1. No category

Analysis
Alexander Schickedanz
www.abcaeffchen.net
17. April 2015
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Um eine Kopie dieser Lizenz zu sehen, besuchen Sie
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.
Analysis
I
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . .
2.4
Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Notation . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
Regeln . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3
Bedeutung . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Definitions- und Wertebereich . . . . . . . . .
3.2.1
Umkehrfunktion . . . . . . . . . . .
3.2.2
Intervallschreibweise . . . . . . . . .
3.3
Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
Asymptoten . . . . . . . . . . . . .
3.5
Achsenschnittpunkte . . . . . . . . . . . . .
3.5.1
Polynomdivision und die Alternative .
3.6
Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1
Stellen und Punkte . . . . . . . . .
3.6.2
Ortskurven . . . . . . . . . . . . .
3.7
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1
Tangenten . . . . . . . . . . . . . .
3.9
Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einen Schritt weiter . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Notation . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2
Regeln . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3
Flächenberechnung. . . . . . . . . .
4.2
Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Funktionen herleiten . . . . . . . . . . . . .
4.3.1
Gleichungssysteme lösen . . . . . . .
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1
1
1
2
4
5
7
7
7
8
11
11
13
14
15
16
18
18
19
21
22
22
23
23
24
24
27
33
33
34
35
40
45
46
48
Analysis
1
1
Einleitung
In der Schule beschäftigt man sich bis zur Oberstufe sehr viel mit linearen und quadratischen Funktionen und schließlich, in der Oberstufe, auch mit höhergradigen und besonderen Funktionen wie z.B.
der Exponential- oder der Logarithmusfunktion, aber auch den trigonometrischen Funktionen. Die
Analysis bildet den größten Teil der Abiturprüfung. Mit der Vorlesung zu diesem Skript soll eine
Lösungsvorlage erarbeitet werden, mit der sich dieser Teil der Abiturprüfung bearbeiten lässt.
In diesem Skript wird Schritt für Schritt eine Lösungsvorlage aufgebaut, die Notationen können
jedoch von der gewohnten Schreibweise abweichen. Leider lässt sich dies kaum vermeiden, da sich
diese von Lehrer zu Lehrer unterscheidet. Die einzelnen Schritte werden ganz allgemein erklärt und
an Beispielen erörtert. Schließlich wird eine komplette Kurvendiskussion vorgerechnet.
2
Grundlagen
Eigentlich gehört dieses Kapitel nicht zum Thema, da allerdings viele Probleme durch mangelnde
Grundlagen überhaupt erst entstehen, wollen wir diese zuerst auffrischen, bevor wir uns an das eigentliche Thema heranwagen.
2.1
Rechengesetze
Die drei Rechengesetze lernt man bereits sehr früh kennen, jedoch bekommen sie meist nicht die
Beachtung die ihnen zusteht, was vor allem zu Problemen beim rechnen mit Klammern führt.
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz besagt, dass man eine Summe oder ein Produkt beliebig mit Klammern versehen
kann und dies am Ergebnis nichts ändert.
Beispiel 1.
1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3)
= (1 + 2) + 3
3 · 2 · 1 = (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1)
3 · (2 · 1)
Dieses Gesetz hilft uns, zu erkennen, dass ein Produkt ein Summand einer Summe sein kann:
a + b + (c · d). Bemerkung: Es handelt sich auch um ein Produkt, wenn zwischen zwei Buchstaben
kein „·“ (Mal-Punkt) steht. Dieser wurde lediglich weggelassen. Ein Summand einer Summe kann auch
ein Produkt sein.
Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz besagt, dass man zwei Summanden einer Summe bzw. zwei Faktoren eines
Produkts beliebig vertauschen kann, ohne das dies etwas am Ergebnis ändert.
a+b=b+a
a·b =b·a
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Analysis
2
Beispiel 2.
1+2+3 =1+3+2
1·2·3=2·1·3
=2+3+1
=3·2·1
Dieses Gesetz ist sehr nützlich, wenn man Funktionen übersichtlicher machen will, indem man die
Summanden nach absteigenden Exponenten sortiert und alle Faktoren den Argumenten voranstellt.
Bemerkung: Man muss die Vorzeichen beim vertauschen stets mitnehmen.
Distributivgesetz
Dies ist das wohl am meisten missachtete Rechengesetz überhaupt. Es besagt, dass man eine Summe
mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand mit diesem Faktor multipliziert.
a · (b + c) = ab + ac
Wenn man von der Linken Darstellung zur rechten wechselt, nennt man dies „ausmultiplizieren“ oder
„Klammer auflösen“, die andere Richtung nennt man „ausklammern“. Dies ist eine wichtige Regel zur
Vereinfachung von Ausdrücken.
Meistens, wenn in einer Rechnung Klammern auftauchen, ist das Distributivgesetz anzuwenden.
Ein solcher Faktor kann natürlich auch wieder eine Summe sein. In diesem Fall löst man die Klammer
auf, indem man jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.
Beispiel 3.
2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
(a − b)(c − d) = (a − b)c − (a − b)d
= ac − bc − (ad − bd)
= ac − bc − ad + bd
Bemerkung: Der Faktor vor der Klammer kann auch −1 sein und in diesem Fall steht meistens
nur −(. . . ) da. Ist dies er Fall, wird die Klammer aufgelöst, indem man alle Vorzeichen umdreht, d.h
aus minus wird plus und umgekehrt.
2.2
Brüche
Brüche ersetzten in der Schule bereits sehr früh das Geteiltzeichen.
a:b=
a
b
Zähler
Nenner
In der Bruchschreibweise nennt man den Teil über dem Bruchstrich „Zähler“ und den Teil unter dem
Bruchstrich „Nenner“. Wenn man durch einen Faktor teilt, kann man dies immer als Bruch schreiben
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Analysis
3
und sollte dies auch tun. Man muss also gar nicht viel darüber nachdenken was der Bruch ergibt und
ob man Kommazahlen runden muss oder nicht. Um das Rechnen mit Brüchen zu ermöglichen bzw. zu
vereinfachen gibt es einige Regeln:
1. Erweitern und Kürzen
Brüche können erweitert werden, indem man Zähler und Nenner mit dem selben Wert multipliziert.
a
ac
=
b
bc
Macht man dies Rückgängig, d.h. teilt man Zähler und Nenner durch den selben Wert, nennt
man dies Kürzen. Brüche, die durch erweitern oder kürzen in einander übergehen, sind gleich.
Beispiel 4.
3
6
=
2
4
a
1
=
2
a
a
2. Addition und Subtraktion
Zwei Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man beide Brüche so erweitert, dass sie
nennergleich sind und anschließend addiert bzw. subtrahiert man die Zähler.
Beispiel 5.
3·3 2·2
9 4
9+4
13
3 2
+ =
+
= + =
=
2 3
3·2 2·3
6 6
6
6
Tipp: Wenn man den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch
mit dem Nenner des ersten Bruchs erweitert, erhält man automatisch zwei nennergleiche Brüche.
3. Multiplikation
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander
multipliziert.
Beispiel 6.
3·2
6
3 2
· =
= =1
2 3
2·3
6
4. Division
Zwei Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten
multipliziert. Den Kehrwert bildet man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.
Beispiel 7.
3 2
: =
2 3
3
2
2
3
=
3·3
9
3 3
· =
=
2 2
2·2
4
Bemerkung: Man muss stets den Kehrwert von dem Bruch bilden, durch den man teilt.
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Analysis
2.3
4
Potenzen und Wurzeln
Potenzen sind eine Kurzschreibweise für ein mehrfaches Produkt einer Zahl mit sich selbst. Dabei wird
die Zahl a „Basis“ und die Hochzahl n „Exponent“ genannt.
an = |a · a ·{z· · · · a}
n-mal
Der Exponent gibt also an, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird.
Auch für den Umgang mit Potenzen gibt es Rechenregeln, damit man schnell und einfach mit ihnen
rechnen kann.
1. Addition und Subtraktion
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten und gleicher Basis kann man addieren, indem man die
Faktoren vor den Potenzen addiert und dann zusammenfasst.
Beispiel 8.
a3 + 2a3 = 3a3
Bemerkung: Der Exponent verändert sich dabei nie. Falls kein Faktor vor der Potenz steht ist
dieser 1 bzw. −1 falls die Potenz ein negatives Vorzeichen hat.
Sind die Exponenten oder die Basen verschieden, so muss man sie als Summe stehen lassen, sie
können also nicht zusammengefasst werden.
2. Multiplikation
Zwei Potenzen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
Beispiel 9.
32 · 33 = 35
Bemerkung: Dies geht nur, wenn die Basis der beiden Potenzen gleich ist.
Ist die Basis verschieden der Exponent jedoch gleich, so kann man das Produkt der Basen bilden
und dieses mit dem Exponenten versehen. Der Exponent wird dabei nicht verändert.
Beispiel 10.
33 · 43 = (3 · 4)3 = 123
Bemerkung: Die Klammer muss gesetzt werden und kann erst weggelassen werden, wenn man
entweder den Exponent an jeden Faktor in der Klammer schreibt, oder die Faktoren ausrechnet
sodass nur noch einer in der Klammer steht.
3. Division
Die Division funktioniert genau so wie die Multiplikation, nur dass man den Exponent der Potenz
die im Nenner steht von der im Zähler abzieht.
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5
Beispiel 11.
1
a
= a · a−2 = a1−2 = a−1
2
a
a
Diese Regel folgt direkt aus dem Kürzen von Brüchen. Man erhält mit ihr auch ein wichtiges
Mittel mit dem man Brüche zu einem Produkt umschreiben kann, einfach indem man das Vorzeichen des Exponenten im Nenner umkehrt die Potenz und den Zähler dann mit dem Nenner
multipliziert, wie im Beispiel gezeigt. Bemerkung: Stehen Summen bzw. Differenzen in Zähler
und/oder Nenner so sind Klammern zu setzten.
4. Potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Beispiel 12.
a2
3
= a3
2
= a3·2 = a6
Bemerkung: Daraus folgt auch, dass man die beiden Potenzen vertauschen kann.
Es ist zu beachten, dass man Brüche potenziert, indem man Zähler und Nenner Potenziert
2
a
b
=
a2
b2
Viele Lehrbücher behandeln nun Wurzeln als extra Thema mit eigenen Rechengesetzen. Dies ist
jedoch nicht nötig, da man Wurzeln auch als Potenz schreiben kann. Es gilt
√
n
m
am = a n ,
d.h. die n-te Wurzel wird zu einer Potenz mit dem Exponenten
1
n.
Nun gelten die oben genannten
Potenzrechenregeln.
Bemerkung: Wenn nicht angegeben ist um welche Wurzel es sich handelt, also kein n da steht, ist
die sog. Quadratwurzel gemeint mit n = 2.
Man sieht im Übrigen, dass die n-te Wurzel und die n-te Potenz sich gegenseitig aufheben.
Beispiel 13.
√
3
3
a3 = a 3 = a1 = a
Außerdem stellt man fest, dass Potenzen mit geradem Exponenten immer ein positives Ergebnis
liefern, da sich alle negativen Vorzeichen aufheben. Andersherum kann man keine geraden Wurzeln
aus negativen Zahlen ziehen. Für ungerade Wurzeln gibt es da keine Einschränkung.
2.4
Logarithmen
Der Logarithmus sagt uns, mit welcher Zahl x wir eine Basis b Potenzieren müssen, sodass ein bestimmtes Ergebnis a heraus kommt.
a = bx
⇒
logb (a) = x
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Das bedeutet, das,s weann a und b gleich sind, das Ergebnis 1 ist.
Beispiel 14.
10x = 1000
2x = 16
6x = 36
ax = a
x = log10 (1000)
x = log2 (16)
x = log6 (36)
x = loga (a)
x=3
x=4
x=2
x=1
Es gibt einige Logarithmen die eine besondere Schreibweise bekommen haben, da sie besonders
wichtig sind.
log10 (x) = lg(x)
log2 (x) = ld(x)
loge (x) = ln(x)
Der natürliche Logarithmus ln(x) spielt in der Analysis eine große Rolle.
Auch für den Umgang mit Logarithmen gibt es ein paar Gesetze die das Rechnen vereinfachen.
1. Logarithmengesetz
Der Logarithmus eines Produkts ist die Summer der Logarithmen der Faktoren.
logb (x · y) = logb (x) + logb (y)
Beispiel 15.
ld(8) = ld(2 · 2 · 2) = ld(2) + ld(2) + ld(2) = 1 + 1 + 1 = 3
2. Logarithmengesetz
Der Logarithmus von einem Bruch ist der Logarithmus des Zählers minus dem Logarithmus des
Nenners.
logb
x
y
= logb (x) − logb (y)
Beispiel 16.
ld
2
4
= ld(2)−ld(4) = ld(2)−ld(2·2) = ld(2)−(ld(2) + ld(2)) = 1−(1+1) = 1−1−1 = −1
3. Logarithmengesetz
Der Logarithmus einer Potenz ist der Exponent der Potenz multipliziert mit dem Logarithmus
der Basis der Potenz.
logb (an ) = n · logb (a)
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7
Beispiel 17.
ln(e4 ) = 4 · ln(e) = 4
Bemerkung: Man kann den Logarithmus nicht aus 0 oder negativen Zahlen bilden!
Wenn der gesuchte Parameter, z.B. einer Funktion, im Logarithmus selbst ist, so kann man den Logarithmus verschwinden lassen, indem man die Gleichung mit der Basis des Logarithmus „exponiert“,
d.h. man schreibt beide Seiten der Gleichung in den Exponenten des Wertes mit dem man exponiert.
logb (x) = a
⇒
blogb (x) = ba
⇒
x = ba
Bemerkung: Wenn der Logarithmus im Exponent einer Potenz steht und die Basis des Logarithmus
und der Potenz gleich sind, so heben sich der Logarithmus und die Potenz gegenseitig auf und es bleibt
x übrig.
Beispiel 18.
ln(x) = 2
ld(x) = 3
lg(x) = 4
eln(x) = e2
2ld(x) = 23
10lg(x) = 104
x = e2
x = 23
x = 104
Alle Gesetze und Rechenregeln gelten natürlich in beide Richtungen.
Bemerkung: Allgemein lassen sich Logarithmen von Summen und Differenzen nicht vereinfachen.
