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SEMINARARBEIT IN DYNAMISCHE
SYSTEME
Dynamische Systeme, Flüsse
und Vektorfelder
STEFANIE LANG
LEHRSTUHL FÜR MATHEMATIK III
FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSINFORMATIK UND
WIRTSCHAFTSMATHEMATIK
UNIVERSITÄT MANNHEIM
PROF. DR. MARTIN U. SCHMIDT
21.04.2015
1
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation
3
2 Einführung eines dynamischen Systems
2.1 Definition ((Semi-)Dynamisches System). . . .
2.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der zeitdiskrete Fall . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Der zeitkontinuierliche Fall . . . . . . . . . . .
2.4 Definition (Fixpunkt). . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Definition(Orbit oder Trajektorie, Bahnkurve)
2.6 Definition (periodisch) . . . . . . . . . . . . .
2.7 Definition (Minimalperiode) . . . . . . . . . .
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3 Flüsse
3.1 Definition (lokaler Fluss) . . . . . .
3.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . .
3.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Beweis: . . . . . . . . . . . .
3.3 Definition (globaler Fluss) . . . . .
3.3.1 Bemerkung . . . . . . . . .
3.4 Definition (vollständiges Vektorfeld )
3.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Beweis (Skizze): . . . . . . .
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4 Stabilität
13
4.1 Definition (Stabilität) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Literaturverzeichnis
14
2
1
Motivation
Das Ziel dieses Vortrages ist, den Begriff des dynamischen Systemes einzuführen, zu veranschaulichen und eine solide Grundlage für die weitere Diskussion dynamischer Systeme zu liefern. Ein
dynamisches System beschreibt die zeitliche Veränderung einer Größe, zum Beispiel die Bewegungsabläufe eines Pendels oder die zeitliche Entwicklung von Populationen konkurrierender
Spezies im Volterra-Lotka-Modell. Die Zustände, die ein dynamisches System hierbei annimmt,
sind Elemente eines sogenannten Phasenraumes M . Die angesprochene zeitliche Änderung kann
kontinuierlicher Art sein oder zeitdiskret verlaufen, d.h. man betrachtet punktuelle Zeitpunkte.
Zunächst werden wir daher zwischen dem zeitkontinuierlichen und dem zeitdiskreten Fall eines
dynamischen Systems unterscheiden. Wenn Punkte durch die Wirkung eines dynamischen
Systems bewegt werden, entstehen Trajektorien. Dieser und andere essentielle Grundbegriffe, die
für die Untersuchung eines dynamischen Systems sehr nützlich sind, werden im Rahmen dieses
Vortrags eingeführt. Ein weiterer Teil des Vortrages beschäftigt sich damit, den Zusammenhang
zu Vektorfeldern und gewöhnlichen Differentialgleichungen herzustellen. Es werden lokale Flüsse
und einige Sätze betrachtet, die gewährleisten, dass ein lokaler Fluss sogar ein globaler Fluss ist.
Das qualitative Verhalten des von einer gewöhnlichen Differentialgleichung erzeugten Flusses in
der Nähe eines Fixpunktes wird unter dem Begriff der Stabilität diesen Vortrag abschließen.
Stefanie Lang
Mannheim, den 21.04.2015
3
2
Einführung eines dynamischen Systems
Historisch betrachtet erschienen zeitkontinuierliche dynamische Systeme erstmals dank Newtons
Entdeckung, dass die Bewegungen von mechanischen Objekten durch gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben werden können. Die Newtonschen Gleichungen haben
die Entwicklung der Theorie der dynamischen Systeme daher ganz wesentlich angestoßen.
Allgemein können auch viele andere soziale oder Naturphänomene wie beispielsweise radioaktiver
Zerfall, chemische Reaktionen, Bevölkerungswachstum oder die Preisdynamik auf Kapitalmärkten bis zu einem gewissen Grad an Genauigkeit durch dynamische Systeme gewöhnlicher
Differentialgleichungen modelliert werden.
2.1
Definition ((Semi-)Dynamisches System).
Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung φ : G × M −→ M mit (t, x) 7−→ φ(t, x) für alle
t ∈ G, x ∈ M und G eine (Halb-)Gruppe heißt (semi-)dynamisches System, falls folgende
Bedingungen erfüllt sind:
(i) φ(0, x) = x für alle x ∈ M
(ii) φ(t + s, x) = φ(t, φ(s, x)) für alle t, s ∈ G, x ∈ M ((Halb-)Gruppeneigenschaft)
(iii) φ ist stetig in (t, x) ∈ G × M
2.1.1
Bemerkungen
1. Ein dynamisches System beschreibt die Änderung einer Größe im Zeitablauf.
2. Das Ergebnis der Zeitentwicklung hängt dabei ausschließlich von dem Anfangszustand des
Systems und der vergangenen Zeit ab, nicht aber von der Wahl des Startzeitpunktes. Dies
ist charakteristisch für dynamische Systeme.
