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Mod`eles financiers en temps continu
G. Deelstra
ULB
Sommaire
Introduction
1
1
Calcul Stochastique
1
1.1
Martingales en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Equi-int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Les r´esultats de Doob en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1
D´efinitions: Mouvement brownien et processus gaussiens . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Des martingales classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Int´egration d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.1
D´efinition d’une int´egrale d’Itˆo: les deux premiers pas . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.2
Le troisi`eme pas: l’Int´egrale d’Itˆo comme processus . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.3
Le signe d’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.4
Interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’ int´egrale d’Itˆo . . . . . . . . . . . .
13
1.2
1.3
1.4
1.5
Localisation et l’int´egrale d’Itˆo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.1
L’int´egrale d’Itˆo sur L2LOC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.2
Martingales locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.3
Repr´esentation de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Formule d’Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.1
Le cas le plus simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.2
La formule d’Itˆo g´en´erale unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.5.3
Formule d’Itˆo multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
i
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Equations diff´erentielles stochastiques (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.6.1
Existence et Unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Lemme de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.7.1
Cas de l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes g´en´eralis´ee . . . .
31
Th´eor`eme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.8.1
La condition de Novikov et martingales exponentielles . . . . . . . . . . . . . .
34
1.8.2
Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.8.3
La r`egle de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.8.4
Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Les th´eor`emes de repr´esentation comme martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.9.1
Th´eor`emes pour martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.9.2
Th´eor`emes pour des martingales locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Mod`eles en temps continu: Formules de Black et Scholes
39
2.1
Calcul stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1.1
Le mouvement brownien et l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1.2
Processus d’Itˆo et quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Arbitrage et valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2.1
Strat´egie de financement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2.2
Arbitrage et mesure martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2.3
Valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Formule de Black et Scholes: cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3.1
Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3.2
Equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) de Black et Scholes . . . . . . . . . . .
49
2.3.3
Probabilit´e risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.3.4
Calcul explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.5
Commentaires sur la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.3.6
Applications : Autres options dans le mod`ele de Black et Scholes. . . . . . . . .
61
Extensions de la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.4.1
Strat´egies de financement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.4.2
Les variables d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.4.3
EDP de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.4.4
Probabilit´e risque-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.2
2.3
2.4
ii
3
Options exotiques
3.1
Les options a` barri`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Prix de la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H,
pay´e a` la date d’´ech´eance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.1.2
Valeur de la compensation pay´e au moment du franchissement . . . . . . . . . .
79
3.1.3
Valeur d’une down-and-in call. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Autres options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.2.1
Options li´ees au temps d’atteinte d’une barri`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.2
Les options avec temps d’occupation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.2.3
Autres produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.2.4
Produits d´ependant d’une date interm´ediaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.1.1
3.2
4
G´en´eralit´es de mod`eles de taux d’int´erˆet stochastiques
92
4.1
G´en´eralit´es des mod`eles en temps continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.1
D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.2
Changement de num´eraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.1.3
Valorisation d’une option sur obligation a` coupons . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.4
Valorisation d’une option sur z´ero-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2
5
72
Le taux spot connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1
EDP de l’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.2
Le mod`ele de Vasicek (1977). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Le mod`ele de Heath, Jarrow, Morton.
114
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2
Les mouvements de la structure des taux sous P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3
Le mod`ele sous la probabilit´e Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4
Evaluation des actifs contingents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.1
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.2
Principes d’´evaluation sous Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
iii
5.5
5.4.3
Des probabilit´es forward-neutres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.4
Le mod`ele sous une probabilit´e forward-neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Quelques exemples de valorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.1
Options europ´eennes sur z´ero-coupon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.2
Options sur obligation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.3
Contrat forward et future. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5.4
Valorisation des swaps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.6
Swaps / Caps / Floors / Swaptions / Captions sur LIBOR+ Mod`eles de March´es. . . . . . 135
5.7
D´eriv´ees de taux d’´echanges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
R´ef´erences
152
iv
Chapitre 1
Calcul Stochastique
1.1
1.1.1
Martingales en temps continu
Equi-int´egrabilit´e
D´efinition 1.1.1 Une collection C des variables al´eatoires est e´ qui-int´egrable si
ρ (x) = supIE |Z| 1(|Z|>x) → 0 pour x → ∞.
Z∈C
Lemme 1.1.1 [Equi-int´egrabilit´e et convergence en L1 ] Soit (Zn )n une suite e´ qui-int´egrable telle que
p.s.
Zn → Z, alors
IE [|Zn − Z|] → 0
pour n → ∞.
D´emonstration
(*)IE [|Z|] = IE |Z| 1(|Z|≤x) + IE |Z| 1(|Z|>x) ≤ x + lim inf IE |Zn | 1(|Zn |>x) ≤ x + ρ (x)
=⇒ Z ∈ L1 .
(*) |Zn − Z| ≤ |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) + |Zn | 1(|Zn |>x) + |Z| 1(|Zn |>x).
Nous prenons l’esp´erance et e´ tudions les trois termes dans le membre a` droite:
(1) |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) ≤ |Z| + x
=⇒
L1 -int´egrable.
Par le Th´eor`eme de la Convergence Domin´ee (TCD), nous trouvons que:
1
h
i
lim IE |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) = IE lim |Zn − Z| 1(|Zn |≤x) = 0.
n→∞
n→∞
(2) IE |Zn | 1(|Zn |>x) ≤ ρ (x) .
(3) IE |Z| 1(|Zn |>x) ≤ IE [|Z|] .
Par le Th´eor`eme de la Convergence Domin´ee (TCD), nous trouvons que:
lim IE |Z| 1(|Zn |>x) ≤ ρ (x) .
n→∞
En conclusion de (1), (2) et (3):
IE [|Zn − Z|] → 0.
Lemme 1.1.2 [Equi-int´egrabilit´e et esp´erance conditionelle]
p.s.
Soit Zn → Z et soit (Zn )n e´ qui-int´egrable. Alors
L1
IE [Zn |G ] −→ IE [Z |G ] .
IP
D´emonstration
IE [|IE [Zn |G ] − IE [Z |G ]|] ≤ IE [IE [|Zn − Z| |G ]] = IE [|Zn − Z|] → 0.
Conditions d’´equi-int´egrabilit´e
Lemme 1.1.3 [Lemme de la Vall´ee Poussin]
Soit
φ(x)
x
→ ∞ pour x → ∞.
Soit C une collection de variables al´eatoires telles que
IE [φ (|Z|)] ≤ B < ∞
Alors C est e´ qui-int´egrable.
2
∀Z ∈ C
D´emonstration
Supposons x tel que
φ(y)
y
> 0 pour tout y ≥ x. Alors,
i
h
|Z|
1(|Z|>x) ≤
IE |Z| 1|Z|>x = IE φ (|Z|) φ(|Z|)
min
n B
o
φ(y)
,y>x
y
→ 0 pour x → ∞.
1.1.2
Les r´esultats de Doob en temps continu
Un processus continu est tel que t → Xt (ω) est continu pour tout ω ∈ Ω0 ⊂ Ω avec P [Ω0 ] = 1.
D´efinition 1.1.2 [Martingale en temps continu] Un processus (Mt )t≥0 (t ∈ IR) est une martingale
par rapport a` une filtration {Ft }t si pour tout t
1) Mt est Ft -mesurable
2) Mt est int´egrable (donc IE [|Mt |] < ∞)
3) IE [Mt |Fs ] = Ms pour tout s < t.
D´efinition 1.1.3 [Temps d’arrˆet en temps continu] Une variable al´eatoire τ a` valeurs dans IR+ ∪ {∞}
est un temps d’arrˆet par rapport a` la filtration {Ft }t si {τ ≤ t} ∈ Ft pour tout t ≥ 0.
D´efinition 1.1.4 [Processus arrˆet´e] Soit (Yt )t un processus adapt´e a` la filtration {Ft }t et soit τ un
temps d’arrˆet.
Le processus arrˆet´e a` l’instant τ , not´ee par (Ytτ )t ou (Yt∧τ )t est d´efinie par
Ytτ (ω) = Yt∧τ (ω) (ω)
∀t.
D´efinition 1.1.5 Une filtration {Ft } est dite de satisfaire aux conditions usuelles si
(
F0 contient tous les ensembles de probabilit´e 0
∀t ≥ 0 Ft = ∩ Fs (continu a` droite).
s>t
Dans la suite, nous supposons toujours que la filtration satisfait aux conditions usuelles
3
Th´eor`eme 1.1.1 [Th´eor`eme du temps d’arrˆet de Doob en temps continu, Doob’s continuous time
stopping theorem]
Soit (Mt )t une martingale continue par rapport a` la filtration {Ft }.
Soit τ un temps d’arrˆet par rapport a` {Ft } .
Alors le processus Xt = Mt∧τ est une martingale continue par rapport a` {Ft } .
Th´eor`eme 1.1.2 (In´egalit´es maximales de Doob en temps continu) .
Soit (Mt )t une sous-martingale continue non-n´egative et λ > 0.
Alors pour tout p ≥ 1, on a
!
λp IP
sup
Mt > λ
{t:0≤t≤T }
≤ IE MTp
(1.1)
et, si MT ∈ Lp (dIP ) pour un p > 1, alors
p
kMT kp .
sup Mt ≤
{t:0≤t≤T } p−1
p
4
(1.2)
1.2
1.2.1
Le mouvement brownien
D´efinitions: Mouvement brownien et processus gaussiens
D´efinition 1.2.1 (Mouvement brownien) Un processus stochastique {Bt : 0 ≤ t < T } en temps continu est un mouvement brownien standard sur [0, T ) si
(1) B0 = 0.
(2) Les accroissements de Bt sont ind´ependants, c’est-`a-dire que pour tout ensemble fini de dates
0 ≤ t1 < t2 < ... < tn < T, les variables al´eatoires
Bt2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , ..., Btn − Btn−1
sont ind´ependantes.
(3) Pour tout 0 ≤ s < t ≤ T , les accroissements Bt − Bs ont une loi gaussienne de moyenne 0 et
variance t − s.
(4) Bt (ω) est une fonction continue de t pour presque tout ω.
D´efinition 1.2.2 (Processus gaussiens) Si un processus stochastique {Xt : 0 ≤ t < ∞} a la propri´et´e
que le vecteur (Xt1 , Xt2 , ..., Xtn ) a une distribution gaussienne multivari´ee pour toute suite finie 0 ≤
t1 < t2 < ... < tn , alors {Xt } est un processus gaussien.
Exemple
mouvement brownien.
Remarque 1.2.1 Calculons la fonction de covariance d’un mouvement brownien. Pour tout s ≤ t :
cov (Bs , Bt ) = IE [(Bt − Bs + Bs ) Bs ] = IE Bs2 = s
=⇒ cov (Bs , Bt ) = min (s, t)
0 ≤ s, t < ∞.
Lemme 1.2.1 Soit {Xt : 0 ≤ t ≤ T } un processus gaussien avec IE [Xt ] = 0 pour tout 0 ≤ t ≤ T et
soit cov (Xs , Xt ) = min (s, t) pour tout 0 ≤ s, t ≤ T , alors le processus {Xt } a des accroissements
ind´ependants.
De plus, si le processus a des trajectoires continues et X0 = 0, alors {Xt }t est un mouvement brownien
standard sur [0, T ] .
5
1.2.2
Des martingales classiques
Th´eor`eme 1.2.1
1) (Bt )t
2) Bt2 − t
t
3) exp αBt − α2 t/2 t
sont des martingales classiques par rapport a` la filtration brownienne {Ft }t , qui est la famille de soustribus σ (Bs , s ≤ t) compl´et´ee par adjonction des ensembles n´egligeables.
D´emonstration
1) Bt Ft -mesurable,
IE Bt2 = t < ∞,
IE [Bt − Bs |Fs ] = 0 parce que IE [Bt − Bs ] = 0.