3
Kurvendiskussion
Die Abituraufgabe im Bereich der Analysis besteht zu einem Teil aus einer sog. Kurvendiskussion, in
der verschiedene Eigenschaften einer Funktion f (x) untersucht werden. Oftmals wird in den Abituraufgaben auch davon gesprochen, das Verhalten des Graphen von Gf zu untersuchen, dies bedeutet
jedoch das selbe. Die verschiedenen Eigenschaften und wie man sie untersucht wollen wir in diesem
Kapitel näher betrachten.
3.1
Ableitungen
Ableitungen sind der Schlüssel zur Untersuchung von Eigenschaften einer Funktion. Es ist ratsam
die ersten beiden Ableitungen zu bilden bevor man mit der Kurvendiskussion beginnt, sofern die
Aufgabenstellungen diese erfordern.
3.1.1
Notation
Die Notation in den Abiturprüfungen weicht mit großer Wahrscheinlichkeit von der Gewohnten ab.
Wir klären deshalb zuerst die Bedeutung der jeweiligen Notation, um Verständnisschwierigkeiten vorzubeugen.
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Eine Funktion wird in der Schule meist mit fk (x) bezeichnet. Dies wollen wir hier ebenfalls so
handhaben. Gelesen wird diese Darstellung als „Die Funktion f ,k von x“. Hierbei ist f der „Name“ der
Funktion, x das „Argument“ und k ein „Scharparameter“. Die Bezeichnungen, also die Buchstaben,
sind beliebig gewählt, jedoch verwendet man für eine Funktion gerne den Namen f und x als Argument.
Handelt es sich um eine Funktion, die einen zeitlichen Ablauf beschriebt, verwendet man meisten den
Buchstaben t als Argument. Wenn die Funktion keinen Scharparameter enthält, fällt das k einfach
weg.
Es ist für uns wichtig zu wissen, wie das Argument heißt, da wir nach dieser Variable ableiten und
integrieren.
Beispiel 19.
ft (x) = tx2 + 3x
fx (t) = tx2 + 3x
ft′ (x) = 2tx + 3
fx′ (t) = x2
Alternative Darstellungen einer Funktion sind
y = ...,
fk : x 7→ . . .
Glücklicherweise findet man die linke Darstellung so gut wie nie, da sie uns keinerlei Auskunft über
den Namen, die Scharparameter oder das Argument gibt. Die rechte Darstellung hingegen ist sehr
präzise. Wir können sie eins zu eins in unsere Schreibweise übersetzten, da vor dem Doppelpunkt der
Name der Funktion mit dem Scharparameter und danach das Argnument steht. Der Pfeil sagt uns auf
was der Wert x abgebildet wird, d.h. das was wir nach dem Gleichheitszeichen schreiben. Dies Nennt
man auch „Funktionsvorschrift“.
Bemerkung: Wenn eine Funktionenschar fk (x) gegeben ist und anschließend eine Funktion f1 (x)
beschrieben oder gezeichnet werden soll, so ist damit gemeint, dass k = 1 sein soll, Man soll also
fk=1 (x) verstehen. Dies ist jedoch keine übliche Schreibweise.
3.1.2
Regeln
Funktionen werden nach festen Regeln abgeleitet, welche im Folgenden aufgeführt sind.
1. Potenzregel: Eine Potenz wird abgeleitet, indem man die Potenz mit dem Exponenten multipliziert und anschließend den Exponent um 1 vermindert.
f (x) = a · xn
⇒
f ′ (x) = a · n · xn−1
Bemerkungen: Wenn der Exponent 0 ist nachdem man 1 abgezogen hat, gilt x0 = 1 und das
Argument fällt dann an dieser Stelle weg. Außerdem fallen alle Konstanten, d.h. Summanden,
welche das Argument nicht enthalten, weder als Faktor noch als Exponent oder irgendeiner
anderen Weise, weg.
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9
Beispiel 20.
f (k) = k
f (x) = x−3
fk (t) = 3xt2 + kt + x
f ′ (k) = 1
f ′ (x) = −3x−4
fk′ (t) = 6xt + k
t
ft (x) = x 2
t t−2
ft′ (x) = x 2
2
2. Summenregel: Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden einzeln ableitet.
f (x) = g(x) + h(x)
f ′ (x) = g′ (x) + h′ (x)
⇒
Beispiel 21.
f (x) = x2 + 3x
f (t) = 10t + et
fk (x) = x3 + kx2 + k2 + k
f ′ (x) = 2x + 3
f ′ (t) = 10 + et
fk′ (x) = 3x2 + 2kx
3. Kettenregel: Eine verschachtelte Funktion wird abgeleitet, indem man die äußere Ableitung
mit der inneren Ableitung Multipliziert.
f (x) = g(h(x))
⇒
f ′ (x) = g′ (h(x)) · h′ (x)
Dies ist die wohl wichtigste Regel. Unter einer „verschachtelten“ Funktion verstehen wir alle
Funktionen bei denen das Argument nicht direkt zugänglich ist, d.h. Exponentialfunktionen,
Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen, aber auch Potenzen von Summen und
ähnliches. Dabei ist die äußere Funktion immer der Teil, der erreichbar ist.
Beispiel 22. Gegeben ist die Funktion f (x) = (2x + 1)2 . Das Argument ist, aufgrund der
Klammer mit der Potenz, nicht direkt zugänglich. Die äußere Funktion g(x) ist hier die Klammer mit der Potenz ()2 und die innere Funktion h(x) ist alles innerhalb der Klammer, also
2x + 1. Die Ableitung ist also
f ′ (x) = 2 · (2x + 1)2−1 · 2x1−1 = 4(2x + 1)
4. Produktregel: Ein Produkt wird abgeleitet, indem man die Ableitung des ersten Faktors mit
dem zweiten Faktor multipliziert und das Produkt der Ableitung des zweiten Faktors mit dem
ersten Faktors hinzu addiert.
f (x) = g(x) · h(x)
⇒
f ′ (x) = g′ (x) · h(x) + g(x) · h′ (x)
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Analysis
10
Beispiel 23. Gegeben ist die Funktion f (x) = (x2 + 1) · (x3 − 2x). Die beiden Faktoren sind
hier also g(x) = x2 + 1 und h(x) = x3 − 2x. Wenden wir nun die Regel an, erhalten wir
f ′ (x) = 2x · (x3 − 2x) + (x2 + 1) · (3x2 − 2)
5. Quotientenregel: Die Quotientenregel ist im Wesentlichen dasselbe wie die Produktregel, allerdings subtrahieren wir statt du addieren und zusätzlich wird die Summe durch das Quadrat
der teilenden Funktion geteilt.
f (x) =
g(x)
h(x)
⇒
f ′ (x) =
g′ (x) · h(x) − g(x) · h′ (x)
h2 (x)
Bemerkung: Es ist nicht beliebig, welchen Teil der Funktion man als h(x) wählt. Man muss
stets den Nenner der gebrochen rationalen1 Funktion als h(x) wählen.
Beispiel 24. Gegeben sei die Funktion f (x) =
g(x) =
x2
und h(x) =
x2
x2
.
x2 +2x+1
Die beiden Teilfunktionen sind
+ 2x + 1. Wenden wir nun die Regel an, so erhalten wir
f ′ (x) =
2x · (x2 + 2x + 1) − x2 · (2x + 2)
(x2 + 2x + 1)2
Tipp: Manchmal kann es sich lohnen aus einem Bruch, also einem Quotient, ein Produkt zu
machen, indem man den Nenner mit einem negativen Exponenten versieht z.B. f (x) =
x(x + 1)−1 . Anschließend kann man die wesentlich kürzere Produktregel verwenden.
x
x+1
=
Mit diesen vier Regeln lässt sich bereits vieles machen, jedoch existieren spezielle Funktionen auf die
wir näher eingehen müssen.
Exponentialfunktion (ex ): Die Exponentialfunktion lässt sich relativ leicht ableiten, da sie gleich
ihrer Ableitung ist.
f (x) = ex
f ′ (x) = ex
⇒
Es gibt jedoch zwei Sachen die beachtet werden müssen:
1. Wenn es sich um eine beliebige Basis a statt e handelt, wird die Funktion abgeleitet, indem man
sie mit dem natürlichen Logarithmus der Basis multipliziert.
f (x) = ax
⇒
f ′ (x) = ax · ln a
Eine von e verschiedene Basis kommt jedoch, wenn überhaupt, nur im Leistungskurs vor.
Bemerkung: Dies macht man auch bei der Basis e, jedoch ist ln e = 1 und fällt somit weg.
2. Die Funktion wird mit der Kettenregel abgeleitet, wobei der Exponent die innere Funktion ist.
f (x) = eg(x)
1
⇒
f ′ (x) = eg(x) · g′ (x)
Eine Funktion, die als echter Bruch dargestellt werden kann, welcher im Nenner das Argument enthält
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Analysis
11
Logarithmusfunktion (ln x):
Die Ableitung der Logarithmusfunktion f (x) = ln(x) ist f ′ (x) = x1 .
Auch hier ist die Kettenregel anzuwenden.
f (x) = ln (g(x))
Trigonometrische Funktionen:
f ′ (x) =
⇒
1
· g′ (x)
g(x)
Die trigonometrischen Funktionen sin x und cos x kommen vor
allem in der Physik häufiger vor. Oftmals ist einer der beiden Analysis Aufgabenvorschläge eine trigonometrische Funktion.
Die Ableitung der Sinusfunktion f (x) = sin()x ist f ′ (x) = cos(x) und
die Ableitung der Kosinusfunktion f (x) = cos(x) ist
f ′ (x)
= − sin(x). Auch
hier ist wieder zu beachten, dass die Kettenregel angewendet werden muss.
Außerdem muss man auf das Vorzeichen achten.
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
− cos(x)
Funktionen kommen in der Schulmathematik nicht vor, weshalb diese hier
3.1.3
f ′ (x)
− sin(x)
Die Tangensfunktion sowie die Umkehrfunktionen der trigonometrischen
nicht behandelt werden.
f (x)
− cos(x)
sin(x)
Tabelle 1: trig. Ableitungen
Bedeutung
Die Ableitung einer Funktion fk (x) liefert uns eine Funktion fk′ (x), welche die Steigung der Funktion
fk (x) beschreibt. Über die Steigung einer Funktion kann man besondere Stellen finden. Diese Stellen
heißen „Extremstellen“ (siehe Kapitel 3.6 ab S.21). Leitet man die Ableitung ein weiteres mal ab,
so erhalten wir eine Funktion f ′′ (x), die wiederum die Steigung der ersten Ableitung darstellt, d.h.
die Veränderung der Steigung der Funktion f (x). Über diese Funktion lässt sich bestimmen wann die
Steigung der Funktion extrem wird. Diese Stellen heißen „Wendestellen“ (siehe Kapitel 3.8 ab S.
23).
3.2
Definitions- und Wertebereich
Der Definitionsbereich einer Funktion f (x) ist die Menge der Zahlen, die man in das Argument einsetzen kann. Der Definitionsbereich wird mit D oder D bezeichnet. Grundsätzlich ist D = R, also alle
reellen Zahlen, jedoch kann es vorkommen, dass einzelne Zahlen oder Intervalle nicht eingesetzt werden
dürfen. Dies hängt von der jeweiligen Funktion ab. Welche dies sind wird im Folgenden erläutert.
1. Brüche
Befindet sich das Argument im Nenner eines Bruchs, so darf dieses nicht so gewählt werden,
dass der Nenner gleich 0 wird. Welche Zahlen dies sind erfahren wir, indem wir die Nullstellen
des Nenners suchen (siehe Kapitel 3.5 ab S. 18). Hat man die nicht erlaubten Stellen gefunden,
Notiert man die Definitionsmenge als D = R\{. . . }, wobei die nicht erlaubten Zahlen in die
geschweiften Klammern kommen.
Beispiel 25.
f (x) =
f (x) =
x2
1
+x−2
1
x
⇒
⇒
x=0
x1 = 1,
⇒
x2 = −2
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D = R\{0}
⇒
D = R\{−2, 1}
Analysis
12
Bemerkung: Alles was einen negativen Exponenten hat, lässt sich als Bruch darstellen.
2. Wurzeln
Aus negativen Zahlen lassen sich keine gerade Wurzeln z.B.
√
√
x oder 4 x ziehen. Man muss also
Überprüfen für welche Zahlen die Funktion unter der Wurzel negativ, also kleiner als 0, wird.
Beispiel 26.
f (x) =
fk (x) =
√
p
x2 − k
D = R+
0 = R\{x|x < 0}
⇒
x
D = R\] − k, k[= R\{x| − k < x < k}
⇒
Bemerkung: Ungerade Wurzeln z.B.
√
3
x kann man immer ziehen. Außerdem kann man aus 0
immer die Wurzel ziehen.
3. Logarithmen
Man kann den Logarithmus nur von positiven Zahlen größer 0 bilden. Man Überprüft hier ähnlich
wie bei Wurzeln, wann die Funktion im Logarithmus kleiner gleich 0 wird.
Beispiel 27.
f (x) = ln(x)
fk (x) = ln(x2 − k)
D = R+ = R\{x | x ≤ 0}
⇒
⇒
D = R\[−k, k] = R\{x | − k ≤ x ≤ k}
Man kann nicht definierte Intervalle bei Wurzelfunktionen und Logarithmen finden, indem man die
Nullstellen bestimmt und Überprüft, ob ein Wert zwischen den Nullstellen nicht definiert ist. Dann ist
auch das gesamte Intervall nicht definiert. Nur wenn es sich um eine Logarithmusfunktion handelt, für
die wir die nicht definierten Intervalle suchen, gehören die Nullstellen selbst auch zu dem nicht definierten Intervall. Beachte außerdem, dass die Definitionslücken stets in der Funktion zu suchen sind, wie
sie in der Aufgabenstellung angegeben ist, da es sein kann das eine evtl. existierende Definitionslücke
durch Vereinfachung verschwindet.
Beispiel 28.
f (x) =
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)
f (x) = x − 2
⇒
⇒
D = R\{1}
D=R
Solche Definitionslücken, die man durch kürzen verschwinden lassen kann, nennt man „hebbare
Definitionslücke“. In einem solchen Fall macht man die Kurvendiskussion mit einer Ersatzfunktion,
in der diese Definitionslücke fehlt, jedoch müssen weiterhin alle Ergebnisse zu dem in der ursprünglichen Funktion gefundenen Definitionsbereich passen.
Auf die Darstellung von Definitionslücken im Graph wird im Kapitel Graphen ab Seite 24 näher
eingegangen.
