위원

M
H ( z) 
j
RSS

Y ( z) 
  bk z k 
X ( z )  k 0



N


 ak z  k 
 k 0


(b) 비안정 RSS
H ( z )  Z [h[ n]]
그림 7.7 RSS에 대한 s-영역과 z-영역의 ROC 및 극-영점도.
 M

  bk z k 
 k 0

 N

 ak z  k 
 k 0


 H ( e j ) e
j
z

.
-> 이산 시스템의 전달 함수, 임펄스 응답, 주파수 응답
Re[z]
VII-37
VII-38
⇒ 좌측신호
⇒ 양측신호
j
s-평면
jIm[z]
LSS
j
RSS
단위원
z-평면
jIm[z]
LSS
LSS
z-평면
RSS
LSS
단위원
s-평면

Re[z]

(a) 안정된 LSS
s-평면
j
LSS
Re[z]
(a) 안정된 TSS
jIm[z]
j
z-평면
RSS
단위원
s-평면
LSS
LSS
RSS
(b) 비안정 LSS
z-평면
단위원
LSS

jIm[z]
Re[z]

(b) 비안정 TSS
그림 7.8 LSS에 대한 s-영역과 z-영역의 ROC 및 극-영점도.
그림 7.9 TSS에 대한 s-영역과 z-영역의 ROC 및 극-영점도.
Re[z]
VII-39
VII-40
실신호 충격 응답: 주파수 응답
7.4.2 주파수 응답
h[ n]  h  [ n]
x[n]  e
jn
-> 고유함수:
이산신호 주파수->   T
H (e  j )  H  (e j )
j
y[n]  H (e )e
jn
:-> complex conjugate
-> 고유값 X 고유함수
크기응답:
H (e  j )  H (e j ) ,
:->
우함수
위상응답:
H (e  j )  H (e j )
:->
기함수

j
H (e ) 
 h[n]e
 jn
 H ( z) z  e
-> 주파수 응답
j
s/2 s 3s/2
jIm[z]
z-평면
 저역통과 필터
=T
(1) 유형 1:


s s/2 
스펙트럼

n0
Re[z]
1
0
h[n]  a n u[n],

H ( z) 
1
,
1  az 1
H (e j ) 
그림 7.10 시연속과 시이산의 주파수 응답 관계.
=  s /2 
= s/2

a 1
  
 
    s T    T  
 2 
 T
 
 
   s T   T  
2
 
T 
s
3
  T
   s        3
2
2
za
: 전달 함수
1
: 주파수 응답
1  ae  j
크기 응답:
H (e j )  [ H (e j ) H  (e j )]1 2


1

 j
j 
 (1  ae )(1  ae ) 
12
12
-> 주기성


1

.
2 
1

2
a
(cos

)

a


VII-41
VII-42
위상 응답:
(2) 유형 2:
1
1

H (e ) 
 j
1  ae
1  a(cos )  ja(sin )
j
H ( z )  1  z 1 ,
z 0
H (e j )  1  e  j  e  j  2 (e j  2  e  j  2 )
 a(sin ) 
H (e j )   tan 1 

1  a (cos ) 
 2e  j  2 cos(  2)
크기 응답
H ( e j )
1
1 a
H (e j )  2 cos(  2),      
(0  a  1)
위상 응답
1
1 a
2


0
H ( e j )    2 ,      
2

H ( e j )
j
H (e )
2
2
1.414

0

2

0

/2




H ( e j )
그림 7.11 전달 함수 H ( z )  1 (1  az 1 ) 의 크기 및 위상 응답.
/2

-> 저역 통과 필터 특성
0
 
 
   s T   T  
2
 
T 


  T
 s    s       
2
2
/2
그림 7.12
전달 함수 H ( z )  1  z 1 의 크기 및 위상 응답.
-> 선형지연을 가지는 저역통과 필터
-> 선형 위상 특성을 가진다.
VII-43
(2) 유형 3:
VII-44
 고역통과 필터
<- (유형1) 과 (유형2)를 곱한 경우 (직렬연결)
1  z 1
H ( z) 
,
1  az 1
1
1 a  1 z
H ( z)  
,