2) Bt2 − t Ft -mesurable,
IE Bt2 − t ≤ IE[Bt2 ] + t = 2t,
h
i
IE Bt2 − t |Fs = IE (Bt − Bs )2 − Bs2 + 2Bt Bs − t |Fs
h
i
= IE (Bt−s )2 |Fs − t − Bs2 + 2Bs2
= t − s − t + Bs2 .
3) IE exp αBt − α2 t/2 |Fs
h
i
2
2
= IE exp α (Bt − Bs ) − α2 (t − s) |Fs exp αBs − α2 s
2
2
= IE [exp (αBt−s )] exp − α2 (t − s) exp αBs − α2 s
2
= exp αBs − α2 s .
6
1.3
Int´egration d’Itˆo
1.3.1
D´efinition d’une int´egrale d’Itˆo: les deux premiers pas
Notations
β [0, T ] = Borel sets de [0, T ]
= la plus petite tribu qui contient tous les sous-ensembles ouverts de [0, T ] .
{Ft }t la filtration brownienne standard.
∀t Ft ⊗ β = la plus petite tribu contenant les ensembles produit A × B o`u A ∈ Ft et B ∈ β.
On dit que f (., .) est mesurable si f (., .) est FT ⊗ β-mesurable.
On dit que f (., .) est adapt´e si f (., t) ∈ Ft , ∀t ∈ (0, T ).
But de la section
Le but est de d´efinir:
I (f ) (ω) =
RT
0
f (ω, t) dBt .
Nous allons d’abord nous concentrer sur des int´egrands de la classe H 2 = H 2 [0, T ] avec
n
hR
i
o
T
H 2 [0, T ] = f fonctions mesurables adapt´ees telles que IE 0 f 2 (ω, t) dt < ∞ .
H 2 est un sous-espace ferm´e lin´eaire de L2 (dIP × dt) .
Si f = 1(a,b] avec (a, b] ⊂ [0, T ], alors l’int´egrale est d´efinie par:
Z
b
dBt = Bb − Ba .
I (f ) (ω) =
(1.3)
a
Parce qu’on veut que l’int´egrale soit lin´eaire pour la classe H02 ⊂ H 2 avec
H02 =



n−1
P


fonctions mesurables adapt´ees telles que f (ω, t) =
ai (ω) 1(ti <t≤ti+1 )
,
i=0
2

avec ai ∈ Fti , IE ai < ∞ et 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T
7
(1.4)
on introduit la d´efinition suivante: ∀f ∈ H02 :
I (f ) (ω) =
n−1
X
ai (ω) Bti+1 − Bti .
(1.5)
i=0
Nous allons maintenant e´ tendre la d´efinition pour toutes les fonctions de H 2 .
Pour cette extension, on va d’abord d´emontrer que I : H02 −→ L2 (dIP ) est une application continue.
Lemme 1.3.1 (L’isom´etrie d’Ito sur H02 ) ∀f ∈ H02 , nous avons
kI (f )kL2 (dIP ) = kf kL2 (dIP ×dt) .
D´emonstration
On calcule d’abord kf k2L2 (dIP ×dt) .
Pour f de la forme (1.4), c’est-`a-dire
f (ω, t) =
n−1
P
i=0
ai 1(ti <t≤ti+1 )
avec ai ∈ Fti , IE a2i < ∞ et 0 = t0 < t1 < ... < tn = T ,
on a que
f 2 (ω, t) =
n−1
P
i=0
a2i (ω) 1(ti <t≤ti+1 )
de telle sorte que
IE
hR
T
0
i n−1
P 2
f 2 (ω, t) dt =
IE ai (ti+1 − ti ) .
i=0
Calculons maintenant kI (f )k2L2 (dIP ) :
"
2 # n−1 h
h
i
n−1
2 i
P
P
IE I (f )2 = IE
ai (ω) Bti+1 − Bti
=
IE a2i Bti+1 − Bti
i=0
i=0
8
parce que les produits doubles ont une esp´erance nulle.
Ensuite, puisque Bti+1 − Bti est ind´ependant de ai ∈ Fti , nous concluons que
h
i n−1
P 2
IE ai (ti+1 − ti ) .
IE I (f )2 =
i=0
Lemme 1.3.2 (H02 est dense en H 2 ) Pour toute fonction f ∈ H 2 , il existe une suite {fn } avec fn ∈ H02
telle que
kf − fn kL2 (dIP ×dt) −→ 0 pour n −→ ∞.
Cons´equences
Pour tout f ∈ H 2 , il existe une suite {fn } ⊂ H02 telle que fn converge vers f dans L2 (dIP × dt) .
Pour tout n, les int´egrales I (fn ) sont des e´ l´ements bien-d´efinis dans L2 (dIP ) donn´es par (1.5).
L’id´ee est de d´efinir I (f ) comme la limite de la suite I (fn )n dans L2 (dIP )
I (f ) = lim (I (fn ))
n→∞
o`u I (f ) ∈ L2 (dIP ) et la convergence est telle que
kI (f ) − I (fn )kL2 (dIP ) → 0.
Nous allons maintenant v´erifier si ceci est une bonne d´efinition:
* kf − fn kL2 (dIP ×dt) → 0 implique que (I (fn ))n converge dans L2 (dIP ) :
En effet, d’abord la convergence de f − fn a` 0 dans L2 (dIP × dt) nous dit que {fn } est une suite de
Cauchy dans L2 (dIP × dt) . Apr`es, l’isom´etrie d’Itˆo nous dit que {I (fn )} est une suite de Cauchy dans
L2 (dIP ) .
Parce que L2 (dIP ) est un espace m´etrique complet, la suite de Cauchy (I (fn ))n converge vers un
e´ l´ement de L2 (dIP ), que nous notons I(f ).
* Est-ce qu’I est bien d´efinie dans le sens que: si (fn0 )n est une autre suite telle que
9
kf − fn0 kL2 (dIP ×dt) → 0,
est-ce qu’I (fn0 ) poss`ede alors la mˆeme limite dans L2 (dIP ) que I (fn )?
La r´eponse est oui parce que kfn − fn0 kL2 (dIP ×dt) → 0 grˆace a` l’in´egalit´e triangulaire, et l’isom´etrie
d’Itˆo implique que
kI (fn ) − I (fn0 )kL2 (dIP ) → 0.
Th´eor`eme 1.3.1 (Isom´etrie d’Itˆo sur H 2 [0, T ]) Pour f ∈ H 2 [0, T ], on a que
kI (f )kL2 (dIP ) = kf kL2 (dIP ×dt) .
D´emonstration
D’abord, on choisit (fn )n ∈ H02 telles que
kfn − f kL2 (dIP ×dt) → 0
pour n → ∞.
L’in´egalit´e triangulaire pour la norme de L2 (dIP × dt) nous dit que
kfn kL2 (dIP ×dt) → kf kL2 (dIP ×dt) .
L2 (dIP )
De fac¸on analogue, puisque (I (fn ))n −→ I (f ), l’in´egalit´e triangulaire implique que
kI (fn )kL2 (dIP ) → kI (f )kL2 (dIP ) .
Mais on sait que sur H02 :
kI (fn )kL2 (dIP ) = kfn kL2 (dIP ×dt) ,
donc l’unicit´e de la limite compl`ete la d´emonstration.
RT
Rappelons-nous la notation I(f ) = 0 f (ω, u)dBu .
10
1.3.2
Le troisi`eme pas: l’Int´egrale d’Itˆo comme processus
I : H 2 → L2 (dIP ) e´ tait int´eressant et pratique mais on a en fait besoin d’une application qui envoie un
processus vers un processus.
On va introduire une variable de temps. On utilise pour ceci une fonction de troncature mt ∈ H 2 [0, T ]
d´efini par:
mt (ω, s) =



si s ∈ [0, t]
sinon.
1
0
Pour f ∈ H 2 [0, T ] , le produit mt f ∈ H 2 [0, T ]
de L2 (dIP ) .
∀t ∈ [0, T ], donc I (mt f ) est un e´ l´ement bien-d´efini
Maintenant, on va construire la martingale continue Xt telle que ∀t ∈ [0, T ], on a
IP (Xt = I (mt f )) = 1.
Le processus {Xt , t ∈ [0, T ]} est la version de l’int´egrale d’Itˆo comme processus.
Th´eor`eme 1.3.2 (Int´egrales d’Itˆo comme martingales) Pour tout f ∈ H 2 [0, T ], il existe un processus
{Xt , t ∈ [0, T ]} qui est une martingale continue par rapport a` la filtration brownienne standard (Ft )t
telle que l’´ev´enement
{ω : Xt (ω) = I (mt f ) (ω)}
a une probabilit´e 1 pour tout t ∈ [0, T ] .
1.3.3
Le signe d’int´egrale
Pour tout f ∈ H 2 [0, T ] et si {Xt : 0 ≤ t ≤ T } est une martingale continue telle que
IP [Xt = I (mt f )] = 1 pour tout 0 ≤ t ≤ T ,
on e´ crit:
11
Xt (ω) =
Rt
0
Rt
0
∀0≤t≤T
f (ω, s) dBs
f (ω, s) dBs est une notation pour ce qui est bien d´efini dans le membre de gauche.
Mais la notation n’est pas mal choisie parce que
f∈
H2
R
t
0 f
=⇒ IE
(ω, s) dBs
2 = IE
hR
t 2
0 f (ω, s) ds
i
∀t ∈ [0, T ] .
Et en plus:
Proposition 1.3.1 Pour tout b ∈ H 2 et pour tout 0 ≤ s ≤ t, on a que
"Z
IE
#
2
t
b (ω, u) dBu
|Fs
Z
t
2
b (ω, u) du |Fs .
= IE
(1.6)
s
s
D´emonstration
L’´egalit´e (1.6) est e´ quivalente a` ∀A ∈ Fs :
2 h R
i
Rt
t
IE 1A s b (ω, u) dBu
= IE 1A s b2 (ω, u) du .
Ceci est vrai par le Th´eor`eme 1.3.1 pour l’int´egrand modifi´e:
∧
b (ω, u) =



0
1A b (ω, u)
u ∈ [0, s) ∪ (t, T ]
u ∈ [s, t]
12
1.3.4
Interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’ int´egrale d’Itˆo
Th´eor`eme 1.3.3 (interpr´etation trajectoire par trajectoire de l’int´egrale d’Itˆo sur H 2 ) Si f ∈ H 2
est born´ee et si ν est un temps d’arrˆet tel que f (ω, s) = 0 pour presque tout ω ∈ {ω : s ≤ ν},
alors
Xt (ω) =
Rt
0
f (ω, s) dBs = 0
pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} .
Th´eor`eme 1.3.4 (Persistance de l’identit´e sur H 2 ) Si f et g ∈ H 2 et si ν est un temps d’arrˆet tel que
f (ω, s) = g (ω, s) pour presque tout ω ∈ {ω : s ≤ ν},
alors les int´egrales
Xt (ω) =
Rt
0
f (ω, s) dBs et Yt (ω) =
sont e´ gales pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} .
13
Rt
0
g (ω, s) dBs
1.4
Localisation et l’int´egrale d’Itˆo
Soit f : IR → IR une fonction continue, alors
RT
0
f (Bt ) dBt
devrait exister. Jusqu’`a maintenant elle est d´efinie pour des int´egrands qui satisfont
IE
hR
T
0
i
f 2 (Bt ) dt < ∞.
=⇒ On va encore e´ largir le domaine de l’int´egrale stochastique en utilisant la m´ethode de localisation.
1.4.1
L’int´egrale d’Itˆo sur L2LOC
L2LOC = L2LOC [0, T ] est la classe des fonctions mesurables, adapt´ees f : Ω × [0, T ] → IR telles que
IP
hR
T
0
i
f 2 (ω, t) dt < ∞ = 1.
Donc, ∀g : IR → IR continue, on a que f (ω, t) = g (Bt ) ∈ L2LOC parce que la continuit´e du mouvement
brownien implique que ∀ω :
t 7−→ g (Bt (ω))
est une fonction born´ee sur [0, T ] .