Manchmal wird auch nach dem Wertebereich gefragt. Es handelt sich dabei um die Menge der
Zahlen, die Ergebnis der Funktion f (x) sein kann. Diese wird meistens mit Wf oder Wf bezeichnet.
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13
Diesen Bereich zu finden ist nicht immer so einfach. Man kann versuchen den Bereich anhand
der Grenzwerte und der Extrempunkte zu erkennen. Wenn man mit diesen Werten den Graph der
Funktion zeichnet kann man den Wertebereich sehen indem man y-Werte sucht, die nicht existieren.
Dies ist oftmals die einzige Möglichkeit. Die Alternative ist, die Umkehrfunktion f −1 (x) zu bilden und
von dieser den Definitionsbereich zu bestimmen, welcher dann gleich dem Wertebereich der Funktion
f (x) ist. Da sich viele Funktion jedoch nicht Umkehren lassen, ist es besser man argumentiert mit
Hilfe der Grenzwerte und Extrempunkte.
Beispiel 29.
Die Funktion f (x) = ex hat keine Extrempunkte und die Grenzwerte 0 und ∞. Der Wertebereich
ist also Wf = R+ .
Bemerkung: Die 0 gehört nicht mehr zum Wertebereich dazu.
Man kann dies auch an der Umkehrfunktion f −1 (x) = ln x sehen. Die hat den Definitionsbereich
Df −1 = R+ . Man kann R+ auch als R>0 schreiben.
Die Funktion g(x) = sin(x) hat den Wertebereich Wg = [−1, 1]. Dies lässt sich am einfachsten
am Graphen erkennen.
3.2.1
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion einer Funktion f (x) ist eine Funktion f −1 (x), die an der Winkelhalbierenden
der x- und y-Achse gespiegelt wurde. Man kann sie berechnen, indem man f (x) durch y ersetzt, die
Gleichung nach x auflöst und zum Schluss x und y vertauscht. Danach ersetzt man y durch f −1 (x)
und man hat die Umkehrfunktion erhalten.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion f −1 (x) ist gleich dem Wertebereich von f (x), sowie
der Wertebereich von f −1 (x) gleich dem Definitionsbereich von f (x) ist.
Jedoch hat nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion. Viele lassen sich gar nicht und manche nur
eingeschränkt Umkehren. Da es sich bei einer Umkehrfunktion auch um eine Funktion handelt, darf
sie jedem x nur ein (oder kein) y zuordnen. Ist dies nicht der Fall, handelt es sich nicht um eine
Funktion. Wenn man die Umkehrfunktion berechnen konnte jedoch einigen (oder allen) x mehr als
ein y zugeordnet wird lässt sich meinst eine Einschränkung treffen, wodurch die Umkehrfunktion zu
einer echten Funktion wird.
Beispiel 30. Die Funktion f (x) = x3 soll umgekehrt werden.
f (x) = x3
y = x3
√
3
y=x
√
3
f
−1
x=y
√
(x) = 3 x
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14
1
−2
1
−1
2
−1
Bild 1: f (x) blau, f −1 (x) rot, gestrichelte Winkelhalbierende
Die Funktion g(x) = x2 soll umgekehrt werden.
g(x) = x2
y = x2
√
x=± y
√
y=± x
√
g−1 (x) = + x
Wenn man gerade Wurzeln zieht, so erhält man stets zwei Ergebnisse. Wir können uns hier entscheiden nur den Positiven Arm zu betrachten und dann ist g−1 (x) wieder eine Funktion.
1
1
−1
2
−1
Bild 2: g(x) blau, g −1 (x) rot, gestrichelte Winkelhalbierende
Die Funktion h(x) = x3 − x kann nicht umgekehrt werden.
3.2.2
Intervallschreibweise
Intervalle beschreiben einen Zahlenbereich. Bei jedem Intervall gehören alle Zahlen zwischen den Grenzen zum Intervall. Je nach Intervall gehören die Grenzen zum Intervall oder nicht. Man schreibt sie auf,
indem man die Grenzen des Intervalls in eckige Klammern schreibt. Es gibt verschiedene Intervalle:
• Geschlossene Intervalle:
[x1 , x2 ]
x1 und x2 gehören zum Intervall dazu.
• Linksoffene Intervalle:
]x1 , x2 ]
x1 gehört nicht zum Intervall, x2 jedoch schon. Alternativ kann man auch (x1 , x2 ] schreiben.
• Rechtsoffene Intervalle:
[x1 , x2 [
x1 gehört zum Intervall, x2 jedoch nicht. Alternativ kann man auch [x1 , x2 ) schreiben.
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15
• Offene Intervalle:
]x1 , x2 [
Weder x1 noch x2 gehören zum Intervall. Alternativ kann man auch (x1 , x2 ) schreiben.
3.3
Symmetrie
Die Symmetrie ist eine wichtige Eigenschaft einer Funktion. Wenn eine Symmetrie vorliegt, können
wir daraus viele Rückschlüsse für den Graphen ziehen.
Es gibt zwei Arten von Symmetrie.
1. Achsensymmetrie
Die Bedingung für die Achsensymmetrie, gemeint ist Symmetrie zur y-Achse, ist, jedem x der
Selbe Wert zugeordnet wird wie −x.
f (x) = f (−x)
2. Punktsymmetrie
Die Punktsymmetrie bezieht sich immer auf den Ursprung. Es muss also gelten, dass der Wert
an der Stelle −x das negative vom Wert an der Stelle x ist.
f (x) = −f (−x)
Bemerkung: Es kann immer nur eine der bedien Symmetrien, es muss jedoch keine zutreffen. Die
Überprüfung erfolgt einfach, indem man die Bedingungen einsetzt.
Beispiel 31. Wir untersuchen f (x) = x2 auf Symmetrie. Wir beginnen mit der Achsensymmetrie:
f (x) = f (−x)
⇒
x2 = (−x)2
⇒
x2 = x2
✓
Da f (x) = f (−x) richtig ist, folgt daraus das f (x) Achsensymmetrisch ist. Da nur eine Symmetrie
zutreffen kann müssen wir die Punktsymmetrie nicht mehr nachprüfen.
Untersuchen wir nun die Funktion f (x) = x3 + x auf Symmetrie. Wir beginnen wieder mit der
Achsensymmetrie:
f (x) = f (−x)
x3 + x = (−x3 ) + (−x)
⇒
⇒
x3 + x = −x3 − x
Die Funktion ist also nicht Achsensymmetrisch. Wir müssen nun noch die Punktsymmetrie Überprüfen. Da wir bereits f (−x) von der Überprüfung auf Achsensymmetrie haben, müssen wir f (−x)
nur noch mit -1 multiplizieren, also alle Vorzeichen umdrehen.
f (x) = −f (−x)
⇒
x3 + x = −(−x3 − x)
⇒
x3 + x = x3 + x
✓
Die Funktion ist also Punktsymmetrisch.
Bemerkung: Mit −f (x) ist gemeint, dass die ganze Funktion mit -1 multipliziert wird, d.h., dass
die Funktion selbst in eine Klammer kommt und diese mit -1 multipliziert wird.
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16
Tipp: Beginnt man mit der Überprüfung bei der Achsensymmetrie, muss man für die Punkt
Symmetrie nicht mehr viel machen, da man f (−x) bereits kennt und nun nur noch alle Vorzeichen
umdrehen muss um −f (−x) zu erhalten.
3.4
Grenzwerte
Die Grenzwerte, auch „Verhalten im Unendlichen“, „Limesverhalten“ oder „Verhalten an den Rändern
des Definitionsbereich“ genannt, sagen uns einiges über das Verhalten der Funktion an den Grenzen
des Definitionsbereich. Es gibt jedoch oftmals mehr Grenzen als nur ±∞. Jede Definitionslücke bringt
zwei weitere Grenzen mit sich, eine von oben und eine von unten gegen die Definitionslücke.
Betrachten wir zunächst die Grenzen ±∞. Um das Verhalten an einer Grenze zu untersuchen
verwendet man den Limes lim und man notiert:
lim f (x)
x→±∞
und betrachtet dann die einzelnen Terme. Als Faustregel kann man sagen, der stärkste Term festlegt
was geschieht, wobei die Exponentialfunktion die stärkste der Funktionen ist, danach kommt die
Potenzfunktion mit dem größten Exponenten und zum Schluss die Logarithmusfunktion. Ob nun
etwas gegen unendlich oder 0 geht sieht man meist leicht, jedoch muss man stets auf das Vorzeichen
achten.
Beispiel 32. Sei f (x) = x2 . Betrachten wir den nun das Verhalten im Unendlichen:
lim x2 = ∞,
x→∞
lim x2 = ∞
x→−∞
Der erste Grenzwert ist leicht zu verstehen: Wenn man im unendlichen ist und dies quadriert dann
ist man immer noch unendlich groß. Der zweite Grenzwert ist auch nicht viel schwieriger. Hier ist
lediglich das Vorzeichen zu beachten. Es gilt weiterhin, dass das Produkt zweier negativer Zahlen
positiv ist, also ist auch der zweite Grenzwert positiv.
Sei nun f (x) = ex · x1 . Die Grenzwerte für diese Funktion sind
lim ex ·
x→−∞
1
= 0 (−),
x
lim ex ·
x→∞
1
=∞
x
Hier ist der erste Grenzwert auch klar. Interessant ist der zweite Grenzwert. Dieser ist ∞ da ex
schneller gegen unendlich strebt als
1
x
gegen 0.
Bemerkung: Oftmals werden Schüler dazu verleitet etwas zu schreiben wie
∞
∞
= 1 oder ∞ ·
0 = 0. Dies ist jedoch aus mehreren Gründen falsch. Zum einen lassen sich diese Aussagen nicht
pauschalisieren wie wir in unserem Beispiel gesehen haben, zum anderen sollte man vermeiden ∞ in
einer Rechnung zu verwenden, da es sich dabei nicht um eine Zahl handelt.
Tipp: Wenn der Grenzwert eine Zahl ist, also nicht ±∞, erhalten wir diesen als eine Zahl ±0.
Null zu einer Zahl zu addieren oder zu davon abzuziehen verändert nichts, jedoch sollte man sich
das Vorzeichen der Null notieren, da es uns anzeigt, ob die Funktion sich von oben oder unten der
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Analysis
17
Asymptote (siehe Abschnitt 3.4.1 auf S. 18) nähert.
Bemerkung: Wenn die Funktion verschoben ist kann auch etwas anderes als Null herauskommen.
Man notiert dennoch das vorzeichen der Null, da wir immernoch ablesen können ob die Funktion von
oben oder unten gegen die Grenze konvergiert.
Da es häufig zu Problemen in der Vorstellung, gibt was die Grenzwerte betrifft, sind im folgenden
die wichtigsten Grenzwerte aufgelistet.
Funktion
limx→−∞
limx→∞
∞
∞
1
xn für n gerade
1
xn für n ungerade
ex
0 (+)
0 (+)
0 (−)
0 (+)
0 (+)
ln x
—
∞
xn
xn
für n gerade
für n ungerade
−∞
∞
∞
Alternativ kann man sich auch die Graphen der Elementaren Funktionen merken, an denen man die
Grenzwerte ablesen kann.
Betrachten wir nun das Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücken. Dabei muss
man stets das Verhalten auf beiden Seiten betrachten. Dazu wird die nicht definierte Stelle x0 als
Grenze eingesetzt und ein Wert minimal darüber und darunter untersucht. Dies wird notiert als
lim f (x)
xցx0
und
lim f (x),
xրx0
wobei das erste bedeutet, dass man von „oben“ gegen die Definitionslücke geht, d.h. von rechts, und
das Zweite, dass man von „unten“ gegen die Definitionslücke geht, d.h. von links.
Es gibt für das Verhalten in der Nähe von Definitionslücken nur zwei Möglichkeiten:
1. Es handelt sich um eine sog. „Polstelle“, d.h. der Grenzwert ist auf beiden Seiten ±∞. Der
Grenzwert muss nicht auf beiden Seiten derselbe sein.
2. Es handelt sich um eine sog. „Sprungstelle“ oder „Lücke“, d.h. der Grenzwert ist auf beiden
Seiten der Gleiche jedoch nicht ±∞.
Die Grenzwerte berechnen sich genauso, wie bereits vorher beschrieben.
Tipp: Wenn man den Grenzwert an einer Definitionslücke betrachtet sollte man die Definitionslücke
mit ±0 einsetzen damit man das Vorzeichen nicht aus den Augen verliert.
Beispiel 33. Die Funktion f (x) =
x
x−1
hat eine Definitionslücke bei +1. Wir untersuchen nun das
Verhalten der Funktion an dieser Stelle:
lim
(1 + 0)
1
= lim
= +∞
(1 + 0) + 1 xց1 +0
lim
1
(1 − 0)
= lim
= −∞
(1 − 0) + 1 xց1 −0
xց1
xր1
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3.4.1
18
Asymptoten
Eine Funktion, meist eine Gerade, an die sich die zu betrachtende Funktion annähert, nennt man
„Asymptote“. Es gibt im wesentlichen drei verschiedene Arten von Asymptoten.
1. Senkrechte Asymptoten
Diese treten an allen Polstellen auf, sie gehen also genau durch die Definitionslücken. Handelt
es sich an dieser Stelle um eine senkrechte Asymptote, so erhalten wir hier die Grenzwerte ±∞.
Andernfalls ist hier keine Senkrechte Asymptote.
2. Waagrechte Asymptoten
Es handelt sich hierbei um Parallelen zu der x-Achse. Man findet sie als Grenzwerte der Funktion,
für den Fall, dass es der Grenzwert nicht ±∞ ist. Tipp: Bei der Grenzwertbestimmung haben
wir ein Vorzeichen in Klammern dazu notiert. Dieses zeigt uns nun an, ob sich die Funktion von
oben oder von unten an die Asymptote annähert.
3. Sonstige Asymptoten
Fr gebrochen-rationale Funktionen können Asymptoten existieren, die nicht waagrecht sind. Man
findet sie, indem man den Zähler der Funktion durch den Nenner der Funktion teilt. Dabei
erhält man eine ganz-rationale Funktion und einen gebrochen-rationalen Rest. Die ganz-rationale
Funktion ist die gesuchte Asymptote.
Bemerkung: Wenn der Grad des Nenners größer ist als der Grad des Zählers, so findet man
eine waagrechte Asymptote a(x) = 0.