1
 2  1  az
za
z 1
 1 
H ( z) 
 1  z 1 
,
1 
z a
 1  az 


z  z
 
저역통과 -> 고역통과 (위상을 180도 회전(이동))
z a
H ( z) 
jIm[z]
z a
(1  a )(1  z 1 )
,
2(1  az 1 )
za
jIm[z]
1
Re[z]
a
a
Re[z]
1
그림 7.13 식 (7.4-22)의 ROC 및 극-영점도.
(a)
H ( e j )
a<0
H ( e j )
1<a<1
1<a<1
a<0
1
a>0
a>0

0


그림 7.14 식 (7.4-22)의 전달 함수에 대한 크기 및 위상 응답.
H(ej)=H(1)=0으로 a에 무관하게 항상 0으로 고정

그림 7.15
0
(b)


식 (7.4-23) 전달 함수의 (a) ROC 및 극-영점도; (b) 크기 응답.
-> 저역통과 필터
-> 고역통과 필터
VII-45
VII-46
 전역통과 필터
H ( z) 
z 1  a 
,
1  az 1
예제 7.15
H ( z) 
z a
 2 z 1
, 0.5  z  2
(1  0.5 z 1 )(1  2 z 1 )
jIm[z]

H (e j )  e  j

j
단위원
j
1 a e
1 a e

 1.
 j
1  ae
1  ae  j
RSS
LSS
jIm[z]
0.5
2
Re[z]
1/a*
a
1
Re[z]
그림 7.17 식 (7.4.27)의 극-영점도 및 ROC.
→ 단위원을 포함해야 안정
H ( z) 
(a)
43
43

, 0. 5  z  2
1
1  0. 5 z
1  2 z 1
우측신호
H ( e j )
촤측신호
n
h[n]  (4 3){0.5 u[n]  2n u[n  1]}
1
 (4 3){0.5n u[n]  0.5 n u[ n  1]}
:-> 비인과 시스템
 (4 3)0.5 n .
0
(b)
그림 7.16

크기 응답을 변화시키지 않으면서
전역통과 필터의 (a) ROC 및 극-영점도; (b) 크기 응답.
공액 역수 위치(conjugate reciprocal location) 관계:
(1  az 1 ) 
( z 1  a  ),
a 1
-> 절대크기가 같다.
극점의 위치를 단위원에 대칭시킨다.
비인과 신호의 극점을 인과신호의 극점으로 변환하면
 공액 역수 위치 반사
(1  2 z 1 ) 
( z 1  2)
VII-47
H ' ( z) 


