Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Tarea 7 1. Encontrar el Hamiltoniano para el sistema x˙ = − cos x sin y , y˙ = cos y sin x ; dibujar el retrato fase. 2. Para el potencial V (x, µ) = 1+µ 2 µ 3 1 4 x − x − x , 2 3 4 donde −1 < µ < 1, analizar el sistema sistema conservativo correspondiente para todos los valores posibles de µ. Mostrar numéricamente ejemplos del retrato fase. 3. Sea el sistema x˙ = y , y˙ = − (x − µ) (1 − x) (1 + ν + x) ; analizar las distintas bifurcaciones que ocurren variando los parámetros µ y ν. 4. Sea la ecuación x ¨ + x˙ 2 + g(x) = 0 . (1) a) Hacer el cambio de variable q = x y p = q˙ exp(2q) y encontrar el Hamiltoniano de (1). b) Dibujar numéricamente el retrato fase para g(x) = xm y al menos tres valores de m ∈ N \ {0}. c) ¿Cómo es el retrato fase de (1) si m = 3/2? 5. Sean α, β, δ, γ ∈ R+ . Para el sistema (2a) x˙ = x(1 − x)(α − βy) , (2b) y˙ = −y(1 − y)(δ − γx) . Hacer el cambio de variable x= eq , 1 + eq y= ep , 1 + ep encontrar el Hamiltoniano de (2) y discutir las bifurcaciones que ocurran al variar los parámetros. 6. Explorar detalladamente el retrato fase del sistema gradiente de la función 1 1 f (x, y, λ1 , λ2 , λ3 ) = y 3 − x2 y + λ1 x + λ2 y + λ3 x2 + y 2 . 6 2 7. Sea 0 < ε 1 y la ecuación de reacción-difusión inhomogénea de una componente (3) ut = ε2 uxx + f (x)u2 − u , donde f (x) es una función positiva de clase C 1 . Suponer que (3) tiene una solución del tipo pulso viajero, donde el máximo de u está en x0 . Hacer el cambio de variable y = ε−1 (x − x0 ), τ = ε2 t y expandir u asintóticamente en potencias de ε. Mostrar que, a primer orden, si u → 0 cuando |y| → ∞, u(0) > 0 y uy (0) = 0, existe una única solución homoclínica donde f (x0 ) controla la amplitud del pulso. 1 8. Dada la ecuación de reacción-difusión de una componente ut = uxx + uq+1 (1 − uq ) , (4) donde q > 0. a) Probar que existe una solución exacta del tipo onda viajera. Ayuda: Buscar soluciones de la forma u(t, x) = U (ξ) = 1 σ , (1 + δeβξ ) ξ = x − ct , donde c es la rapidez de la onda viajera y β, σ > 0. Determinar los valores únicos de c, β y σ en términos de q. Elegir el valor de δ de tal manera que la magnitud del gradiente de la onda alcance su máximo en ξ = 0. b) Sea q = 1 y considerar las condiciones de frontera U (−∞) = 1 y U (∞) = 0 para una rapidez de onda c = ε−1/2 , donde 0 < ε 1. Hacer el cambio de variable y = ε1/2 ξ y U (ξ) = u ˜(y) y probar que la solución asintótica a orden O(1) satisface que u ˜(0) = 1/2 y la ecuación 1 1−u ˜(y) y = −2 + . + log u ˜(y) u ˜(y) c) Hacer un bosquejo del retrato fase para el sistema de ecuaciones diferenciales a partir de (4), donde V = Uy . d ) Sea φ = ε−1/2 V , encontrar la solución asintótica para φ hasta orden O(ε) y mostrar que para el valor de y = y0 donde U (y0 ) = 1/2, 1 1 Uy (y0 ) = − 1 + 2 + t.o.s. 8c 4c Ayuda: Expander φ = ε−1/2 V = ε−1/2 Uy asintóticamente en potencias de ε. 9. Sea w(x) ≥ 0 en I = [α, β]. Mostrar que Zβ hu1 , u2 iw := u1 (x)u2 (x)w(x) dx , α es un producto interno. 10. Mostrar que los polinomios de Tchebysheff definidos por T0 (x) = 1 , Tn (x) = 1 2n−1 cos (n arcos x) , n = 1, 2, . . . , forman un conjunto ortogonal con respecto a la función de peso w(x) = 1 − x2 I = [−1, 1]. −1/2 en el intervalo 11. Sea I = [α, β] y las funciones a0 (x), a1 (x), a2 (x) ∈ C 0 (I). Para el operador L : C 2 → C 0 , definido por Lϕ := a0 (x)ϕ00 + a1 (x)ϕ0 + a2 (x)ϕ, mostrar que: 2 a) Si a1 (x) = a00 (x), L es autoadjunto. b) Si L no es autoadjunto, entonces multiplicando por Z 1 a1 (x) dx , a0 (x) a0 (x) para a0 (x) 6= 0, L es transformado en un operador autoadjunto. 12. Sea f : [0, 1] → R una función continua y λn = nπ con n ∈ Z. Determinar las condiciones para f (x) en las cuales el problema de Sturm–Liouville u00 + λ2n u = f , u(0) = u(1) = 0 , tiene solución y exhibir dicha solución. 13. Sea u(t, x) el desplazamiento de una cuerda de violín de longitud L al tiempo t ≥ 0 en el punto 0 ≤ x ≤ L. Como consecuencia de la 3◦ Ley de Newton, la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden utt = c2 uxx , u(t, 0) = u(t, L) = 0 , t ≥ 0, denominada como la ecuación de onda unidimensional, con deformación inicial u(0, x) = f (x) y rapidez inicial ut (0, x) = 0 para 0 ≤ x ≤ L, gobierna el movimiento de la cuerda de violín. Suponer que la solución está dada por el producto de una función T = T (t) y una función X = X(x) y resolver los problemas de Sturm–Liouville y de condiciones iniciales resultantes al sustituir este producto. Determinar la solución para u en términos de una serie de Fourier. 3