3. Die Abbildung φ beschreibt die Dynamik des Systems: Ist das System zum Zeitpunkt
t = 0 in x, so befindet es sich zur Zeit t = t∗ in φ(t∗ , x).
4. In der Regel modelliert t ∈ G die Zeit und M , der Raum der Zustände des dynamischen
Systems, bezeichnet man typischerweise als (Phasen)Raum.
5. Für G = R oder G = Z heißt φ dynamisches System oder Fluss und (ii) verkörpert die
Gruppeneigenschaft bezüglich der Addition der reellen bzw. ganzen Zahlen. Für G = R+
0
oder G = Z+
0 spricht man von einem semidynamischen System oder Halbfluss auf M und
die Eigenschaft (ii) heißt analog Halbgruppeneigenschaft. Für unsere Zwecke wollen wir
jeweils nur einen Fall betrachten, d.h. im zeitkontinuierlichen Fall sei G = R oder G = R+
0
und im zeitdiskreten Fall sei G = Z oder G = N0 .
6. Eigenschaft (ii) bedeutet, dass die Entwicklung des Zustandes x zum Zeitpunkt s + t
stattfinden kann, indem man zuerst die Transformation φ(s, x) anwendet und auf den
resultierenden Zustand wiederum die Transformation φ(t, ·).
4
2.1.2
Beispiele
(a) Das mathematische Pendel
Gegeben sei die nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung x¨ + ω 2 sinx = 0. Wir
schreiben diese als System erster Ordnung
u˙ 1 = u2
u˙ 2 = −ω 2 sinu1
Zu jedem Anfangswert y ∈ M = R × R existiert genau eine globale Lösung u(t, y) =
[u1 (t, y), u2 (t, y)]T . Dies folgt aus folgender Überlegung :
Die rechte Seite des Systems f (u1 , u2 , t) = [u2 , −ω 2 sinu1 ]T ist stetig in t und stetig
differenzierbar. Also ist f lokal lipschitz in t und nach dem Existenzsatz von Picard-Lindelöff
existiert zu jedem Anfangswert genau eine lokale Lösung. Ferner gilt mit z := (u1 , u2 )T
die Abschätzung:
|f (t, z)|2 = u22 + (−ω 2 sinu1 )2 = u22 + ω 4 (sinu1 )2 ≤ u22 + ω 4 u21
denn es gilt |sinu1 | ≤ |u1 | für u1 ∈ R.
Wegen (x + y)1/2 ≤ x1/2 + y 1/2 für alle x, y ≥ 0 gilt für alle z ∈ R2
|f (t, z)| ≤ u2 + ω 2 u1 .
Also ist f bezüglich z linear beschränkt. Die Lösung u(t, y) = [u1 (t, y), u2 (t, y)]T existiert
somit global.
Setze nun φ(t, y) = u(t, y), t ∈ R, y ∈ R2 . Dann definiert die Funktion φ ein dynamisches
System.
Begründung: Eigenschaft (i) ist erfüllt, da φ(0, y) = u(0, y) = y gilt. Außerdem sind
u(t + s, y) und u(t, u(s, y)) Lösung von obigem System erster Ordnung bezüglich t. Für
t = 0 gilt u(0 + s, y) = u(s, y) = u(0, u(s, y)). Demnach lösen u(t + s, y) und u(t, u(s, y))
das gleiche Anfangswertproblem. Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt somit, dass die
Funktionen gleich sind, also:
φ(t + s, y) = u(t + s, y) = u(t, u(s, y)) = φ(t, φ(s, y))
für alle t, s ∈ R, y ∈ R2 , also Eigenschaft (ii). Eigenschaft (iii) folgt aus folgendem Satz
über die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsdaten:
Sei G ⊂ Rn+1 offen mit (t0 , x0 ) ∈ G, f : G −→ Rn stetig und lokal Lipschitz in x.
Dann hängt die Lösung x(t) des folgenden Anfangswertproblems für ein System von
Differentialgleichungen erster Ordnung
x˙ = f (t, x)
x(t0 ) = x0 ,
mit (t0 , x0 ) ∈ G, stetig von den Daten (t0 , x0 , f ) ab.1
Dieses Beispiel zeigt bereits, dass jedes autonome System gewöhnlicher Differentialgleichungen, bei dem die Lösungen global existieren, schon ein dynamisches System definieren.