D´efinition 1.4.1 Une suite croissante de temps d’arrˆet (νn )n est appel´ee une suite de localisation en
H 2 [0, T ] pour f pourvu que
fn (ω, t) = f (ω, t) 1(t≤νn ) ∈ H 2 [0, T ]
et que
IP
h
∞
i
∪ {ω, νn = T } = 1.
n=1
14
∀n
L’espace L2LOC est le domain naturel pour l’int´egrale d’Itˆo parce que chaque f ∈ L2LOC a une suite de
localisation.
Proposition 1.4.1 (Localisation en L2LOC ) Pour tout f ∈ L2LOC [0, T ], la suite d´efinie par
Rs
νn = inf s : 0 f 2 (ω, t) dt ≥ n ou s ≥ T
est une suite de localisation en H 2 [0, T ] pour f .
D´emonstration
On a que
∞
n R
o
T
∪ {ω, νn = T } = ω : 0 f 2 (ω, t) dt < ∞
n=1
et pour f ∈ L2LOC :
i
h R
T
IP ω : 0 f 2 (ω, t) dt < ∞ = 1.
De plus, par d´efinition de νn , on a que
kfn k2L2 (dIP ×dt) ≤ n,
pour
fn (ω, t) = f (ω, t) 1(t≤νn )
donc fn ∈ H 2
∀n.
“The L2LOC extension in a nutshell”
Pour chaque f ∈ L2LOC : ∃ {νn } une suite de localisation de f .
On prend gn (ω, s) = f (ω, s) 1(s≤νn (ω)) et ∀n, on prend pour {Xt,n } la martingale continue unique sur
[0, T ] qui est une version de l’int´egrale d’Itˆo I (mt gn ) .
On d´efinira l’int´egrale d’Itˆo de f ∈ L2LOC [0, T ] comme le processus donn´e par la limite des processus {Xt,n } pour n → ∞. En particulier, on d´emontre qu’il existe un processus continu unique
{Xt : 0 ≤ t ≤ T } tel que
15
IP Xt = lim Xt,n = 1 pour tout t ∈ [0, T ] .
n→∞
Pour f ∈ L2LOC on d´efinit l’int´egrale d’Itˆo, not´ee
Rt
0
Rt
0
f (ω, s) dBs , par cette limite X(t):
f (ω, s) dBs ≡ Xt (ω)
∀t ∈ [0, T ] .
Persistance de l’identit´e en L2LOC
Proposition 1.4.2 Soient f et g des e´ l´ements de L2LOC et soit ν un temps d’arrˆet tel que f (ω, s) =
g (ω, s) pour tout ω ∈ {0 ≤ s ≤ ν} .
Alors, les int´egrales
Xt (ω) =
Rt
0
f (ω, s) dBs et Yt (ω) =
sont e´ gales pour presque tout ω ∈ {ω : t ≤ ν} .
16
Rt
0
g (ω, s) dBs
1.4.2
Martingales locales.
D´efinition 1.4.2 (Martingale locale) Soit {Mt } un processus adapt´e a` la filtration {Ft }t pour tout 0 ≤
t ≤ T. Alors {Mt , 0 ≤ t ≤ T } est appel´e une martingale locale s’il existe une suite croissante {τk } de
temps d’arrˆet telle que τk → T avec probabilit´e 1 pour k → ∞ et telle que ∀k, le processus d´efini par
(k)
Mt
= Mt∧τk − M0 pour t ∈ [0, T ]
est une martingale par rapport a` la filtration {Ft }0≤t≤T .
Proposition 1.4.3 (Les int´egrales d’Itˆo sur L2LOC sont des martingales locales) ∀f ∈ L2LOC [0, T ], il
existe une martingale locale continue Xt telle que
Rt
IP Xt (ω) = 0 f (ω, s) dBs = 1.
En plus, on peut prendre pour la suite de localisation
o
n R
t
τn (ω) = inf t : 0 f 2 (ω, s) ds ≥ n ou t ≥ T .
D´emonstration
Ceci r´esulte de la construction de l’int´egrale d’Itˆo en remarquant que fk (ω, s) = f (ω, s)1(s≤τk ) ∈ H 2 .
17
Proposition 1.4.4 (Doob’s optimal stopping time theorem) Soit Xt une martingale locale continue et
τ un temps d’arrˆet. Alors Yt = Xt∧τ est une martingale locale continue.
D´emonstration
Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que X0 = 0.
Par hypoth`ese, il existe une suite croissante de temps d’arrˆet τk avec τk → T p.s. telle que Xt∧τk est une
martingale pour tout k.
Alors
Yt∧τk = X(t∧τ )∧τk = X(t∧τk )∧τ
et parce que (Xt∧τk )0≤t<∞ est une vraie martingale, le th´eor`eme des temps d’arrˆet nous dit que
X(t∧τk )∧τ : 0 ≤ t < ∞
est aussi une martingale.
Par cons´equent, {Yt∧τk ; 0 ≤ t < ∞} est une martingale pour tout k, et puisque τk est une suite croissante
de temps d’arrˆet avec τk → T p.s., on voit que Yt = Xt∧τ est une martingale locale.
Proposition 1.4.5 Soit Xt une martingale locale continue et B une constante telle que |Xt | ≤ B pour
tout t ≥ 0.
Alors Xt est une martingale.
D´emonstration
Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer que X0 = 0.
Il existe une suite (non-d´e)croissante de temps d’arrˆet telle que Xt∧τk est une martingale ∀k et telle que
{τk } ↑ T.
∀s ≤ t : IE [Xt∧τk |Fs ] = Xs∧τk .
Parce que τk → T p.s., on a que Xs∧τk → Xs et Xt∧τk → Xt p.s.
Parce que |Xt∧τk | ≤ B < ∞
la convergence domin´ee.
∀k, on peut passer a` la limite des deux cˆot´es et appliquer le th´eor`eme de
18
Proposition 1.4.6 Toute martingale locale continue {Xt : 0 ≤ t ≤ T } non-n´egative avec IE [|X0 |] <
∞, est une sur-martingale, et si IE [XT ] = IE [X0 ], alors {Xt , 0 ≤ t ≤ T } est une martingale.
D´emonstration
Soit {τn } une suite de localisation. Alors
Xs∧τn = IE [Xt∧τn |Fs ]
∀0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Par le lemme de Fatou pour n → ∞ :
Xs ≥ IE [Xt |Fs ]
∀0 ≤ s ≤ t ≤ T
et par cons´equent {Xt }0≤t≤T est une sur-martingale.
Si on prend des esp´erances, on trouve que
IE [Xs ] ≥ IE [Xt ] pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Donc en particulier
IE [X0 ] ≥ IE [Xs ] ≥ IE [Xt ] ≥ IE [XT ]
∀0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Si IE [X0 ] = IE [XT ], on a e´ galit´e partout.
Si maintenant Xs > IE [Xt |Fs ] sur un ensemble de probabilit´e > 0, alors IE [Xs ] > E [Xt ] .
Donc n´ecessairement p.s.
Xs = IE [Xt |Fs ] pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
19
1.4.3
Repr´esentation de Riemann
Th´eor`eme 1.4.1 Pour toute f : IR → IR continue, si on prend la partition de [0, T ] donn´ee par ti = i Tn
avec 0 ≤ i ≤ n, on a que
lim
n→∞
n
X
f Bti−1
Z
Bti − Bti−1 =
T
f (Bs ) dBs
(1.7)
0
i=1
o`u la limite est prise au sens de la convergence en probabilit´e.
Proposition 1.4.7 (Int´egrales gaussiennes) Soit f ∈ C[0, T ], alors le processus d´efini par
Z
t
f (s)dBs pour tout t ∈ [0, T ]
Xt =
0
est un processus gaussien de moyenne z´ero avec des incr´ements ind´ependants et avec comme fonction de
covariance
Z
s∧t
f 2 (u)du.
cov(Xs , Xt ) =
0
∗
De plus, si nous consid´erons la partition de [0, T ] donn´ee par ti = iT
n pour 0 ≤ i ≤ n et ti ∈ [ti−1 , ti ],
alors
Z T
n
X
∗
f (s)dBs ,
lim
f (ti ) Bti − Bti−1 =
n→∞
0
i=1
o`u la limite est au sense de la convergence en probabilit´e.
20
1.5
1.5.1
Formule d’Itˆo
Le cas le plus simple
Th´eor`eme 1.5.1 (Le cas le plus simple) Soit f : IR → IR
t
Z
∈ C 2 (IR, IR), alors p.s. ∀t ∈ [0, T ]
1
f (Bs ) dBs +
2
Z
1) Supposons d’abord que f est a` support compact. Pour ti =
it
n
f (Bt ) = f (0) +
0
0
t
f 00 (Bs ) ds.
(1.8)
0
D´emonstration
f (Bt ) − f (0) =
n P
pour 0 ≤ i ≤ n, nous consid´erons
f (Bti ) − f Bti−1
i=1
telle que f (Bti )−f Bti−1 suffisamment petit pour appliquer une approximation de Taylor par 2 termes.
Si f ∈ C 2 est a` support compact, alors ∀x, y ∈ IR :
f (y) − f (x) = (y − x) f 0 (x) + 12 (y − x)2 f 00 (x) + r (x, y)
o`u
|r (x, y)| ≤ (y − x)2 h (x, y)
∀x.
o`u h est uniform´ement continue, born´ee et h (x, x) = 0
Alors:
f (Bt ) − f (0) = An + Bn + Cn
avec
An =
Bn =
|Cn | ≤
1
2
n
P
f 0 Bti−1
i=1
n
P
i=1
n
P
f 00 Bti−1
Bti − Bti−1
i=1
21
Bti − Bti−1
Bti − Bti−1
2
2
h Bti−1 , Bti .
Parce que f 0 est continue, la repr´esentation de Riemann implique que
IP
An →
Nous reformulons Bn =
Bn =
n
1 P 00
f
2
i=1
n
1 P 00
f
2
i=1
Bti−1
Rt
0
f 0 (Bs ) dBs .
Bti − Bti−1
2
comme somme centr´ee
o
n
n
2
P
Bti−1 (ti − ti−1 ) + 12 f 00 Bti−1
Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 ) .
i=1
Grˆace a` la continuit´e de f 00 (Bs (ω)) en s, le premier terme converge vers une int´egrale ordinaire pour
tout ω
lim
n
P
Rt
f 00 Bti−1 (ti − ti−1 ) = 0 f 00 (Bs ) ds.
n→∞i=1
∧
D´esignons le deuxi`eme terme par B n , alors par l’orthogonalit´e des termes:
2
n
o2 ∧
2 n
2
1X
IE f 00 Bti−1
Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 )
IE B n =
4
i=1
n
n
o2 2
1 2 X
IE
Bti − Bti−1 − (ti − ti−1 )
≤ f 00 ∞
4
i=1
t2 f 00 2
=
∞
2n
o`u nous avons utilis´e le fait que Bti − Bti−1 v N (0, t/n) .
Donc
V ar
∧
Bti − Bti−1
2 =
2t2
.
n2
IP
Par l’in´egalit´e de Markov, il est clair que B n → 0 parce que
2
∧
IE B n ≤
t2
2n
22
kf 00 k2∞ .
n
P
Concentrons-nous maintenant sur |Cn | ≤
Bti − Bti−1
2
h Bti−1 , Bti .
i=1
L’in´egalit´e de Cauchy implique que:
IE [|Cn |] ≤
n
P
h
Bti − Bti−1
IE
h
IE
4 i1/2
1/2
IE h2 Bti−1 , Bti
i=1
et on remarque que
a) Bti − Bti−1 v N (0, t/n) et donc:
b) que h (x, x) = 0
Bti − Bti−1
4 i
=
3t2
.
n2
∀x et que h est uniform´ement continue, et donc ∀ε > 0 ∃ δ = δ (ε)
tel que |h (x, y)| ≤ ε pour tout x, y avec |x − y| ≤ δ.