VII-48
전 극점(all-pole) 시스템:
 2 z 1
(1  0.5 z 1 )( z 1  2)
z 1
(1  0.5 z 1 )(1  0.5 z 1 )
A
H ( z) 
N
1
k
k
k 1
-> 인과 시스템
z 1
.
(1  0.5 z 1 ) 2
a z
y[n]  a1 y[ n  1]  a2 y[n  2]    a N y[n  N ]  Ax[n]
: 자기-회귀(Auto-Regressive : AR) 모델
-> 전달함수의 크기 특성은 변하지 않고 위상특성은 무시
무한 충격응답(infinite impulse response : IIR) 시스템:
극점이 존재할 경우
전 영점(all-zero) 시스템:
M
H (z) 
b z
k
k
k 0
y[n]  b0 x[n]  b1 x[ n  1]    bM x[n  M ]
: 이동-평균(Moving Average : MA) 모델
유한 충격응답(finite impulse response : FIR) 시스템:
영점만 존재할 경우
M
H (z) 
b z
k
k
k 0
M
h[n] 
 b  [n  k ]
k
k0
b , n  0,1, , M
 n
0, 그외
 길이 M+1
VII-49
극점-영점(ploe-zero) 시스템:
VII-50
응용 7.2
선형-위상(linear-phase) FIR 필터
극점과 영점이 모두 존재
: ARMA 모델
M
h[n] 
 b  [n  k ]
k
k0
b , n  0,1, , M
 n
0, 그외
 선형 위상: 계수가 대칭이어야 한다.
bn  bM n
(우대칭)
bn  bM  n (기대칭)
h[n]
h[n]
0
M/2
M
n
0
(M은 짝수)
M/2
M
n
M
n
(M은 홀수)
(a)
h[n]
h[n]
bM/2
M/2
(M은 짝수)
M
n
(b)
M/2
(M은 홀수)
그림 7.18 선형-위상 FIR 필터의 네 가지 대칭 형태.
VII-51
VII-52
(2) 기대칭의 경우 (bn=bMn)
M
H ( z) 
b z
n
n
L
n 0
H (e j )  je  j M
L
 bc z  M 2 
 (b z
n
n
2
 bM  n z  ( M  n ) ).
n
n0
 je
n0

e
L은 (M1)/2의 정수부,
bM 2 , M 짝수
bc  
M 홀수
0,
 M
 2b sin  2
 j M 2

 n 

R ()
j ( 2   M 2 )
R ().
H (e j )  R()
 M

 R ()
2
2
H ( e j ) 
(1) 우대칭의 경우 (bn=bMn )
-> 선형 위상 특성
L
H (e j )  bc e  j M 2 
 b (e
 jn
n
 e  j  ( M n ) )
n 0
 e  j M
 e  j M
 e  j M
L

2
b

bn (e j ( M 2 n )  e  j ( M 2n ) )
 c
n0


L


 M

2
bc  2bn cos   n   
2

n0
 

2
R ().


H (e j )  R()
H (e j )  
,
R ( ) =실수항
M
  R ( )
2
R()>0 : R()=0
R()<0 : R()= 
-> 선형위상 특성
예제 7.16
h[ n]  1, 0  n  4
 M=4로 짝수이면서 우대칭.
4
H (e j ) 

e  jn 
n0
H (e j ) 
1  e  j 5
sin 5 2
 e  j 2
1  e  j
sin  2 
sin 5 2
sin  2
H (e j )  2
-> 선형위상
VII-53
VII-54
7.4.3 2차 시스템
y[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  b0 x[n]
H ( z) 
b0
,
1  a1 z 1  a2 z  2
p1 , p2 
 a1  a12  4a2
2
(2차 차분 방정식)
z  rmax .
(극점)
 극점으로 표시된 전달 함수
Linear phase delay의 의미
b0
(1  p1 z 1 )(1  p2 z 1 )
b0

.
1  ( p1  p2 ) z 1  p1 p2 z  2
H ( z) 
a1  ( p1  p2 ), a2  p1 p2
 안정된 인과 시스템의 조건: 극점이 단위원 안쪽
a1  1  a2 ,
및
a2
a2  1.
-> 연습문제 7.10
a2=1
1
공액 복소수 극점
2
1
실수 극점
1
2
a1
a1=1+a2
a1=1+a2
1
그림 7.19 식 (7.4-41) 함수의 안정성을 위한 계수 a1과 a2의 범위.
VII-55
VII-56
 부족제동의 경우 : 공액 복소수 극점 -> 진동한다.
p1 , p2  re  j ,
 과제동의 경우 : 두 극점이 서로 다른 실근-> 두개의 일차 시스템
0  r  1, 0   o  
o
H ( z) 
jIm[ z]
bo  p1
p2 

.

