Institut für Angewandte Mathematik Universität Heidelberg Prof. Ekaterina Kostina 24.04.2015 Übungen Nr. 2 zur Numerik 0 Sommersemester 2015 Aufgabe 1.1: (4 + 2 Punkte) Für n ∈ N und x = 1/n ∈ R betrachten wir die folgenden beiden Verfahren zur Berechnung von ck = cos(kx), k = 0, . . . , n: Algorithmus A: Algorithmus B: c0 := 1, c1 := cos(x) ck+1 := 2c1 ck − ck−1 , k = 1, . . . , n − 1 c0 := 1, d0 := −2 sin2 (x/2) ) ck := ck−1 + dk−1 k = 1, . . . , n dk := 2d0 ck + dk−1 a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (für trigonometrische Funktionen), dass beide Algorithmen das Ergebnis ck = cos(kx) liefern (2 Bonuspunkte). b) Man untersuche die Kondition der Berechnung von ck+1 aus den Größen ck und ck−1 in Abhängigkeit von k und x bei Algorithmus A. Der Wert c1 kann hierbei als störungsfrei angenommen werden. c) Man begründe, warum einer der beiden Algorithmen wesentlich stabiler ist als der andere. Aufgabe 1.2: (4 Punkte) Auf der Gruppe GLn (R) der regulären (n, n)-Matrizen ist die Inversion Inv : GLn (R) → GLn (R) A → Inv(A) = A−1 definiert. Man berechne in erster Näherung den Fehler ∆Inv = (A0 + ∆A)−1 − A−1 0 der Inversion A−1 , den eine Störung ∆A der Ausgangsmatrix A verursacht, also die Rich0 0 tungsableitung von Inv an der Stelle A0 in Richtung ∆A: . ∆Inv = ∂ Inv(A0 )[∆A]. ∂A Hinweis: Für alle A ∈ GLn (R) gilt A · Inv(A) = In , wobei In die Einheitsmatrix ist. Bitte wenden! 1 Aufgabe 1.3: (4 Punkte) a) Man zeige, dass zu beliebiger Vektornorm k · k : Rn → R+ durch die Vorschrift kAk := kAxk x∈Rn , x6=0 kxk sup für A ∈ Rn×n eine verträgliche Matrizennorm gegeben ist. b) Man zeige, dass die Frobeniusnorm kAkF := n X ! 12 a2ij , i,j=1 von keiner Vektornorm induziert sein kann. Hinweis zu a): Zu zeigen sind die Eigenschaften: Norm, Matrizennorm, verträgliche Norm. Aufgabe 1.4 (Praktische Aufgabe): Man schreibe ein Programm zur Berechnung der reellen Lösungen der quadratischen Gleichung p(x) = ax2 + bx + c = 0, zu gegebenen a, b, c ∈ R . Es sollen alle möglichen Fälle der Degenerierung (z.B. a = 0) berücksichtigt und der Einfluss des Rundungsfehlers minimiert werden. Man erprobe das Programm anhand der folgenden Fälle: a: 0 0 0 0 2 2 2 4 1 1 1 −1 −1 −4 −1 −4 −1 −1 2, 5 · 109 b: 0 0 1 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 8 c: 0 1 0 1 0 1 −4 0 −3 1 2 0 −1 2 0 12 −1 −5 2 2 −105 1 Die berechneten Lösungen sollen akzeptiert werden, wenn das heuristische Kriterium p(˜ z) 0 < 10−12 p (˜ z )˜ z erfüllt ist. Hierzu überlege man sich zunächst, dass zu einer einfachen Nullstelle z 6= 0 in erster Näherung die folgende Abschätzung gilt: z˜ − z p(˜ ˙ z) ≤ 0 . z p (z)z (Hinweis: Die Überlegung ist leichter als sie aussieht; Taylor-Entwicklung.) Abgabe: am 29.04. in der Vorlesung, oder am 30.04 um 14 Uhr in Zi. 219, oder 220, URZ (INF 293); die praktischen Aufgaben bis zum 08.05 in den praktischen Übungen 2