Später werden wir darauf genauer eingehen.
1
Zum Beweis siehe Jan W. Prüss, Mathias Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische
Systeme, Halle, Birkhäuser Verlage, 2010, S.68 (Satz 4.1.2)
5
(b) Skaliertes Volterra-Lotka-Modell mit Sättigung
u˙ = u − κu2 − uv
v˙ = −v + uv.
Sei M = R2+ . Für alle z0 := [u0 , v0 ]T ∈ M existiert genau eine globale Lösung z(t, z0 ) :=
[u(t, z0 ), v(t, z0 )]T von obigem System nach rechts. Diese hängt analog zu Beispiel (a)
ebenfalls stetig von z0 ab. Die Funktion φ(t, z0 ) := z(t, z0 ) definiert hier jedoch lediglich
ein semidynamisches System, globale Existenz nach links gilt hier nicht.
Aus der vorherigen Bemerkung wird bereits ersichtlich, dass verschiedene Fälle von dynamischen
Systemen auftreten können. Im weiteren Verlauf werden wir deshalb die Unterscheidung zwischen
dem zeitdiskreten Fall und dem zeitkontinuierlichen Fall treffen.
Wir betrachten zunächst den zeitdiskreten Fall.
2.2
Der zeitdiskrete Fall
Hierbei sei der Raum G entweder gleich N0 oder G gleich Z. Für uns von Interesse sind die
Zustandsänderungen bei einem Zeitsprung. Analog zur Definition 2.1 unterscheidet man wiederum zwischen einem dynamischem System für G = Z und einem semidynamischem System für
G = N0 .
Es sei gegeben:
G −→ stetige Abbildungen von M nach M
t 7−→ φ(t, ·) : M −→ M
x 7−→ φ(t, x)
Im Fall G = Z entspricht diese Abbildung einem Gruppenhomomorphismus.
Für G = N0 erhalten wir für obige Abbildung einen Halbgruppenhomomorphismus.
2.2.1
Bemerkungen
1. Ein dynamisches System φ mit G = Z bzw. G = N0 erfüllt φ(n, x) = An (x) für alle n ∈ N0
mit A : M −→ M , x 7−→ A(x) = φ(1, x), da N0 und Z frei von 1 erzeugt werden.
2. Im Fall G = Z ist A ein Homöomorphismus und es gilt φ(n, x) = An (x) für alle n ∈ Z.
3. Umgekehrt definiert jede stetige Abbildung A : M −→ M ein dynamisches System mit
G = N0 und jeder Homöomorphismus A : M −→ M ein dynamisches System mit G = Z.
2.3
Der zeitkontinuierliche Fall
In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang mit den gewöhnlichen Differentialgleichungen
deutlich. Dafür sei G = R oder G = R+
0.
Weiterhin seien folgende Voraussetzungen gegeben:
1. φ ein zeitkontinuierliches (semi)dynamisches System auf einem Vektorraum G, d. h.
G = R (oder G = R+
0)
2. φ partiell nach t differenzierbar
6
Wir definieren das Vektorfeld
∂ F : V −→ V mit F (x) := (φ(t, x))
∂t t=0
Man beachte, dass im Falle eines semidynamischen Systems nur die rechtsseitige Ableitung
gegeben ist. Zunächst zeigen wir allgemein, dass für x ∈ M die Abbildung φ(·, x) : G → M eine
Trajektorie von F , also eine Lösung folgender Differentialgleichung ist:
∂ (φ(t, x)) = F (φ(t0 , x)) mit F (x) wie in obiger Definition.
∂t t=t0
Dazu machen wir folgende Rechnung für ein beliebiges t0 ∈ G:
∂ (φ(t, x))
∂t t=t0
∂ = (φ(t0 + (t − t0 ), x))
∂t t=t0
∂
= (φ(t − t0 , φ(t0 , x)))
∂t t=t0
∂
= (φ(t, φ(t0 , x)))
∂t t=0
= F (φ(t0 , x))
Der vorletzte Schritt kann durch folgende kurze Rechnung eingesehen werden: Zur Vereinfachung
definieren wir φ(t, φ(t0 x)) =: f (t). Damit folgt mit der Kettenregel:
∂ f (t − t0 )
∂t t=t0
= (f (t) ◦ (t − t0 ))0 (t0 )
0
= (f (t) ◦ (t − t0 ) ) · (t − t0 )0 (t0 )
{z
}
|
t=t0
=1
0
= f (t) ◦ (t − t0 )
t=t0
0
= f (0)
∂ = (φ(t, φ(t0 , x)))
∂t t=0
Trajektorien durch x ∈ M , d.h. die Menge {φ(s, x)|s ∈ G}, erfüllen also die gewöhnliche Differentialgleichung q˙ = F (q(t)) mit dem Anfangswert q(0) = q0 .
