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Tema 2: La econom´ıa de Robinson Crusoe
Macroeconom´ıa 2014
Universidad Torcuato di Tella
Constantino Hevia
En esta nota analizaremos el caso de un hogar/productor, a quien llamaremos Robinson Crusoe,
que decide cuanto trabajar y cuanto consumir en un determinado per´ıodo. Podemos pensar a esta
econom´ıa como las decisiones que debe tomar Robinson Crusoe viviendo solo en una isla donde
debe trabajar para producir bienes de consumo.
• Robinson Crusoe elige cuanto trabajar y cuanto consumir.
• No hay mercados ni comercio: Robinson Crusoe es due˜
no de una parcela de tierra y produce
para s´ı mismo.
• La econom´ıa de Robinson Crusoe es una abstracci´on que usamos como punto de partida para
entender a la econom´ıa como el resultado de la agregaci´on de las decisiones individuales de
una gran cantidad de consumidores y productores.
• Este modelo contiene la esencia de los problemas de decisi´on que aparecen en econom´ıas m´
as
complejas, con muchos agentes y mercados.
• Conceptos fundamentales del modelo de equilibrio de mercados: efectos sustituci´
on y
riqueza (o ingreso) ante cambios en las oportunidades a las que se enfrentan los agentes
econ´omicos.
Definici´
on de una econom´ıa: Una econom´ıa est´a definida por
• Las preferencias y objetivos de los agentes econ´omicos
• Las restricciones que enfrentan los agentes en la toma de decisiones:
– restricciones presupuestarias
– restricciones tecnol´
ogicas
– dotaciones iniciales
• Condiciones de consistencia agregada: Oferta=Demanda en cada mercado.
1
Figure 1: Funci´
on de producci´on de Robinson Crusoe
1
Tecnolog´ıa
Robinson Crusoe puede producir bienes de consumo usando esfuerzo laboral (trabajo) de acuerdo
a la siguiente funci´
on de producci´
on
y = f (l)
(1)
donde y son los bienes producidos, l es trabajo y f (·) es la funci´on de producci´on que transforma
trabajo en bienes de consumo. Supondremos adem´as que:
• hay un solo bien de consumo en la econom´ıa,
• no hay posibilidades de almacenar bienes entre per´ıodos. Analizaremos posibilidades de almacenamiento m´
as adelante en el curso.
La funci´on de producci´
on, graficada en la Figura 1, satisface las siguientes condiciones:
dy
= f 0 (l) > 0 ⇒ Productividad marginal del trabajo positiva (f es creciente)
dl
d2 y
= f 00 (l) < 0 ⇒ Ley de rendimientos decrecientes (f es c´oncava)
dl2
f (0) = 0 ⇒ Sin trabajo no hay producci´on
1.1
Avance tecnol´
ogico y aumentos de productividad
Decimos que hay un avance tecnol´
ogico cuando Robinson Crusoe es capaz de producir m´as bienes
ofreciendo la misma cantidad de trabajo. En t´erminos matem´aticos, un avance tecnol´ogico es un
cambio en la funci´
on de producci´
on de f (l) a fˆ (l) tal que fˆ (l) > f (l) para todo l. ¿Qu´e ocurre con
2
Figure 2: Avance tecnol´ogico
la productividad marginal del trabajo cuando hay un avance tecnol´ogico? En teor´ıa, puede subir
o bajar. Sin embargo, estudios emp´ıricos muestran que un avance tecnol´ogico viene acompa˜
nado
tambi´en con un aumento de la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l.
En la Figura 2 mostramos el caso de un avance tecnol´ogico que sube la productividad marginal
del trabajo para cada nivel de l. De hecho, usualmente escribimos y = Af (l) y modelamos incrementos de la productividad con subas en el par´ametro A. De este modo, una suba de A tambi´en
implica una suba en la productividad marginal del trabajo. Para ver esto, notemos que
PML =
dy
= Af 0 (l)
dl
es creciente en A para cada nivel de trabajo l.
Ejercicio: dibuje una funci´
on de producci´on donde un avance tecnol´ogico est´e asociado con una
disminuci´
on en la productividad marginal del trabajo para cada nivel de l.