Donc
IE h2 Bti−1 , Bti ≤ ε2 + khk2∞ IP Bti − Bti−1 ≥ δ
h
2 i
≤ ε2 + khk2∞ δ −2 IE Bti − Bti−1 t
= ε2 + khk2∞ δ −2 .
n
Les r´esultats a) et b) impliquent que
IE [|Cn |] ≤ n
3t2
n2
1/2 ε2 + khk2∞ δ −2 nt
Donc ∀ε > 0,
lim IE [|Cn |] ≤
√
n→∞
et par cons´equent:
IE [|Cn |] → 0
et par l’in´egalit´e de Markov:
23
3tε
1/2
IP
Cn → 0.
Choississons maintenant des sous-suites Anj , Bnj et Cnj qui convergent presque sˆurement. Alors (1.8)
est satisfait presque sˆurement pour chaque t.
Si on consid`ere tous les rationnels et si on observe que le membre de gauche et celui de droite de (1.8) sont
continus, on conclut qu’il existe un Ω0 avec IP (Ω0 ) = 1 sur lequel (1.8) est vraie pour tous les t ∈ [0, T ].
2) Traitons maintenant le cas g´en´eral:
Nous rappelons que pour tout f ∈ C 2 (IR), il existe fM ∈ C 2 a` support compact tel que
0 (x) et f 00 (x) = f 00 (x)
f (x) = fM (x), f 0 (x) = fM
M
pour tout |x| ≤ M.
On sait que
fM (Bt ) − fM (0) =
Rt
0
0 fM (Bs ) dBs +
1
2
Rt
00 (B ) ds
fM
s
0
p.s..
Prenons τM = min {t : |Bt | ≥ M ou t ≥ T } . Alors pour tout ω ∈ {s ≤ τM }, on a que
0 (B )
f 0 (Bs ) = fM
s
et par la persistance de l’identit´e en L2LOC , on a que
Rt
0
f 0 (Bs ) dBs =
Rt
0
0 (B ) dB pour p.t. ω ∈ {t ≤ τ } .
fM
s
s
M
Il est e´ vident que pour ω ∈ {t ≤ τM }, on a
Rt
0
f 00 (Bs ) ds =
Rt
0
00
fM (Bs ) ds
et
f (Bt ) = fM (Bt )
Donc pour p.t. ω ∈ {t ≤ τM } :
Z
f (Bt ) − f (0) =
t
f 0 (Bs ) dBs +
0
1
2
Z
t
f 00 (Bs ) ds
Parce que τM → T avec une probabilit´e 1 pour M → ∞, (1.9) est v´erifi´e avec probabilit´e une.
Exemple
f (Bs ) = Bs →
Rt
0
Bs dBs = 12 Bt2 − t/2.
24
(1.9)
0
Th´eor`eme 1.5.2 (Formule d’Itˆo avec variables de temps et d’espace) Pour toute fonction f ∈ C 1,2 (IR+ × IR),
on a la repr´esentation
f (t, Bt ) = f (0, 0) +
Rt
∂f
0 ∂x
(s, Bs ) dBs +
Rt
∂f
0 ∂t
(s, Bs ) ds +
1
2
∂2f
0 ∂x2
Rt
(s, Bs ) ds p.s.
D´emonstration
Par le mˆeme argument de localisation, on peut travailler sans perte de g´en´eralit´e avec f a` support compact
en IR+ × IR.
Maintenant, on utilise le d´eveloppement de Taylor de f (t, y) autour du point (s, x) :
2
∂f
1
f (t, y) − f (s, x) = (t − s) ∂f
∂t (s, x) + (y − x) ∂x (s, x) + 2 (y − x)
∂2
f
∂x2
(s, x) + r (s, t, x, y)
avec
|r (s, t, x, y)| ≤ (y − x)2 h (x, y, s, t) + (t − s) k (x, y, s, t)
o`u h et k sont des fonctions born´ees et uniform´ement continues qui sont nulles quand x = y et s = t.
On applique ce d´eveloppement de Taylor aux sommes t´el´escopantes de f (t, Bt ) − f (0, 0) . On obtient
alors 4 termes dont un terme qui converge vers z´ero en esp´erances et 3 termes vers les int´egrales de
l’´enonc´e.
Les e´ tapes finales sont comme dans la d´emonstration du Th´eor`eme 1.5.1.
1.5.2
La formule d’Itˆo g´en´erale unidimensionnelle
D´efinition 1.5.1 On appelle un processus {Xt : 0 ≤ t ≤ T } un processus d’Itˆo si {Xt }t a la repr´esentation
int´egrale:
Xt = x0 +
Rt
0
a (ω, s) ds +
Rt
0
b (ω, s) dBs pour 0 ≤ t ≤ T,
et o`u a (., .) et b (., .) sont des processus adapt´es, mesurables qui satisfont aux conditions d’int´egrabilit´e
suivantes:
IP
hR
T
0
i
hR
i
T
|a (ω, s)| ds < ∞ = 1, IP 0 |b (ω, s)|2 ds < ∞ = 1.
25
De plus, on d´efinit l’int´egrale
Z
Rt
0
f (ω, s)dXs par
t
Z
f (ω, s)dXs =
0
t
Z
f (ω, s)a(ω, s)ds +
0
t
f (ω, s)b(ω, s)dBs
0
pourvu que f (ω, s) est adapt´ee et f (ω, s)a(ω, s) ∈ L1 (dt) avec probabilit´e 1 et f (ω, s)b(ω, s) ∈ L2LOC .
Th´eor`eme 1.5.3 (Formule d’Itˆo pour un processus d’Itˆo)
Soit f ∈ C 1,2 (IR+ × IR) et {Xt , t ∈ [0, T ]} un processus d’Itˆo avec repr´esentation
Xt =
Rt
0 a (ω, s) ds +
Rt
0
b (ω, s) dBs
0 ≤ t ≤ T,
alors on a pour Yt = f (t, Xt ) que
Yt = f (t, Xt ) = f (0, 0) +
Rt
∂f
0 ∂t
(s, Xs ) ds +
Rt
∂f
0 ∂x
(s, Xs ) dXS +
1
2
∂2f
0 ∂x2
Rt
(s, Xs ) b2 (ω, s) ds p.s.
Traduction avec Box Algebra:
dYt = ft (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) dXt + 12 fxx (t, Xt ) dXt · dXt .
avec
dXt · dXt = (a (ω, t) dt + b (ω, t) dBt ) · (a (ω, t) dt + b (ω, t) dBt )
= a (ω, t)2 dt · dt + 2a (ω, t) b (ω, t) dBt · dt + b (ω, t)2 dBt · dBt
= b (ω, t)2 dt
parce que
Box Algebra:
Table de Multiplication
·
dt
dBt
dt
dBt
0
0
0
dt
26
1.5.3
Formule d’Itˆo multidimensionnelle
Th´eor`eme 1.5.4 (Formule d’Itˆo pour 2 processus d’Itˆo)
Soit f ∈ C 1,2,2 (IR+ × IR + IR) et {Xt , t ∈ [0, T ]} et {Yt , t ∈ [0, T ]} des processus d’Itˆo avec repr´esentation
Xt =
Rt
0 a (ω, s) ds +
Rt
0
b (ω, s) dBs
et
Yt =
Rt
0
α (ω, s) ds +
Rt
0
β (ω, s) dBs .
Alors
Z t
Z t
∂f
∂f
Zt = f (t, Xt, Yt ) = f (0, 0, 0) +
(s, Xs , Ys ) ds +
(s, Xs , Ys ) dXs
0 ∂t
0 ∂x
Z t
Z
∂f
1 t ∂2f
+
(s, Xs , Ys ) dYs +
(s, Xs , Ys ) b2 (ω, s) ds
2 0 ∂x2
0 ∂y
Z
Z t 2
∂ f
1 t ∂2f
+
(s, Xs , Ys ) b (ω, s) β (ω, s) ds +
(s, Xs , Ys ) β 2 (ω, s) ds p.s..
2
∂x∂y
2
∂y
0
0
Traduit avec box Algebra




dZt = ft (t, Xt , Yt ) dt + fx (t, Xt , Yt ) dXt + fy (t, Xt , Yt ) dYt
+ 12 fxx (t, Xt , Yt ) dXt · dXt
+fxy (t, Xt , Yt ) dXt · dYt
+ 21 fyy (t, Xt , Yt ) dYt · dYt .
On peut g´en´eraliser avec Bt1 et Bt2 avec corr dBt1 , dBt2 = ρt dt:
·
dt
dB1t
dB2t
dt
dB1t
dB2t
0
0
0
0
dt
ρt dt
0
ρt dt
dt
27
Processus multidimensionnel
Soit S ∗ un processus d’Itˆo d-dimensionnel:
dS ∗ (t) = µ (t) dt + σ (t)dB (t)
avec S ∗ = S 1 , ..., S d
T
, B = B 1 , ..., B k
T
, µ = µ1 , ..., µd
T
et σ = σ i,j de dimension d × k.
Donc pour 0 ≤ i ≤ d:
dS i (t) = µi (t) dt + σ i (t) dB (t)
o`u
σ i = σ i,1 , ..., σ i,k
et o`u
k
P
σ i (s) dBs =
σ i,j (s) dB j (s) .
j=1
On suppose que
∀ (i, j) µi est un processus adapt´e et σ i,j est un processus adapt´e tels que
T
Z
i
Z
| µ (t) | dt < ∞
p.s.;
0
T
| σ i,j (t) |2 dt < ∞
0
Lemme d’Itˆo multidimensionnel
Soit X = X 1 , ..., X d
T
un processus d’Itˆo multidimensionnel:
dXt = µt dt + σt dBt
o`u µt est un processus Ft -adapt´e, µt : Ω −→ IRd
σt est une matrice al´eatoire (d × k) adapt´ee,
Bt un mouvement brownien de dimension k,
µ, σ processus verifiant (1.10).
28
p.s.
(1.10)
Lemme 1.5.1 Soit f ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd ; IR .
On note
∂f
(t, x) , ..., ∂x
(t,
x)
le vecteur ligne
d
2
fxx (t, x) la matrice ∂xi∂,∂xj f (t, x)
et ft (t, x) = ∂f
∂t (t, x) .
fx (t, x) =
∂f
∂x1
i,j
Soit Yt = f (t, Xt ),
alors
dYt = ft (t, Xt ) + fx (t, Xt ) µt + 12 tr σt σtT fxx (t, Xt )
dt + fx (t, Xt ) σt dBt
o`u pour une matrice carr´ee (Ai,j )i,j on note trA =
d
P
Ai,i (la somme des e´ l´ements diagonaux).
i=1
29
1.6
1.6.1
Equations diff´erentielles stochastiques (EDS)
Existence et Unicit´e
Th´eor`eme 1.6.1 (Existence et unicit´e)
Supposons que les coefficients de l’EDS
dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt
(1.11)
avec X0 = x0 et 0 ≤ t ≤ T satisfont a` une condition de Lipschitz pour la variable d’espace:
|µ(t, x) − µ(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ K|x − y|2
(1.12)
et a` une condition de croissance pour la variable d’espace:
|µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2 ),
(1.13)
alors il existe une solution continue adapt´ee Xt de l’´equation (2.2) qui est uniform´ement born´ee dans
L2 (dIP ):
sup IE Xt2 < ∞.
0≤t≤T
De plus, soient Xt et Yt deux solutions continues born´ees dans L2 de (2.2), alors:
IP [Xt = Yt pour tout t ∈ [0, T ]] = 1.
30
1.7
1.7.1
Lemme de Feynman-Kac
Cas de l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes g´en´eralis´ee
Consid´erons les solutions de
dSt = µ (t, St ) dt + σ (t, St ) dBt , S0 = x > 0
dβt = r (t, St ) βt dt
avec β0 > 0 et r (t, St ) non-n´egative.