1
p1  p2  1  p1 z
1  p2 z 1 

r
o
II
 o
h[ n] 
Re[z]
1
응용 7.3
bo
(1  p1 z )(1  p2 z 1 )
1
bo
[ p1n 1  p2n 1 ] u[ n]
p1  p2
공진 시스템 및 놋치(notch) 필터
그림 7.20 부족제동에 대한 극-영점도 및 ROC.
2차 공진 시스템: 부족 제동의 경우와 같다.
p1 , p2  r (cos  o  j sin  o ) 이므로
p1  p2  2r cos  o ,
H ( z) 
p1  p2  r
b0
,
1  2r (cos  o ) z 1  r 2 z  2
 bo=(sino)1로
H ( z) 
1  z 2
,
1  2r (cos  o ) z 1  r 2 z  2
H ( z) 
(1  z 1 )(1  z 1 )
,
(1  re j z 1 )(1  re  j z 1 )
이므로
z r
한다면 시간 천이 성질에 의해
h[n]  r n [sin  o (n  1)]u[n]

2
o
z r
z r
o
jIm[z]
H ( e j )
-> pp. 329공식
임펄스 응답이 진동하면서 감쇄한다.
r
o
 임계제동의 경우 :
H ( z) 
o=0 (극점이
b0
,
(1  rz 1 ) 2
o
중근)
1
Re[z]
z r
0
(a)
h[ n]  bo (n  1) r n u[n]
-> pp. 329공식
 
o
(b)
그림 7.21 식 (7.5-54)의 2차 공진 시스템의 특성.
VII-57
VII-58
z= 1(=0) 와 z=1(=)에서 영점
 =0과 =에서는 크기가 항상 0
z  re j o 에서
7.4.4 시스템의 결합
극점
N개 시스템의 종속 결합:
 =o에서 분모의 크기가 거의 최소가 되어 공진
놋치 필터:
H ( z )  H1 ( z ) H 2 ( z ) H N ( z ),
1  2(cos  o ) z 1  z  2
H ( z) 
,
1  2r (cos  o ) z 1  r 2 z  2
(1  e j z 1 )(1  e  j z 1 )
,
(1  re j z 1 )(1  re  j z 1 )
o
H ( z) 
h[n]  h1[n]  h2 [ n]    hN [n]
R  R1  R2    RN
z r
N개 시스템의 병렬 결합:
o
o
o
z r
h[n]  h1[n]  h2 [n]    hN [n]
H ( s)  H1 ( s)  H 2 ( s)    H N ( s ),
H ( e j )
jIm[z]
R  R1  R2    RN
1
r
o
o
1
Re[z]
0
(a)
 
o
(b)
그림 7.22 식 (7.5-56)의 2차 놋치 필터의 특성.
=o에서 분자가 0  크기 응답은 0
r이 1에 가까우면 o에서 멀어진 주파수에 대해
re j  e j
o
o
 분모와 분자가 거의 같은 크기가 되므로 크기응답은 거의 1.
VII-59
응용 7.4
VII-60
음성의 발생 모델
성문 펄스열:
uG(t)
개막
(velum)
비강
혀
uG(t)
...
콧구멍
uN(t)
...
t
Tp
구강
성문
(glottis)
g(t)
uM(t)
그림 7.24 성문 펄스열의 대체적인 파형.
입
성도(vocal tract)
성대
(vocal cords)
성대
 t 
1
1  cos   , 0  t  T1 ,
2 
 T1 
g (t ) 
기관지
성문
폐
   (t  T1 ) 
 , T1  t  T1  T2 ,
cos 
   2T2 

