Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes TP 3-3 : Suspension Paralever BMW : TP Identification Description du système et objectif du problème Sur une large partie de sa gamme la marque de moto BMW a adopté une transmission finale par cardans. Cette transmission si elle présente l’avantage d’un entretien réduit pose le problème de son hétérocinétisme. Pour remédier à cela BMW a développé plusieurs versions de la suspension pour en arriver aujourd’hui à la suspension Paralever. Cette suspension décrite par le schéma cinématique ci-dessous, permet de réduire fortement l’hétérocinétisme de la transmission sans induire de comportement paradoxal à l’accélération comme cela était le cas sur la précédente version. Notre étude se limitera à la suspension et exclue la transmission par cardan. Nous intéressons donc uniquement aux éléments suivants : La Bras oscillant Le carter de renvoi d’angle La Roue La jambe de réaction Le cadre Le combiné ressort-amortisseur Ce combiné ressort-amortisseur est un combiné entièrement pneumatique. Il possède un piston se déplaçant dans un volume d’amortissement. Au lieu de chasser le liquide hydraulique, il chasse cependant de l'air qui arrive alors dans un deuxième volume en passant par des clapets à section variable. L'amortissement est obtenu par étranglement du flux d'air. L'air étant compressible, l'air enfermé peut assumer la fonction de ressort et se substituer au ressort d'acier classique. On suppose que ce combiné ressort amortisseur est similaire à un combiné ressort amortisseur hydraulique à ressort hélicoïdal. Le combiné est assimilé à deux éléments en parallèle : Un ressort de raideur k et un amortisseur de coefficient d’amortissement b. L’effort délivré par ce combiné est alors la somme de deux efforts : → L’effort de rappel : une force FR proportionnelle à l’enfoncement de la tige de → → l’amortisseur : FR = − k.(l0 − l). X → L’effort d’amortissement : force FA proportionnelle à la vitesse d’enfoncement de → • → dl → la tige de l’amortisseur : || FA || = − b . . X = − b. l. X dt Où l et l0 sont les longueurs du ressort en charge et à vide Objectif du TP L’objectif du problème est de déterminer les caractéristiques de ce combine ressort-amortisseur c'est-à-dire les coefficients suivant : k la raideur du ressort et b le coefficient d’amortissement. TP 3-3 Suspension Paralever BMW.doc page 1/5 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes Modélisation Le cadre de la moto est simulé par un coulisseau vertical de masse MCV. Lequel est lié à un coulisseau horizontal de masse MCH. Par une liaison glissière d’axe vertical. On suppose que le coulisseau horizontal est fixe par rapport au bâti. On suppose que la roue est fixe par rapport au sol. On néglige la masse et l’inertie de toutes les pièces de la suspension Paralever. Seules les masses MCV du coulisseau vertical et MB de la charge mise à l’extrémité B de la barre de chargement seront prises en compte. Suspension Paralever Coulisseau vertical (cadre de la moto ) Barre de chargement B Simulation de la charge sur la partie arrière de la moto O C Guide de roulement du galet de transfert de charge Coulisseau horizontal Bâti Système équivalent Me Le système ci-dessus est remplacé par le système équivalent ci-contre. Ce système est constitué du même combiné ressort-amortisseur. Le corps du combiné étant fixe par rapport au bâti et la tige étant lié à un plateau en translation par rapport au bâti. On fixe sur ce plateau une masse Me d’inertie équivalente à celle des deux masses MCV du coulisseau vertical et MB de la charge mise à l’extrémité de la barre de chargement. Sur ce plateau s’applique deux forces : → → F1 x → F2 l → X → F1 = F1. X force équivalente au poids du coulisseau vertical. → → F2 = F2. X la force équivalente au poids de la charge fixée à l’extrémité de la barre de chargement → → Les forces F1 et F2 étant équivalentes aux poids des masses MCV et MB, on ne tiendra pas compte du poids de la masse Me. Par contre on tient compte de son inertie qui est équivalente à celle des masses MCV et MB. On note x la position du plateau par rapport au bâti et l la longueur du ressort. Etant donné la • • géométrie du modèle x = D − l où D est une constante. Donc x = l. → Si le plateau est à l’équilibre et que seule la force F1 s’applique sur ce plateau alors x = 0. TP 3-3 Suspension Paralever BMW.doc page 2/5 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes Travail demandé 1- Caractéristiques du système équivalent 1.1- Une première étude cinématique à permis de tracer ci-contre la courbe de l’enfoncement de l’amortisseur en fonction de la position du coulisseau vertical. Cette courbe étant très proche d’une droite, la vitesse d’enfoncement de la tige • d’amortisseur VA = x est proportionnelle à VCV la vitesse du coulisseau verticale : • VCV = k1 . VA = k1 . x En vous aidant de cette courbe, déterminer ce coefficient de proportionnalité k1. Remarque : k1 est également le coefficient de proportionnalité entre les positions de l’amortisseur et du cadre. 