Ejemplo: funci´
on de producci´
on Cobb-Douglas
Supongamos la siguiente funci´
on de producci´on Cobb-Douglas
y = Alα
(2)
donde A > 0 y 0 < α < 1. La productividad marginal del trabajo es
dy
= αAlα−1 > 0 para todo l.
dl
Notemos adem´
as que podemos escribir
dy
Alα
y
=α
=α .
dl
l
l
3
(3)
Esto muestra que con una funci´
on de producci´on Cobb-Douglas la productividad marginal es proporcional (con factor de proporcionalidadα) a la productividad media y/l.
La funci´
on de producci´
on Cobb-Douglas es c´oncava:
d2 y
= α (α − 1) Alα−2 = −α (1 − α) Alα−2 < 0 para todo l > 0.
dl2
La funci´on de producci´
on Cobb-Douglas satisface f (0) = 0,
f (0) = A0α = 0.
La funci´on de producci´
on Cobb-Douglas tiene otras dos propiedades interesantes. La primera es
que la productividad marginal del trabajo converge a infinito cuando el trabajo converge a cero:
αA
= +∞.
l→0 l1−α
lim αAlα−1 = lim
l→0
La segunda es que la productividad marginal del trabajo converge a cero cuando el trabajo tiende
a infinito:
lim αAlα−1 = lim
l→+∞
2
αA
l→+∞ l1−α
= 0.
Preferencias por consumo y ocio/trabajo
Robinson Crusoe tiene la siguiente funci´on de utilidad
u (c, h)
(4)
donde c es consumo de bienes y h es consumo de ocio. Supondremos adem´as que Robinson Crusoe
tiene una dotaci´
on de tiempo T que puede dedicar a trabajar o a consumir ocio
l + h = T.
(5)
Usualmente normalizamos el tiempo disponible a T = 1.
Supondremos que consumir bienes y ocio genera utilidad:
∂u (c, h)
∂u (c, h)
= uc (c, h) > 0;
= uh (c, h) > 0
∂c
∂h
(6)
y adem´as supondremos que la funci´
on de utilidad es c´oncava:
∂ 2 u (c, h)
∂ 2 u (c, h)
=
u
(c,
h)
<
0;
= uhh (c, h) < 0
cc
∂c2
∂h2
(7)
ucc (c, h) uhh (c, h) − uch (c, h)2 > 0.
(8)
4
Curvas de indiferencia entre consumo y ocio
Las curvas de indiferencias de un consumidor son los pares de consumo y ocio (c, h) que derivan
cierto nivel de utilidad:
¯ = u (c, h)
U
(9)
Podemos pensar a una curva de indiferencia como el gr´afico del consumo c como una funci´on del ocio
¯ . Naturalmente, como la utilidad es mayor cuando aumenta el consumo
h para el nivel de utilidad U
de bienes o de ocio, el nivel de utilidad es mayor si nos movemos hacia curvas de indiferencias que
quedan hacia el nordeste. El panel A de la Figura 3 muestra el mapa de curvas de indiferencia
¯2 > U
¯1 . Las curvas de indiferencias son decrecientes
entre consumo y ocio con niveles de utilidad U
y convexas. Son decrecientes porque satisfacen el principio de que “m´as es mejor”. Esto es, si subo
la cantidad de uno de los bienes, voy a tener que bajar la del otro para dejarlo indiferente, de otro
modo la utilidad subir´ıa. La convexidad de la curva de indiferencia refleja la ley de las utilidades
marginales decrecientes: sobre la curva de indiferencia, la tasa a la cual estoy dispuesto a renunciar
al consumo de bienes c para aumentar el consumo de ocio h marginalmente decrece en la medida
que el nivel de consumo es menor.
Veamos las propiedades anteriores anal´ıticamente. Para ver que la curva de indiferencia es
¯ . De este
decreciente, pensamos a c como una funci´on de h, c (h) , dado un nivel de utilidad U
modo, la curva de indiferencia (9) satisface
¯ = u (c (h) , h) .