Supposons que (un instrument financier avec valeur a` la date T ) Z = h (ST ) et que (le prix) C (t, St ) a`
l’instant t satisfait a`
ut (t, x) = − 21 σ 2 (t, x) uxx (t, x) − r (t, x) xux (t, x) + r (t, x) u (t, x)
u (T, x) = h (x) ,
x ∈ IR.
x ∈ IR, t ∈ [0, T ),
(1.14)
Supposons r (t, x) et h(x) born´ees, que µ (t, x) et σ (t, x) satisfont a` des conditions de Lipschitz:
(µ (t, x) − µ (t, y))2 + (σ (t, x) − σ (t, y))2 ≤ A (x − y)2
et a` la condition
µ2 (t, x) + σ 2 (t, x) ≤ B 1 + x2 ,
et que r (t, x) x satisfait a` une condition de Lipschitz:
(r (t, x) x − r (t, y) y)2 ≤ C (x − y)2 ,
avec A, B et C des constantes.
31
Th´eor`eme 1.7.1 Soit u (t, x) ∈ C 1,2 [0, T ] la solution unique born´ee du probl`eme (1.14). Alors u (t, x)
a la repr´esentation
h R
i
T
u (t, x) = IE h XTt,x exp − t r s, Xst,x ds
o`u pour s ∈ [t, T ] le processus Xst,x est d´efini par l’´equation diff´erentielle stochastique:
dXst,x = r s, Xst,x Xst,x ds + σ s, Xst,x dBs
et
Xtt,x = x
et o`u pour s ∈ [0, t] : Xst,x = x.
D´emonstration
D´efinissons
Mst
=u
s, Xst,x
s
Z
exp −
r
v, Xvt,x
dv
= Us Is pour t ≤ s ≤ T.
t
Alors on trouve que
Mtt = u (t, x) .
De plus
i
h RT IE MTt = IE h XTt,x exp − t r v, Xvt,x dv .
Donc si Mst
s
est une martingale pour s ∈ [t, T ], le th´eor`eme est d´emontr´e.
En utilisant le lemme d’Itˆo:
dMst = Is dUs + Us dIs + 0
1 2
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
= Is
u1 s, Xs + σ s, Xs u22 s, Xs
ds + u2 s, Xs dXs
2
+ Us Is −r s, Xst,x ds
1
= Is ds u1 s, Xst,x + σ 2 s, Xst,x u22 s, Xst,x + Xst,x u2 s, Xst,x r s, Xst,x
2
t,x
−r s, Xs u s, Xst,x + Is u2 s, Xst,x σ s, Xst,x dBs .
32
(1.15)
En utilisant l’hypoth`ese que u (t, x) satisfait a` l’´equation aux d´eriv´ees partielles de Black and Scholes
(1.14), on voit que
dMst = Is u2 s, Xst,x σ s, Xst,x dBs ,
donc, Mst
est une martingale locale.
Par la d´efinition (1.15) de Mst s , on voit que Mst s est born´ee parce que u (t, x) est born´ee par
hypoth`ese et r (t, x) est non-n´egative.
Nous concluons que Mst s est une vraie martingale.
s
33
1.8
1.8.1
Th´eor`eme de Girsanov
La condition de Novikov et martingales exponentielles
Th´eor`eme 1.8.1 (La condition suffisante de Novikov) Pour toute µ (ω, t) ∈ L2LOC [0, T ], le processus
(Mt )t d´efini par
Z t
Z
1 t 2
Mt = exp −
µ (ω, s) ds
µ (ω, s) dBs −
2 0
0
est une martingale, pourvu que µ satisfasse a` la condition de Novikov:
Z T
1
2
µ (ω, s) ds
<∞
IE exp
2 0
(1.16)
(1.17)
D´emonstration
Voir le livre de M. Steele page 225.
1.8.2
Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel
Th´eor`eme 1.8.2 (Th´eor`eme de Girsanov unidimensionnel) Supposons que µ (ω, t) est un processus
born´e, adapt´e sur [0, T ], que (Bt )t est un IP -mouvement brownien et que le processus (Xt )t est donn´e
par
Xt = Bt +
Rt
0
µ (ω, s) ds.
Le processus (Mt )t d´efini par
Z t
Z
1 t 2
Mt = exp −
µ (ω, s) dBs −
µ (ω, s) ds
2 0
0
(1.18)
est une IP -martingale.
Si IQ d´esigne la mesure sur C [0, T ] d´efinie par IQ (A) = IEIP (1A MT ) pour tout A ∈ FT , alors (Xt )t
est un IQ-mouvement brownien sur [0, T ] .
34
D´emonstration
En utilisant le Th´eor`eme 1.8.1, on voit imm´ediatement que (Mt )t est une IP -martingale.
On va d´emontrer maintenant que sous IQ, le processus {Xt } a les mˆemes distributions jointes qu’un
mouvement brownien.
Nous d´emontrons d’abord que pour toute fonction born´ee d´eterministe f : [0, T ] → C,
I on a la formule:
Z
IEIQ exp
T
f (s) dXs
0
Z T
1
2
= exp
f (s) ds .
2 0
(1.19)
En effet:
Z
T
IEIQ exp
f (s) dXs
Z T
Z T
f (s) µ (ω, s) ds
f (s) dBs +
= IEIQ exp
0
0
Z T
Z T
Z
1 T 2
= IEIP exp
(f (s) − µ (ω, s)) dBs +
f (s) µ (ω, s) ds −
µ (ω, s) ds
2 0
0
0
Z T
Z T
Z
1
1 T
2
2
= exp
f (s)ds IEIP exp
(f (s) − µ (ω, s)) dBs −
(f (s) − µ (ω, s)) ds
2 0
2 0
0
Z T
1
2
= exp
f (s)ds
2 0
0
en utilisant le Th´eor`eme 1.8.1 et donc tenant compte du fait que
Z t
Z
1 t
2
exp
(f (s) − µ (ω, s)) dBs −
(f (s) − µ (ω, s)) ds
2 0
0
est une martingale exponentielle parce que f (s) − µ (ω, s) est born´ee.
Nous exploitons cette formule en prenant θj ∈ IR j = 1, 2, ..., N et 0 = t0 < t1 < ... < tN −1 < tN =
T tel que
f (s) =
N
P
iθj 1(tj−1 ≤s<tj ) pour 0 ≤ s ≤ T
j=1
est une fonction d´eterministe pour laquelle on peut appliquer (1.19) pour obtenir
35
"
IEIQ exp i
N
P
!#
θj Xtj − Xtj−1
= exp
j=1
− 12
N
P
θj2 (tj
j=1
!
− tj−1 ) .
Donc le vecteur Xt1 , Xt2 − Xt1 , ..., XtN − XtN −1 a la mˆeme fonction caract´eristique sous IQ que le
vecteur des incr´ements du mouvement brownien, tel que (Xt )t est un IQ mouvement brownien.
1.8.3
La r`egle de Bayes
Proposition 1.8.1 Soient µ et ν deux mesures de probabilit´e sur un espace mesurable (Ω, G) telles que
dν (ω) = f (ω) dµ (ω) pour un f ∈ L1 (µ) .
Soit X une variable al´eatoire sur (Ω, G) telle que
IEν [|X|] =
R
Ω |X
(ω)| f (ω) dµ (ω) < ∞
Soit H ⊂ G une sous-tribu, alors
IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] = IEµ [f X |H ] p.s.
D´emonstration
En vertu de la d´efinition de l’esp´erance conditionnelle on a que si H ∈ H, alors
R
H IEν [X |H ] f dµ =
R
H IEν [X |H ] dν =
R
H Xdν =
R
H Xf dµ =
R
H
IEµ [f X |H ] dµ.
D’autre part, on sait que
R
IEν [X |H ] f dµ = IEµ [IEν [X |H ] f · 1H ] = IEµ [IEµ [IEν (X |H ) f · 1H |H]]
R
= IEµ [1H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ]] = H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] dµ ∀H ∈ H
H
d’o`u le r´esultat.
Corollaire 1.8.1 (Bayes’rule) Soit (Ms )s d´efinie en (1.18) une martingale strictement positive.
Pour Y une variable al´eatoire Ft mesurable telle que IEIQ |Y | < ∞, on a que pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T :
IEIQ [Y |Fs ] =
1
Ms IE
36
[Y Mt |Fs ] p.s.
1.8.4
Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel
(1)
(d)
Soit W = Wt , ...Wt
un mouvement brownien de dim d sur (Ω, F, IP ).
o
n
(1)
(d)
(i)
avec Xt ∈ L2LOC
Supposons X= X t = Xt , ..., Xt
D´efinissons
"
∆
Zt (X) = exp
d Z
X
i=1
t
Xs(i) dWs(i)
0
1
−
2
Z
#
2
Xs ds .
t
(1.20)
0
Alors
d
P
dZt (X) =
Zt (X) Xti dWti
i=1
en utilisant le lemme d’Itˆo parce que Zt (X) = exp Yt (X) avec
d
P
dYt (X) =
Xti dWti −
i=1
d
1P
2
i=1
Xti
2
dt.
Donc Z (X) est une martingale locale continue avec Z0 (X) = 1
Nous supposons que c’est une martingale et nous d´efinissons:
QT (A) = IE [1A ZT (X)]
A ∈ FT .
Th´eor`eme 1.8.3 (Th´eor`eme de Girsanov multidimensionnel) Supposons que Z (X) d´efini par (1.20)
est une martingale.
(1)
∼
∼
∼
∼ (d)
D´efinissons W = W t = W t , ..., W t
par
∼ (i)
(i)
W t = Wt −
∼
Rt
0
(i)
1 ≤ i ≤ d,
Xs ds
0 ≤ t < ∞.
∀T ∈ [0, ∞) fix´e, le processus W t , Ft ; 0 ≤ t ≤ T
37
est un mouvement brownien de dim d sur (Ω, F, QT ) .
1.9
1.9.1
Les th´eor`emes de repr´esentation comme martingale
Th´eor`emes pour martingales
Th´eor`eme 1.9.1 (Th´eor`eme de repr´esentation comme martingale) Supposons que Xt est une {Ft }
martingale continue, o`u {Ft } est une filtration brownienne standard.
S’il existe un T tel que IE XT2 < ∞ et si X0 = x0 , alors il existe un φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que
Rt
Xt = x0 + 0 φ (ω, s) dBs pour tout 0 ≤ t ≤ T.
De plus, la repr´esentation est unique dIP × dt-p.s.
Th´eor`eme 1.9.2 (Th´eor`eme de repr´esentation en H 2 ) Supposons que X est une variable al´eatoire
FT -mesurable o`u {Ft }t est la filtration brownienne standard.
Si IE X 2 < ∞, alors il existe une φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que
Z
T
X = IE[X] +
φ (ω, s) dBs .
(1.21)
0
De plus, la repr´esentation dans cette e´ quation (1.21) est unique dans le sense que si ψ (ω, s) est un autre
e´ l´ement de H 2 [0, T ] qui satisfait (1.21), alors ψ (ω, s) = φ (ω, s) ∀ (ω, s) ∈ Ω × [0, T ], except´e sur un
ensemble de mesure dIP × dt nulle.
1.9.2
Th´eor`emes pour des martingales locales.
Th´eor`eme 1.9.3 Supposons que (Mt )t est une martingale locale continue par rapport a` la filtration
brownienne standard.
Alors, il existe un processus adapt´e et mesurable H ∈ L2LOC tel que
Mt = M0 +
Rt
0
Hs dBs
p.s.
Th´eor`eme 1.9.4 Une martingale continue strictement positive (Mt )t adapt´ee a` la filtration brownienne
avec M0 = 1 peut eˆ tre repr´esent´ee par
R
Rt
t
t≥0
Mt = exp 0 Hs dWs − 21 0 (Hs )2 ds
pour un processus (Hs )s ∈ L2LOC .
38
Chapitre 2
Mod`eles en temps continu: Formules de
Black et Scholes
Le livre de r´ef´erence est
DANA, R.-A. et M. JEANBLANC-PIQUE (1994). March´es Financiers en Temps Continu. Economica.
2.1
Calcul stochastique.
(Ω, F, P ) un espace de probabilit´e
[0, T ] un intervalle de temps fini
2.1.1
Le mouvement brownien et l’int´egrale stochastique
D´efinition 2.1.1 B = (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien r´eel issu de 0 sur (Ω, F, IP ) si
i) IP [B0 = 0] = 1
ii) ∀ 0 ≤ s ≤ t, la variable al´eatoire r´eelle Bt − Bs suit une loi normale centr´ee de variance t − s.
iii) ∀ 0 = t0 < ti < ... < tp ; les variables Btk − Btk−1 , 1 ≤ k ≤ p sont ind´ependantes.
iii) Bt (ω) est une fonction continue de t pour p.s. tout ω.
