A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 TD P13 – Mécanique – Energie du point matériel Exercices d’application 7 8 Calcul d’une énergie potentielle Graphe d’énergie potentielle et régions accessibles 1. Graphe Etude du signe de 1. Expression de l’énergie potentielle : Le point étant en mouvement unidirectionnel, son énergie potentielle de gravitation est définie par : or : Ainsi : Etude des variations de : Soit par intégration : Sachant que vient : avec , il D’où : Figure 6 : graphe de l’énergie potentielle 2. Vitesse maximale En absence de frottement de glissement, l’énergie mécanique se conserve au cours du mouvement : Soit : On obtient l’allure suivante : La vitesse est maximale pour donc au point : (solution évidente), TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 1 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Exercices d’entraînement 9 Jeu de foire 1. Sans frottement En l’absence de frottement, l’objet est un système conservatif dont l’énergie potentielle de pesanteur est Figure 7 : graphe de la force En appliquant le théorème de l’énergie mécanique entre la position de départ (altitude , vitesse ) et la position de la cloche (altitude , vitesse nulle), on a : 2. Position d’équilibre La position d’équilibre est obtenue pour C’est une position instable : mont de potentiel, . Comme , on a : Régions accessibles : - si : cas sur le graphe suivant Deux cas peuvent se produire en fonction de l’état initial : 2. Avec frottement Soit les valeurs de accessibles appartiennent à La masse n’est plus un système conservatif. La variation , on observe un état de diffusion d’énergie mécanique est égale au travail de la force de Soit les valeurs de accessibles appartiennent à , frottement : la force est attractive : le point vient s’écraser sur le centre attracteur en - si : cas sur le graphe suivant La trajectoire n’est pas bornée : . Si le point s’éloigne de , il part à l’infini, si le point se dirige vers , alors il vient s’écraser sur . Figure 8 : Domaines accessibles TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 2 A. Guillerand – BCPST 1 A 10 Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Cube 1. Compression maximale Le cube est soumis à la pesanteur, à la réaction sans frottement du support et éventuellement de la tension du ressort : le cube est un système conservatif. En notant la longueur du ressort, et l’altitude du cube, - Energie potentielle de pesanteur : 11 Amortissement , en L’objet ne subit que son poids et, quand il touche le ressort, la force de rappel élastique, qui dérivent toutes deux d’une énergie potentielle : le système est conservatif. Lorsque le cube est en contact avec le ressort, . Le ressort atteint sa compression maximale lorsque la vitesse du cube redevient nulle. En appliquant le théorème de l’énergie mécanique entre l’instant initial et l’instant de vitesse nulle pour lequel la longueur du ressort est notée en prenant l’origine pour . - Energie potentielle élastique : prenant l’origine pour L’énergie mécanique initiale est car l’objet est sans vitesse initiale, et ne touche pas encore le ressort. Choisissons l’origine de l’altitude sur la partie inférieure du ressort. Alors, lorsque l’objet touche le ressort, . Le théorème de l’énergie mécanique conduit à : Notons ressort. On a alors : la longueur de compression du Lorsque l’objet atteint l’altitude minimale est nulle et : Polynôme du degré de discriminant . Notons grandeur homogène à une longueur. On a . La solution physiquement acceptable est : , sa vitesse second la Polynôme du second degré de discriminant : (L’autre solution est négative car donc pas à une compression). et ne correspond 2. Point de vitesse maximale On fait l’hypothèse que la vitesse est maximale alors que le cube est en contact avec le ressort. Appliquons le théorème Le terme sous la racine étant supérieur à 1, la seule solution de l’énergie mécanique entre l’instant initial et un instant positive est : quelconque où le cube est en contact avec le ressort : Si la vitesse est maximale, alors l’énergie cinétique est maximale, donc sa dérivée par rapport à est nulle : TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 3 A. Guillerand – BCPST 1 A 12 Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Modèle de Drude Ainsi : 1. Equation différentielle Système : l’électron Référentiel : terrestre supposé galiléen Repère : cartésien à une dimension Donc : Bilan des forces : - Force électrique : Force de frottement : Principe fondamental de la dynamique : 3. Puissances En régime permanent, la vitesse de l’électron est constante égale à . La puissance d’une force s’écrit Puissance de la force électrique : Soit : En projetant sur l’axe Puissance de la force de frottement s’écrit : : On obtient donc l’équation différentielle suivante : L’électron reçoit de la puissance de la part du champ électrique, il perd aussitôt cette puissance par frottement : c’est l’effet Joule. 2. Vitesse limite Lorsque le régime est permanent, la vitesse est constante donc : TD P13 : Mécanique – Energie du point matériel 4