U
Derivando ambos lados de la ecuaci´
on con respecto al ocio h y usando la regla de la cadena
obtenemos
d ¯
d
U=
u (c (h) , h)
dh
dh
dc
+ uh (c, h) .
0 = uc (c, h)
dh
¯ , se cumple que
Resolviendo para dc/dh encontramos que, en los puntos (c, h) donde u (c, h) = U
uh (c, h)
dc
=−
< 0.
dh
uc (c, h)
(10)
Esto prueba que la curva de indiferencia tiene pendiente negativa. El t´ermino uh /uc se denomina
la “tasa marginal de sustituci´
on” entre ocio y consumo y refleja la valuaci´on subjetiva del ocio
en t´erminos de unidades de consumo: cuantas unidades de bienes de consumo estoy dispuesto a
renunciar para que me den una unidad m´as de ocio.
Probar que las curvas de indiferencia son convexas requiere m´as trabajo. Dejamos la demostraci´on formal para el Anexo al final de la nota.
5
Figure 3: Preferencias sobre consumo-ocio y consumo-trabajo
Preferencias sobre consumo y trabajo
En el libro de Barro ver´
an que las curvas de indiferencia est´an graficadas en t´erminos de consumo
y trabajo (un “mal” en el sentido de que trabajar genera desutilidad) en vez de consumo y ocio.
Matem´aticamente lo que est´
a haciendo Barro es reemplazar la restricci´on de tiempo (5), h + l = 1,
en la funci´on de utilidad en lugar del ocio (normalizamos T = 1),
u (c, 1 − l) ,
y dibujar las curvas de indiferencia en los ejes (c, l) en lugar de los ejes (c, h). El panel derecho de
la Figura 3 muestra las curvas de indiferencia entre consumo y trabajo.
Ejercicio: explique intuitivamente por qu´e las curvas de indiferencias en los ejes (c, l) tienen
pendiente positiva, son convexas, y los niveles de utilidad crecen en la medida que nos movemos
hacia el noroeste.
Ejemplo: funci´
on de utilidad Cobb-Douglas
Consideremos la siguiente funci´
on de utilidad Cobb-Douglas:
1
1
u (c, h) = c 2 h 2
Entonces
1 1 1
uc = c− 2 h 2 > 0,
2
1 1 1
uh = c 2 h− 2 > 0,
2
1 3 1
ucc = − c− 2 h 2 < 0
4
6
1 1 3
uhh = − c 2 h− 2 < 0
4
1 1 1
uch = c− 2 h− 2 > 0.
4
Estas derivadas satisfacen las condiciones (6), (7) y (8) por lo que las curvas de indiferencia tiene
pendiente negativa y son convexas. En este caso incluso podemos encontrar las curvas de indiferencia de manera anal´ıtica:
¯ = c 21 h 12
U
Resuelvo para c como funci´
on de h :
¯
U
1
c2 =
1
h2
o bien
c=
¯2
U
.
h
(11)
Veamos las propiedades de las curvas de indiferencia. Primero, vemos que son decrecientes
¯2
U
dc
= − 2 < 0.
dh
h
Derivamos una vez m´
as para mostrar que son c´oncavas,
¯2
d2 c
U
=
2
> 0.
dh2
h3
En t´erminos de consumo y trabajo, podemos reemplazar h = 1 − l en (11) y obtenemos,
c=
¯2
U
.
1−l
Veremos que la pendiente es positiva y que es convexa. Derivando con respecto a l,
¯2
dc
U
=
> 0.
dl
(1 − l)2
Para ver convexidad, derivamos una vez m´as:
¯2
d2 c
¯ 2 (1 − l)−3 × (−1) = 2 U
=
(−2)
U
> 0.
dl2
(1 − l)3
3
Elecci´
on de consumo y trabajo
Robinson Crusoe maximiza su utilidad eligiendo el consumo, ocio y trabajo sujeto a las restricciones
de tecnolog´ıa y de tiempo El problema general de Robinson Crusoe es el siguiente
Problema 1:
max u (c, h)
c,h,l
7
sujeto a
c = f (l)
l + h = 1.
