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OTTICA GEOMETRICA
Nella figura è mostrato un raggio di luce che entra all’estremità di una fibra ottica con un
angolo di incidenza θi = 50°. L’indice di rifrazione della fibra è 1,62. Trova l’angolo θ
formato con la normale quando essa raggiunge la superficie laterale della fibra. Dimostra
che in corrispondenza della superficie laterale si ha riflessione totale.
Facoltativo: dimostra che qualunque sia l’angolo di incidenza θi della luce, è sempre
verificatala condizione di riflessione totale all’interno
Consideriamo lo schema seguente:
in esso abbiamo evidenziato l’angolo θr risultante dalla rifrazione della luce che entra da sinistra
con angolo θi.
Ricaviamo θr dalla legge di Snell:
sin ϑi ⋅ n1 = sin ϑr ⋅ n 2
Assumendo che il primo mezzo fosse l’aria si ha n1 = 1 e quindi si ottiene:
⎛ sin ϑi
⎝ n2
ϑr = arcsin⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ 50° ⎞
→ ϑr = arcsin⎜
⎟ = 28,21°
⎝ 1,62 ⎠
L’angolo θ con cui il raggio di luce incide sulla parete della fibra ottica si ottiene subito osservando
che è il complementare di θr :
ϑ = 90° − ϑr = 61,78°
Per dimostrare che si ha riflessione totale confrontiamo questo angolo con il valore dell’angolo
limite, che si ottiene dalla relazione:
⎛1⎞
⎝n⎠
⎛ 1 ⎞
⎟ = 38°
⎝ 1,62 ⎠
ϑ L = arcsin⎜ ⎟ = arcsin⎜
Notiamo che l’angolo di incidenza è molto maggiore dell’angolo limite, quindi si ha riflessione
totale.
L’osservatore in figura è posizionato in modo che il bordo più distante del fondo del bicchiere
vuoto sia appena visibile. Il bicchiere ha un’altezza di 12 cm e una larghezza di 6 cm. Quando
il bicchiere è riempito fino all’orlo di un certo olio, l’osservatore è in grado di vedere appena il
centro del fondo del bicchiere. Determinare l’indice di rifrazione dell’olio.
Le informazioni fornite nella prima parte del quesito ci consentono di ricavare l’angolo di
incidenza; infatti, come si deduce dallo schema seguente, si ha:
⎛W ⎞
−1 ⎛ 6 ⎞
⎟ = tan ⎜ ⎟ = 26,56°
⎝ 12 ⎠
⎝H ⎠
ϑi = tan −1 ⎜
Analogamente, come si deduce dallo schema seguente, possiamo calcolare l’angolo di rifrazione:
⎛ H ⎞
⎟ = tan −1 ⎛ 3 ⎞ = 14,04°
⎜ ⎟
⎜ W ⎟⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 2⎠
ϑr = tan −1 ⎜⎜
Possiamo ora applicare la legge di Snell:
n1 sin ϑi = n 2 sin θ r
→ n2 =
n1 sin ϑi
sin θ r
Assumendo n1 = 1 per l’aria, si ottine:
n2 =
sin 26,56°
= 1,84
sin 14,04°
A ray of light enters a block of glass with an angle α = 34°. What should be the minimum
index of refraction of the glass so that in the point P there is a total reflection?
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un raggio di luce entra in un blocco di vetro con un angolo α = 34°. Quale deve essere il minimo
indice di rifrazione del vetro affinché nel punto P vi sia riflessione totale?”
