1. No category

f � (x) = 5 · x4
Merke: (x)� = 1 · x0 = 1
f (x) = x5
(xn )� = n · xn−1
f � (x) = 15x2 + 2x
Beispiel
Quotientenregel
f (x) =
u(x)
v(x)
Kurz: f � =
u� v − uv �
v2
f � (x) = 3x2 (4x5 − 3) + (x3 + 17)20x4 = 32x7 + 340x4 − 9x2
u� (x)v(x) − u(x)v � (x)
v 2 (x)
⇒
Kurz : f � = u� v + uv �
f (x) = u(x) · v(x)
g � (x) = 10(3x + 1)9 · 3 = 30(3x + 1)9
sin x
cos x · (x + 3) − 1 · sin x
⇒ f � (x) =
f (x) =
x+3
(x + 3)2
f � (x) =
�
⇒
f (x) = u (x) · v(x) + u(x) · v � (x)
�
g(x) = (1 + 3x)10
f (x) = (x3 + 17)(4x5 − 3)
Beispiel:
Produktregel
Beispiel:
g � (x) = u� (v(x)) · v � (x)
g(x) = u(v(x))
Kettenregel Man betrachte eine Funktion als Verkettung von zwei Funktionen.
f (x) = 5x3 + x2 + 12
(cxn + xl + a)� = c · n · xn−1 + l · xl−1
Faktorregel, Summenregel
Potenzregel
Differentialrechnung
Beispiel
∂xn
∂xn
Man kann dann das totale Differential als inneres Produkt (Skalarprodukt) von ∇f mit dem
Vektor, welcher die dxi enth¨alt auffassen. Die Frage, wie die sozusagen gesamte Ableitung f �
dieser Funktion aussieht, wird im PDF u
¨ber Differenzierbarkeit aus mathematischer Sicht
beantwortet. F¨
ur Funktionen, welche als Wertebereich die reellen Zahlen haben, stimmt f �
mit ∇f u
¨berein. In h¨ohreren Dimensionen stellt die Funktionalmatrix (auch Jacobimatrix)
so etwas, wie die Ableitung der Funktion dar.
f : Rn → R ; (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) �→ x ∈ R
� � 
� � 
∂f
∂f


dx1
 � ∂x1 � 
 � ∂x1 � 
 ∂f 
 ∂f  
 ∂x2 
 ∂x2   dx2 





... 
∇f =  ... 
df =  ...  • 




 
 ... 
 ...   ... 
� � 
� � 
dxn
∂f
∂f
Ist f eine Funktion mehrerer Variabler in den Bereich der reellen Zahlen R, das heißt
ein Vektor wird auf eine reelle Zahl durch f abgebildet, also z.B. f (x, y, z) = x + y + z , so
kann man folgenden Operator bilden, der Nabla-Operator genannt wird:
f (x, y, t) = xet − 2xy + xt3
∂f
= fy,t = et − 2y + t3
∂x
t
df = (e − 2y + t3 )dx − 2xdy + (xet + 3xt2 )dt
Dann ist das totale Differential von f die Summe aller partiellen Ableitungen.
n
�
∂f
dxi
df =
∂dx
i
i=1
f (x1 , x2 , x3 , ..., xn )
Partielle Ableitung und totales Differential Bei einer Funktion mit mehr als einer Variablen kann eine partielle Ableitung nach einer Variablen gebildet werden. Hierbei werden
alle anderen Variablen als konstant gesehen. Das Zeichen f¨
ur eine partielle Ableitung ist ∂.
Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich der reellen Zahlen, abh¨angig von n Variablen
Es gibt Funktionen, die nur abschnittsweise umgekehrt werden k¨onnen (z.B. f (x) = x2 ),
da in diesen mehrere x-Werte den selben y-Wert besitzen.
x = ey
ln x = y ⇒ f¯(x) = ln x
Finden der Umkehrfunktion Um die Umkehrfunktion f¯(x) zu einer Funktion y = f (x)
zu finden, gibt es zwei m¨ogliche Wege.
Nach x au߬osen, danach die Variablen x und y vertauschen oder umgekehrt.
Finde nun die Umkehrfunktion an einem Beispiel: f (x) = ex , y = ex
�
(x3 − 2x2 + 3x − 7)dx =
x4 2x3 3x2
−
+
− 7x + c
4
3
2
�
2
�
�
u(a)
u(b)
�
�
2x ·
2x ·
�
√
g(u)du
x2 − 5dx =
x2 − 5dx
√
√
�
udu
� 9 �u(b) �
�b
u
(2x + 5)9
u8
du =
=
2
18 u(a)
22
a
f � (x) · g(f (x))dx =
(2x + 5)8 dx =
a
u=x −5⇒
a
b
(2x + 5) dx, u = 2x + 5
8
partielle Integration Die partielle Integration wird zur Integration von Produkten von
Funktionen genutzt. Ohne Herleitung geben wir die Formel an
�
�
[u� (x) · v(x)]dx = u(x) · v(x) + [u(x) · v � (x)]dx
Beispiel
Merke:
du
=2⇒
dx
b
Integration durch Substitution Bei der Integration durch Substitution wird bei verketteten Funktionen eine der Funktionen ersetzt, sodass eine Integration leichter m¨oglich wird.
Beispiel:
�
Beispiel:
Integration von Potenzfunktionen
�
�
xn+1
a · x n = a · xn = a ·
n+1
Regeln f¨
ur das bestimmte Integral
�b
�b
�b
1. a [f (x) + g(x)]dx = a f (x)dx + a g(x)dx
�b
�b
2. Faktorregel a c · f (x)dx = c · a f (x)dx
�c
�b
�b
3. Regel der Intervalladditivit¨at(a < c < b) a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
�a
�b
4. a f (x)dx = − b f (x)dx
Integralrechnung
√
[cos(x)]� = − sin(x) ⇒
�
�
�
�
�
1
dx = ln |x| + c
x
1
x
1
· (cx · ln(cx) − cx) + k
c
ln xdx = x · ln x − x + c
⇒
(ln x� ) =
ln(cx)dx =
Mit der Substitution cx = u
⇒
4. nat¨
urlicher Logarithmus
ex dx = ex + c
f (x) = ax ⇒ f � (x) = ax · ln(a)
�
sin xdx = − cos(x) + c
cos xdx = sin(x) + c
f (x) = ex ⇒ f � (x) = ex ⇒
3. Exponentialfunktionen
f¯(x)2 dx
� ��
1
1
= − 2 = −x−2
x
x
[sin(x)]� = cos(x) ⇒
2. Trigonometrische Funktionen:
Sowie
b
1
1 1
1
x = x 2 ⇒ f � (x) = x− 2 = √
2
2 x
√
�
3
√
2x 2
2 x3
⇒
xdx =
+c=
+c
3
3
f (x) =
1. Potenz- und Wurzelfunktionen
a
a
N¨
utzliches
Vy = π ·
�
Drehvolumina Die Rotationsvolumina um die Koordinatenachsen sind definiert als:
� b
f (x)2 dx
Vx = π ·