=⇒ Un mouvement brownien est un processus a` trajectoires continues, a` accroissements ind´ependants
et stationnaires.
39
D´efinition 2.1.2 B = B i , i ≤ k est un mouvement brownien k-dimensionnel si les B i sont des mouvements browniens r´eels ind´ependants.
On prend Ft = σ (Bs , s ≤ t) compl´et´ee par adjonction des n´egligeables comme famille de sous-tribus
(Ft )t∈IR+ .
Bachelier (1900)
Bachelier a suppos´e un mod`ele simple dans sa th`ese doctorale avec seulement un actif risqu´e (une action)
avec prix St avec St = Bt un mouvement brownien et que le taux d’int´erˆet r = 0.
Si l’on poss`ede dans ce mod`ele θ (t) actions a` l’instant t, et que l’on fait des transactions aux instants
tk , k = 1, ..., K, alors la richesse a` l’instant tK d’un portefeuille auto-financ¸ant θ de valeur initiale x est
e´ gale a`
x+
PK
k=1 θ (tk ) {B (tk )
− B (tk−1 )} .
Si l’on veut pouvoir effectuer des transactions a` tout instant t, il faut d´efinir un outil math´ematique, que
l’on appelle int´egrale stochastique de θ par rapport a` B (et que l’on d´efinit en gros comme e´ tant la limite
dans L2 des sommes pr´ec´edentes):
x+
RT
0
θ (s) dB (s) .
en temps discret: θ (tk ) Ftk−1 -mesurable, donc θ est un processus pr´evisible en temps discret.
en temps continu:
Le processus θ est pr´evisible s’il est mesurable par rapport a` la tribu sur (Ω × IR+ ) engendr´ee par les
processus adapt´es continu a` gauche, donc pour lesquels t 7−→ Xt (ω) est continue a` gauche pour presque
tout ω.
RT
Nous travaillons (comme dans le livre de M. Steele) avec θ ∈ L2LOC , parce qu’alors 0 θ (s) dB (s) est
bien d´efini et la construction de l’int´egrale est un peu plus simple.
On note Θ = L2LOC l’ensemble des processus adapt´es tels que
RT
0
On montre que pour θ ∈ Θ,
RT
0
θ2 (t) dt < ∞
θ (s) dB (s) est bien d´efini.
40
p.s.
Proposition 2.1.1 Si θ ∈ Θ et si IE
hR
T
0
i
θ2 (s) ds < ∞ (et donc θ ∈ H 2 ), l’int´egrale stochastique
Z t
Mt =
θs dBs ; t ≤ T
0
d´efinit un processus qui est une martingale d’esp´erance nulle et de variance
Z t
2
2
IE Mt = IE
θ (s) ds .
0
Exercice
Montrer que B 2 (t) − t est une martingale.
D´emonstration
h
i
IE Bt2 − Bs2 | Fs = IE (B (t) − B (s))2 | Fs = IE B 2 (t − s) = t − s
parce que
2B (s) IE [B (t) | Fs ] = 2Bs2
Cet exercice met en valeur l’une des difficult´es du calcul stochastique:
Rt
0
B (s) dBs 6= 12 Bt2
parce que c¸a impliquerait que le processus (t)t∈IR+ est une martingale.
Rt
En effet 0 B (s) dB (s) = 21 Bt2 − t .
2.1.2
Processus d’Itˆo et quelques remarques
Pour les processus X = (Xt )t∈[0,T ] qui sont des processus d’Itˆo a` valeurs r´eelles avec µ (t) processus
adapt´e et σ (t) processus adapt´e v´erifiant
RT
0
| µ (s) | ds < ∞
P p.s.;
41
RT
0
σ 2 (s) ds < ∞ P p.s.
tels que
Xt = X0 +
Rt
0
µ (s) ds +
Rt
0
σ (s) dBs ,
t ∈ [0, T ]
o`u Bt est un mouvement brownien r´eel, on utilise souvent la forme plus concise:
dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt
X (0) = X0 .
µ (t): la d´erive, la tendance, le drift
σ (t): le coefficient de diffusion.
remarque 1
Le terme de d´erive complique souvent les calculs parce qu’on a perdu le caract`ere martingale du processus (µ ≡ 0).
Pour se ramener au cas µ = 0, on utilise le th´eor`eme de Girsanov, c’est a` dire sous des hypoth`eses
raisonnables, on transforme un processus d’Itˆo avec un changement de probabilit´e en une int´egrale
stochastique.
Th´eor`eme 2.1.1 (Th´eor`eme de Girsanov) Soit (Lt )t le processus d´efini par
Lt = exp
nR
t
0 h (s) dBs −
1
2
o
2 (s) ds ,
h
0
Rt
o`u (h(s) , 0 ≤ s ≤ T ) est un processus adapt´e born´e.
dLt = Lt ht dBt
Le processus Lt est l’unique solution de
L0 = 1
et
IE [Lt ] = 1
∀t ∈ [0, T ] ;
et (Lt )t est une martingale.
Soit Q la probabilit´e d´efinie sur (Ω, FT ) par Q (A) = IEP [1A LT ] .
Rt
Sous Q, le processus Bt∗ = Bt − 0 h (s) ds est un mouvement brownien.
42
Exemple
Si h (t) = −µ (t) σ −1 (t) est born´e, le processus Bt∗ = Bt +
brownien et le processus d’Itˆo X s’´ecrit sous Q:
Rt
0
µ (s) σ −1 (s) ds est un Q-mouvement
dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt∗ − µ (t) σ −1 (t) dt
= σ (t) dBt∗ .
Girsanov ne modifie pas le coefficient de diffusion.
Si l’on suppose que les prix des actifs sont des processus d’Itˆo, on aura besoin de calculer des quantit´es
du type f (t, Xt ) et de “d´eriver” ce processus pour pr´eciser sa dynamique. Ceci est fait en utilisant le
lemme d’Itˆo, que nous rappelons
ici en utilisant la notation
C 1,2 ([0, T ] × IR, IR) = fonctions continues f (t, x) , de classe C 1 par rapport a` t, C 2 par rapport a` x .
Lemme 2.1.1 (Lemme d’Itˆo) Soit f ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR, IR) et X un processus d’Itˆo v´erifiant
dXt = µ (t) dt + σ (t) dBt .
Soit Yt = f (t, Xt ). Alors Y est un processus d’Itˆo v´erifiant
dYt =
∂f
∂t
(t, Xt ) dt +
∂f
∂x
(t, Xt ) µ (t) dt +
∂f
∂x
(t, Xt ) σ (t) dBt +
1 ∂2f
2 ∂x2
soit sous forme plus concise:
dY =
∂f
∂t dt
+
∂f
∂x dXt
+
1 ∂2f 2
σ dt .
2
|2 ∂x{z }
Exemples
1) Soit dXt = aXt dt + bXt dBt , X0 > 0
o`u a, b sont des constantes.
=⇒ Xt > 0
p.s.
=⇒ Yt = ln Xt
dYt = 0 +
aXt
Xt dt
+
1
Xt bXt dBt
43
−
1 1
2 Xt2
(bXt )2 dt
(t, Xt ) σ 2 (t) dt
Et donc
b2
dt + bdBt .
dYt = a −
2
Rt
Rt
2
=⇒ Yt = Y0 + 0 a − b2 ds + 0 bdBs = ln X0 + a −
2
=⇒ Yt v N ln X0 + a − b2 t,
var = b2 t .
b2
2
t + bB (t)
=⇒ (Xt )t est un processus log-normal: un brownien g´eom´etrique.
2) Soit Xt = x +
Rt
0
b (s) ds +
Rt
0
σ (s) dBs et Yt = exp Xt .
dYt = Yt b (t) dt + Yt σ (t) dBt +
2.2
2.2.1
Yt 2
2 σ dt
= Yt dXt + 12 σ 2 (t) dt .
Arbitrage et valorisation
Strat´egie de financement
Soit Z une variable al´eatoire FT -mesurable. Peut-on r´ealiser Z avec une strat´egie de financement?
Nous supposons qu’il y a d actifs risqu´es dont les prix S i , i ∈ {1, ..., d} , sont suppos´es eˆ tre des processus
T
d’Itˆo avec σ i = σ i,1 , ..., σ i,k ; B = B 1 , ..., B k :
dS i (t) = µi (t) dt + σ i (t) dBt ,
o`u ∀ (i, j) µi est un processus adapt´e et σ i,j est un processus adapt´e tels que
Z
T
| µi (t) | dt < ∞
Z
p.s.;
0
T
| σ i,j (t) |2 dt < ∞
p.s.
(2.1)
0
Th´eor`eme 2.2.1 Un march´e financier est complet si et seulement si le nombre d des actifs risqu´es est
e´ gale a` la dimension k du mouvement brownien B et si la matrice de volatilit´e σt est non-singulair
presque sˆurement pour t ∈ [0, T ].
D´emonstration
Voir le livre de Karatzas & Shreve Th.6.6.
44
L’actif 0 est un actif sans risque
dSt0 = St0 r (t) dt;
o`u r (t) est un processus adapt´e positif v´erifiant
RT
0
S 0 (0) = 1;
r (t) dt < ∞ p.s..
L’actif 0 est dit sans risque mˆeme si r (t) est un processus stochastique.
Soit un processus vectoriel en temps continue θ = (θs )s une strat´egie d’investissement avec richesse
T
initiale x o`u θ = θ0 , ..., θd repr´esente le nombre de chaque type d’actifs. Soit Ss ∈ IRd le vecteur
des prix. Si on suppose que la strat´egie est auto-financ¸ante, alors la richesse a` l’instant T sera
x+
RT
0
θ (s) · dSs = x +
RT
0
θ0 (s) S 0 (s) r (s) ds +
d hR
P
T
i=1
0
θi (s) µi (s) ds +
RT
0
θi (s) σ i (s) dBs
i
sous conditions d’int´egrabilit´e et de mesurabilit´e sur θ. Pour pr´eciser ces notions, nous donnons les
d´efinitions suivantes.
D´efinition 2.2.1 Pour tout i > 0, on note Θ S i l’ensemble des processus θi tels que θi est adapt´e et
RT
0
RT
0
| θi (s) µi (s) | ds < ∞
(θi (s))2 k σ i (s) k2 ds < ∞
o`u la norme d’un vecteur v est d´efini par k v k2 =
k
P
p.s.
p.s.
vj2 .
j=1
RT
On note Θ S 0 l’ensemble des processus θ0 tels que θ0 est adapt´e et 0 | θ0 (s) | r (s) Ss0 ds < ∞ p.s..
On note θ ∈ Θ (S ) si θj ∈ Θ S j pour tout 0 ≤ j ≤ d.
D´efinition 2.2.2 θ ∈ Θ (S) finance Z si
i) θt · St = θ0 · S0 +
ii) θT · ST = Z
i) est la condition d’auto-financement.
45
Rt
0
θs · dSs ∀t ≤ T
P -p.s..
P -p.s.
2.2.2
Arbitrage et mesure martingale
D´efinition 2.2.3 Une opportunit´e d’arbitrage est une strat´egie auto-financ¸ante avec
P (θT · ST ≥ 0) = 1
P (θT · ST > 0) > 0
P (θ0 · S0 = 0) = 1.
On peut remplacer les deux premi`eres conditions par
IE [θT · ST ] > 0
P [θT · ST ≥ 0] = 1
Consid´erons les deux hypoth`eses:
1) A.O.A.
2) (H): Il existe une mesure de probabilit´e Q e´ quivalente a` P telle que le vecteur des prix actualis´es
Sta = SS0t soit une Q-martingale. On appelle Q une mesure martingale.
t
Lien en temps continu entre A.O.A. et (H).
1) Soit (H) verifi´ee et supposons un mod`ele simple avec seulement un actif risqu´e et avec St0,a = 1 un
prix constant.