3.5
Achsenschnittpunkte
Die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen sind wichtige Punkte. Es gibt zweierlei
Arten von Achsenschnittpunkten:
1. Einen Schnittpunkt mit der y-Achse
Es gibt immer nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse und man findet diesen leicht, indem man
für das Argument 0 einsetzt, d.h. man berechnet f (0).
2. Schnittpunkte mit der x-Achse
Es kann mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse geben, allerdings muss es keinen geben. Diese
Schnittpunkte nennt man „Nullstellen“.
Nullstellen zu finden ist eine Aufgabe, die nicht für alle Funktionen mit einer Formel gelöst werden
kann. Für die Funktionen, die in der Schule betrachtet werden, sind die Nullstellen jedoch meist leicht
zu finden. Man benötigt hierfür jedoch einige Methoden, die sich immer auf bestimmte Typen von
Funktionen anwenden lassen:
1. Einfache Funktionen
Einfache Funktionen sind z.B. f (x) = x − 1. Man setzt sie Null und kann x leicht ausrechnen.
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19
2. f (x) = x2 + px + q
Eine solche Funktion lässt sich mit der sog. pq-Formel lösen. Diese lautet
x1/2
1
=− p±
2
r
1 2
p −q
4
Bemerkung: Diese Formel liefert stets zwei Ergebnisse. Diese müssen nicht gleich sein. Es kann
auch vorkommen, dass unter der Wurzel eine negative Zahl steht. In diesem Fall gibt es keine
Nullstelle. Außerdem muss der Faktor vom dem x2 muss 1 sein, d.h. es steht nichts davor,
andernfalls liefert diese Formel keine richtigen Lösungen.
3. Eine Funktion ohne absolutes Glied
Eine solche Funktion lässt sich als Produkt schreiben, indem man einen oder mehrere Teile
ausklammert. Dann gilt stets: „Ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren Null ist.“. Auf
diese Art erhält man zwei kleinere Funktionen für die sich die Nullstellen einfacher bestimmen
lassen.
4. f (x) = x2n + pxn + q
Wenn die Funktion aus zwei Termen und dem absoluten Glied besteht und der Exponent des
einen Term doppelt so groß ist, wie der des anderen, so kann man eine Substitution durchführen,
d.h. man ersetzt beide Terme durch eine andere Variable. Anschließend kann man mit der pqFormel die Nullstellen finden. Danach muss man man jedoch noch resubstituieren, d.h. man
ersetzt die Variable wieder durch das was sie vorher war und löst wieder.
5. Sonstige Formen
Wenn die Funktion keine der vorgestellten Formen hat, bleibt nur die Möglichkeit eine Nullstelle
zu raten. Normalerweise haben die, in der Schule betrachteten, Funktionen mindestens eine
ganzzahlige Nullstelle zwischen −5 und +5. Hat man eine Nullstelle x0 gefunden teilt man die
Funktion durch (x − x0 ) (Polynomdivision) und erhält eine Funktion eines niedrigeren Grades
für die sich die Nullstellen leichter berechnen lassen. Um Nullstellen schnell und einfach zu raten
kann man das sog. „Horner-Schema“ (siehe Abschnitt 3.5.1 auf S. 19) verwenden.
Befindet sich das Argument im Exponenten, so existieren nur Nullstellen, wenn es andere Faktoren
gibt, die Null werden können. Des weiteren gibt es stets so viele Nullstellen wie der Grad, d.h. der
höchste Exponent, der Funktion ist. Falls es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt, muss
man nur die Nullstellen des Zählers betrachten.
Bemerkung: Alle Nullstellen die man finden muss man mit den zuvor berechneten Ergebnissen vergleichen. Wenn eine Symmetrie festgestellt wurde, dann müssen auch die Nullstellen symmetrisch
verteilt sein. Außerdem sind alle Nullstellen, die auf einer Definitionslücke liegen keine Nullstellen.
3.5.1
Polynomdivision und die Alternative
Die „Polynomdivision“ ist im Wesentlichen dasselbe wie das schriftliche Dividieren zweier Zahlen.
Man macht dies entweder um eine Asymptote zu finden oder um ein Polynom niedrigeren Grades zu
erhalten. Das Verfahren ist nicht schwer anzuwenden, aber leider auch nicht leicht zu erklären.
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Analysis
20
Man teilt ein Polynom p(x) durch ein Polynom q(x), indem man den Summand mit dem höchsten
Exponent von p(x) durch den Summand mit dem höchsten Exponenten von q(x) teilt. Das Ergebnis
multipliziert man mit q(x) und zieht das dann von p(x) ab. Dann beginnt von vorne. Dies wiederholt
man so lange bis entweder Null oder ein Rest übrig bleibt.
Beispiel 34.
f (x) =
2x5 + 4x4 + 12x2 + x − 7
2x2 − 4x + 2
⇒
p(x) = 2x5 +4x4 +12x2 +x−7,
q(x) = 2x2 −4x+2
Wir wollen nun p(x) durch q(x) teilen:
(2x5 + 4x4 + 12x2 + x − 7) : (2x2 − 4x + 2) = . . .
Der Summand mit dem höchsten Exponenten von p(x) ist 2x5 und der Summand mit dem höchsten
Exponenten ist 2x2 . Wir gehen nun vor wie oben beschrieben:
2x5
= x3
2x2
x3 (2x2 − 4x + 2) = 2x5 − 4x4 + 2x3
Nun ziehen wir das Ergebnis von p(x) ab.
(2x5 + 4x4 + 12x2 + x − 7) − (2x5 − 4x4 + 2x3 ) = 8x4 − 2x3 + 12x2 + x − 7
Nun beginnen wir von vorne wobei p(x) = 8x4 + 2x3 + 12x2 + x − 7 ist.
8x4
= 4x2 ,
2x2
4x2 (2x2 − 4x + 2) = 8x4 − 16x3 + 8x2
Wir ziehen erneut das Ergebnis von p(x) ab.
(8x4 − 2x3 + 12x2 + x − 7) − (8x4 − 16x3 + 8x2 ) = 14x3 − 4x2 + x − 7
Dies wird nun wiederholt, bis der Grad von p(x) kleiner ist als der Grad von q(x).
14x3
= 7x,
2x2
7x(2x2 − 4x + 2) = 14x3 − 28x2 + 14x
(14x3 − 4x2 + x − 7) − (14x3 − 28x2 + 14x) = 32x2 − 13x − 7
32x2
= 20,
2x2
16(2x2 − 4x + 2) = 32x2 − 64x + 32
(32x2 − 13x − 7) − (32x2 − 64x + 32) = 51x − 39
Dies ist der Rest der Division. Somit erhalten wir das Gesamtergebnis x3 + 4x2 + 7x + 16 + 2x51x−39
2 −4x+2 .
Vollständig sieht die Polynomdivision wie folgt aus:
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21
2x5 + 4x4
+ 12x2
− 2x5 + 4x4 − 2x3
+ x − 7 : 2x2 − 4x + 2 = x3 + 4x2 + 7x + 16 +
51x − 39
2x2 − 4x + 2
8x4 − 2x3 + 12x2
− 8x4 + 16x3 − 8x2
14x3 + 4x2
− 14x3
+
28x2
+x
− 14x
32x2 − 13x − 7
− 32x2 + 64x − 32
51x − 39
Bemerkung: Wenn man eine Funktion durch (x − x0 ) teilt bleibt kein Rest übrig, falls x0 eine
Nullstelle ist.
Wenn man auf der Suche nach Nullstellen ist, dann kommt man mit dem sog. „Horner-Schema“
deutlich schneller und leichter zum Ziel. Hierbei schreibt man die Koeffizienten2 der Funktion nebeneinander und die Zahl x0 , die man als Nullstelle verdächtigt, zwei Zeilen darunter links von der
Zahlenreihe. Man schreibt nun den ersten Koeffizienten rechts davon und beginnt zu rechnen: Zuerst
Multipliziert man den ersten Koeffizienten mit x0 , das Ergebnis addiert man mit dem zweiten Koeffizienten, das Ergebnis multipliziert man wiederum mit x0 , dann addiert man den zweiten Koeffizienten
hinzu, usw. Nachdem man den letzten Koeffizienten hinzu addiert hat, erhält man den Funktionswert
an der Stelle x0 . Sollte dieser Null sein, haben wir eine Nullstelle gefunden und zusätzlich haben wir bereits die Koeffizienten des Polynoms, welches wir erhalten, wenn wir eine Polynomdivision durchführen
würden, in der untersten Zeile stehen.
Beispiel 35. Wir suchen die Nullstelle der Funktion f (x) = x3 − x2 − 4x + 4. Wir raten eine
Nullstelle bei x0 = 2 und überprüfen dies mit dem Horner-Schema:
1
−1
2
✯
✟
✟
✟·2
❄
1
2+
−4
4
2
−4
−2
0
✯ + ✟
✟
✯ +
✟
✟
❄·2
❄
❄
✟
✟·2
1
Das Endergebnis ist Null, also haben wir tatsächlich eine Nullstelle gefunden. Das Restpolynom ist
nun also x2 + x − 2. Hier können wir nun weitere Nullstellen mit der pq-Formel finden.
Bemerkungen: Die Summanden müssen in absteigender Reihenfolge nach ihren Exponenten sortiert sein. Außerdem müssen alle fehlenden Summanden (z.B. fehlt in f (x) = x2 − 1 der Summand
mit x1 ) mit dem Koeffizient 0 bedacht werden. Das absolute Glied ist auch ein Koeffizient.
3.6
Extrempunkte
Die Extrempunkte einer Funktion sind, wie der Name schon sagt, Punkte in denen die Funktion
extrem, d.h. maximal oder minimal, wird. Gemeint sind damit natürlich lokale Extrempunkte.
2
Die Faktoren vor den Argumenten
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Analysis
3.6.1
22
Stellen und Punkte
Zuerst ist jedoch der Unterschied zwischen „Stellen“ und „Punkten“ zu klären. Eine Stelle ist ein
Wert auf der x-Achse. Wenn es sich um eine Nullstelle handelt wird die Funktion hier Null, bei einer
Extremstelle, wird die Funktion hier Extrem. Wir geben jedoch keinen y-Wert zu dieser Stelle an.
Eine Stelle die man in der Funktion selbst oder in einer ihrer Ableitungen oder sogar in ihrem Integral
findet, ist auch in der Funktion selbst genau diese Stelle. Wenn man jedoch einen y-Wert zu der Stelle
angeben will oder muss, muss man diesen stets in der Funktion selbst such. Gibt man einen y-Wert
an, so handelt es sich nicht mehr um eine Stelle, sondern um einen Punkt.
Widmen wir uns nun wieder den Extrempunkten. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Steigung der
Funktion in diesem Punkt vom positiven ins negative wechselt. In einem Extrempunkt selbst ist die
Steigung also 0. Wir erhalten die Extremstellen, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung suchen.
Setzen wir diese Stellen in die Funktion ein so erhalten wir die, zu der jeweiligen Stelle gehörigen, yWert und somit einen Extrempunkt. Es gibt zwei verschiedene Arten von Extrempunkten:
1. Hochpunkte (Maxima)
2. Tiefpunkte (Minima)
Man kann sie unterscheiden, indem man die gefunden Stelle in die zweite Ableitung einsetzt und das
Vorzeichen des Ergebnisses betrachtet. Ist dies positiv so handelt es sich um ein Minimum, andernfalls
ist es ein Maximum. Sollte die zweite Ableitung an einer Extremstelle Null sein, so handelt es sich
wahrscheinlich um einen sog. „Sattelpunkt“. Dies ist ein spezieller Wendepunkt mit einer waagrechten
Wendetangente. Sollte es sich um einen Sattelpunkt handeln, so ist es kein Extrempunkt. Ob es sich
um einen Wendepunkt handelt muss jedoch noch nachgeprüft werden (siehe Kapitel 3.8 S.23).
3.6.2
Ortskurven
Handelt es sich um eine Funktionenschar so sind die Extrempunkte, die Wendepunkte im Übrigen
auch, wahrscheinlich abhängig vom Scharparameter. Man kann also eine Funktion angeben, auf der
alle Extrempunkte bzw. Wendepunkte liegen. Diese Funktionen nennt man „Ortskurve“. für jeden
Punkt, der von einem Parameter abhängig ist, existiert eine eigene Ortskurve. Diese erhält man, indem
man den x-Wert des Punktes, dessen Ortskurve wir suchen, nach dem Scharparameter auflösen und
diesen dann in den y-Wert einsetzen.
Beispiel 36. Wir haben einen Extrempunkt E(2k|k2 ) gefunden. Der x-Wert ist x = 2k und der
y-Wert ist y = k2 . Wir lösen nun x = 2k nach k auf und erhalten k = 12 x und setzen dies nun in
y = k2 ein. Das Ergebnis ist also y = 41 x2 . Also liegen auf der Kurve e(x) = 14 x2 alle Extrempunkte
E(2k, k2 ).
Sollte einer der beiden Werte des Punktes E den Scharparameter nicht enthalten, so muss man
nichts einsetzten. Die Funktion ist dann lediglich der Wert ohne den Scharparameter. Handelt es sich
dabei um den x-Wert, so ist es eine senkrechte Gerade, handelt es sich um den y-Wert, so ist es eine
waagrechte Gerade.
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Analysis
3.7
23
Monotonie
Die Monotonie sagt etwas über das Wachstumsverhalten einer Funktion aus. Die meisten Funktionen
haben jedoch keine einheitliche Monotonie, weshalb man immer verschiedene Intervalle der Funktion
betrachtet. Welche Intervalle das sind findet man heraus, indem man die Nullstellen der ersten Ableitung bildet. Diese Nullstellen unterteilen die x-Achse in die gesuchten Intervalle. Um herauszufinden,
ob eine Funktion auf dem entsprechenden Intervall monoton fallend oder steigend ist, setzt man einen
beliebigen Wert des entsprechenden Intervalls in die erste Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen
des Ergebnisses. Ist es positiv, so ist die Funktion auf dem Intervall monoton steigend, andernfalls ist
sie monoton fallend.
Beispiel 37.
f (x) = x2
f ′ (x) = 2x
Die erste Ableitung f ′ (x) hat eine Nullstelle bei x = 0, d.h. es gibt zwei Intervalle [−∞, 0[ und
[0, ∞]. Im ersten Intervall testen wir die Steigung mit −1, f ′ (−1) = −2, und im zweiten Intervall
mit 1, f ′ (1) = 2, und finden damit heraus, dass die Funktion f (x) = x2 im Intervall von −∞ bis 0
streng monoton fallend und im Intervall von 0 bis ∞ streng monoton steigend ist.