Hay varias formas equivalentes de resolver este problema. Podemos usar la segunda restricci´
on,
resolver para el trabajo l y reemplazar el resultado en la primera restricci´on. De este modo, el
problema de Robinson Crusoe se convierte en
Problema 2:
max u (c, h)
c,h
sujeto a
c = f (1 − h) .
La soluci´on a este problema est´
a graficado en el panel A de la Figura 4.
Finalmente, podemos introducir la restricci´on en la funci´on de utilidad y resolver el siguiente
problema simplificado:
Problema 3:
max u (f (1 − h) , h) .
h
La condici´on de primer orden es
uc (c, h) f 0 (1 − h) × (−1) + uh (c, h) = 0
o bien
uh (c, h)
= f 0 (1 − h)
uc (c, h)
(12)
que nos dice que la tasa marginal de sustituci´on entre ocio y consumo (MRS) debe ser igual a la
productividad marginal del trabajo.
Para interpretar intuitivamente esta ecuaci´on, la reescribamos del siguiente modo
uh (c, h) = f 0 (1 − h) uc (c, h)
Supongamos que Robinson Crusoe decide aumentar en el margen su oferta de trabajo. El costo en
t´erminos de utilidad de ese aumento marginal del trabajo es uh (c, h) . Por otro lado, al trabajar un
poco m´as, Robinson produce f 0 (1 − h) m´as unidades de bienes. El valor marginal en t´erminos de
utilidad de consumir un poco m´
as de bienes es uc (c, h) . Por lo tanto, el beneficio marginal medido
en t´erminos de utilidad de incrementar el trabajo ligeramente es f 0 (1 − h) uc (c, h). En el ´optimo,
el costo marginal de trabajar m´
as, capturado por el t´ermino uh (c, h), debe ser igual al beneficio
marginal de ese trabajo adicional, capturado por el t´ermino f 0 (1 − h) uc (c, h).
8
Figure 4: Elecci´
on ´optima entre consumo y ocio/trabajo
Elecci´
on entre consumo y trabajo
Tambi´en podemos plantear el problema de Robinson Crusoe como en el libro de Barro. En vez
de pasar del Problema 1 al Problema 2, ahora usamos la restricci´on 1 = h + l para resolver por el
ocio h y reemplazamos la soluci´
on en la funci´on objetivo. De este modo, el problema se reduce a
max u (c, 1 − l) sujeto a c = f (l) .
c,l
La soluci´on a este problema est´
a graficado en el panel B de la Figura 4.
Como en el caso del ocio, podemos reemplazar c en la funci´on objetivo y maximizar
max u (f (l) , 1 − l) .
l
La condici´on de primer orden es
uc (f (l) , 1 − l) f 0 (l) + uh (f (l) , 1 − l) × (−1) = 0.
Reorganizando t´erminos llegamos a
uh (f (l) , 1 − l)
= f 0 (l)
uc (f (l) , 1 − l)
(13)
que es la misma condici´
on que (12) pero en t´erminos de trabajo.
Ejemplo: Consideremos un ejemplo con funci´on de utilidad y funci´on de producci´on CobbDouglas. En particular, supongamos que
u (c, h) = cφ h1−φ y
9
f (l) = Alα ,
donde 0 < φ < 1 y 0 < α < 1.
La tasa marginal de sustituci´
on entre ocio y consumo es
uh (c, 1 − l)
=
uc (c, 1 − l)
1−φ
φ
c
.
1−l
La productividad marginal del trabajo es
f (l) = αAlα−1 .
Usando la condici´
on (13) encontramos
1−φ
φ
c
= αAlα−1 .
1−l
Pero en equilibrio la condicion de factibilidad requiere que
c = Alα .
Reemplazando en la condici´
on de arriba encontramos
1−φ
φ
Alα
= αAlα−1 .
1−l
o bien
Resolvemos
1−φ
φ
1
1−l
=
α
l
1
= −1
l
1
1 − φ + φα
=
l
φα
o
l∗ =
φα
.
1 − φ + φα
Noten que 0 < l∗ < 1. De la funci´
on de producci´on tenemos
∗
∗
α
c = y = Al = A
φα
1 − φ + φα
α
.