1.2- On note : O le point d’articulation de la barre de charge sur le bâti. C le point de contact entre le galet de la barre de charge et le coulisseau vertical. B le point de la barre de charge où sont mis 10 kg pour simuler une charge. On suppose que ces trois points sont toujours alignés horizontalement. En mesurant les longueurs OC et OB, en déduire le coefficient de proportionnalité k2 entre VB la vitesse du point B par rapport au bâti et VCV la vitesse du coulisseau verticale : VB = k2 . VCV Remarque : O et C étant quasiment à l’horizontalement k2 est également le coefficient de proportionnalité entre les distances OC et OB. 1.3- Donner, en fonction de MB, MCV, k1 et k2, l’expression de la masse Me d’inertie équivalente à celle des deux masses MCV et MB. Pour cela on admettra que l’énergie cinétique de la masse équivalente Me est égale à la somme des l’énergies cinétiques des masses MB et MCV. Rappel : L’énergie cinétique 1 . m . v2 . d’une masse m en translation à la vitesse v ayant pour expression : 2 → 1.4- Donner, en fonction de MB, g, k1 et k2, l’expression de F2 la norme de la force F2 équivalente au poids de la masse MB simulant la charge sur la partie arrière de la moto. Pour cela on admettra que la → puissance de la force F2 : F2.VA est égale à la puissance du poids de la masse MB : MB.g.VB. TP 3-3 Suspension Paralever BMW.doc page 3/5 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes 2- Equation différentielle du mouvement du modèle équivalent → → 2.1- Donner l’expression de FR la force du ressort en fonction de x, D, l0, k et X . → 2.2- En étudiant l’équilibre du système équivalent lorsque seule la force F1 est appliquée, déterminer F1 en fonction de l0, D et k. On rappelle que lorsque le système équivalent est à l’équilibre et → soumis à la seule force F1 on a x = 0. → → 2.3- En déduire en fonction de x, la somme vectorielle des forces FR et F1 . 2.4- En appliquant le théorème de la résultante dynamique au système équivalent, écrire l’équation différentielle en x du mouvement de la mase équivalent Me. 2.5- Passer cette équation différentielle dans le domaine de Laplace et écrire la fonction de transfert X(p) sous sa forme canonique. du système : H(p) = F2(p) 2.6- Donner, en fonction de k, b et Me, l’expression des paramètres caractéristiques de cette fonction de transfert : Le gain statique KH, le facteur d’amortissement m et la pulsation propre ω0 . 3- Expérimentation A- Manipulation Mettre en place à l’extrémité de la barre de charge une masse de 10 kg. Puis à partir de l’ordinateur de la maquette lancer le logiciel « Liaison_Sol », et ouvrir la boîte de dialogue d’acquisition d’une mesure (A l’aide du bouton représentant un pied à coulisse). Maintenir la barre de charge de manière à ce que le galet n’exerce plus d’effort sur le coulisseau vertical mais reste en contact avec celui-ci. Lancer la mesure en cliquant sur le bouton « Démarrer », puis lâcher la barre de charge. Terminer la mesure en cliquant sur le bouton « Arrêter » lorsque l’ensemble a trouvé sa position d’équilibre. Après avoir effectué la mesure ouvrir l’éditeur de courbe (A l’aide du bouton représentant une courbe). Puis sélectionner en abscisse le temps et en ordonnée la flèche de l’amortisseur. Afficher la courbe et l’imprimer. TP 3-3 Suspension Paralever BMW.doc page 4/5 Sciences Industrielles de l’Ingénieur CPGE - Saint Stanislas - Nantes B- Exploitation des mesures. 3.1- Demander au professeur une courbe modifiée de l’enfoncement de l’amortisseur x. Quelles sont les modifications qui ont été faites pour corriger la première courbe expérimentale ? 3.2- Au vu de la forme de la courbe, que pouvez-vous dire du facteur d’amortissement m ? Justifier la réponse 3.3- A partir de la courbe donnée par le professeur, déterminer successivement : pour la fonction de son gain KH en m.N−1 transfert H(p) : le premier dépassement relatif D1, le facteur d’amortissement m, la pulsation propre du système amorti ω en rad.s−1 la pulsation propre du système non amorti ω0 en rad.s−1 KH = D1 = m= ω= ω0 = 3.4- On donne MCV = 8 kg. En vous aidant des réponses aux question 1.3, 2.6 et 3.3, en déterminer numériquement de deux manières différentes la valeur de la raideur k du ressort. 3.5- Conclure sur vos résultats. Comment pouvez vous justifier une telle disparité dans les résultats de k ? TP 3-3 Suspension Paralever BMW.doc page 5/5