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An´
alisis de se˜
nales en geof´ısica
10 de abril de 2015
Trabajo Pr´
actico No 4
Respuesta en frecuencia de sistemas lineales e invariantes
1) Sea hn la respuesta impulsiva de un sistema lineal e invariante. Demuestre que la funci´
on
discreta xn = eiωn , donde ω es la frecuencia angular digital, es una funci´on propia del sistema
lineal y que
H(ω) =
X
hk e−iωk ,
k
es el valor propio asociado. Llamaremos a H(ω) respuesta en frecuencia del sistema. Observe
que H(ω) es una funci´
on continua y peri´
odica, de per´ıodo 2π. H(ω) puede interpretarse
adem´as como la transformada Z de la respuesta impulsiva del sistema H(Z) evaluada en
Z = e−iω , es decir, sobre el c´ırculo unidad.
2) Veremos m´
as adelante que la respuesta en frecuencia es un tipo de transformada de Fourier.
Como tal, su m´
odulo se denomina espectro de amplitud y su fase espectro de fase. Demuestre
que si la respuesta impulsiva hn es real, entonces el espectro de amplitud es par.
Ayuda: Demuestre primero la propiedad herm´ıtica de la respuesta en frecuencia de operadores
reales: H ∗ (ω) = H(−ω).
3) Sea un sistema lineal e invariante cuya respuesta impulsiva hn es de longitud impar N =
2M + 1.
a) Demuestre que si hn es par entonces su respuesta en frecuencia se puede escribir como:
H(ω) = h0 + 2
M
X
hk cos(ωk)
k=1
Nota: Observe que si la respuesta impulsiva adem´as es real, su respuesta en frecuencia
tambi´en ser´
a real, es decir, de fase cero.
b) Demuestre que si hn es impar entonces su respuesta en frecuencia se puede escribir como:
H(ω) = −2 i
M
X
hk sin(ωk)
k=1
4) Para suavizar una de serie de datos se decide utilizar el operador de promedio simple de
tres puntos: yn =
1
3
(xn−1 + xn + xn+1 ). Calcule la respuesta en frecuencia del sistema y
graf´ıquela. Calcule y grafique tambi´en el espectro de amplitud y el espectro de fase. ¿Es el
operador apropiado para suavizar los datos? ¿Qu´e desventajas presenta? Utilice el c´odigo
GNU-OCTAVE provisto en la p´
agina de la materia para controlar los gr´aficos.
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5) Calcule y grafique la respuesta en frecuencia para el operador que usa los mismos 3 puntos que
el del ejercicio anterior pero le asigna diferentes pesos a los datos: yn =
1
4
(xn−1 + 2xn + xn+1 )
¿Es este un operador m´
as apropiado para suavizar sus datos que el del ejercicio anterior?
¿Por qu´e?
6) Vuelva a graficar la respuesta en frecuencia del filtro del problema anterior pero esta vez
h´agalo en funci´
on de la frecuencia angular. Para ello necesitar´a conocer el intervalo de muestreo ∆t. Grafique para ∆t = 12 , 1 y 2. ¿C´omo se comparan estos gr´aficos con los del ejercicio
anterior?
7) Para se˜
nales continuas, la derivada en el dominio de la frecuencia est´a dada por:
F 0 (ω) = i ω F (ω).
Esta operaci´
on debe ser aproximada para se˜
nales discretas utilizando las muestras disponibles. Calcule la respuesta en frecuencia del operador que aplica la diferencia de primer orden
hacia adelante: yt = xt+1 − xt . Realice un desarrollo en serie de Taylor y comp´arela con la
respuesta en frecuencia del diferenciador exacto H(ω) = i ω. Grafique ambos espectros de
amplitud y de fase (utilice el c´
odigo en GNU-OCTAVE provisto en la p´agina de la materia). ¿Para qu´e frecuencias la diferencia de primer orden es una buena aproximaci´on de la derivada?
¿Coincide el espectro de fase con el del diferenciador exacto?
8) Obtenga ahora la respuesta en frecuencia de la diferencia central de primer orden: yt =
1
2 (xt+1 − xt−1 ).
Mediante una expresi´on anal´ıtica a partir de un desarrollo en serie de Taylor,
comp´arela con la respuesta en frecuencia del diferenciador exacto. Grafique ambos espectros
de amplitud. ¿Coincide el espectro de fase con el del diferenciador exacto?
9) Es posible aproximar una ecuaci´
on diferencial como una ecuaci´on de diferencias. Podemos
reemplazar las derivadas por diferencias hacia adelante o hacia atr´as: yn = xn − xn−1 . Sin
embargo, al hacer esto estamos asignando la diferencia a la muestra n cuando en realidad, en
el caso de diferencia hacia atr´
as, deber´ıamos asignarla a la muestra n− 12 , lo cual no es posible.