Notar que la elecci´
on ´
optima de trabajo l∗ no depende del nivel de productividad A.
10
4
Est´
atica comparativa
Consideremos una funci´
on de producci´on de la forma
y = Af (l) .
En esta secci´
on analizaremos el efecto de una suba en la productividad de la econom´ıa reflejada en
un aumento en el par´
ametro A de A0 a A1 > A0 . Notar que este aumento tecnol´ogico implica una
mayor producci´
on para cada nivel de trabajo (y crece para cada l) y un aumento en la productividad
marginal del trabajo para cada l. La Figura 5 muestra el impacto sobre el equilibrio del aumento de
la productividad. El equilibrio original se encuentra en el punto c∗0 y l0∗ , donde la curva de indiferencia
¯0 es tangente a la frontera de posibilidades de producci´on (esto es, la funci´on de producci´
U
on)
representada por A0 f (l) (l´ınea roja). Despu´es del aumento de la productividad, la nueva funci´
on
de producci´on viene dada por A1 f (l) (l´ınea verde). Como aprendieron en microeconom´ıa, podemos
separar el efecto total en la suma de los efectos sustituci´on y riqueza (o ingreso). Usaremos la
versi´on del efecto sustituci´
on de Hicks, que consiste en desplazar paralelamente la nueva funci´
on de
producci´on de tal manera que sea tangente a la curva de indiferencia del equilibrio original. En la
¯0 es tangente en
Figura 5 este punto de tangencia ocurre donde la curva de indiferencia original U
el punto (˜
c, ˜l) con la curva entrecortada verde, llamada A1 f (l) − K. El t´ermino −K significa que
estamos desplazando la funci´
on de producci´on A1 f (l) paralelamente hacia abajo en la cantidad
K. El efecto sustituci´
on implica un incremento del trabajo y del consumo. La intuici´on de este
resultado es la siguiente: al aumentar la productividad marginal del trabajo para cada l, el costo
de oportunidad de consumir una unidad adicional de ocio en t´erminos de bienes de consumo se
incrementa. En otras palabras, sube el precio relativo del ocio en t´ermino de bienes de consumo.
El efecto sustituci´
on implica aumentar el consumo del bi´en relativamente m´as barato (el bien de
consumo c) y bajar el consumo del bien relativamente m´as caro (el ocio o, lo que es lo mismo,
aumentar el trabajo). Abajo discutiremos como encontrar matem´aticamente el punto (˜
c, ˜l).
El efecto riqueza se obtiene considerando el cambio desde el punto (˜
c, ˜l) hacia el punto de
elecci´on ´optima bajo la nueva funci´
on de producci´on, representada por el par de consumo y trabajo
c∗1 y l1∗ . Como el consumo y el ocio son ambos bienes normales, el efecto riqueza puro implica
que tanto el consumo como el ocio deben aumentar, por lo que el trabajo debe caer. La ca´ıda del
trabajo est´a reflejada en la diferencia entre ˜l y l1∗ . De este modo, si bien el consumo de bienes
sube necesariamente (ya que los efectos sustituci´on y riqueza se refuerzan) el trabajo puede subir o
bajar, dependiendo cual efecto es mayor: si el impacto expansivo del efecto sustituci´on o el impacto
contractivo del efecto riqueza. La Figura 5 muestra un caso donde el efecto riqueza es m´as fuerte
que el efecto sustituci´
on, generando una ca´ıda en el trabajo luego del aumento de la productividad.
En resumen:
• Efecto sustituci´
on: sube el consumo y sube el trabajo (cae el ocio)
• Efecto riqueza: sube el consumo y cae el trabajo (sube el ocio)
11
Figure 5: Efecto de un aumento en la productividad
• Efecto total: sube el consumo y el trabajo puede subir o bajar dependiendo de cual efecto
domina
En el libro de Barro se observa que, en Estados Unidos, desde el per´ıodo de posguerra hasta
1997 las horas trabajadas son estables. Antes del per´ıodo de posguerra se observ´o una ca´ıda grande
en las horas trabajadas. ¿Como podemos racionalizar estas observaciones usando el modelo?