Consideriamo la geometria del problema, raffigurata nella figura seguente:
Nel punto A si ha una prima rifrazione e il raggio si propaga nel blocco di vetro con un angolo β
che si può ottenere con la legge di Snell:
1 ⋅ sin 34° = n ⋅ sin β
→ sin β =
sin 34°
n
(Si è assunto che il raggio provenisse dall’aria, con indice di rifrazione 1)
Nel punto P si ha rifrazione totale quando risulta:
n ⋅ sin (90 − β ) = 1
→ sin(90 − β ) =
1
n
Sfruttiamo ora la relazione:
sin(90 − β ) = cos β
da cui:
cos β =
1
n
Questa equazione e quella precedente possono essere messe a sistema:
sin 34°
⎧
sin
=
β
⎪⎪
n
⎨
⎪cos β = 1
⎪⎩
n
⎧ 2
sin 2 34°
β
sin
=
⎪⎪
n2
→ ⎨
⎪cos 2 β = 1
⎪⎩
n2
n 2 = 1 + sin 2 34°
→ n = 1 + sin 2 34°
→ sin 2 β + cos 2 β = 1 =
→ n = 1,15
sin 2 34° 1
+ 2
n2
n
→
RELATIVITA’
Calcola la velocità di un elettrone che ha un’energia cinetica di 12 MeV. (Nota: l’energia a
riposo di un elettrone è 0,511 MeV; 1 eV = 1,60 ×10-19 J)
Ricordiamo la relazione che esprime l’energia cinetica relativistica:
K=
m0 c 2
1−
2
v
c2
− m0 c 2
e ricaviamo da essa la velocità:
K=
m0 c 2
v2
1− 2
c
− m0 c
2
⎛ m0 c 2
v
→
= 1 − ⎜⎜
2
c
⎝ K + m0 c
m0 c 2
v2
1− 2 =
c
K + m0 c 2
→
⎞
⎟⎟
⎠
2
prima di procedere alla sostituzione dei valori numerici, osserviamo che nel termine sotto radice
compare il rapporto tra due energie, quindi non è necessario effettuare la conversione di unità di
misura e possiamo svolgere il calcolo esprimendo le energie in eV. Si ha quindi:
2
⎛ 0,511 ⎞
v = c 1− ⎜
⎟ = 0,9992c
⎝ 12 + 0,511 ⎠
La vita media di un muone a riposo è di 2,2×10-6 s. Il muone si muove ad una velocità di 0,90c
rispetto ad un osservatore fermo sulla Terra. Determinare:
a) quanti metri percorre, rispetto ad un osservatore fermo sulla Terra, prima di decadere.
b) quanti metri percorre, rispetto ad un osservatore che si muove insieme al muone, prima
di decadere
Osserviamo innanzitutto che la vita media del muone, cioè 2,2 × 10-6s, è misurata nel sistema di
riferimento in cui esso è fermo, quindi tale intervallo è da considerare un tempo proprio.
L’osservatore sulla Terra, che vede il muone in movimento, misurerà quindi un tempo dilatato.
Secondo l’osservatore sulla Terra la vita media del muone sarà quindi:
t=
t0
1−
2
v
c2
→ t=
2,2 × 10 −6
⎛ 0,9c ⎞
1− ⎜
⎟
⎝ c ⎠
2
→ t=
2,2 × 10 −6
1 − 0,9
2
→ t = 5,0 × 10 −6 s
Dunque secondo l’osservatore terrestre lo spazio percorso dal muone sarà:
L0 = vt
→ L0 = 0,9 × 3 × 10 8 × 5 × 10 −6 = 1350 m
Secondo un osservatore che si muove insieme al muone, invece, lo spazio percorso sarà calcolato
utilizzando il tempo proprio t0:
L = vt 0
→ L = 0,9 × 3 × 10 8 × 2,2 × 10 −6 = 594 m
Un elettrone ha una massa a riposo di 9,1 × 10-31 kg. Calcola la sua energia cinetica quando si
muove ad una velocità di 0,95 c.
Per una particella relativistica l’energia totale è la somma dell’energia a riposo e dell’energia
cinetica. Pertanto si ha:
E = E0 + Ec
⎞
⎛
⎟
⎜
1
⎟
2⎜
→ E c = mc ⎜
− 1⎟
2
⎟
⎜ 1− v
⎟
⎜
2
c
⎠
⎝
→ Ec = E − E0
Nel nostro caso si ha quindi:
⎞
⎛
1
×⎜
− 1⎟ = 1,8 × 10 −13 J
⎟
⎜ 1 − 0,95 2
⎠
⎝
A flying saucer leaves from the Earth towards Vega, in the Lyra constellation, that is 25 light
years away, with a constant speed of 0,98 c. Find how long it takes according to a terrestrial
observer and according to an alien onboard the flying saucer.