Zeitkontinuierliche (semi)dynamische Systeme sind demnach eindeutig durch eine gewöhnliche
Differentialgleichung bestimmt.
Umgekehrt definieren autonome gewöhnliche Differentialgleichungen mit globalen Lösungen ein
zeitkontinuierliches (semi)dynamisches System. Dass diese Aussage sinnvoll erscheint, erhält
man leicht aus folgenden Überlegungen: Man stellt sich ein Vektorfeld von einer gewöhnlichen
Differentialgleichung anschaulich als eine Zuordnung vor, die jedem Punkt auf der Trajektorie,
also die Menge der Zustände eines dynamischen Systems, eine Richtung zuordnet, von der man
7
sich vorstellt, dass diese genau an diesem Punkt durch den tangentialen Vektor angetragen ist.
Also wird in jedem dieser Punkte durch die Steigung die Richtung der Bewegung der Punkte
durch das dynamische System angegeben. Daher kann man aus der Menge aller erzeugten
Richtungen, etwa aus einem gegebenen Vektorfeld, das spezielle Voraussetzungen erfüllt, das
zugehörige dynamische System konstruieren. Dies wird Gegenstand des dritten Abschnitts sein.
Da wir im vorangegangen Fall bereits den Begriff der Trajektorie verwendet haben, werden wir
nun zunächst einige Definitionen nachholen, die für die Diskussion eines dynamischen Systems
sehr nützlich sind.
2.4
Definition (Fixpunkt).
Der Punkt x∗ ∈ M heißt Fixpunkt oder Ruhelage eines dynamischen Systems φ : G × M −→
M , wenn φ(g, x∗ ) = x∗ für alle g ∈ G.
2.4.1
Beispiel
Die Abbildung A : R −→ R mit x 7−→ 2x besitzt einzig den Fixpunkt x = 0.
2.4.2
Bemerkung
Ist φ(t, x) ein semidynamisches System und existiert der Grenzwert x∞ := lim φ(t, x0 ) so ist
t→∞
x∞ ein Fixpunkt des semidynamsiches Systems, also φ(t, x∞ ) = x∞ für alle t ≥ 0. Dies zeigt
folgende kurze Rechnung unter Ausnutzung der Stetigkeit des Grenzwertes:
φ(t, x∞ ) = φ(t, lim φ(s, x0 )) = lim φ(t, φ(s, x0 )) = lim φ(t + s, x0 ) = x∞ .
s→∞
s→∞
s→∞
Daher sind die Grenzwerte von globalen Lösungen einer autonomen Differentialgleichung x˙ = f (x)
für t → ∞ stets stationäre Lösungen der Gleichung.
2.5
Definition(Orbit oder Trajektorie, Bahnkurve)
Sei x ∈ M fixiert. Dann nennt man γ(x) := {φ(t, x)|t ∈ G} Orbit oder Trajektorie durch den
Punkt x. Die Abbildung φ(·, x) : G −→ M mit t 7−→ φ(t, x) heißt Bahnkurve durch x.
Während eine Trajektorie lediglich die Menge aller angenommenen Zustandspunkte beschreibt,
sind bei der Bahnkurve zusätzlich zu den Zustandspunkten die Zeitpunkte, zu denen diese
angenommen werden, gegeben.
2.6
Definition (periodisch)
Ein Orbit durch y heißt periodisch mit Periode g ∈ G wenn g > 0 und φ(g, y) = y.
Da Vielfache einer Periode ebenfalls eine Periode darstellen, führen wir den Begriff der Minimalperiode ein.
2.7
Definition (Minimalperiode)
Eine Periode g heißt Minimalperiode, wenn φ(˜
g , y) 6= y für 0 < g˜ < g.
8
Als anschauliches Beispiel zur Verdeutlichung dieser Begrifflichkeiten stelle man sich die Drehbewegung der Erde um ihre eigene Achse vor. Die Breitengrade definieren ein zeitkontinuierliches
dynamisches System. Wenn wir für unsere Zwecke annehmen, dass die Erde sich nicht noch
zusätzlich um die Sonne dreht, sondern an einer Stelle im Universum verharre, dann sind die
beiden Pole beziehungsweise die Endpunkte der Erdachse zwei Fixpunkte. Ein Orbit entspricht
jeweils einem Breitengrad, zum Beispiel der Äquator und ist eindeutig festgelegt. Alle Orbits,
also alle Breitengrad, sind periodisch, da nach einer verstrichenen Zeit von n · 24 Stunden (n ∈ N)
die Erde sich als dynamisches System wieder im Anfangszustand, d.h. im gleichen Zustand wie
bei erstmaliger Betrachtung, befindet. Eine Minimalperiode kann man sich als einen Tag mit 24
Stunden, also als die Zeit, die die Erde für eine Eigenumdrehung benötigt, vorstellen.