• Interpretamos el desarrollo econ´
omico como una suba continua de la productividad
• Para niveles bajos de productividad: efecto riqueza le gana al efecto sustituci´on generando
una disminuci´
on de las horas trabajadas y un aumento del ocio
• Para niveles mayores de riqueza, los efectos sustituci´on y riqueza se cancelan y las horas
trabajadas no cambian cuando sube la productividad.
Para finalizar esta nota, discutiremos c´omo podemos encontrar anal´ıticamente el punto asociado
con el efecto sustituci´
on (˜
c, ˜l). Este punto tiene que ser tal que:
¯0 , por lo que
1. el nivel de utilidad es U
¯0 = u(˜
U
c, ˜l),
12
(14)
2. en el punto (˜
c, ˜l), la curva de indiferencia es tangente a la funci´on de producci´on Af (l):
uh (˜
c, 1 − ˜l)
= A1 f 0 (˜l)
uc (˜
c, 1 − ˜l)
(15)
Las ecuaciones (14) y (15) forman un sistema de dos ecuaciones en dos inc´ognitas. La soluci´
on
˜
de este sistema es el par de consumo y trabajo c˜ y l. Una vez que tenemos esos valores, podemos
encontrar la constante K notando que c˜ = A1 f (˜l) − K.
Anexo: convexidad de las curvas de indiferencia.
Esta secci´on de las notas no ser´
a evaluada. La incluyo para aquellos interesados en la prueba formal
de la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo los supuestos de que la funci´on de utilidad es
creciente en consumo y ocio, y c´
oncava, podemos probar la convexidad de las curvas de indiferencia
como sigue. Escribamos la condici´
on (10) haciendo expl´ıcito que, sobre la curva de indiferencia, c
es una funci´
on de h :
dc
uh (c (h) , h)
=−
.
dh
uc (c (h) , h)
Derivando ambos lados de esta expresi´
on con respecto a h (usando regla de la cadena y la derivada
de una raz´on de funciones) tenemos:
dc
dc
uhc dh
+ uhh uc − uh ucc dh
+ uch
d2 c
=−
dh2
[uc ]2
Reemplazando
dc
dh
por la expresi´
on (10) encontramos
h
d2 c
dh2
=−
=−
=
h i
i
uhc − uuhc + uhh uc − uh ucc − uuhc + uch
[uc ]2
h
i
2
−uhc uuhc uc + uhh uc − −ucc (uuhc) + uh uch
[uc ]2
uc uhc uh − uhh (uc )2 − ucc u2h + uc uh uch
[uc ]3
.
Por lo que
− uhh u2c + ucc u2h − 2uc uhc uh
d2 c
=
.
dh2
[uc ]3
Notemos que si uhc > 0, el t´ermino
uhh u2c + ucc u2h − 2uh uc uhc < 0
por lo que
d2 c
> 0.
dh2
13
(16)
Este es el caso relevante desde el punto de vista econ´omico: si subo mucho el consumo de bienes es
esperable que tambi´en suba la utilidad marginal de consumir un poco m´as de ocio. Sin embargo
tambi´en podemos probar que si uhc < 0, la condici´on de concavidad (8) va a implicar que la curva
de indiferencia es convexa. Para finalizar la prueba, el supuesto de que la funci´on de utilidad es
c´oncava (esto es, se cumple la condici´
on (8)) implica
(uch )2 < ucc uhh .
De modo que si uhc < 0 tenemos1
0 < −uch <
√
ucc uhh .
Por lo tanto, el t´ermino del numerador de la ecuaci´on (16) (sin el signo negativo) satisface
√
uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc (−uhc ) < uhh (uc )2 + ucc (uh )2 + 2uh uc ucc uhh
2
√
√
= − −uhh uc − −ucc uh < 0.
Esta desigualdad junto con (16) implican
d2 c
>0
dh2
independientemente del signo de uch . Por lo tanto, la curva de indiferencia es convexa.
1
√
√
Esto sale de resolver la desigualdad x2 ≤ M : − M ≤ x ≤ M .
14