Physik / Mechanik Die Kugelschwebe Die Kugelschwebe Aufbau und Durchfu ¨ hrung In einer halbkreisf¨ ormigen Rinne befinden sich eine Metall- und eine Holzkugel gleicher Gr¨osse. Bei einer gleichf¨ormige Drehung der Kugelschwebe um ihre senkrecht stehende L¨angsachse bewegen sich beide Kugeln in der halbkreisf¨ ormigen Rinne in die gleiche H¨ohe. Abbildung 1: Halbkreisf¨ ormige Kunststoffrinne mit zwei Kugeln unterschiedlicher Masse. Bei Drehung steigen beide Kugeln auf die gleiche H¨ ohe, die nur von der Drehzahl abh¨angig ist. • Die Rinne wird in langsame Rotation versetzt. Die Kugeln steigen nicht in der Rinne hoch und bleiben am untersten Punkt liegen. • Die Rinne wird in schnelle Rotation versetzt. Die Kugeln steigen an der gekr¨ ummten Wand empor und bleiben in gleicher H¨ ohe liegen • Die Rotationsfrequenz wird weiter erh¨oht. Bei h¨oherer Rotationsfrequenz vergr¨ossert sich auch die Steigh¨ ohe Theorie Auf der Kugel wirken die Gewichtskraft FG und die Normalkraft FN . Die Resultierende Kraft (i.e. Zentripetalkraft) muss bei der Gleichgewichtslage (gleichf¨ormige Kreisbewegung) horizontal sein. Hat die Kugel ihre Gleichgewichtslage erreicht, so ist das Verh¨altnis von Zentripetalkraft FZ und Gewichtskraft FG gleich dem Tangens des Winkels α, der von der Rotationsachse und der Verbindungsgeraden zwischen Kugelschalenmittelpunkt und Kugel eingeschlossen wird. Es gilt also folgende Beziehung: tan α = tan α = FZ FG m · ω2 · r mg (1) (2) (3) Dividiert man die Gleichung durch die Masse m des K¨orpers und beachtet, dass r = R · sin α ist, so AK 1 Physik / Mechanik Die Kugelschwebe Abbildung 2: Kr¨ aftegleichgewicht bei der Kugelschwebe. erh¨alt man tan α = tan α = ω2 · r g 2 ω · R · sin α g (4) (5) (6) Nun gilt tan α = sin α cos α und folglich ist sin α cos α = ω 2 · R · sin α g (7) (8) Offenbar hat diese Gleichung eine L¨ osung f¨ ur α = 0. Das heisst also, f¨ ur α = 0 ist ω beliebig w¨ahlbar; die Kugel bleibt stets im untersten Punkt liegen. Sei daher α 6= 0 ; dann ist sin α 6= 0 und aus 1 cos α = ω2 · R g α = arccos( (9) g ) ω2 · R (10) Einer Winkelgeschwindigkeit ω ist also gem¨ass vorstehender Gleichung (10) genau ein Winkel α zugeordnet und man erkennt, dass bei wachsendem ω der Winkel α w¨achst, denn die Funktion arccos ist mit cos eine (streng monoton) fallende Funktion. Die Steigh¨ ohe h betr¨ agt h = R − R · cos α = R − AK g ω2 (11) 2 Physik / Mechanik Die Kugelschwebe Diskussion Ferner muss hier beachtet werden, dass arccos nur f¨ ur Werte ≤ 1 definiert ist, d.h. also (10) ist nur definiert f¨ ur g ≤1 · Rr g ω≥ R ω2 (12) (13) q Falls nun ω = Rg , so hat man α = arccos(1) = 0, im Widerspruch zur Voraussetzung α 6= 0. Es q muss also ω > Rg gelten, damit die Kugel in der Rinne steigen kann. F¨ ur den Fall R = 11 cm ergibt sich die Bedingung ω > 9.44 Hz, d.h.qf > 1.5 Hz. Bei Winkelgeschwindigkeit ω ≤ Rg wird die Kugel nicht ausgelenkt. Abbildung 3: Der Graph der Funktion α(ω) ist f¨ ur R = 11 cm wiedergegeben. Hier kann man sehen, dass die Kugel mit steigender Winkelgeschwindigkeit niemals den Winkel α = 90◦ erreichen kann, sich diesem Wert aber mit wachsendem ω immer mehr ann¨ahert. α = 90◦ ist eine Asymptote der Funktion α(ω). AK 3