(
E c = 9,1 × 10 −31 × 3 × 10 8
)
2
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un disco volante parte dalla Terra diretto verso Vega, nella costellazione della Lyra, che dista 25
anni luce, con una velocità costante di 0,98 c. Trova quanto impiega secondo un osservatore
terrestre e secondo un alieno a bordo del disco volante”
Secondo un osservatore terrestre il tempo impiegato è uguale alla distanza diviso la velocità:
t=
L0
v
→ t=
25 × anni × c
0,98 × c
→ t = 25,5 anni
Da notare che la distanza tra la Terra a Vega misurata dall’osservatore terrestre è una lunghezza
propria, dal momento che sia la Terra che Vega sono entrambe in quiete rispetto ad esso.
Per l’alieno che si trova sul disco volante, invece, sia la Terra che Vega appaiono in movimento,
quindi egli misurerà tra i due corpi celesti una distanza contratta, cioè:
v2
L = L0 ⋅ 1 − 2
c
Pertanto il tempo necessario a compiere il viaggio sarà per lui:
t0 =
L
v
→ t0 =
L0
v2
⋅ 1− 2
v
c
→ t =
25 × anni × c
⋅ 1 − 0,98 2 = 5,07 anni
0,98 × c
A causa dell'espansione dell'universo, la galassia A si allontana da noi con una velocità di 0,75
c. Dall'altra parte del cielo, la galassia B si allontana da noi in direzione opposta con velocità
0,55 c. Calcola la velocità della galassia B misurata da un osservatore che si trova sulla
galassia A.
La situazione è rappresentata nel seguente schema:
L’osservatore che si trova nella galassia A vede la Terra che si allontana con una velocità di 0,75 c;
siccome la galassia B a sua volta si allontana dalla Terra con velocità 0,55 c, tale velocità deve
essere sommata alla prima, utilizzando la formula di somma relativistica delle velocità.
La velocità misurata dall’osservatore nella galassia A è quindi:
v=
v A + vB
v v
1+ A 2B
c
→ v=
0,75c + 0,55c
0,75c × 0,55c
1+
c2
→ v = 0,92c
Un’astronave si allontana dalla Terra con velocità 0,85 c; a un certo punto spara un missile,
nella direzione del proprio moto, che ha velocità 0,6 c rispetto all’astronave stessa. Calcola la
velocità del missile rispetto alla Terra.
Per risolvere il problema dobbiamo utilizzare la formula di composizione delle velocità
relativistiche:
vr =
v1 + v 2
(0,85 + 0,6)c = 0,96c
=
v ⋅v
0,85 ⋅ 0,6c 2
1+ 1 2 2 1+
c
c2
Due astronavi, ciascuna lunga 100 m nel proprio sistema di riferimento, si avvicinano alla
terra da direzioni opposte, ciascuna con velocità 0,5c rispetto alla terra stessa. Per un
passeggero di una delle due astronavi, quanto è lunga l’altra?
Per rispondere alla domanda posta, dobbiamo applicare la formula che ci dà la lunghezza, contratta,
a partire dalla lunghezza propria, che è quella dell’astronave misurata nel proprio sistema di
riferimento. Si ha:
L = L0 1 −
v2
c2
La velocità che dobbiamo utilizzare è quella con cui ciascuna astronave vede avvicinarsi l’altra.
Questa si ottiene sommando, relativisticamente, le velocità che ciascuna astronave ha rispetto alla
Terra, ossia:
v=
v1 + v 2
0,5 + 0,5
= 0,8c
=
v1 ⋅ v 2
1 + 0,5 2
1+ 2
c
Sostituendo la velocità, così ottenuta, nella formula precedente, si ha:
L = 100 ⋅ 1 −
0,8 2 c 2
= 60 m
c2
Dai la corretta definizione di tempo proprio e di lunghezza propria.
L’intervallo di tempo proprio è quello misurato da un osservatore rispetto al quale gli eventi iniziale
e finale dell’intervallo avvengono nello stesso luogo.
La lunghezza propria è quella misurata da un osservatore rispetto al quale è in quiete l’oggetto da
misurare.
Spiega qual era lo scopo dell'esperienza di Michelson e Moreley e come Einstein interpretò il
risultato.
Michelson e Moreley, utilizzando un particolare tipo di interferometro, si proponevano di rivelare
la presenza dell’etere, un mezzo dalle caratteristiche assai singolari nel quale, secondo
l’interpretazione corrente, si propagava la luce. La loro esperienza ebbe esito negativo e ne
dedussero che l’etere non esiste.
Einstein interpretò questo risultato ponendo a fondamento della relatività ristretta il fatto che la
velocità della luce è costante per tutti gli osservatori.