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18.05.2015
Abteilung für Angewandte Mathematik
Prof. Dr. M. Růžička, Hannes Eberlein
Funktionalanalysis
SS 2015 — Woche 5
Abgabe: Montag, den 01. Juni, vor der Vorlesung
Aufgabe 1:
Sei H ein Hilbertraum und u ∈ H. Zeigen Sie die Normformel
kuk =
2 Punkte
|(z, u)|.
sup
z∈H, kzk=1
Aufgabe 2:
4 Punkte
Sei X ein Banachraum und sei E ⊂ X ein Untervektorraum mit dim(E) < ∞.
Zeigen Sie, dass E abgeschlossen ist.
Aufgabe 3:
Gegeben sei der Raum der quadratsummierbaren Folgen
2
` := (cj )j∈N ⊂ C
∞
X
|cj |2
3 Punkte
<∞ ,
j=1
2
der mit dem Skalarprodukt (c, w)`2 := ∞
j=1 cj wj versehen ist. Zeigen Sie, dass `
vollständig und somit ein Hilbertraum ist.
P
Aufgabe 4: (Produktregel für Sobolev-Funktionen)
4 Punkte
n
0,1
1,2
Sei Ω ⊂ R offen mit ∂Ω ∈ C . Seien u, v ∈ H (Ω). Zeigen Sie uv ∈ W 1,1 (Ω)
sowie die Produktregel für die schwachen Ableitung
∂i (uv) = (∂i u) v + u (∂i v).
Tipp: Sie dürfen die Äquivalenz der Definitionen 1.10 und 1.15 annehmen.
Aufgabe 5: (Kettenregel für Sobolev-Funktionen)
7 Punkte
n
0,1
1
0
Sei Ω ⊂ R offen mit ∂Ω ∈ C . Sei f ∈ C (R) mit |f | ≤ M in R sowie
f (0) = 0. Zeigen Sie: Ist u ∈ H 1,2 (Ω), so ist auch f (u) ∈ H 1,2 (Ω) und es gilt
Di f (u) = f 0 (u) Di u.
Tipp: Auch hier dürfen Sie die Äquivalenz der Definitionen 1.10 und 1.15 annehmen. Verwenden Sie den Hauptsatz, um f (u) abzuschätzen.