Bemerkung: Alternativ kann man die Monotonie auch über auch erklären, indem man argumentiert, dass eine Funktion links von einem Hochpunkt steigen muss, da sie ja zu dem Hochpunkt nach
oben kommen muss. Genauso muss sie rechts von einem Hochpunkt fallen, da dieser der der lokal
höchste Punkt ist. Für Tiefpunkte gilt das umgekehrte, also links fallend und rechts steigend.
Wenn eine Funktion jedem x den gleichen Wert zuordnet, z.B. f (x) = 3, nennt man die Funktion
konstant, da sie weder steigt noch fällt.Eine Funktion, die keine Punkte hat in denen die Steigung
Null ist, also deren erste Ableitung keine Nullstellen hat, heißt „streng monoton“.
3.8
Wendepunkte
Wendepunkte sind Punkte, in denen der Graph einer Funktion von einer Links- in eine Rechtskurve
oder umgekehrt übergeht. Man findet die Stellen, an denen dies geschieht, indem man die Nullstellen
der zweiten Ableitung sucht, da diese uns sagt, wann die Steigung extrem wird. Anschließend müssen
die gefundenen Stellen noch bestätigt werden, indem sie in die dritte Ableitung eingesetzt werden. Ist
das Ergebnis von Null verschieden, so handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle. Auch hier muss
man die gefundene Stelle in die Funktion einsetzten um den y-Wert zu erhalten, falls man einen Punkt
benötigt.
Bemerkung: Oftmals wird in der Aufgabenstellung bereits gesagt, dass eine potenzielle Wendestelle
nicht bestätigt werden muss. Wenn dies der Fall ist muss man auch nicht die dritte Ableitung bilden.
In seltenen Fällen wird gefragt um welche Kurven es sich handelt. Die Antwort erhält man, wenn
man einen Wert zwischen den Wendestellen in die zweite Ableitung einsetzt. Ist das Ergebnis größer
als Null, so handelt es sich um eine Rechtskurve, andernfalls um eine Linkskurve.
Bemerkung: erhält man links und rechts von einer Wendestelle die gleiche Kurve, so handelt es sich
nicht um einen Wendepunkt. Dies ist eine weitere Möglichkeit, zusätzlich zur dritten Ableitung, um
zu überprüfen ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt.
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Analysis
3.8.1
24
Tangenten
An dieser Stelle wollen wir uns kurz mit Tangen beschäftigen, da Tangenten in oder an Wendepunkten,
sog. „Wendetangenten“, die häufigsten Tangenten sind, die es zu bestimmen gilt. Allerdings lassen sich
mit der folgenden Methode alle Tangenten in allen Punkten einer Funktion f (x) bestimmen.
Zu aller erst stellen wir fest, dass eine Tangente t(x) eine Gerade ist. Diese haben immer die
Gleichung
t(x) = mx + b,
wobei m die Steigung der Gerade und b die Verschiebung in y-Richtung ist. Wollen wir diese Funktion
näher bestimmen müssen wir lediglich wissen in welchem Punkt. Oftmals müssen wir diesen suchen,
z.B. wenn es eine Wendetangente werden soll und wir den Wendepunkt noch nicht haben.
Sobald wir den Punkt P (x1 |y1 ) haben, setzten wir die x-Koordinate in das Argument der ersten
Ableitung f ′ (x) ein. Dies liefert uns die Steigung m. Nun benötigen wir nur noch die Verschiebung
b, welche wir erhalten, indem wir die beiden Koordinaten von P in die Tangentengleichung einsetzen
und nach b auflösen.
Beispiel 38. Es soll die Tangentengleichung im Punkt P (1, 1) der Funktion f (x) = x2 angegeben
werden. Wir setzen zuerst x1 = 1 in die erste Ableitung f ′ (x) = 2x ein.
f ′ (1) = 2 · 1 = 2
Die Steigung der Tangente ist also m = 2. Wir setzen nun alles in die Tangentengleichung ein und
lösen nach b auf:
1=2·1+b
⇒
1−2 =b
⇒
b = −1
Mit m = 2 und b = −1 ist unsere Tangentengleichung nun vollständig bestimmt und lautet t(x) =
2x − 1.
3.9
Graphen
Die einzelnen Punkte der Kurvendiskussion geben uns einige Informationen über den Verlauf der
Kurve. Diese Informationen können wir nun dazu verwenden einen Graphen der Funktion zu zeichnen.
Diese Graph wird in den Aufgaben oftmals mit Gf bezeichnet, wobei f die Funktion ist, zu der der
Graph gehört.
Um den Graph zu zeichnen, tragen wir alle Punkte und Nullstellen, die wir in der Kurvendiskussion
gefunden haben in ein Koordinatensystem ein.
Man betrachtet nun den Grenzwert für x → −∞. Dieser sagt uns von wo die Funktion am linken
Rand des Koordinatensystems ins Bild kommt. Ist der Grenzwert +∞ kommt die Funktion von oben
links, bei −∞ von unten links. Ist der Grenzwert 0, so kommt die Funktion von der x-Achse her. Hierbei
sagt uns das Vorzeichen, dass wir zusätzlich notiert haben, ob die Funktion ober- oder unterhalb der
x-Achse verläuft.
Da wir nun den Anfang haben, verbinden wir nun die Punkte, die wir eingezeichnet haben, mit
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Analysis
25
eine „geschwungenen“ Kurve, d.h. ohne das Ecken entstehen. Dabei helfen uns auch wieder die Informationen die wir gesammelt haben:
1. Definitionslücken
Wie bereits festgestellt gibt es zwei verschiedene Arten von Definitionslücken: hebbare und nichthebbare. Eine hebbare Funktion sieht genau so aus, wie ihre Ersatzfunktion, jedoch mit einem
Punkt der fehlt. Dieser wird durch einen „Kringel“ an der entsprechenden Stelle dargestellt.
bc
Bild 3: Hebbare Definitionslücke
Bemerkung: Es kann passieren, dass eine solche Stelle Nullstelle, Extrem- oder Wendepunkt
ist, jedoch darf man diese dann nicht als solche angeben, da diese Stelle nicht definiert ist.
Die anderen Definitionslücken, sog. „Polstellen“, haben eine senkrechte Asymptote, welche
durch eine gestrichelte, senkrechte Gerade dargestellt wird.
x3
x0
+
+
x1
x2
+
+
Bild 4: Polstellen
2. Nullstellen
Bei der Nullstellenbestimmung kann es vorkommen, dass einige Nullstellen gleich sind. Anhand
der Anzahl der gleichen Nullstellen kann man erkennen wie diese im Graph aussehen:
×
×
x0
x1
×
x2
×
×
x3
×
x4
x5
Bild 5: Nullstellen: x0 einfach, x1 dreifach. x2 fünffach, x3 doppelt, x4 vierfach, x5 sechsfach
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Analysis
26
Je nach dem von wo die Funktion auf die Entsprechende Nullstelle zuläuft, kann es sein, dass
die entsprechende Kurve im Bild 5 an der x-Achse gespiegelt werden muss.
3. Extrempunkte
Extrempunkte sehen lokal aus wie der Scheitel einer Parabel, die zur x-Achse geöffnet ist.
x6
×
×
x7
Bild 6: Extrempunkte: x6 Maximum, x7 Minimum
4. Wendepunkte
Der Graph einer Funktion wechselt in einem solchen Punkt von einer Links- in eine Rechtskurve
oder umgekehrt. Meisten erkennt man kaum, dass es sich um einen Richtungswechsel handelt
weshalb man diese Punkte meist wie eine einfache Nullstelle (siehe Bild 5) behandeln kann.
5. Asymptoten
Asymptoten werden als gestrichelte Funktionen eingezeichnet, wenn dies überhaupt verlangt ist.
Bild 7: Asymptote
Bemerkung: Oftmals werden nur Geraden als Asymptoten angesehen, jedoch können auch höhergradige Funktionen Grenzfunktionen sein.
Bemerkung: Minima und Maxima wechseln sich immer ab, d.h. es folgen nie zwei gleiche aufeinander,
und zwischen zwei Extrempunkten liegt immer genau ein Wendepunkt. Ausnahmen bilden jedoch die
Sattelpunkte.
Spätestens an dieser Stelle sollte man auch nochmal überprüfen ob die eigene Rechnung Sinn
gemacht hat, also ob die Symmetrie mit den Definitionslücken, den Grenzwerten und den Punkten
zusammenpasst, oder ob man evtl. Minima und Maxima vertauscht hat oder eines übersehen, ob
Wendepunkte fehlen etc.
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Analysis
3.10
27
Beispiel
Dieses Beispiel soll alles, was bis jetzt erörtert wurde, zusammenführen und als Muster für eine Kurvendiskussion dienen.
Die Funktion die wir untersuchen wollen, ist
fk : x 7→
√
1 2
ex ,
x −k
2
k ∈ R+
0
Es handelt sich um eine Funktionenschar mit dem Scharparameter k. Da wir eine vollständige Kurvendiskussion machen wollen, bilden wir zunächst die ersten drei Ableitungen.
Da die Funktion fk (x) das Produkt zweier Teilfunktionen ist,
fk (x) =
√
1 2
ex ,
x − k |{z}
|2 {z
}
uk (x)
kommt die Produktregel zur Anwendung.
vk (x)
1. Ableitung
uk (x) =
1 2
x −k
2
u′k (x) = x
√
ex
1√ x
vk′ (x) =
e
2
vk (x) =
fk′ (x) = u′k (x)vk (x) + uk (x)vk′ (x)
1√
√
1 2
= x ex +
x −k
ex
2
2
√
1 2
ex
= x+
x −k
4
√
1 2
ex
=
x + 4x − k
4
2. Ableitung
1 2
x + 4x − k
4
1
u′k (x) = x + 1
2
uk (x) =
√
ex
1√ x
vk′ (x) =
e
2
vk (x) =
fk′′ (x) = u′k (x)vk (x) + uk (x)vk′ (x)
√
1√
1
1 2
=
x+1
x + 4x − k
ex +
ex
2
4
2
√
1
1 2
=
ex
x+1+
x + 4x − k
2
8
√
1
=
4x + 8 + x2 + 4x − k
ex
8
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28
=
√
1 2
ex
x + 8x + 8 − k
8
3. Ableitung
1 2
x + 8x + 8 − k
8
1
u′k (x) = (2x + 8)
8
uk (x) =
vk (x) =
1√ x
=
e
2
√
ex
fk′′′ (x) = u′k (x)vk (x) + uk (x)vk′ (x)
1√
√
1
1 2
= (2x + 8) ex +
x + 8x + 8 − k
ex
8
8
2
√
1 4x + 16 + x2 + 8x − k + 8
ex
=
16
√
1 2
=
ex
x + 12x + 24 − k
16
Tipp: Oftmals fallen Ableitungen leichter, wenn man die Funktion mit Hilfe der Rechenregeln für
Brüche, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen umformt (siehe 2 S.1).
Nun da wir die Ableitungen haben, können wir mit der Kurvendiskussion beginnen.
1. Definitionsbereich
Da das Argument x der Funktion fk (x) weder im Nenner eines Bruchs, noch in einem Logarithmus oder unter einer Wurzel steht, müssen wir keine Werte aus dem Definitionsbereich
ausschließen und erhalten somit Df = R.
2. Symmetrie
Wir überprüfen die Funktion zuerst auf Achsensymmetrie.
fk (x) = fk (−x)
√
1
x2 − k
(−x)2 − k
ex =
e−x
2
2
√
√
1 2
1 2
ex =
e−x
x −k
x −k
2
2
1
√
Die Funktion ist also nicht Achsensymmetrisch. Bleibt noch die Möglichkeit, dass die Funktion
Punktsymmetrisch ist.
fk (x) = −fk (−x)
√
√
1 2
1
x −k
ex = − (−x)2 − k
e−x
2
2
√
√
1
1 2
ex =
e−x
x −k
k − x2
2
2
Da die Funktion auch nicht Punktsymmetrisch ist, hat diese Funktion keinerlei Symmetrien.
3. Grenzwerte
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Analysis
29
Da wir keine Definitionslücken gefunden haben, müssen wir nur die Grenzen ±∞ untersuchen.
√
1 2
ex = ∞
x − k |{z}
x→∞ 2
{z
}
|
lim
∞
∞
√
1 2
x − k |{z}
ex = 0
x→−∞ 2
|
{z
}
lim
∞
0
Bemerkung: Die Exponentialfunktion ist die am schnellsten wachsende Funktion. Selbst die
Wurzel einer Exponentialfunktion wächst noch schneller als ein Polynom.
Für x → −∞ erhalten wir die x-Achse als Asymptote.
4. Achsenschnittpunkte
√
1 2
e0
0 −k
2
1
=− k
2
fk (0) =
Die Funktion schneidet die y-Achse bei − 21 k.
fk (x) = 0
1
2
x2 − k
√
ex = 0
x2 − k = 0
x2 = k
√
x1 = k
Die Funktion hat zwei Nullstellen, bei
√
ex = 0
√
x2 = − k
√
√
k und − k.
5. Extrempunkte
fk′ (x) = 0
√
1 2
ex
=
x + 4x − k
4
= x2 + 4x − k = 0
x1/2
4
=− ±
2
= −2 ±
x1 = −2 +
s 2
√
√
4
2
+k
4+k
4+k
x2 = −2 −
√
4+k
Wir haben zwei Extremstellen gefunden und überprüfen nun, welche der beiden Extremstellen
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30
der Hoch- und welche der Tiefpunkt ist.
fk′′ −2 +
√
q
2
√
√
√
1 −2 + 4 + k + 8 −2 + 4 + k + 8 − k
e−2+ 4+k
8
q
√
√
√
1
4 + k − 4 4 + k + 4 − 16 + 8 4 + k − k + 8
=
e−2+ 4+k
8
q
√
1√
=
✓
4 + k e−2+ 4+k > 0
2
4+k =
Die Extremstelle x1 liefert einen Tiefpunkt, somit muss die andere Extremstelle ein Hochpunkt
sein. Nun benötigen wir nur noch den y-Wert der jeweiligen Stelle um einen Punkt zu bekommen.
fk
q
2
√
√
√
1 −2 + 4 + k − k
−2 + 4 + k =
e−2+ 4+k
2
q
√
√
1
=
e−2+ 4+k
4+k−4 4+k+4−k
2
q
√
√
1
=
e−2+ 4+k
8−4 4+k
2
q
√
√
= 4−2 4+k
e−2+ 4+k
Wir erhalten den Tiefpunkt
√
T −2 + 4 + k
q
√
√
4+k
−2+
4−2 4+k
.
e
Das selbe machen wir nochmal für den Hochpunkt
fk
q
2
√
√
√
1 −2 − 4 + k =
e−2− 4+k
−2 − 4 + k − k
2
q
√
√
1
=
e−2− 4+k
4+k+4 4+k+4−k
2
q
√
√
1
e−2− 4+k
8+4 4+k
=
2
q
√
√
= 4+2 4+k
e−2− 4+k
Wir erhalten den Hochpunkt
H −2 −
√
q
√
√
4 + k 4 + 2 4 + k
e−2− 4+k .