Gleichwohl beachte man, dass die Längengrade der Erde kein dynamisches System erzeugen, da
sich diese allesamt im Nord- und Südpol schneiden. Dies stellt einen Widerspruch zur Eindeutigkeit von Integralkurven dar, somit können die Längengrade nicht die Integralkurven eines
dynamischen Systems bilden.
3
Flüsse
Wir haben im Abschnitt 2.3 bereits gesehen, dass ein zeitkontinuierliches, partiell nach t
differenzierbares, dynamisches System ein Vektorfeld definiert.
Im folgenden Abschnitt werden wir nun die Frage klären, wie man umgekehrt aus einem
Vektorfeld das zugehörige zeitkontinuierliche dynamische System konstruiert.
Jedoch brauchen wir zunächst
3.1
Definition (lokaler Fluss)
Sei X ein topologischer (metrischer) Raum, W ⊂ R×X eine offene Teilmenge und φ : W −→ X
eine Abbildung mit
(i) Für alle x ∈ X ist {t ∈ R|(t, x) ∈ W } ein offenes Intervall, das die Null enthält.
(ii) Sei (s, x) ∈ W und (t, φ(s, x)) ∈ W , dann ist auch (t + s, x) ∈ W und es gilt:
φ(t, φ(s, x)) = φ(t + s, x)
(iii) Für alle x ∈ X gilt: φ(0, x) = x
Dann heißt φ lokaler Fluss auf X.
Im Unterschied zu einem dynamischen System können wir also bei einem lokalen Fluss die
Zustände nur für eine gewisse offene Umgebung bestimmen.
3.1.1
Beispiele
x
(a) Beh.: Für alle (t, x) ∈ R × R mit xt < 1 definiert die Abbildung φ(t, x) 7−→ 1−tx
einen
lokalen Fluss auf R.
Bew.: Eigenschaft (i) ist trivialerweise erfüllt.
Weiterhin seien nun (s, x) ∈ W und (t, φ(s, x)) ∈ W . Damit ist auch (t + s, x) ∈ W und es
x
x
x
x
1−sx
x
1−sx
gilt φ(t, φ(s, x)) = φ(t, 1−sx
) = 1−t1−sxx = 1−sx−tx
= 1−sx
= 1−(s+t)x
= φ(s + t, x).
1−sx−tx
1−sx
Eigenschaft (iii) gilt, da φ(0, x) =
Fluss auf R gegeben.
x
1−0x
1−sx
= x für alle x ∈ X. Also ist durch φ ein lokaler
9
(b) Beh.: Für alle a ∈ R definiert die Abbildung φ : R × R −→ R mit (t, x) 7−→ eat x einen
lokalen Fluss auf R.
Bew.: Eigenschaft (i) ist offensichtlich erfüllt. Weiterhin seien nun (s, x) ∈ W und
(t, φ(s, x)) ∈ W . Damit ist auch (t + s, x) ∈ W und es gilt φ(t, φ(s, x)) = φ(t, eas x) =
eat eas x=eat+as x = ea(t+s) x = φ(t + s, x). Damit ist (ii) erfüllt. Die dritte Bedingung ist
erfüllt, da für alle x ∈ X φ(0, x) = e0 x = x gilt. Also ist φ ein lokaler Fluss auf R. Später
werden wir sehen, dass dieses Beispiel sogar einen globalen Fluss auf X definiert.
(c) Wir betrachten die folgende Abbildung:
φ : R × R −→ R mit φ(t, x) := (1 + t)x
Auch hier ist Eigenschaft (i) erfüllt. Ebenso erfüllt ist die Bedingung (iii) aus der Definition
eines lokalen Flusses, denn es gilt φ(o, x) = (1 + 0)x = x. Seien nun (s, x) ∈ R2 und
(t, φ(s, x)) ∈ R2 , aber φ(t, φ(s, x)) = (1 + t)(1 + s)x 6= (1 + t + s)x = φ(t + s, x). Also stellt
φ keinen lokalen Fluss auf R dar.
Die wichtigste Aussage des nächsten Satzes für uns wird sein, wie man aus einem Vektorfeld,
das gewisse Voraussetzungen erfüllt, einen lokalen Fluss konstruieren kann.