Supposons sous Q dSt1,a = St1,a σ (t) dBt .
2 RT Alors @O.A. avec IEQ 0 θ1 (s) σ (s) Ss1,a ds < ∞
parce qu’alors
Rt
0
θs dSsa est une Q-martingale et
IEQ [θT · STa ] = θ0 · S0a + IEQ
hR
T
0
i
θs1 dSs1,a = θ0 · S0a −→ A.O.A.
2) En toute g´en´eralit´e, (H) ; A.O.A. (Dudley 1977).
3) Stricker (1989): =⇒ A.O.A. parmis les strat´egies e´ l´ementaires, donc telles qu’il existe une suite de
r´eels t0 < t1 < ... < tp telle que
46
θs =
p−1
P
i=0
1]ti ,ti+1 ] (s) ψi
avec ψi variable Fti -mesurable.
Rt
4) (H) =⇒ A.O.A. pour 0 θ (s) · dSsa born´e inf´erieurement.
5) A.O.A.=⇒ (H) est encore beaucoup plus d´elicat (voir Delbaen-Schachermayer 1994).
2.2.3
Valorisation
D´efinition 2.2.4 Si θ est une strat´egie financ¸ant Z, θ0 · S0 est le prix d’arbitrage de Z et θt · St = π (Z)t
le prix implicite a` l’instant t.
Proposition 2.2.1 Sous A.O.A., le prix d’arbitrage est bien d´efini.
D´emonstration.
Soient θ et ϕ strat´egies auto-financ¸antes telles que θT · ST = ϕT · ST .
Montrons qu’A.O.A. =⇒ θ0 · S0 = ϕ0 · S0 .
Supposons θ0 · S0 > ϕ0 · S0 . Intuitivement, on va acheter le portefeuille ϕ au prix ϕ0 · S0 , vendre θ au
prix θ0 · S0 et placer la diff´erence sur l’actif sans risque. En T , on vend ϕ et ach`ete θ au mˆeme prix et on
r´ealise le b´en´efice du placement sans risque.
2.3
2.3.1
Formule de Black et Scholes: cas unidimensionnel
Le mod`ele
On se place dans un march´e financier compos´e d’un actif sans risque dont le prix St0 ob´eit a` l’ e´ quation
diff´erentielle
dSt0 = rSt0 dt, r constante positive
S00 = 1
et d’un actif risqu´e dont le prix St1 t v´erifie l’´equation diff´erentielle stochastique
dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt
S01 > 0
o`u µ et σ sont constantes, σ non nulle, Bt brownien r´eel. St1 t satisfait donc bien le th´eor`eme suivant:
47
Th´eor`eme 2.3.1 (Existence et unicit´e)
Supposons que les coefficients de l’EDS
dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt
(2.2)
avec X0 = x0 et 0 ≤ t ≤ T satisfont une condition de Lipschitz en la variable d’espace:
|µ(t, x) − µ(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ K|x − y|2
(2.3)
et une condition de croissance en la variable d’espace:
|µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2 ),
(2.4)
alors il existe une solution continue adapt´ee Xt de l’´equation (2.2) qui est uniform´ement born´ee dans
L2 (dIP ):
sup IE Xt2 < ∞.
0≤t≤T
En plus, soient Xt et Yt deux solutions continues born´ees dans L2 de (2.2), alors:
IP [Xt = Yt pour tout t ∈ [0, T ]] = 1.
Regardons les prix actualis´es:
St1,a ≡ e−rt St1
Lemme d’Itˆo:
dSt1,a = St1,a [(µ − r) dt + σdBt ]
Le th´eor`eme de Girsanov va nous permettre de transformer St1,a en une martingale.
Soit Lt le processus v´erifiant
dLt = − (µ − r) σ −1 Lt dBt
L0 = 1.
Le th´eor`eme de Girsanov montre que sous la probabilit´e Q v P d´efinie sur FT par
dSt1,a = St1,a σdBt∗
48
dQ
dP
= LT , on a
o`u
Bt∗ ≡ Bt + (µ − r) σ −1 t
h
Remarquons que St1,a = exp σBt∗ −
σ2 t
2
i
est un Q-mouvement brownien.
S01,a , qui est une Q-martingale (classique).
St0,a = 1 est aussi une Q-martingale.
Sous Q, le prix de l’actif a` risque v´erifie:
dSt1 = St1 (rdt + σdBt∗ ) .
=⇒ On appelle Q la probabilit´e “risque-neutre” car sous Q les deux actifs ont le mˆeme rendement r.
=⇒ (H) est satisfait, ∃ mesure martingale Q.
2 RT 1,a T
=⇒ @ O.A. θ = (α, β) avec IEQ 0 βs σSs ds < ∞ dans notre mod`ele.
2.3.2
Equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) de Black et Scholes
Maintenant: On se donne une variable al´eatoire Z = g ST1 positive FT -mesurable et on veut trouver
son prix implicite et une strat´egie financ¸ant Z.
Supposons qu’il existe C ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR+ , IR) telle que
π (Z)t = C t, St1 , t < T
g (x) = C (T, x)
x ∈ IR+
Soit Yt = C t, St1 .
Itˆo =⇒
2
dYt = µSt1 Cx t, St1 + Ct t, St1 + 12 σ 2 St1 Cxx t, St1 dt + σSt1 Cx t, St1 dBt
ou encore
dYt = LC t, St1 dt + σSt1 Cx t, St1 dBt
avec
49
(2.5)
2
LC = µxCx + Ct + 21 σ 2 x2 ∂∂xC2
avec L le g´en´erateur infinit´esimal de la diffusion (St )t .
Supposons qu’il existe une strat´egie θ financ¸ant Z.
Nous n’avons pas encore prouv´e l’existence d’une telle strat´egie: on va la construire: θ = (α, β)T .
T
On a ainsi, si St = St0 , St1 :
θt · St = αt St0 + βt St1
Z t
θs .dSs
= θ0 · S0 +
0
Z t
Z t
0
1
0
= α0 S0 + β0 S0 +
αs dSs +
βs dSs1
0
0
= C t, St1 = Yt
=⇒
dYt = αt dSt0 + βt dSt1
= rαt St0 dt + βt µSt1 dt + σSt1 dBt
= rαt St0 + µβt St1 dt + σβt St1 dBt
(2.6)
En identifiant les termes en dt dans (2.5) et (2.6), on obtient
LC t, St1 = rαt St0 + µβt St1
En identifiant les coefficients de dBt on a
σSt1 Cx t, St1 = σβt St1
=⇒ βt = Cx t, St1 ,
et on a toujours
αt St0 + βt St1 = C t, St1
0 −1
=⇒ αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1
St
50
(2.7)
Donc, nous avons obtenu la strat´egie financ¸ant Z en fonction du prix implicite.
En reportant dans (2.7)
LC t, St1 = r C t, St1 − St1 Cx t, St1 + µCx t, St1 St1 .
En explicitant LC, cette derni`ere e´ galit´e s’´ecrit:
2
rSt1 Cx t, St1 + Ct t, St1 + 12 σ 2 St1 Cxx t, St1
= rC t, St1
t ∈]0, T [; P -p.s.
et
C T, ST1 = g ST1
P − p.s.
(2.8)
Puisque le support de la loi de St1 est (0, ∞), on peut remplacer St1 par x, x > 0.
Conclusion:
Th´eor`eme 2.3.2 Soit St0 le prix d’une obligation v´erifiant dSt0 = rSt0 dt et St1 le prix d’un actif risqu´e
v´erifiant dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt .
Soit Z = g ST1 une variable al´eatoire positive et π (Z)t son prix implicite.
On suppose qu’il existe C ∈ C 1,2 ([0, T ] × IR+ , IR) telle que
π (Z)t = C t, St1
g (x) = C (T, x)
t<T
x ∈ IR+
Alors C v´erifie l’´equation parabolique
rxCx (t, x) + Ct (t, x) + 12 σ 2 x2 Cxx (t, x) = rC (t, x) ,
C (T, x) = g (x) ,
x ∈]0, ∞[.
x ∈]0, ∞[, t ∈]0, T [,
Une strat´egie θ financ¸ant Z est donn´ee par θ = (α, β)T
o`u
0 −1
αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1
St
βt = Cx t, St1 .
51
(2.9)
Il n’est en g´en´eral pas facile de r´esoudre explicitement l’´equation parabolique ci-dessus.
Le calcul des probabilit´es fournit une expression de cette solution:
Soit x et t fix´es et Zsx,t le processus index´e par s, (t ≤ s ≤ T ) d´efini par
Zsx,t = x + r
Rs
t
Zux,t du + σ
Rs
t
Zux,t dBu .
Zsx,t est issu de x au temps t, donc Ztx,t = x et suit apr`es t la mˆeme dynamique que
dZu = rZu du + σZu dBu .
Th´eor`eme 2.3.3 (Th´eor`eme de Feynman-Kac) Soit C (t, x) ∈ C 1,2 [0, T ] la solution unique born´ee du
probl`eme (2.9) avec g(x) une fonction born´ee. Alors C (t, x) a la repr´esentation
h i
C (t, x) = IE g XTt,x exp (−r(T − t))
(2.10)
o`u pour s ∈ [t, T ] le processus Xst,x est d´efini par l’´equation diff´erentielle stochastique:
dXst,x = rXst,x ds + σXst,x dBs
et
Xtt,x = x
et o`u pour s ∈ [0, t] : Xst,x = x.
Exercice
V´erifier que θ = (α, β)T ∈ Θ (S) et finance g ST1 .
Remarque
Notre march´e est complet par le Th´eor`eme 2.2.1, qui est bas´e sur des th´eor`emes de repr´esentation.
52
2.3.3
Probabilit´e risque-neutre
Nous allons donner une autre m´ethode de valorisation, obtenue en travaillant sous la probabilit´e risqueneutre Q d´efinie par dQ = LT dP.
Sous Q, l’actif a` risque v´erifie:
dSt1 = St1 (rdt + σdBt∗ ) .
Si l’on se constitue un portefeuille (αt , βt )
Yt = αt St0 + βt St1 ,
on v´erifie que sous Q:
dYt = αt St0 rdt + βt St1 (rdt + σdBt∗ ) = Yt rdt + dMt ,
o`u Mt est d´efini par dMt = βt St1 σdBt∗ .
Sous r´eserve d’int´egrabilit´e, Mt est une martingale.
Ceci implique que e−rt Yt est une martingale.
On a que
e−rt Yt = EQ e−rT YT | Ft
et donc
Yt = EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft .
Th´eor`eme 2.3.4 Le prix implicite de g ST1 est donn´e par
h
i
EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft
(2.11)
o`u Q est la probabilit´e risque-neutre.
Ceci est clairement e´ quivalent au th´eor`eme de Feynman-Kac.
Comme le processus St est un processus d’Itˆo, il est un processus de Markov (voir le livre de Shreve
p.e.):
53
Th´eor`eme 2.3.5 Soit 0 ≤ t0 < t1 , soit h(y) une fonction et soit X un processus d’Itˆo satisfaisant
Th´eor`eme 2.3.1. D´esignons par
IE t0 ,x [h(X(t1 ))]
l’esp´erance de h(X(t1 )), donn´e que X(t0 ) = x.
Supposons que ξ ∈ IR est fix´e et que X(0) = ξ.
On a la propri´et´e de Markov:
IE 0,ξ [h(X(t1 )) |Ft0 ] = IE t0 ,X(t0 ) [h(X(t1 ))] .
En utilisant le fait que le processus St est un processus de Markov:
Yt = EQ e−r(T −t) g ST1 | Ft = C t, St1 .
On retrouve ais´ement l’EDP de Black & Scholes et le portefeuille de couverture en appliquant la formule
d’Itˆo a` C t, St1 .
En effet,
dC t, St1 =
∂C
∂t
t, St1 dt +
∂C
∂x
t, St1 dSt1 +
1
2
St1 σ
2
∂2C
∂x2
t, St1 dt.