그외
0,
압박
(b)
g(t)
(a)
그림 7.23 (a) 음성의 발생 원리; (b) 성대 및 성문의 단면도.
 유성음(voiced sound) : 성문의 개폐에 의한 공기 흐름이 준주기적
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
(quasiperiodic)인 펄스가 되어 성도를 여기시켜 생성된다.
T1 T2
 마찰음(fricative sound) : 성도를 수축한 상태에서 수축된 성도에 공기
를 밀어넣어 잡음 형태의 공기흐름으로 생성된다.
 파열음(plosive sound) : 성도를 완전히 막은 상태에서 공기의 압력을
높인 다음 급격하게 압력을 내보냄으로써 생성된다.
(a)
10
15
20
t(ms)
20 log10 G ( j )
40
20
0
(b)
20
0
그림 7.25
1 kH
2 kH
3 kH
4 kH f
(a) 성문 펄스의.근사화된 파형; (b) 스펙트럼.
VII-61
VII-62
피치 주기 Tp
V (z) 
충격열
발생기
성문 펄스 모델
G(z)
...
...
...

n
Np
N (z)
,  k  2Fk T
k 1
: 성도 모델
성도 모델
V(z)
uG[n]
x
uL(t)
k
k 1
M
성도(vocal tract):
uG(t)
V ( z)
R ( z )  Ro (1  z 1 ) : 방사 모델
그림 7.26 성문 펄스열 발생의 시이산 모델.
uM(t)
M
{1  2rk (cos  k ) z 1  rk2 z 2 }
...
n
Np
(Np=Tp/T)
uG [n]
U L (z)

U G ( z)
V(s)
uL [n]
방사 모델
R(z)
uM[n]
그림 7.28 성도와 방사 효과를 포함한 모델.
입
성문
(a)
피치 주기 Np
(b)
충격열
발생기
20 log10 V ( j )
F1
(A)
H(z)
성문 펄스
모델
(B)
G(z)
성도
모델
V(z)
방사
모델
R(z)
자연 주파수(formant)
F2
F3
F4
(A)
...
...
n
F5
(B)
...
...
n
0
5 kH f
(c)
그림 7.27 (a) 음강관으로 도식화된 성도; (b) 구간별로 일정한 관의 결합으로
근사화한 것; (c) 음강관의 공진 특성의 예.
...
...
(C)
n
Np
그림 7.29 유성음 발생의 전체 모델.
(C)
uM[n]
VII-63
VII-64
응용 7.5
H ( z )  G ( z )V ( z ) R ( z ).
채널 등화기(equalizer)
G(z)
 전극점 모델
A
H ( z) 
xd [n]
x[n]
H(z)
Heq(z)
채널
등화기
P
1
a z
k
k
xˆ[ n]
k 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
그림 7.30 등화기를 이용한 신호의 왜곡 보상.
7.4.5 역시스템
H eq ( z )  H 1 ( z )
-> 역시스템
1
H ( z)H ( z )  1
H ( z) 
h[ n]  h 1[n]   [ n]
H (z) 
1  0.5562 z 1  0.81z  2
1  2.0225 z 1  1.5625 z  2
(1  0.9e j 0.6 z 1 )(1  0.9e  j 0.6 z 1 )

(1  1.25e j 0.8 z 1 )(1  1.25e  j 0.8 z 1 )
N ( z)
D( z)
H 1 ( z ) 
H 1 ( z ) 
1
D( z )

H ( z ) N ( z)
 최소-위상 시스템: 영점이 모두 단위원 내부에 존재
극점이 단위원 내부  인과적이고 안정된 역시스템 존재
-> minimum delay system
예제 7.17
H ( z) 
 2 z 1
, 0.5  z  2
(1  0.5 z 1 )(1  2 z 1 )
1
H 1 ( z )  
1  2.0225z 1  1.5625z  2
1  0.5562z 1  0.81z 2
1
( z 1  a  ),
 공액 역수 위치 변환: (1  az ) 
(1  1.25e j 0.8 z 1 ) 
( z 1  1.25e  j 0.8 ),
(1  1.25e  j 0.8 z 1 ) 
( z 1  1.25e j 0.8 )
 인과적인 등화기: 극점을 단위원 안쪽으로 이동
1
(1  0.5 z )(1  2 z )
 0.5 z  1.25  0.5 z 1
2 z 1
h[ n]  0.5 [n  1]  1.25 [ n]  0.5 [n  1]. 비인과시스템
H eq ( z ) 
(1  0.9e j 0.6 z 1 )(1  0.9e  j 0.6 z 1 )
( z 1  1.25e  j 0.8 )( z 1  1.25e j 0.8 )
 0.64 
1  2.0225 z 1  1.5625 z  2
.
1  1.2944 z 1  0.64 z 2
a 1
VII-65
VII-66
7.5 LTI 시스템의 구현
7.5.1 병렬형 구조 (parallel connection)
지연기, 곱셈기, 덧셈기
H ( z) 
w[n]
b0
x[n]

