F´ısica del Estado S´olido
Pr´actico 4
Constantes El´asticas de los Cristales
1. Partiendo de la funci´
on densidad de energ´ıa el´astica para un cristal c´
ubico, en funci´on de
las componentes de deformaci´
on (strain) y los m´odulos el´asticos, halle las componentes
de tensi´
on (stress) y verifique que sean correctas.
´ dulos de Elasticidad
2. Mo
Para un cristal c´
ubico, invierta la matriz de m´odulos de elasticidad para hallar sus componentes en funci´
on de las constantes el´asticas y viceversa.
3.
´ dulo Bulk Si una presi´on hidrost´atica p es aplicada sobre un elemento de voa) Mo
lumen V de un cristal, se define el m´odulo bulk B (o compresibilidad), como:
B = −V
dp
dV
Demuestre que el m´
odulo bulk en un cristal c´
ubico, expresado en funci´on de los
m´
odulos de elasticidad, es:
C11 + 2C12
B=
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´ dulo de Young y Coeficiente de Poisson
b) Mo
El m´
odulo de Young y el coeficiente de Poisson de una muestra se definen para una
tensi´
on tensora τ (fuerza por unidad de ´area) actuando de forma que la muestra se
deforma longitudinal y transversalmente (ver figura). Las definiciones son:
El m´
odulo de Young es la relaci´on entre la tensi´on aplicada sobre la deformaci´on:
E = τ /(δl/l), donde δl/l es el cambio fraccional en la longitud de la muestra.
El coeficiente de Poisson se define como ν = (δw/w)/(δl/l) para esa misma
situaci´
on, donde δw/w es la contracci´on perpendicular a la direcci´on en que se
aplica la tensi´
on.
w
τ
l
l + δl
1
τ
w − δw
Un cristal c´
ubico est´
a sujeto a una tensi´on en la direcci´on [100]. Obtenga las expresiones del m´
odulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν, en funci´on de las
constantes el´
asticas.
4.
a) Muestre que la velocidad de propagaci´on de una onda transversal, que viaja lo largo
de una direcci´
on [110], con las part´ıculas movi´endose en la direcci´on [110], en un
cristal c´
ubico es:
s
C11 − C12
v=
2ρ0
donde C11 y C12 son los m´odulos el´asticos (notaci´on usual) y ρ0 es la densidad
volum´etrica.
b) Demuestre que la velocidad de las ondas longitudinales y transversales, en la direcci´on
[111] en un cristal c´
ubico viene dada respectivamente por:
s
vL =
5.
C11 + 2C12 + 4C44
3ρ0
s
vT =
C11 − C12 + C44
3ρ0
a) A partir de las ecuaciones de ondas el´asticas propag´andose por un cristal c´
ubico,
encuentre la ecuaci´
on, en forma de determinante, que expresa la condici´on de que el
desplazamiento
~ r, t) = u0ˆi + v0 ˆj + w0 kˆ ei(~k.~r−ωt)
R(~
es una soluci´
on de esas ecuaciones.
b) Utilizando la propiedad de que la suma de las ra´ıces de una ecuaci´on secular es igual
a la suma de los elementos diagonales, demuestre a partir del resultado anterior que
la suma de los cuadrados de las velocidades de las tres ondas en cualquier direcci´on
de un cristal c´
ubico es igual a (C11 + 2C44 )/ρ0 .
´ sticas en el Antimonio
6. Ondas Ela
Resuelva las ecuaciones de propagaci´on de ondas el´asticas de amplitud infinitesimal, para
un s´olido que posea simetr´ıa c´
ubica, cuando la direcci´on de propagaci´on es: (a) [100] y
(b) [110]. Para la velocidad de las ondas ac´
usticas en antimoniuro de indio a 20◦ C, se han
obtenido los siguientes valores:
Direcci´
on de Propagaci´
on
[110]
[110]
[110]
[100]
[100]
Direcci´on de Polarizaci´on
[110]
[110]
[001]
[100]
[010]
Velocidad (cm/s)
3, 7664 ± 0, 0003
1, 6251 ± 0, 0002
2, 2862 ± 0, 0002
3, 4068 ± 0, 0003
2, 2864 ± 0, 0002
A partir de estos resultados obtenga las constantes el´asticas del cristal. Como densidad
del antimoniuro de indio puede tomarse 5, 7757g/cm3 .
7. Es sabido que una matriz cuadrada R-dimensional, con todos sus elementos iguales a la
unidad, tiene ra´ıces R y 0, con una ra´ız R y R–1 ra´ıces cero. Si todos los elementos tienen
el valor p, entonces las ra´ıces son Rp y 0.
a) Demuestre que si todos los elementos diagonales son q y todos los dem´as son p
entonces hay una ra´ız igual a (R–1)p + q y R–1 ra´ıces iguales a q–p.
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b) Demuestre, a partir de las ecuaciones de ondas el´asticas propag´andose por un cristal
c´
ubico, para una onda en la direcci´on [111], que la ecuaci´on en forma de determinante
que da ω 2 en funci´
on de k es:
q − ω 2 ρ0
p
p
p
q − ω 2 ρ0
p
p
p
q − ω 2 ρ0
=0
donde q = k 2 (C11 + 2C44 )/3 y p = k 2 (C11 + C44 )/3.
Esta ecuaci´
on expresa la condici´on de que tres ecuaciones algebraicas y homog´eneas
para las tres componentes del desplazamiento u, v, w, tienen soluci´on. Utilice el
resultado de la parte a) para obtener las tres ra´ıces de ω 2 ; compar´andolos con los
resultados del Ejercicio No 5 (parte b).
´ sticas en Cristales Tipo Wurtzite (Hexagonales)
8. Ondas Ela
Para un cristal con simetr´ıa wurtzite (simetr´ıa hexagonal no-c´
ubica) puede demostrarse
utilizando argumentos de simetr´ıa que la matriz de m´odulos de elasticidad es:

C11 C12 C13 0
0
C12 C11 C13 0
0

C13 C13 C33 0
0

 0
0
0
C
0
44

 0
0
0
0 C44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C11 −C12
2








a) Halle las ecuaciones de ondas para las ondas ac´
usticas propag´andose en dicho cristal.
b) Asuma la soluci´
on para una onda ac´
ustica en ese cristal de la forma:
~ r) = u0ˆi + v0 ˆj + w0 kˆ ei(~k.~r−ωt)
R(~
donde el vector de propagaci´on lo supondremos contenido en el plano yz.
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