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Integration von Funktionen (einer unabhängigen Variablen)
Das Flächenproblem
Betrachtet wird eine im Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) mit
f(x) > 0.
Gesucht ist der Flächeninhalt F der Fläche, die begrenzt wird
durch
– f(x) ( rote Kurve )
– die x-Achse
– die zur y-Achse parallelen
Geraden durch x = a
und x = b .
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Vorgehensweise:
 Die gesuchte Fläche F wird durch Rechtecke abgeschätzt.
 Das Intervall [a,b] wird hierzu in n gleichgroße Abschnitte
𝑏−𝑎
unterteilt mit 𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1 = Δx =
.
𝑛
 Jedem 𝑥𝑖 entspricht ein Rechteck 𝐴𝑥𝑖 mit dem Flächeninhalt
𝐴𝑥𝑖 = f(𝑥𝑖 ) Δx .
 Die Summe ist eine Näherung (Approximation) für die
gesuchte Fläche F.
F=
𝒏
𝒊=𝟏 f(𝒙𝒊 )
• Δx
 Die Näherung ist umso besser, je feiner die Unterteilung des
Intervall [a,b] ist, d.h. je größer n und je kleiner Δx ist.
 Für den Grenzfall n → ∞  Δx → 0 entspricht die Summe der
Flächen der Rechtecke der gesuchten Fläche F.
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Schreibweise
- aus Δx wird dx ( analog zur Differentialrechnung )
- aus Summenzeichen
wird ein Integralzeichen
- F wird nicht als Fläche, sondern allgemein als Integral
bezeichnet.
F
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑥𝑖
𝑏−𝑎
𝑛
𝑖=1 𝑓 𝑥𝑖
𝑛
=
lim𝑛→∞
=
lim
=
𝑛→∞
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
- Hinweis: Bei Differentialgleichungen wird oft auch statt
„Lösung“ das Wort „Integral“ benutzt
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Wenn die Beschränkung f(x) > 0 aufgegeben wird, sind
negative Werte für 𝐴𝑥𝑖 möglich.
F kann in dem Fall positiv, negativ oder Null werden,
z.B. ergibt sich aus Symmetriegründen für die Funktion
+𝑎
f(x) = sin (x), dass −𝑎 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 0.
F(x) =
𝒃
𝒇
𝒂
𝒙 𝒅𝒙
Begriffe:
f(x)
- Integrand
x
- Integrationsvariable
a
: untere Integrationsgrenze
b
: obere Integrationsgrenze
F(x) : Stammfunktion ( Erklärung folgt )
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Berechnung von Integralen
Gesucht wird ein Weg, um F zu bestimmen.
Betrachten wir eine stetige Funktion f(x) .
Die untere Grenze für die Bestimmung von F sei x0, die obere
Grenze sei x:
F=
𝒙
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙
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Bestimmung von der Stammfunktion F(x)
Bei einer Änderung von x um Δx ergibt sich eine
Flächenänderung ΔF von F(x).
Annahme:
f(x) sei positiv und monoton steigend im Intervall [ x, x+ Δx].
Das Rechteck mit der Fläche Δx•f(x) ist kleiner gleich der
Fläche ΔF :
Δx•f(x) ≤ ΔF .
Die Fläche ΔF ist kleiner gleich dem Rechteck mit der Fläche
Δx • f(x+Δx):
ΔF ≤ Δx • f(x+Δx) .
=>
Δx•f(x) ≤ ΔF ≤ Δx • f(x+Δx) | : Δx .
ΔF
f(x) ≤
≤ f(x+Δx)
Δx
ΔF
dF
limΔx→0
=
= F´(x)
dx
Δx
𝑙𝑖𝑚 f(x+Δx) = f(x)
Δx→0
f(x) ≤ F´(x) ≤ f(x)
=> F´(x) = f(x)
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Zusammenfassung:
• F(x) ist die Funktion, die jedem x das zugehörige Integral
von f(x) zuordnet.
• Die 1.Ableitung von F(x) ist f(x).
• Die Integralrechnung kann als Umkehrung der
Differentialrechnung angesehen werden.
• F(x) wird als Stammfunktion von f(x) bezeichnet.
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Das bestimmte Integral
Bei einem bestimmten Integral ist eine untere Grenze a und
eine obere Grenze b gegeben. Bei der Herleitung der
Stammfunktion hatten wir uns überlegt, dass gilt:
𝒙
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = F(x) + C
𝒙
𝟎
Mit x0 = a und x = a ergibt sich:
𝐚
𝐟 𝐱 𝐝𝐱 = F(a) + C = 0
𝐚
=>
C = -F(a).
Als allgemeines Ergebnis erhält man
𝒃
𝒙 𝒅𝒙= F(x) – F(a) => F(x) – F(a) =: F(x)| .
𝒂
Wenn man eine Stammfunktion zu f(x) gefunden hat, kann das
bestimmte Integral von f(x) über das Intervall [a, b] berechnet
werden.
𝒙
𝒇
𝒂
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Beispiel:
𝟓 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝟏
=
=
=
=
=
𝟏 𝟑 𝟓
𝒙 |
𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
𝟑
𝟏𝟐𝟓
𝟏
𝟑
𝟑
𝟏𝟐𝟒
𝟑
𝟏𝟑
41,𝟑
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Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
𝑥
𝑓
𝑎
Jedes unbestimmte Integral F(x) =
𝑥 𝑑𝑥 der stetigen
Funktion f(x) ist eine Stammfunktion von f(x):
F(x) =
𝑥
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 =>
F´(x) = f(x)
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