3.2
Satz
Sei X eine offene Teilmenge eines Banachraums V . Sei weiterhin γx : Jx −→ X die Integralkurve
von F mit γx (0) = x, wobei Jx ⊂ R ein offenes Intervall mit 0 ∈ Jx . Dann definiert für jedes
lokal lipschitzstetige Vektorfeld F : X −→ V die Vereinigung aller Trajektorien WF := {(t, x) ∈
R × X|t ∈ Jx } einen stetigen lokalen Fluss φF : WF −→ X mit (t, x) 7−→ γx (t) auf X.
Wenn F r ∈ N-mal stetig differenzierbar ist, dann ist φF ein r-mal stetig differenzierbarer Fluss
∂φ
mit r-mal stetig differenzierbarer partieller Ableitung F .
∂t
Umgekehrt ist jeder partiell nach t differenzierbare lokale Fluss, dessen partielle Ableitung
∂φ(0, x)
F (x) =
lokal lipschitzstetig ist, die Einschränkung von φF auf eine offene Teilmenge
∂t
W ⊂ WF .
3.2.1
Beweis:
Sei F : X −→ V ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld auf X. Sei WF := {(t, x) ∈ R × X|t ∈ Jx }
die Vereinigung in R × X aller kartesischen Produkte der Definitionsbereiche der eindeutigen
Integralkurven mit Anfangswert q(0) = x ∈ X.
Sei φF : WF −→ X mit φF = γx (t) definiert durch die entsprechende Integralkurve durch x.
Wenn (s, x) ∈ WF und (t, φF (s, x)) ∈ WF liegt, dann stimmen die Integralkurven mit dem
Anfangswert q(0) = x und q(s) = φF (s, x) wegen der Eindeutigkeit (Lipschitzstetigkeit) von
Integralkurven auf der Schnittmenge der Definitionsbereiche überein.
Also bilden sie zusammen eine Integralkurve auf dem Intervall, das sowohl die Null, als auch s
und t + s enthält und q(0) = x, q(s) = φF (s, x) und q(t + s) = φF (t, φF (s, x)) erfüllt.
Folglich gilt:
(t + s, x) ∈ WF und φF (t + s, x) = φF (t, φF (s, x)).
Wir nehmen an, dass WF offen ist. Weil im Beweis der Existenz des Anfangswertproblems im
Satz von Picard-Lindelöff das Intervall, auf dem die Integralkurve durch x ∈ X definiert ist, nur
von einem δ > 0 mit B(x, δ) ⊂ X und der Lipschitzkonstanten L und dem Supremum von kF k
10
auf dieser kompakten Menge B(x, δ) abhängt, enthält WF für alle x ∈ X eine offene Umgebung
um (0, x) ∈ R × X. Dann enthält WF für alle (s, x) ∈ WF mit einer offenen Umgebung um
(0, φF (s, x)) auch eine offene Umgebung von (s, x). Also ist WF offen.
Wenn F : X −→ V r-mal stetig differenzierbar ist mit r ∈ N, dann ist φF sogar r + 1-mal stetig
differenzierbar. Dies folgt aus folgendem wichtigen Satz:
Sei I ein offenes Intervall, U ⊂ V eine offene Teilmenge eines Banachraums V und f : I ×U −→
V eine stetige Abbildung, die partiell nach q r-mal stetig differenzierbar ist mit r ∈ N. Dann
gibt es für alle (t0 , q0 ) ∈ I × U eine offene Umgebung W von q0 in V , > 0 und eine r mal
stetig differenzierbare Funktion g : W −→ C([t0 − , t0 + ], V ), so dass für q1 ∈ W die Funktion
g(q1 ) die eindeutige Lösung des folgenden Anfangswertproblemes ist.
dq
(t)
dt
= f (t, q(t)) für alle t ∈ (t0 − , t0 + ) mit q(t0 ) = q1 .2
Weil in diesem Fall f nicht von t abhängt, lassen sich die ersten r +1 Ableitungen q(t),
˙
..., q (r+1) (t)
der Lösung durch die ersten r Ableitungen der Funktion f nach q bei q(t) ausdrücken. Deshalb
sind die entsprechenden Lösungen des Anfangswertproblems sogar (r + 1) mal stetig partiell
nach t differenzierbar.
Für r-mal stetig differenzierbare Funktionen f ist jede Lösung also r+1-mal stetig differenzierbar.