Bemerkung: Diese Punkte sehen kompliziert aus, sobald man jedoch ein k einsetzt werden sie
sehr einfach. Man darf sich von solchen Werten nicht verunsichern lassen.
Wir wollen nun eine Ortskurve angeben, auf der alle Tiefpunkte T der Funktionenschar liegen.
Dazu nehmen wir die x-Koordinate des Tiefpunkts und formen die Gleichung nach dem Scharparameter k um.
x = −2 +
√
4+k
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31
x+2=
√
4+k
2
(x + 2) = 4 + k
k = (x + 2)2 − 4
Anschließend setzen wir k in die Gleichung der y-Koordinate ein.
q
√
√
y = 4−2 4+k
e−2+ 4+k
q
2
q
= 4 − 2 4 + (x + 2) − 4
q
= 4 − 2 (x + 2)
= (4 − 2 (x + 2))
√
= −2x ex
2
q
e−2+
√
e−2+
√
4+(x+2)2 −4
(x+2)2
p
e−2+(x+2)
Die Ortskurve auf der die Tiefpunkte der Funktionenschar fk (x) liegen ist also
√
t(x) = −2x ex
Bemerkung: In diesem Fall liegen auf der Ortskurve t(x) alle Extrempunkte, also Hoch- und
Tiefpunkte. Dies ist jedoch nicht zwangsläufig immer der Fall.
6. Wendepunkte
fk′′ (x) = 0
√
1 2
ex = 0
x + 8x + 8 − k
8
x2 + 8x + 8 − k = 0
x1/2
8
=− ±
2
= −4 ±
= −4 ±
x1 = −4 +
s 2
√
√
√
8
2
− (8 − k)
16 − 8 + k
8+k
8+k
x2 = −4 −
√
8+k
Wir fanden zwei Wendestellen welche wir zuerst auf Echtheit überprüfen wollen bevor wir die
dazugehörigen y-Werte ausrechnen.
fk′′′
−4 +
√
q
2
√
√
√
1 8+k =
e−4+ 8+k
−4 + 8 + k + 12 −4 + 8 + k + 24 − k
16
q
√
√
√
1 =
e−4+ 8+k
8 + k − 8 8 + k + 16 − 48 + 12 8 + k − k + 24
16
q
√
1 √
=
4 8+k
e−4+ 8+k 6= 0
✓
16
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32
fk′′′
−4 −
√
q
2
√
√
√
1 8+k =
e−4− 8+k
−4 − 8 + k + 12 −4 − 8 + k + 24 − k
16
q
√
√
√
1 =
e−4− 8+k
8 + k + 8 8 + k + 16 − 48 − 12 8 + k − k + 24
16
q
√
1 √
=
e−4+ 8−k 6= 0
−4 8 + k
✓
16
Es handelt sich also in beiden Fällen um Wendepunkte. Die y-Werte berechnen sich genau so,
wie bereits bei den Extrempunkten.
Bemerkung: Man sollte, wenn es nicht anders angegeben ist, zuerst überprüfen ob es eine echte
Wendestelle ist bevor man den y Wert berechnet.
q
2
√
√
1 e− 4 + 8 + k
fk −4 + 8 + k =
−4 + 8 + k − k
2
q
√
√
1
=
8 + k − 8 8 + k + 16 − k
e− 4 + 8 + k
2
q
√
√
1
=
24 − 8 8 + k
e− 4 + 8 + k
2
q
√
√
= 12 − 4 8 + k
e− 4 + 8 + k
q
2
√
√
√
1 −4 − 8 + k − k
e− 4 − 8 + k
fk −4 − 8 + k =
2
q
√
√
1
=
8 + k + 8 8 + k + 16 − k
e− 4 − 8 + k
2
q
√
√
1
=
24 + 8 8 + k
e− 4 − 8 + k
2
q
√
√
= 12 + 4 8 + k
e− 4 − 8 + k
√
Wir erhalten also die beiden Wendepunkte
√
√
W1 −4 +
W2 −4 −
7. Graph
q
√
√
−
8 + k 12 − 4 8 + k
e 4+ 8+k
q
√
√
8 + k 12 + 4 8 + k
e− 4 − 8 + k
Wir haben die eigentliche Kurvendiskussion nun beendet und schließen das Ganze mit dem
Graphen der Funktion Gf ab.
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Analysis
33
4
3
2
H
W2
b
1
b
W 1 = N2
N1
b
b
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
b
2
b
−1
T
−2
−3
Bild 8: f1 schwarz, f3 grün, f5 blau, N1 , N2 Nullstellen
4
Einen Schritt weiter
Der andere Teil der Aufgaben, im Bereich der Analysis, gehen etwas über die Kurvendiskussion hinaus
und beschäftigen sich meist mit Integralen oder sog. Rotationskörpern. Seltener wird auch gefordert
eine Funktion aus verschiedenen Angaben oder einem Graphen herzuleiten.
4.1
Integrale
Die Idee die hinter einem Integral steckt, ist die, dass man
versucht, die Fläche unter der Kurve einer Funktion, d.h. zwischen Funktion und x-Achse zu berechnen. Tatsächlich erhält
man durch die Integration eine neue Funktion, die, wenn man
A
sie ableitet, wieder der alten Funktion entspricht. Die Integrier+
a
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+
b
Analysis
34
ten Funktionen nennt man „Stammfunktion“.
4.1.1
Notation
Um ein Integral, d.h. einen Flächenwert, unter einer Kurve zu der Funktion f (x) zu berechnen, bestimmen wir zuerst die Stammfunktion F (x). Stammfunktionen werden normalerweise mit demselben
Buchstaben wie die ursprüngliche Funktion bezeichnet, nur das man hier den Großbuchstaben verwendet.
Wenn eine Funktion integriert werden soll, gibt man dies mit dem Zeichen
R
an, welches ein
stilisierten „S“, abgeleitet von Summe, sein soll. Dahinter kommt die zu Integrierende Funktion und
abschließend muss man noch ein „dx“ schreiben, wobei das x das jeweils verwendete Argument ist.
F (x) =
Z
f (x) dx
Man nennt dies auch ein „unbestimmtes Integral“, da keinerlei Angaben darüber gemacht wurden,
von wo bis wo wir überhaupt eine Fläche berechnen wollen. Falls wir solche sog. „Grenzen“ angeben,
schreiben wir diese oben und unten an das Integralzeichen.
A=
Z
b
f (x) dx
a
Dabei wird a die „Untergrenze“ und b die „Obergrenze“ genannt. Man nennt ein solche Integral
ein „bestimmtes Integral“.
Bemerkung: Das Ergebnis eines bestimmten Integrals ist keine Stammfunktion, sondern eine Zahl,
die wir als Fläche interpretieren, welche jedoch evtl. einen Scharparameter enthalten kann.
Um jedoch ein bestimmtes Integral zu berechnen, bildet man immer die Stammfunktion und setzt
anschließend die beiden Grenzen ein. Man muss jedoch nicht extra angeben, dass man die Stammfunktion über ein unbestimmtes Integral gebildet hat. Man notiert üblicherweise die gefundene Stammfunktion in eckige Klammern und schreibt an die schließende, rechte Klammer die Grenzen.
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]ba
Alternativ kann man statt der eckigen Klammern auch nur auf der rechten Seite einen senkrechten
Strich machen und an diesen die Grenzen notieren.
Z
b
a
f (x) dx = F (x)|ba
Diese Darstellung hat jedoch eindeutig Nachteile, da man nicht sehen kann, wo diese Stammfunktion nach links begrenzt ist, falls diese länger sein sollte oder das Gesamtintegral aus mehr als einer
Stammfunktion besteht.
Für viel Verwirrung sorgt das „dx“. Leider ist dies ein recht schwieriges Thema, dass mehrere
hundert Jahre in der Mathematik strittig war. Eingeführt wurde es bereits von Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716), jedoch wurde diese Schreibweise erst Mitte des 19. Jahrhunderts akzeptiert. Man
nennt es das „Differential“. Es zeigt uns hauptsächlich die Integrationsvariable an, tatsächlich ist es
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Analysis
35
aber eine Rechengröße mit der man rechnen kann, was wir allerdings nur für die Substitutionsregel
benötigen.
4.1.2
Regeln
Das sog. „Integrieren3 “ folgt, wie auch das Ableitenten, gewissen Regeln, die zum größten Teil umgekehrte Ableitungsregeln sind.
1. Potenzregel: Eine Potenz wird integriert, indem man den Exponenten um 1 vergrößert und die
Potenz anschließend durch den neuen Exponenten teilt.
f (x) = a · xn
F (x) =
⇒
a
xn+1 + C
n+1
Bemerkungen: Wenn man nur die konstanten a hat, so muss man ein x0 ergänzen. Außerdem
gehört zu einer Stammfunktion immer das „+C“ am Schluss, da diese Konstante beim ableiten
verloren gegangen sein kann.
Beispiel 39.
fk (x) = kx3
f (x) = x
F (x) =
1 2
x +C
2
Fk (x) =
f (t) = t−2
k 4
x +C
4
F (t) =
ht (x) = t
1 −1
t +C
−1
Ht (x) = tx + C
Tipp: Falls die Integrationsvariable im Nenner eines Bruchs steht, so ist ist der Exponent stets
mit umgekehrtem Vorzeichen zu behandeln. ( x12 = x−2 ). Beachte dabei, dass die Funktion f (x) =
1
x
die Stammfunktion F (x) = ln(x) hat.
2. Summenregel
Eine Summe wird integriert, indem jeder Summand einzeln integriert wird.
f (x) = g(x) + h(x)
⇒
F (x) = G(x) + H(x)
Beispiel 40.
f (x) = x3 + x2 + x
1
1
1
F (x) = x4 + x3 + x2 + C
4
3
2
1
2x2
3
1
F (t) = t2 −
+C
2
2x
f (t) = 3t +
g(x) = 1 +
1
x
G(x) = x + ln(x) + C
3. Partielle Integration
Die Integration eines Produkts gestaltet sich nicht so einfach. Um ein Produkt zu Integrieren
identifiziert man die beiden Faktoren und wählt einen als u′ (x) und den anderen als v(x), d.h.
3
nicht „Aufleiten“, wie es oftmals fälschlicherweise genannt wird.
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Analysis
36
die eine Teilfunktion u′ (x) ist eine abgeleitete und die andere v(x) ist eine nicht-abgeleitete
Funktion. Die Stammfunktion ist dann das Produkt von u(x), welche man durch integrieren von
u′ (x) erhält, und v(x) minus das Integral von dem Produkt aus u(x) und v ′ (x).
Z
u′ (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) −
Z
u(x) · v ′ (x) dx
Diese Regel ist dann von Vorteil, wenn man zwei Teilfunktionen hat, von denen eine bei einoder mehrfachem ableiten verschwindet, z.B. Polynome.
Bemerkung: Es kann durchaus der Fall sein das man diese Regel auf das Integral
erneut anwenden muss.
Beispiel 41.
R
u(x) · v ′ (x)
f (x) = x2 + 1 · |{z}
ex
|
{z
v(x)
}
u′ (x)
u(x) = ex
v(x) = x2 + 1
u′ (x) = ex
v ′ (x) = 2x
Z
Z
Z v(x) · u′ (x) dx = v(x) · u(x) −
2
x
2
x
x + 1 · e dx = x + 1 · e −
v ′ (x) · u(x) dx
Z
2x · ex dx
Da wir immer noch das Integral von einem Produkt berechnen müssen, wenden wir auf dieses
Integral erneut die Produktregel an:
u(x) = 2x
v(x) = ex
u′ (x) = 2
v ′ (x) = ex
Z
x
x
2x · e dx = 2x · e −
Z
2ex dx
= 2x · ex − 2ex
Wir sehen, dass sich das letzte Integral
R
2ex dx leicht bilden lässt und somit keine weitere
Produktintegration nötig ist. Jetzt müssen wir das Ganze nur noch zusammensetzten und
vereinfachen:
Z x2 + 1 · ex dx = x2 + 1 · ex −
Z
2x · ex dx
= x2 + 1 · ex − (2x · ex − 2ex )
= x2 + 1 · ex − 2x · ex + 2ex
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Analysis
37
=
x2 + 1 − 2x + 2 · ex
= x2 + 1 − 2x + 2 · ex
= x2 − 2x + 3 · ex
Damit haben wir das Produkt fertig integriert.
Tipp: Wenn eine der beiden Teilfunktionen ein Polynom ist, solle diese als die nicht-abgeleitete
Funktion v(x) gewählt werden.
4. Substitutionsregel
Wenn eine zu integrierende Funktion f (x) aus dem Produkt zweier Funktionen u′ (x) und v(x)
besteht, wobei v(x) eine Funktion mit einer inneren Funktion u(x) ist und u′ (x) die Ableitung
dieser inneren Funktion, so lässt sich u(x) substituieren4 mit einer Funktion g(z). Außerdem
muss man u′ (x) dx durch dz ersetzen. Anschließend kann man die Stammfunktion der äußeren
Funktion bilden und danach resubstituieren5 .
F (x) =
Z
′
u (x) · v (u(x)) dx =
Z
v (g(z)) dz = V (g(z)) + C = V (u(x)) + C
Bemerkung: Die Funktion g(z) mit der man substituiert, ist im Idealfall sehr einfach, z.B.
g(z) = z. Diese sollte in den meisten Fällen funktionieren.
Beispiel 42.
f (x) = 2x · ex
u(x) = x2
u′ (x) = 2x
2
v (u(x)) = ex
2
Wir substituieren u(x) = x2 mit g(z) = z und ersetzen 2x dx durch dz.