Los errores generados por el corrimiento se propagan y acumulan generando problemas de
estabilidad en la soluci´
on. Una alternativa para solucionar este problema es la siguiente:
yn− 1 '
2
1
(yn + yn−1 ) = xn − xn−1
2
a) Pruebe que la funci´
on de transferencia de este operador, conocida como transformaci´
on
bilineal, est´
a dada por:
H(Z) = 2
1−Z
.
1+Z
b) ¿C´omo se compara esta transformaci´on bilineal con la transformada Z de la aproximaci´
on
trapezoidal de la integraci´
on calculada en la pr´actica anterior?
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c) Divida el numerador y el denominador de la transformaci´on bilineal por
Z=
e−iω ,
√
Z , sustituya
y demuestre la validez de la siguiente aproximaci´on para las bajas frecuencias:
2
1−Z
ω
= 2 i tan( ) ' iω.
1+Z
2
d) Compare el espectro de amplitud y el espectro de fase de la transformaci´on bilineal con
los espectros correspondientes al diferenciador exacto.
Nota: Una propiedad importante de la transformaci´on bilineal es que preserva la condici´
on
de fase m´ınima. Luego, si una ecuaci´on diferencial estable es convertida en una ecuaci´on de
diferencias usando la transformaci´
on bilineal, la soluci´on tambi´en ser´a estable. Esto muchas
veces no es cierto si utilizamos diferencias hacia adelante o hacia atr´as.
10) Para resumir, grafique el espectro de amplitud en decibeles de la respuesta en frecuencia de
la diferencia de primer orden hacia adelante, de la diferencia central, y de la transformada
bilineal, en todos los casos normalizados por la respuesta en frecuencia del diferenciador
ideal i ω. Controlar los gr´
aficos mediante el c´odigo en GNU-OCTAVE provisto en la p´agina de la
materia. ¿Cu´
ales de estos operadores producen el mismo cambio de fase que el diferenciador
exacto?
Nota: Recordar que si bien el espectro de amplitud de la diferencia de primer orden hacia
adelante se parece m´
as al espectro de amplitud del diferenciador exacto, este es logrado a
expensas de un corrimiento de fase lineal que alcanza los 90◦ cuando ω = π. En cambio, la
transformaci´
on bilineal tiene el comportamiento en fase deseado para todas las frecuencias:
φ(ω) = π/2.
11) Haciendo uso de la expresi´
on dada por el desarrollo en serie de Fourier de cierta funci´on f (t)
de per´ıodo T :
f (t) =
+∞
X
2π
cn ei T
nt
⇔ cn =
n=−∞
1
T
Z
+T /2
2π
f (t)e−i T
nt
dt.
−T /2
y recordando que la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante,
H(ω) =
X
hk e−iωk ,
k
es una funci´
on peri´
odica de per´ıodo 2π, intercambie t ↔ ω, f (t) ↔ H(ω) y n ↔ −k y
demuestre que la respuesta impulsiva del sistema hk se puede obtener a partir de su respuesta
en frecuencia H(ω) mediante:
hk =
1
2π
Z
π
H(ω)eiωk dω.
−π
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Preguntas claves
I) ¿A que funci´
on se le llama funci´on propia de un sistema lineal e invariante? ¿Por qu´e?
¿Cu´al ser´ıa el valor propio? ¿Qu´e nombre recibe este valor propio y c´omo est´a definido?
II) ¿Qu´e diferencia hay entre respuesta en frecuencia y espectro de amplitud?
III) ¿Qu´e es la frecuencia angular digital ω ? ¿Qu´e valores toman las frecuencias de Nyquist y
de muestreo en esta nueva frecuencia?
IV) ¿Qu´e diferencia existe entre graficar la respuesta en frecuencia (o el espectro de amplitud y
el de fase) en funci´
on de la frecuencia angular digital y graficar en funci´on de la frecuencia
angular?
V) Vimos que para respuestas impulsivas reales, el espectro de amplitud es par. Teniendo en
cuenta que la respuesta en frecuencia es peri´odica de per´ıodo 2π, ¿en qu´e intervalo alcanza
conocer el espectro de amplitud para describirlo completamente en estos casos? ¿C´omo se
relaciona esto con la frecuencia de Nyquist?
VI) ¿C´omo se denomina a un operador real y sim´etrico? ¿Qu´e ocurre con su respuesta en
frecuencia?
VII) ¿Podemos decir que un sistema lineal e invariante queda perfectamente definido dando su
respuesta en frecuencia? ¿Por qu´e?
VIII) La respuesta en frecuencia de un diferenciador ideal es iω . ¿Cu´ales son las consecuencias
en el dominio del tiempo de multiplicar la transformada de Fourier de una funci´on por i
y por ω?
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