Y ( z)  M
  bk z k 
X ( z )  k 0


 N

 ak z  k 
 k 0


y[n]
 M=N 및 단순 극점 (1차 함수로 부분분수 전개)
z1
a1
b1
N
H ( z)  g0 
k 1
z1
a2
b2
aN1
bN1
g0=0
qk
1 p z
1
k
(M=N)
 극점 pk와 계수 qk가 복소수일 경우 (2차 함수로 전개)
z1
bN
aN
N
 qk
qk 
qk



.
1
 1 
1

p
z
1

p
z
1

pk z 1
k 1 
k
k
 k 2 L1
L
H ( z)  g0 

pk, k=1, , L, (LN/2)은 복소수,
pk, k=2L+1, , N은 실수
w[nN]
그림 7.31 일반적인 시이산 직접형-II 구조.
L
H ( z)  g 0 
z1
x[n1]
b0
b1
z1
x[n2]
b2
z1
bM1
1k  2 Re[ pk ],
x[nM]
bM
 0 k  2 Re[ qk ],
y[n]
그림 7.32
횡단선 필터 구조의 FIR 필터.
N
 0 k   1k z 1
qk
 
,
1
2
z


z
1

pk z 1
k  2 L 1
1k
2k
1 
k 1
x[n]

2
2 k  pk ,
 1 k  2 Re[ pk qk ]
VII-67
VII-68
7.5.2 종속형 구조 (serial connection)
qk
x[n]
y[n]
H ( z) 
z1
pk
(a) H k ( z ) 
qk
1  pk z 1
0k
x[n]

Y ( z)  M
  bk z k 
X ( z )  k 0


 N

 ak z  k 
 k 0


 M=N 및 a0 =1 (1차함수)
y[n]
N
H ( z )  b0
1  z k z 1
1 p z
k 1
1
k
z1
1k
1k
 극점 pk와 영점 zk가 복소수일 경우 (2차함수)
K
z1
2k
H ( z )  b0
H k (z) 
1
k 1
 0 k   1k z
1  1k z 1   2 k z  2
그림 7.33 병렬형 구조: (a) 1차 시스템; (b) 2차 시스템.
k 1
L
K
 b0

k
k  2 K 1
N
 (1  pk z )(1  p z )  (1  pk z 1 )
1
(b)
N
 (1  z k z 1 )(1  z k z 1 )  (1  z k z 1 )
1
2
1
2
k  2 L 1
N
 (1   1k z   2 k z )  (1  z k z 1 )
k 1
L
1
k  2 K 1
N
 (1   1k z   2 k z )  (1  pk z 1 )
k 1
k  2 L 1
2
1k  2 Re[ pk ],
 2 k  pk ,
1k  2 Re[ zk ],
 2 k  zk .
2
,
VII-69
VII-70
숙제 7장 연습문제
x[n]
y[n]
z1
pk
9(a)
zk
14(c)
1
(a) H k ( z )  1  z k z
1
1  pk z
x[n]
15
y[n]
z1
1k
 1k
z1
2k
(b) H k ( z ) 
7(b),(d)
 2k
1  1k z 1   2 k z 2
1  1k z 1   2 k z 2
그림 7.34 종속형 구조: (a) 1차 시스템; (b) 2차 시스템.