F (x) =
Z
x2
2x · e
dx =
Z
2
ez dz = ez = ex + C
Leiten wir die gefundene Stammfunktion F (x) nach der Kettenregel ab, so erhalten wir wieder
f (x).
2
F ′ (x) = ex · 2x = f (x)
Wir haben uns also nicht verrechnet.
Bemerkung: Manchmal kann eine solche Funktion auch mit Hilfe der partiellen Integration
integrieren, jedoch geht es mit der Substitutionsregel oftmals schneller.
Als Faustregel kann man auch sagen, dass eine Funktion wie oben beschrieben integriert wird
indem man u′ (x) weg lässt und nur v(x), also die äußere Funktion integriert.
F (x) =
4
5
Z
u′ (x) · v (u(x)) dx = V (u(x)) + C
ersetzen durch einen einfacheren Ausdruck.
die Substitution rückgängig machen.
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Analysis
38
Bemerkung: Falls die Ableitung von u(x) nur fast da steht, d.h. nur ein konstanter Faktor fehlt,
so kann man diesen ergänzen und das gesamte integral durch den Faktor teilen. Wenn jedoch
ein Argument fehlt, kann man diese nicht ergänzen und man ist auf die partielle Integration
angewiesen.
Beispiel 43.
F (x) =
Z
f (x) = x · ex
2
x · ex dx =
Z
2
1
2
1
· 2 · x · ex dx =
2
2
Z
2
2x · ex dx
Nun kann man die Funktion integrieren wie bereits im vorherigen Beispiel gezeigt und man
erhält
F (x) =
1 x2
e
2
Ein Spezialfall der Substitutionsregel sind die Funktionen bei denen die Teilfunktion u′ (x) durch
u(x) geteilt wird. Ihre Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus von u(x).
F (x) =
Z
u′ (x)
dx = ln (u(x))
u(x)
Beispiel 44.
f (x) =
F (x) =
Z
f (x) dx =
Z
2x
x2 + 1
2x
dx = ln x2 + 1
+1
x2
Wie bereits bei den Ableitungen gibt es einige spezielle Funktionen, die wir noch näher betrachten
müssen.
Exponentialfunktion (ex ):
Die Exponentialfunktion f (x) = ex ist, genau wie bei der Ableitung
gleich ihrer Stammfunktion.
f (x) = ex
⇒
F (x) = ex
Allerdings muss die Substitutionsregel verwendet werden, falls im Exponenten mehr als nur x steht.
Beispiel 45.
f (x) = ex+1
F (x) = ex+1
f (x) = 2x · ex
F (x) = ex
2
2
Bemerkung: Lässt sich weder die partielle Integration noch die Substitutionsregel anwenden, z.B.
2
bei f (x) = ex , so hat die Funktion keine reelle Stammfunktion. Dies wird jedoch in keiner Prüfung
vorkommen.
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Analysis
39
Logarithmusfunktion (ln x): Da der natürliche Logarithmus beim ableiten verschwindet, hat die
Logarithmusfunktion eine etwas eigentümliche Stammfunktion.
f (x) = ln(x)
F (x) = x · ln(x) − x
⇒
Auch diese Funktion muss mit der Substitutionsregel integriert werden, wenn in der Klammer mehr
als nur ein x steht.
Beispiel 46.
f (x) = ln x2 = 2 ln(x)
f (x) = ln(x + 1)
F (x) = x2 + 1 ln x2 + 1 − x2 − 1
F (x) = (x + 1) ln(x + 1) − x − 1 F (x) = 2x ln(x) − 2x
f (x) = 2x ln x2 + 1
= x ln x2 − 2x
Tipp: Oftmals kann man mit Hilfe der Logarithmengesetze die Funktion etwas umformen, sodass
die Stammfunktion leichter zu bestimmen ist.
Bemerkung: Auch hier lassen sich mit Schulmethoden keine Stammfunktionen finden, falls weder die
partielle Integration noch die Substitutionsregel angewendet werden kann.
Trigonometrische Funktionen:
Auch bei den trigonometrischen Funktionen finden wir wieder
Parallelen zu ihren Ableitungen.
Bildet man die Stammfunktion von f (x) = sin(x) so
erhält man F (x) = − cos(x), im umgekehrten Fall wird
f (x) = cos(x) zu F (x) = sin(x).
Bemerkung: Auch hier muss mit der partiellen Integra-
f (x)
F (x)
f (x)
F (x)
sin(x)
− cos(x)
− sin(x)
cos(x)
− cos(x)
tion oder der Substitutionsregel gearbeitet und auf die
− sin(x)
cos(x)
sin(x)
Tabelle 2: trig. Stammfunktionen
Vorzeichen geachtet werden.
Tipp: Wenn man sich die trigonometrischen Funktionen wie folgt aufschreibt, kann man im Uhrzeigersinn (äußerer Kreis) die Ableitungen ablesen und gegen den Uhrzeigersinn (innerer Kreis) die
Stammfunktionen.
⇄
cos
⇄
⇄
sin
− cos ⇄ − sin
Rechenregeln für bestimmte und unbestimmte Integrale Wenn man Integrale berechnet,
bzw. Stammfunktionen bildet, ist es manchmal von nutzen sie etwas umzuformen. Dabei gelten zwei
einfache Regeln:
1. Kann man einen konstanten Faktor ausklammern, so darf man diesen vor das Integral schreiben.
Z
b
a
c · f (x) dx = c ·
Z
b
f (x) dx
a
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Analysis
40
2. Integrale mit den selben Grenzen kann man zu einem Integral zusammenfassen.
Z
b
f (x) dx +
a
Z
b
g(x) dx =
a
Z
b
f (x) + g(x) dx
a
Bemerkung: Man muss stets das Vorzeichen der Integrale beachten, d.h. falls vor dem Integral
ein negatives Vorzeichen steht, ist dies mit in das Integral zu nehmen. Außerdem wirkt sich
das negative Vorzeichen auf die gesamte Funktion g(x) aus, d.h. es müssen Klammern gesetzt
werden.
Z
b
a
f (x) dx −
Z
b
g(x) dx =
a
Z
b
Z
1
a
f (x) − g(x) dx
Beispiel 47.
Z
1
0
Z
2
x + x dx −
0
1
2
x − x dx =
=
0
Z
1
0
=
Z
1
x2 + x − x2 − x dx
x2 + x − x2 + x dx
2x dx
0
3. Vertauscht man die Grenzen, ändert sich das Vorzeichen des Integrals.
Z
b
a
4.1.3
f (x) dx = −
Z
a
f (x) dx
b
Flächenberechnung
Da wir nun Stammfunktionen berechnen können, wollen wir sie auch anwenden. Wie bereits erwähnt,
verwendet man Integrale um Flächen unter einer Kurve zu berechnen.
Wenn wir also soweit sind eine solche Fläche zu berechnen, suchen wir ein bestimmtes Integral, d.h.
wir haben nun die Grenzen a und b in denen wir unser Integral berechnen wollen, und wir erhalten die
gesuchte Fläche, indem wir zuerst die Obergrenze b und dann die Untergrenze in die Stammfunktion
einsetzen und anschließend das erste Ergebnis vom zweiten abziehen.
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
Dabei muss man einiges beachten, damit man ein richtiges Ergebnis erhält:
• Es gibt keine negativen Flächen! Deshalb sollten bestimmte Integrale stets in Betragsstriche
gesetzt werden.
Z
b
A = f (x) dx
a
• Nicht über Definitionslücken hinweg integrieren! Wenn man dies jedoch dennoch tun soll,
muss man das Integral in zwei Teilintegrale aufteilen und den Grenzwert an den Definitionslücken
betrachten (siehe Abschnitt 4.1.3 S. 43).
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Analysis
41
• Nicht über Nullstellen hinweg integrieren! Berechnet man eine Fläche die über der x-Achse
liegt, erhält man einen positiven Wert als Fläche, berechnet man jedoch eine Teilfläche unter der
x-Achse, so erhalten wir einen negativen Wert als Fläche. Da eine Fläche jedoch immer positiv
ist, macht dies nicht viel Sinn. Wenn wir jedoch nun eine positive und eine negative Fläche
addieren, heben sie sich gegenseitig auf. Deshalb müssen wir das Integral an jeder Nullstelle x0
trennen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
Z
A = x0
a
Z b
f (x) dx + f (x) d x = |[F (x)]xa0 | + [F (x)]bx0 x0
• Eine Fläche hat eine Einheit. In den Antwortsätzen sollte man darauf achten eine Einheit
anzugeben. Wenn keine Einheit angegeben ist (z.B. m2 ) verwendet man die die Abkürzung F E
für Flächeneinheiten.
Beispiel 48. Wir wollen die Fläche A unter der Funktion f (x) = sin(x) von 0 bis 2π berechnen.
1
π
2
π
3π
2
2π
−1
Bild 9: Sinusfunktion mit eingezeichneter Fläche.
Da wir an der Stelle π eine Nullstelle haben, müssen wir das Integral an dieser Stelle trennen.
Z
A = Z 2π
sin(x) dx + sin(x) dx
0
π
π
= |[− cos(x)]0 | + [− cos(x)]2π
π π
= |− cos(0) − (− cos(π))| + |− cos(π) − (− cos(2π))|
= |−1 − (1)| + |1 − (−1)|
= |−2| + |2|
=4
Die Fläche unter der Funktion f (x) = sin(x) ist also 4 F E groß.
Hätten wir das Integral nicht getrennt, wäre ein anderes, falsches Ergebnis herausgekommen:
Z 2π
A=
sin(x) dx
0
= [− cos(x)]2π
0 = − cos(0) − (− cos(2π))
= −1 − (−1)
=0
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Analysis
42
Oftmals soll auch die Fläche zwischen zwei Funktionen f (x) und g(x) berechnet werden. Ist dies der
Fall muss man zuerst überprüfen, welche Funktion
oberhalb der anderen verläuft und bildet das Integral
der Differenzen der beiden Funktionen, sodass man
das Integral der kleineren Funktion von dem der größeren Funktion abzieht.
Z
f (x) − g(x) dx
Es gelten natürlich die selben Einschränkungen wie bereits oben genannt, jedoch mit einigen Modifikationen:
• Nicht über die Schnittpunkte der beiden Funktionen hinweg Integrieren! Die Nullstellen der Funktionen spielen keine Rolle mehr. Stattdessen verwenden wir die Schnittpunkte der
beiden Funktionen. Dazu setzt man die beiden Funktionen gleich und löst die Gleichung nach
dem Argument auf.
• Weiterhin gilt, dass man nicht über Definitionslücken der beiden Funktionen hinweg Integrieren
darf, sowie, dass eine Fläche weiterhin eine Einheit hat.
Beispiel 49.
2
2
−2
−2
Bild 10: f (x) grün, g(x) rot
Wir wollen die Fläche zwischen den beiden Funktionen f (x) = x3 − x2 − x + 2 und g(x) =
−x2 + x + 2 berechnen. Dafür bestimmen wir zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen:
f (x) = g(x)
x3 − x2 − x + 2 = −x2 + x + 2
x3 − 2x = 0
x(x2 − 2) = 0
x2 − 2 = 0
x1 0
2
x =2
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Analysis
43
x2 =
√
√
x3 = − 2
2
Wir haben also drei Schnittpunkte, d.h. wir müssen unser Integral in zwei Teile trennen, nämlich von
√
√
− 2 bis 0 und von 0 bis 2. Um herauszufinden welche der beiden Funktionen in dem jeweiligen
Intervall die Größerehist, setzt
man einen beliebigen Wert in beide Funktionen ein. Wir wählen aus
√ i
dem ersten Intervall − 2, 0 den Wert −1 aus um zu überprüfen, welche Funktion hier die größere
ist.
f (−1) = (−1)3 − (−1)2 − (−1) + 2 = −1 − 1 + 1 + 2 = 1g(−1) = −(−1)2 + (−1) + 2 = −1 − 1 + 2 = 0
h √
i
h √ i
Wir müssen also im Intervall − 2, 0 f (x) von g(x) abziehen. Für das Intervall 0, 2 verwenden
wir zur Überprüfung den Wert 1
f (1) = (1)3 − (1)2 − (1) + 2 = 1 − 1 − 1 + 2 = 1g(1)
= −(1)2 + (1) + 2 = −1 + 1 + 2 = 2
h √ i
Wir sehen also, dass im Intervall 0, 2 g(x) größer als f (x) ist, d.h. wir müssen f (x) von g(x)
abziehen.
Da wir nun die Grenzen kennen und wissen, welche Funktion in welchem Intervall die größere
ist, können wir unser Integral aufstellen und ausrechnen:
A=
=
=
=
=
Z
Z
Z
Z
Z
0
√
− 2
0
√
− 2
0
√
− 2
0
f (x) dx −
0
√
− 2
g(x) dx +
f (x) − g(x) dx +
3
Z
2
√
0
Z
√
0
2
2
g(x) dx −
3
2
3
√ x
− 2
2
2
− x − x + 2 + x − x − 2 dx +
− 2x dx +
Z
0
√
2
Z
√
2
f (x) dx
0
g(x) − f (x) dx
x − x − x + 2 − x + x + 2 dx +
√ x
− 2
0
Z
Z
0
Z
0
√
2
√
2
x2 + x + 2 − x3 − x2 − x + 2 dx
−x2 + x + 2 − x3 + x2 + x − 2 dx
2x − x3 dx
√
2
0
1
1
= x4 − x2 √ + x2 − x4
4
4
0
− 2
√ √ 2 √ 2 1 √ 4 2 1 4 4
1
1
= · 04 − 02 −
+
2 −
2 − 0 − ·0
− 2 − − 2
4
4
4
4
1
1
=− ·4+2+2− ·4
4
4
= −1 + 2 + 2 − 1
= 2 FE
Die von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche ist also 2 F E groß.
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44
Uneigentliche Integrale Manchmal soll man über Definitionslücken hinweg integrieren oder das
Integral von a bis b für b → ∞ bestimmen. Solche Integrale nennt man „uneigentliche Integrale“
und das Ergebnis ist nicht immer eine unendlich große Fläche.
Man berechnet solche Integrale, indem man für eine Grenze eine Variable, d.h. einen beliebigen
Buchstaben, einsetzt, der nicht das Argument sein sollte, und bestimmt das Integral. Anschließend
bildet man den Limes dieses Integrals.
