Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón Cálculo II Trabajo en Equipo para Entregar: Jueves 6 de Mayo Introducción: El fenómeno de difracción provocado por diseños en la nano-escala, observamos que la luz se difracta más cuando el tamaño de los obstáculos son menores que el largo de la onda. Las ecuaciones de Maxwell se utilizan para describir el comportamiento de las ondas electromagnéticas, en este caso la luz. Cuando se asume que No hay cargas ni corrientes en el área de propagación, que la luz viaja en el tiempo en forma harmónica ( eit = sin(t) + i cos(t)), y que la permitividad en el medio donde viaja la luz es constante, las ecuaciones de Maxwell en una dimensión (1D) se reducen a la ecuación diferencial Helmholtz que representa el comportamiento del campo eléctrico de la luz a lo largo del eje de x : 𝑑2 𝐸 + 𝑘 2 𝜀𝑟 𝐸 = 0 𝑑𝑥 2 donde: E(x) = intensidad del campo eléctrico (voltios/metro) en un espacio donde hay un rayo coherente de luz (un largo de onda constante)  = largo de onda de luz que asumimos es 500 nm , color verde acqua k= 2𝜋 𝜆 𝜀𝑟 = permitividad relativa del medio donde se propaga la onda. Figura 1: Onda Estacionaria Por ser una ecuación diferencial de orden 2 (segunda derivada), para definir una solución única necesitamos dos condiciones frontera (Boundary conditions) en los extremos del intervalo de x = [0,900 nm] que representa un corte transversal de la onda. Corte Transversal x = 900 nm x=0 Frente de honda Condiciones Frontera (scattering/absorbing boundary conditions) En x = 0 hay una fuente de luz incidente: 𝑑𝐸 − 𝑖𝑘𝐸 = −2𝑖𝑘 𝑑𝑥 en x = 900 nm la luz sale del medio sin interactuar con este borde: 𝑑𝐸 + 𝑖𝑘𝐸 = 0 𝑑𝑥 Instrucciones: Cada grupo debe completar las siguientes tareas: 1) Entregar un informe que conteste las preguntas que se incluyen en la página 3 2) Crear un código en MATLAB para visualizar la solución en una gráfica, y animar en el tiempo (el código de animación se enviará por correo) 3) y/o construir una onda con objetos caseros que se pueda ver mover en el tiempo Informe I. La introducción debe contestar las siguientes preguntas: 1) Define la luz y luz “coherente” 2) Define las ecuaciones de Maxwell’s y ecuación de Helmholtz en una dimensión 3) Menciona las suposiciones que se hacen para reducir las ecuaciones de Maxwell a la ecuación diferencial Helmholtz 4) Qué son condiciones frontera (Boundary conditions) y cuáles son en este problema las “scattering o absorbing boundary conditions” 5) Qué es permitividad relativa , r 6) Cuando No hay perturbación (nanopartículas) en el medio la solución es dada por : 𝐸(𝑥) = 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 Verifica que la solución dada satisface: a. La ecuación diferencial b. Las condiciones frontera en x = 0, x = 900 7) Asumiendo que  = 600 nm, r = 1, el vacío, halla la gráfica de la solución usando la una escala apropiada. NOTA: como la solución es compleja haz la gráfica de la parte real II. Usando MATLAB (o programa de gráficas) general la gráfica de la solución y añade al informe. III. Animación, utilizando el código enviado y tu resultado de la parte II genera la animación. Si No desea hacer uso de programación en MATLAB puede construir su propia onda de luz con animación, es decir que se mueva en el tiempo. Referencias: 1.https://www.teachengineering.org/view_activity.php?url=collection/cub_/activities/cub_sound andlight/cub_soundandlight_lesson1_activity1.xml 2. Caiseda, Carmen 1-D Finite Elements Method for Maxwell’s Equations