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DEVOIR MAISON
n°.....
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Auteur :
Mathbernard
3°
Comme les frères Montgolfier, il y a près de 230 ans, partons aujourd'hui pour un voyage
en ballon...
EXERCICE 1. Historique.
1°) Comment se prénommaient les frères Montgolfier ? Quelles sont
leurs dates de naissance et de mort ? Qu'ont-ils inventé ?
2°) Quand a eu lieu le premier vol non habité d'une montgolfière ?
3°) Quand a eu lieu le premier vol habité d'une montgolfière ? Qui
se trouvait alors à son bord ?
4°) Quel est le principe de fonctionnement d'une montgolfière ?
EXERCICE 2. L'enveloppe de la montgolfière.
L'enveloppe de la montgolfière est constituée d'une calotte sphérique associée à un tronc de cône.
H
Calotte sphérique.
R
A
D
A
D
Vue en coupe de
l'enveloppe de la
montgolfière.
10 m
O
R
A
D
SA = 13,16 m
O
Tronc de cône.
B
B
C
BS = 1,4 m
13,42 m
H
C
S
S
Les figures ne sont pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de les reproduire.
Calculs preparatoires :
1°) Que représentent les longueurs OH, OR et OD pour la sphère à
l'origine de la calotte sphérique ? Combien mesurent-elles ?
D
A
2°) a) Calculer AO.
b) Calculer AD. On donnera l'arrondi à 10-2 du résultat.
c) Calculer SD, arrondi au centimètre près.
3°) a) Sachant que (AD)//(BC), calculer le rayon d'ouverture BC à la
base de l'enveloppe.
B
C
b) Calculer SC, arrondi au centimètre près.
c) En déduire une valeur approchée de CD (arrondie au centième).
S
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Calcul du volume du ballon :
4°) En s'aidant de la page web suivante, pour trouver la formule adéquate :
http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/geometrie/chap3/serie5/exo4/G3s5ex4_an.swf
calculer le volume, arrondi au centième, de la calotte sphérique qui forme la partie supérieure de
l'enveloppe du ballon.
5°) a) Calculer le volume, arrondi au centième, du cône de sommet S et de rayon AD.
b) Calculer le volume, arrondi au centième, du cône de sommet S et de rayon BC.
c) En déduire le volume, arrondi au centième, du tronc de cône qui forme la partie inférieure de l'enveloppe.
6°) Déterminer alors le volume total d'air chaud, arrondi à l'unité, contenu dans l'enveloppe de la montgolfière quand celle-ci est entièrement gonflée.
Calcul de la surface du ballon :
7°) Sachant que l'aire d'une calotte sphérique se calcule à l'aide de la formule : 2 × π × rayon × hauteur,
calculer l'aire de la partie supérieure de l'enveloppe du ballon, arrondie au dixième.
8°) Aire latérale du tronc de cône = π × CD × (BC + AD). Calculer cette aire, arrondie au dixième.
9°) En déduire la superficie de toile utilisée pour ce ballon de montgolfière, arrondie au dixième.
EXERCICE 3. L'envol de la montgolfière.
Maintenant que l'on sait tout de la montgolfière, il ne reste plus qu'à la faire décoller.
Ouvrir, avec le logiciel adapté, le fichier montgolfiere.ggb, fourni par Mme BERNARD.
1°) a) A l'aide du curseur (à droite ), faire décoller la montgolfière. Comment semblent être les positions
successives du point O ?
b) Quelle est la hauteur du point O avant le décollage de la montgolfière ?
2°) Marty a décidé de suivre la montgolfière avec son petit vélo. Il reste toujours exactement
sous celle-ci au fur et à mesure de son déplacement.
a) Quand Marty a parcouru 40 m, à quelle hauteur se trouve la montgolfière (point O) ?
b) Afficher la courbe suivie par le ballon (point O). Cette courbe est-elle la représentation d'une fonction linéaire ? d'une fonction affine ? Justifier les réponses.
3°) En utilisant les résultats trouvés aux questions 1°) et 2°), déterminer, par le calcul, la fonction f qui
modélise le déplacement du point O.
4°) a) Calculer l'image de 100 par la fonction f.
b) Calculer l'antécédent de 52,75 par la fonction f.
c) Quand la montgolfière (point O) est à 64 m du sol, où Marty se trouve-t-il exactement ? Justifier la réponse par des calculs.
5°) a) Quand Marty a parcouru 90 m, calculer
la hauteur de la montgolfière (point O).
O
b) Calculer alors, à cet instant, la distance
parcourue par la montgolfière depuis son
point de départ. On donnera un résultat
arrondi au dixième de mètre.
D
H
M