A = lim
Z
a
a→∞ x0
f (x) dx
Beispiel 50. Wir wollen die Fläche unter der Funktion f (x) =
Z
1
x2
zwischen 1 und ∞ bestimmen.
a
1
dx
2
1 x
a 1 = lim −
a→∞
x 1
1
= lim − − (−1)
a→∞
a
1
= lim − +1
a→∞
a
|{z}
A = lim a→∞
= |0 + 1|
→0
=1
Da
1
a
= 0 für a gegen unendlich ist, erhalten wir tatsächlich eine endliche Fläche der Größe F E.
Wenn man über Definitionslücken hinweg integrieren soll, muss man das Integral an der Definitionslücke trennen und für die Definitionslücken wieder eine Variable einsetzten. Anschließend betrachtet
man den Limes des Integrals gegen die Definitionslücke.
Beispiel 51. Wir wollen nun auch die Fläche unter der Funktion f (x) =
1
x2
zwischen −1 und 1
ausrechnen. Da wir bei x0 = 0 eine Definitionslücke haben müssen wir das Integral an dieser Stelle
trennen und 0 durch eine Variable ersetzten.
A=
=
=
=
=
Z a
Z 1
1
1
lim dx + lim dx
2
2
aր0 −1 x
aց0 a x
a 1 1 1
lim −
+ lim −
aր0 x −1 aց0 x a 1
1
1 1 lim −
− − + lim − − − aր0
aց0
−1
a
a
1
1
1
lim 1 + + lim − + 1
aր0 aց0
a
a
1
1 + lim − +1
lim 1 +
aց0
aր0
a
a
|{z}
|{z}
→∞
→−∞
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Analysis
45
= |∞| + |∞|
=∞
Wir erhalten also für die Funktion f (x) =
1
x2
zwischen -1 und 1 eine unendliche Fläche.
Bemerkung: Hier muss man keine Einheit mehr notieren, da ∞ eine Zahl ist und wir somit von
jeder Flächenbetrachtung weit entfernt sind.
4.2
Rotationskörper
Unter einem Rotationskörper stellt man sich einen Körper vor, der entsteht, wenn man eine Funktion
um die x-Achse rotieren lässt.
0
2
1
2
3
4
-2
-1
1
0
1
1
2
3
2
4
2
1
0
-1
-2
√
Bild 11: Rotation der Funktion f (x) = x um die x-Achse
Da eine Rotation immer bedeutet, das Kreise bzw. Kreisflächen entstehen, müssen wir für das
Volumen eines solchen Rotationskörpers die Formel für die Fläche eines Kreises verwenden, wobei die
Funktion f (x) den Radius liefert, den wir zur Berechnung benötigen. Wir erhalten also die Formel
Z
V =π
(f (x))2 dx
für das Volumen von Rotationskörpern. Da wir ein Volumen erhalten ist die Einheit, in der wir das
Ergebnis angeben Volumeneinheiten, abgekürzt mit V E.
Wir berechnen also zuerst das Integral der quadrierten Funktion und multiplizieren das Ergebnis
anschließend mit π. Es gibt mehrere Möglichkeiten wie man das Quadrat der Funktion Integriert.
Oftmals ist es am einfachsten das Quadrat der Funktion zuerst auszurechnen und anschließend zu
Integrieren, in seltenen Fällen kommt man jedoch mit partieller Integration oder der Substitutionsregel
schneller ans Ziel.
Bemerkung: Das Quadrat einer Funktion lässt sich als Produkt von der Funktion f (x) mit sich selbst
schreiben: (f (x))2 = f (x) · f (x).
Beispiel 52. Wir wollen die Funktion f (x) =
√
1 − x2 um die x-Achse rotieren lassen und das
Volumen des entstehenden Körpers bestimmen. Da die Funktion nur in dem Intervall [−1, 1] definiert
also wollen wir dies auch als Grenzen für unser Intervall verwenden. Wir setzten die Funktion jetzt
einfach in die Formel ein und lösen die Gleichung.
V =π·
Z
1
−1
p
1 − x2
2
dx
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=π·
Z
1
−1
1 − x2 dx
1
1
= π · x − x3
3
−1
1 3
1
3
= π · 1 − 1 − (−1) − (−1)
3
3
1
1
=π· 1− +1−
3
3
2 2
=π·
+
3 3
4
= π ≈ 4, 19 V E
3
Die Figur hat also ein Volumen von ca 4,19 V E.
Bemerkung: Die Funktion f (x) liefert hier im übrigen einen Halbkreis mit dem Radius 1. Ersetzt
man in der Funktion die 1 durch r 2 so erhält man über den Rotationskörper die Volumenformel für
Kugeln.
Ab und an kommt es vor, dass man eine Funktion um die y-Achse rotieren lassen will. Um dies zu
bewerkstelligen müssen wir etwas Vorarbeit leisten, da wir Funktionen eigentlich nicht um die y-Achse
rotieren lassen können. Wenn wir jedoch die Umkehrfunktion (siehe 3.2.1 S. 13)bilden können, können
wir die Funktion wieder um die x-Achse rotieren lassen und erhalten damit das gewünschte Ergebnis.
Das Volumen berechnet man dann genauso wie oben beschrieben.
Bemerkung: Man verwendet dann f −1 (x) statt f (x).
4.3
Funktionen herleiten
Alles was hier bis jetzt abgehandelt wurde, lässt sich auch rückwärts anwenden. Dies benötigt man,
wenn man die Funktion aus einem Graphen bzw. verschiedenen gegebenen Werten bestimmen soll.
Bei solchen Aufgaben kommt es immer darauf an, was man gegeben hat.
1. Es sind Nullstellen gegeben:
Wenn man Nullstellen gegeben hat, ist die Lösung meist einfach, da sich jedes Polynom zerlegen
lässt in Faktoren der Form (x − x0 ), wobei x0 die Nullstelle ist. Diese unterscheiden sich nur um
einen Streckungsfaktor d.
f (x) = d(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn )
den Streckungsfaktor bekommt man sehr schnell, wenn man noch einen beliebigen Punkt gegeben
hat, der nicht Nullstelle ist. Wenn der Punkt nicht gegeben ist, so erhält man eine Funktionenschar.
Beispiel 53. Wir suchen eine Funktion mit Nullstellen bei -1, 2, 3 und die durch den Punkt
P (1, 2) geht.
f (x) = d(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )
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= d(x + 1)(x − 2)(x − 3)
= d x2 − x − 2 (x − 3)
= d x3 − 4x2 + x + 6
Setzt man nun den Punkt P in die Funktionsgleichung ein, so erhält man d und ist fertig.
f (x) = d x3 − 4x2 + x + 6
2 = d 13 − 4 · 12 + 1 + 6
2 = 8d
1
d=
4
Die gesuchte Funktionsgleichung ist also
1
1
3
f (x) = x3 − x2 + x +
4
4
2
Bemerkung: Der Ursprung ist auch eine Nullstelle, wenn die Funktion durch diesen Punkt geht.
2. Es ist eine Struktur vorgegeben:
Wenn eine Struktur einer Funktion vorgegeben ist, so benötigt man weitere Informationen um
die Koeffizienten zu bestimmen. Die Struktur gibt an, wie die Funktion aussehen soll. Diese sind
im wesentlichen:
• Polynom n-ten Grades
Diese haben immer die Gestalt
a1 xn + a2 xn−1 + · · · + an x1 + an+1 ,
d.h. ein Polynom, bei dem der höchste Exponent gleich dem Grad der Funktion ist mit
allen absteigenden Exponenten bis zur 0. Jede Potenz hat einen Koeffizienten, den es zu
bestimmen gilt.
Beispiel 54.
Polynom dritten Grades:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Polynom ersten Grades:
f (x) = mx + b
Polynom nullten Grades:
f (x) = a
Bemerkung: x0 ist immer Eins. Außerdem können einige Koeffizienten, außer der von der
Potenz mit dem größten Exponent, Null sein.
• Wachstums- oder Zerfallsfunktion
Wachstums- oder Zerfallsfunktionen sind immer Exponentialfunktionen der Form
f (x) = b + c · eα·x
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48
Handelt es sich um eine Zerfallsfunktion so ist der Exponent mit -1 zu multiplizieren. Man
nennt bei solchen Funktionen c den Startwert, und α der Wachstumsfaktor. b ist eine simple
Verschiebung in y-Richtung. Steht eine Addition oder Subtraktion im Exponent, so ist dies
eine Verschiebung in x-Richtung.
Bemerkung: Wenn von Wachstum oder Zerfall die Rede ist, so ist stets eine solche Funktion gemeint.
Es gibt natürlich auch alle anderen arten von Funktionen die man herleiten kann, diese sind
jedoch nicht Bestandteil des Abiturs, da diese teilweise zu aufwändig werden.
Um solche, wie die eben vorgestellten, Funktionen bzw. deren Koeffizienten zu bestimmen, benötigt man einige Informationen, sodass man so viele Gleichungen aufstellen kann wie man
unbekannte Koeffizienten hat. Das entstehende Gleichungssystem ist anschließend zu lösen. (siehe Abschnitt 4.3.1 S. 48)
Bemerkung: Hat man eine Gleichung zu wenig, so bekommt man eine Funktionenschar. Es
kann immer vorkommen, dass Koeffizienten Null sind.
Die Bedingungen, die man an eine Funktion stellen kann, sind meist in Textform vorgegeben
und man muss diese nun in Gleichungen fassen. Bedingungen können alle Ergebnisse aus der
Kurvendiskussion sein, d.h. z.B. Extrempunkte oder Wendestellen aber z.B. auch die Fläche
unter der Kurve. Um diese Informationen korrekt zu verarbeiten, muss man lediglich wissen wie
man diese Informationen erhalten kann.
Beispiel 55. TODO: W(2,1)E(1,2)
Es gibt manchmal versteckte Informationen in der Aufgabenstellung. Dies ist vor allem dann
der Fall, wenn Informationen über Tangenten in Punkten angegeben sind. Wenn z.B. eine Wendetangente in einem Punkt (x1 , y1 ) mit einer Steigung m oder einer Gleichung angegeben ist, so
erhalten wir aus diesen Angaben drei Gleichungen:
• f (x1 ) = y1 . Funktionswert an der Stelle x1 .
• f ′ (x1 ) = m. Steigung im Punkt (x1 , y1 ).
• f ′′ (x1 ) = 0. Wendepunktkriterium.
Auf solche Versteckten Informationen muss man achten, da man sonst nicht die nötigen Gleichungen zusammen bekommen.
4.3.1
Gleichungssysteme lösen
Gleichungssysteme werden das erste mal in der Mittelstufe und dann in Rahmen der linearen Algebra
bzw. analytischen Geometrie erneut ausführlich behandelt.
Ein Gleichungssystem liegt stets dann vor, wenn man mehrere Gleichungen hat, die zumindest
teilweise die gleichen Lösungsvariablen beinhalten, die alle erfüllt sein sollen.
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49
Beispiel 56. Die folgenden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem:
x+y =4
x·y =4
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem, da beide Gleichungen gelten sollen und beide
von x und y abhängen. Man sieht schnell, dass nur eine Lösung x = 2 und y = 2 gibt. Die folgenden
Gleichungen bilden jedoch kein Gleichungssystem:
x+y =4
a·b =4
Auch wenn beide Gleichungen gelten, haben sie jedoch keine gemeinsamen Lösungsvariablen. Nimmt
man jedoch die Gleichung a − y = 0 hinzu, so handelt es sich wieder um ein Gleichungssystem, da
wir jetzt den zusammenhang zwischen den beiden ersten Gleichungen hergestellt haben.
Um ein Gleichungssystem mit n Unbekannten eindeutig zu lösen, benötigt man stets n Gleichungen.
Diese müssen linear unabhängig sein, d.h. keine Gleichung ist ein Vielfaches einer anderen Gleichung.
Wenn man weniger Gleichungen hat bekommt man entsprechend viele Parameter von denen die einzelnen Gleichungen abhängen.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man Gleichungssysteme lösen kann.
Das Einsetzungsverfahren
Hierbei löst man eine Gleichung nach einer beliebigen Variable auf
und ersetzt diese in einer anderen Gleichung durch ihre Entsprechung.
Beispiel 57.
x+y =2
(1)
x·y =2
(2)
Wir lösen die Gleichung (1) nach y auf und erhalten
y = 4 − x.
(3)
Nun ersetzen wir y in der Gleichung (1) durch 4 − x. Bemerkung: Die Klammer nicht vergessen.
Wir haben nun eine Gleichung die nur noch eine Variable enthält. solche Gleichungen kann man
lösen.
x · (4 − x) = 4
4x − x2 = 4
−x2 + 4x − 4 = 0
x2 − 4x + 4 = 0
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50
x1/2
−4
=−
±
2
√
=2± 0
s
−4
2
2
−4
=2±
√
4−4
=2
Wir haben also die eindeutige Lösung x = 2 erhalten. Dies können wir jetzt in die Gleichung
(1)einsetzten.
2+y =4
y=2
⇒
Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst.
Das Gleichsetzungsverfahren
Hier formt man zwei Gleichungen nach der selben Variable um. Da
man nun weiß, dass beide Gleichungen das selbe Ergebnis liefern kann man sie gleichsetzen und erhält
eine neue Gleichung in der man eine Variable weniger hat.
Beispiel 58.
x+y =2
⇒
x·y =2
⇒
y =2−x
2
y=
x
(4)
(5)
Setzt man die beiden Gleichungen gleich, erhält man eine neue Gleichung die nur noch von x
abhängt:
2−x=
2
x
⇒
2x − x2 = 2
Man sieht, dass man diese Gleichung genau so löst wie in dem Beispiel zuvor. natürlich erhält man
dasselbe Ergebnis.
Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren schreibt man zwei Gleichungen untereinander, so-
dass gleiche Variablen untereinander stehen. Nun multipliziert man eine der beiden Gleichungen so,
dass bei der Addition der beiden Funktionen eine Variable raus fällt. Hat man mehr als eine Gleichung, wählt man eine andere Kombination von Gleichungen und wiederholt den Vorgang so, dass die
gleiche Variable raus fällt. Nun hat man zwei Gleichungen in denen diese nicht vorkommt. Diese zwei
Gleichungen kann man wieder so addieren, dass erneut eine Variable raus fällt. Dies macht man so
lange, bis nur noch eine übrig ist.
TODO: BSP!!!
Bemerkung: in den meisten Fällen kommt man mit dem Additionsverfahren zum Ziel. Man kann
hier auch das vereinfachte Gaußverfahren aus der Linearen Algebra verwenden.
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