Sei jetzt umgekehrt φ : W −→ X ein partiell nach t stetig differenzierbarer Fluss auf X, dessen
partielle Ableitung nach t lokal lipschitzstetig ist. Wegen der Bedingung (ii) aus der Definition
3.1 eines lokalen Flusses gilt für alle (t, x) ∈ W und (s, φ(t, x)) ∈ W
∂φ(t + s, x)
∂φ(s, φ(t, x))
∂φ(t + s, x)
=
=
.
∂t
∂s
∂s
∂φ(t, x)
Mit s = 0 folgt, dass die partielle Ableitung
an der Stelle (t, x) gleich der partiellen
∂t
∂φ(s, φ(t, x))
Ableitung
an der Stelle (0, φ(t, x)) ist. Dann ist t 7−→ φ(t, x) die eindeutige Integral∂s
∂φ(0, x)
kurve durch x eines lokal lipschitzstetigen Vektorfeldes F : X −→ V mit F (x) =
. Aus
∂t
der Eindeutigkeit von Integralkurven folgt, dass für jedes x ∈ X die Bahn t 7−→ φ(t, x) eine
Einschränkung der maximalen Integralkurve t 7−→ φF (t, x) des Vektorfeldes F durch x ist.
Also ist W eine offene Teilmenge von WF und φ die Einschränkung von φF auf W .
Im Folgenden werden wir sehen, was einen globalen Fluss von einem lokalen Fluss unterscheidet
und Aussagen treffen, unter welchen Voraussetzungen ein globaler Fluss gegeben ist.
3.3
Definition (globaler Fluss)
Ein lokaler Fluss φ : W −→ X auf einem topologischen (metrischen) Raum X heißt globaler
Fluss, wenn W = R × X ist.
3.3.1
Bemerkung
Das Beispiel 3.1.1 (b) definiert sogar einen globalen Fluss.
3.4
Definition (vollständiges Vektorfeld )
Ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld F : X −→ V auf einer offenen Teilmenge eines Banachraumes V heißt vollständig, wenn der entsprechende Fluss φF ein globaler Fluss ist.
2
Zum Beweis siehe Prof. Dr. Martin U. Schmidt: Dynamische Systeme, Universität Mannheim, 2011, S.19
(Satz 1.23)
11
Stetige globale Flüsse und vollständige lipschitzstetige Vektorfelder definieren demnach zeitkontinuierliche dynamische Systeme. Allerdings definieren nicht alle stetigen Vektorfelder, deren
Integralkurven alle auf ganz R definiert sind auch ein zeitkontinuierliches dynamisches System
mit G = R.
Es werden nun einige Aussagen folgen, mittels derer man überprüfen kann, ob ein lokaler Fluss
auch ein globaler Fluss ist.
3.5
Satz
(i) Ein lokaler Fluss auf einem topologischen Raum X ist genau dann ein globaler Fluss ,
wenn W eine Menge (−, ) × X enthält mit > 0.
(ii) Ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld F : X −→ V auf einer offenen Menge eines Banachraumes V definiert genau dann einen globalen Fluss, wenn für ein > 0 die Integralkurven
von F durch alle x ∈ X auf (−, ) definiert sind.
(iii) Ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld F : X −→ V auf einer offenen Teilmenge eines
Banachraumes, das außerhalb einer kompakten Menge K verschwindet, definiert einen
globalen Fluss.
(iv) Auf einem Banachraum X = V definieren beschränkte und lokal lipschitzstetige Vektorfelder
einen globalen Fluss.
(v) Auf einem Banachraum X = V definieren lipschitzstetige Vektorfelder einen globalen
Fluss.
(vi) Auf einem kompakten topologischen (metrischen) Raum X sind alle lokalen Flüsse auch
globale Flüsse.
3.5.1
Beweis (Skizze):
Idee: Wir zeigen zunächst Aussage (i): Da {(0, x)|x ∈ X} ⊂ W folgt via Induktion für alle l ∈ N,
dass W auch die Menge
(−(l + 1), (l + 1)) × X = {(t + s, x) ∈ R × X|(t, x) ∈ (−l, l) × X, s ∈ (−, )} enthält. Somit
ist W gleich R × X und man erhält einen globalen Fluss, da die Voraussetzung dafür sorgt, dass
die Bahnkurve auf einem gewissen Intervall mindestens um die Länge immer wieder verlängert
werden kann. Das Vektorfeld ist somit vollständig und ein globaler Fluss gegeben.
Aussage (ii) folgt damit sofort aus (i).
Aussage (iii) ergibt sich folgendermaßen: Es gibt ein > 0, sodass der Definitionsbereich W
des Flusses φ von F die Menge (−, ) × X enthält, bzw. die Integralkurven von F mit allen
zugehörigen Anfangswerten x(0) ∈ X auf (−, ) definiert sind.
