2015 年度数学 A no. 3（担当：日野）
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学籍番号
氏名
[3-1] 微分方程式 y 0 = y で初期条件 y(0) = 2 をみたすものについて，コーシーの折れ線近似法を
適用してみよう．F (x, y) = y とおく．
（微分方程式に対応するベクトル場は (1, F (x, y)) と
なる．
）h > 0 とし，x0 = 0, y0 = 2 とする．n = 1, 2, 3, . . . に対して
xn = xn
1
+ h,
y n = yn
1
+ hF (xn
1 , yn 1 )
と順に定める．
(1) x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 を求めよ．
(2) 一般に xn と yn を求めよ．答のみでよい．（証明は数学的帰納法を使えば簡単なので）
(3) h を消去することで，yn を xn を用いて表せ．
(4) (3) の答を yn = gn (xn ) とする．本来は点 (xn , yn ) (n = 0, 1, 2, . . . ) を折れ線で結ぶと
ころだが，ここでは関数 y = gn (x) で補間してしまおう*1 ．n ! 1 の極限を取ったと
きの関数 y = g(x) を求めよ．
[3-2] 微分方程式 y 0
x2
x
y = x の一般解を定数変化法を用いて求めよ．今回も式変形の途中
+1
で分数の分母が 0 にならないかという点は気にせず，形式的に論じてよい．
（解答欄）
[3-1] (1) x1 = h, y1 = 2(1 + h), x2 = 2h, y2 = 2(1 + h)2 , x3 = 3h, y3 = 2(1 + h)3
(2) xn = nh, yn = 2(1 + h)n
⇣
xn ⌘n
(3) yn = 2 1 +
✓ n
◆n
t
(4) gn (t) = 2 1 +
となるので，n ! 1 として g(t) = 2et . よって極限関数は
n
y = 2ex .
p
x
y
=
0
の一般解は（…計算略…）
y
=
C
x2 + 1（C は実数定数）となるの
x2 + 1
p
で，y = C(x) x2 + 1 の形の解を探す．元の方程式に代入して計算すると（…計算略…）
Z
p
x
x
0
p
C (x) = p
となるから，C(x) =
dx = x2 + 1 + C1（C1 は実数定数）．
x2 + 1
x2 + 1
p
よって，一般解は y = x2 + 1 + C1 x2 + 1.
[3-2] y 0
*1
このようにすることで，h ! 0 の極限を取るところを n ! 1 の極限移行に変換した．