Für alle (t0 , x0 ) ∈ W ist W eine offene Umgebung von (t0 , x0 ) ∈ R × X. Daher gibt es für jedes
x ∈ X ein x und eine offene Umgebung Ux ⊂ X von x, sodass der Definitionsbereich W des
Flusses φ von F die Menge (−, ) × U enthält.
Die Überdeckung vom Abschluss der Menge, wo F nicht verschwindet, d.h. von K hat eine
endliche Teilüberdeckung, da X kompakt ist. Sei das Minimum der x . Das Minimum existiert,
da die x, von denen die x abhängen aufgrund der endlichen Teilüberdeckung nur in endlicher
Zahl vorhanden sind. Aus der Bedingung (i) des Flusses folgt, dass für jedes (t, x) ∈ W auch
{(t + s, x) ∈ R × X|s ∈ (−, )} in W enthalten ist.
Aussage (iv) ergibt sich aus folgender Aussage:
Sei F ein stetiges und beschränktes Vektorfeld auf einem (endlichdimensionalen) Banachraum
12
V . Dann sind alle Integralkurven auf ganz R definiert.3
Aussage (v) folgt aus (ii) nach geeigneter Wahl von .
Die letzte Aussage erhält man aus (iii), wenn man X als kompakte Menge K in (iii) setzt. Zum Abschluss werden wir noch den Begriff der Stabilität einführen, um das qualitative Verhalten des von einer gewöhnlichen Differentialgleichung erzeugten Flusses in der Nähe eines
kritischen Punktes zu verstehen. Wir betrachten also das Langzeitverhalten eines dynamischen
Systems, was durch die sogenannte „Stabilitätstheorie“ausgedrückt wird.
4
Stabilität
4.1
Definition (Stabilität)
Sei x0 ein Fixpunkt des lokalen Flusses φ : W −→ X auf einem metrischen Raum X. Dann
heißt x0
• stabil, wenn es zu jedem > 0 ein δ > 0 gibt, sodass φ(t, x) ∈ B(x0 , ) für alle (t, x) ∈
[0, ∞) × B(x0 , δ) ∩ W gilt.
• instabil, wenn x0 nicht stabil ist.
• attraktiv, wenn es ein δ > 0 gibt, sodass [0, ∞) × B(x0 , δ) in W enthalten ist und es für
alle > 0 ein t0 > 0 gibt, sodass φ(x, t) ∈ B(x0 , ) für alle (t, x) ∈ (t0 , ∞) × B(x0 , δ)) gilt.
• asymptotisch stabil, wenn x0 stabil und attraktiv ist.
4.1.1
Bemerkung
Man beachte, dass zwischen Stabilität und Attraktivität von x0 keine allgemeingültigen Beziehungen gelten. Genauer:
(a) x0 stabil ; x0 attraktiv;
(b) x0 attraktiv ; x0 stabil.
4.1.2
Beispiel
Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung x˙ = αx, α ∈ R, x ∈ Rn .
Die triviale Lösung ist hier x∗ = 0 und die eindeutige Lösung zum Anfangswert x(0) = x0 lautet
x(t, x0 ) = x0 eαt . Die Lösung x(t, x0 ) ist
• stabil für α ≤ 0, denn |x(t, x0 )| = |x0 ||eαt | ≤ |x0 | ≤ δ := , für t ≥ 0;
• instabil für α > 0, denn lim |x(t, x0 )| = ∞, falls x0 6= 0 ist;
t→∞
• attraktiv für α < 0, denn lim |x(t, x0 )| = 0 für alle x0 ∈ Rn .
t→∞
Probleme der Art wie in Beispiel 4.1.2 werden in dem nächsten Vortrag zu „Hyperbolischen
linearen Flüsse“ verallgemeinert. Der Unterschied wird darin liegen, dass man für das Element α
auch komplexe Zahlen zulässt und dass zudem Matrizen im Exponent zu e statt ausschließlich
Skalare auftauchen können.
3
siehe Prof. Dr. Martin U. Schmidt: Dynamische Systeme, Universität Mannheim, 2011, S.25 (Korollar 1.29)
13
5
Literaturverzeichnis
[1] Prof. Dr. Martin U. Schmidt: Dynamische Systeme,
Universität Mannheim, FSS 2011
[2] Jan W. Prüss, Mathias Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische
Systeme
Halle, Birkhäuser Verlag, 2010
[3] Jürgen Jost: Dynamical systems: examples of complex behaviour
Berlin, Heidelberg [u.a.]; Springer, 2005
[4] A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems
Cambridge [u.a.], Cambridge Univ. Press, 1995
14