En utilisant le fait que e−rt C t, St1 est une martingale sous Q, on retrouve l’´equation aux d´eriv´ees
partielles (2.9).
On d´ecompose C t, St1 en
C t, St1 = αt St0 + βt St1
avec
0 −1
αt = C t, St1 − St1 Cx t, St1
St
et
βt = Cx t, St1 .
Il suffit de reporter αt et βt dans l’expression de dCt pour v´erifier que le portefeuille (α, β) est un
portefeuille de couverture autofinanc¸ant.
54
2.3.4
Calcul explicite
Dans notre mod`ele, (2.10) ou (2.11) nous permet de poursuivre les calculs.
On a vu qu’un processus Ss1
s
v´erifiant l’´equation
dZsx,t = rZsx,t ds + σZsx,t dBs ,
Ztx,t = x
a une loi log-normale.
Ici, l’instant initial est t et Zsx,t a un logarithme de loi
2
N ln Ztx,t + r − σ2 (s − t) , σ 2 (s − t)
On peut ainsi calculer
h
i
h i
IEQ e−r(T −t) g ST1 | Ft = IE e−r(T −t) g ZTx,t = e−r(T −t) IE g ZTx,t
R +∞
= e−r(T −t) −∞ g (eu ) fT −t (u) du,
o`u fT −t (u) est la densit´e de loi normale de moyenne ln x+ r −
σ2
2
(T − t) et de variance σ 2 (T − t) .
Plac¸ons-nous dans le cas g (x) = (x − K)+ .
Soit
φ (x) =
√1
2π
Rx
−u2 /2 du.
−∞ e
Alors en utilisant que
R
R
R +∞
u
u
−∞ g (e ) fT −t (u) du = {u>ln K} e fT −t (u) du − K {u>ln K} fT −t (u) du,
nous pouvons facilement d´emontrer le r´esultat suivant:
Th´eor`eme 2.3.6 (Formule de Black et Scholes) Le prix implicite a` t est donn´e par
C (t, x) = xφ (d1 (t)) − Ke−r(T −t) φ (d2 (t))
o`u
d1 (t) =
n
x
ln K
+ (T − t) r +
√
d2 (t) = d1 (t) − σ T − t.
√1
σ T −t
55
σ2
2
o
,
2.3.5
Commentaires sur la formule de Black et Scholes
−→ Remarque que C (t, x) ne d´epend pas de µ.
a) D´ependance de C par rapport a` x.
Il est int´eressant de voir comment e´ volue le prix de call en fonction de l’actif sous-jacent, c’est-`a-dire
d’´evaluer la quantit´e ∂C
∂x .
Cette quantit´e est appel´ee le delta et g´en´eralise le ∆ du chapitre 1.
C’est la quantit´e d’actif risqu´e qui compose un portefeuille de couverture construit sur l’actif sous-jacent
et sur l’obligation.
Un calcul directe mais long permet d’´etablir que
∂C
∂x
= φ (d1 ) > 0.
Une autre m´ethode consiste a` e´ crire
+ x,0
−rT
C (0, x) = IEQ e
ZT − K
avec
ZTx,0 = x exp
h
r−
σ2
2
T + σBT
i
d’o`u
C (0, x) = IEQ
= IEQ
x exp σBT −
σ2 T
2
σ2
2 T
x exp −σBT −
−
−
e−rT K
e−rT K
+ + car BT a la mˆeme loi que −BT . On d´erive cette expression sous le signe IEQ .
+
2
est e´ gale a`
La d´eriv´ee de x exp −σBT − σ2 T − e−rT K
exp −σBT −
σ2
2 T
1BT
√
≤ d2 T ,
√
sauf aux points tels que BT = d2 T qui forment un ensemble n´egligeable.
On obtient ainsi
∂C
∂x
h
= IEQ exp −σBT −
56
σ2
2 T
1BT
√
≤ d2 T
i
On d´efinit la probabilit´e P ∗ par
dP ∗ = exp −σBT −
σ2 T
2
dQ
et nous remarquons que Bt∗ = Bt + σt est un P ∗ m.b.
On a
h
√
√ √ i
= P ∗ (BT ≤ d2 T ) = P ∗ BT + σT ≤ d2 + σ T
T
i
h ∗
√
√
B
= P ∗ √TT ≤ d2 + σ T = φ d2 + σ T = φ (d1 (0)) ≥ 0
∂C
∂x
=⇒ Donc quand le cours de l’action monte, le prix du call monte.
A une fluctuation d’un euro du cours de l’action correspond une fluctuation de delta euros du prix du
call.
b) Sensibilit´e a` la volatilit´e. (V´ega
∂C
∂σ )
L’acheteur d’une option sp´ecule. Donc l’intuition est qu’il est prˆet a` payer un prix d’autant plus e´ lev´e
que les fluctuations du sous-jacent sont grandes. Nous v´erifions cette intuition:
Lorsqu’un produit financier suit la loi
dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dBt
on a coutume de dire que σ repr´esente la volatilit´e de ce produit. Intuitivement σ repr´esente l’´ecart type
1
de dS
et est li´ee au risque de l’actif (plus ce coefficient
est e´ lev´e, plus l’influence du terme al´eatoire est
S1
1
importante). La formule d’Itˆo appliqu´ee a` C t, St conduit a`
dCt =
∂C
∂t
+
∂C
1
∂x µSt
+
1
2
σSt1
2
∂2C
∂x2
et la volatilit´e du call est
1 ∂C 1
C ∂x S σ,
ce que nous pouvons e´ crire
υC =
S 1 ∂C
C ∂x υS
57
dt +
∂C
1
∂x σSt dBt
1
En posant η = SC ∆, on obtient que la volatilit´e du call est proportionnelle a` la volatilit´e du stock sousjacent: υC = ηυS ce qui g´en´eralise le cas discret.
On remarque que
η=
S 1 ∂C
C ∂x
=
S 1 φ(d1 )
S 1 φ(d1 )−Ke−rT φ(d2 )
≥ 1.
Le risque de l’option est plus grand que celui de l’actif sous-jacent.
D’autre part, nous avons vu que
dCt
Ct
= µc dt + σc dBt ,
avec
1
Ct
µc =
=
1
Ct
∂C
∂t
+
1
2
σSt1
2
∂2C
∂x2
rCt − rSt1 ∂C
∂x +
+
∂C
1
∂x µSt
1 ∂C
1
Ct ∂x µSt
=⇒
µc − r =
St1 ∂C
Ct ∂x
(µ − r) = η (µ − r)
ce qui g´en´eralise les r´esultats du cas discret.
c) Portefeuille de march´e.
On d´efinit un portefeuille de march´e comme un portefeuille comportant une obligation et une action. Sa
valeur en t est Mt = St0 + St1 d’o`u
dMt = rSt0 + µSt1 dt + σSt1 dBt ,
que l’on e´ crit
dMt
Mt
avec µM =
rSt0 +µSt1
St0 +St1
et σM =
= µM dt + σM dBt
σSt1
.
St0 +St1
En remarquant que
cov
dMt dSt1
,
Mt St1
on constate qu’avec µS = µ:
58
=
σ 2 St1
,
St0 + St1
cov
µS − r =
1
dMt dSt
, 1
Mt
St
V ar dMt /Mt
(µM − r) .
d) Le gamma , Coˆuts de transactions.
Pratiquement, la sensibilit´e du delta aux variations du cours du sous-jacent est un param`etre important
de la gestion.
On introduit le gamma de l’option qui est
∂2C
∂x2
∂2C
∂x2
=
=
∂∆
∂x
(la d´eriv´ee du delta par rapport au cours de l’action):
1√
φ0 (d1 )
xσ T
o`u
φ0 (d1 ) =
√1
2π
2
d
exp − 21 > 0.
Le prix du call est une fonction convexe du prix du sous-jacent.
e) Temps jusqu’`a la maturit´e
L’effet du temps est tr`es important pour des options arrivant a` maturit´e. On a en effet
C t, St1 = St1 φ (d1 (t)) − Ke−r(T −t) φ (d2 (t))
avec
d1 (t) =
√1
σ T −t
n
ln
x
K
+ (T − t) r +
σ2
2
o
et
∂2C
∂x2
t, St1 =
1
√
φ0 (d1 (t))
St1 σ T −t
−→ 0
cette derni`ere quantit´e tend vers 0 quand t tend vers T.
Plus l’´ech´eance est e´ loign´e, plus le prix du call est e´ lev´e. Il est donc utile d’´evaluer la sensibilit´e de ce
prix par rapport au temps, c’est-`a-dire, en posant τ = T − t, de calculer ∂C
∂τ .
∂C
∂τ
0
0
0
0
= xφ (d1 ) d1 (τ ) + rKe−rτ φ (d2 (τ )) − Ke−rτ φ (d2 (τ )) d2 (τ ) .
59
On remarque que
0
φ0 (d2 (τ )) = φ (d1 (τ )) e−σ
2 τ /2
eσ
√
τ d1 (τ )
=
x rτ 0
Ke φ
(d1 (τ ))
et
0
d02 (τ ) = d1 (τ ) −
σ
√
2 τ
d’o`u
∂C
∂τ
=
0
xσ
√ φ
2 τ
(d1 (τ )) + Ke−rτ rφ (d2 (τ )) ;
cette quantit´e est positive. Le prix d’un call est une fonction croissante de la maturit´e.
f) Exercice
∂C
∂K
≤ 0,
∂2C
∂K 2
≥ 0.
Le prix du call est une fonction convexe d´ecroissante du prix d’exercice.
g) Rho:
∂C
∂r
>0
60
2.3.6
Applications : Autres options dans le mod`ele de Black et Scholes.
1. Une option supershare.
Exercice
Dans le cadre de Black et Scholes r constante
dSt0 = rSt0 dt
dSt
St = µdt + σdBt
Calculer le prix d’une “supershare” (un cas d’option binaire) avec payoff
SST = Z = g (ST ) =
ST
K1 1{K1 <ST <K2 }
Solution.
SS0 =
S0
K1
(φ (h1 (S0 , T )) − φ (h2 (S0 , T )))
hi (s, t) =
ln(s/Ki )+(r+σ 2 /2)t
√
.
σ t
2. Un contrat forward.
−→ Consid´erons χ = f (ST ) FT −mesurable et supposons qu’on est a` la date t.
D´efinition 2.3.1 Un contrat forward sur χ, fait a` l’instant t, est un contrat qui stipule que l’acheteur du
contrat paiera le prix d’exercice K a` la date T et recevra χ a` cette date d’´ech´eance T .
Rien n’est pay´e ni rec¸u a` la date t, mais le prix forward K est d´etermin´e a` la date t.
Notation
K = f (t; T, χ)
On peut voir que le montant rec¸u a` T est
Y =χ−K
et le prix rec¸u a` la date t est e´ gal a` 0.
V risk neutral pricing:
61
E Q e−r(T −t) (χ − K) | Ft = 0
=⇒
E Q [χ | Ft ] = E Q [K | Ft ] = f (t; T, χ) parce que K est Ft −mesurable.
Proposition 2.3.1 Le prix forward f (t; T, χ) contract´e a` l’instant t, sur la variable al´eatoire χ qui est
FT -mesurable est
f (t; T, χ) = E Q [χ | Ft ] .
Si χ = ST , alors
f (t, T ) ≡ f (t; T, ST ) = er(T −t) St .
3. Contrat future
Un contrat future est aussi un contrat qui d´elivre χ a` T pour un certain prix d´ecid´e a` la date t mais la
diff´erence est qu’il y a des payements avant T a` cause des appels de marge (“margin requirements”).
Nous supposons que ces payements sont faits d’une mani`ere “continue”.
Si les taux courts sont d´eterministes, les prix forward et future coincident et on a
F (t; T, χ) = E Q [χ | Ft ]
4. Option sur contrat forward (et future si les taux sont d´eterministes)
Call europ´eenne avec date de maturit´e T, strike K et sur un contrat future
F (t, T1 ; S) = F (t, T1 ) avec T < T1 .
A la date T , le payoff est
(F (T, T1 ) − K)+ = er(T1 −T ) ST − K
Le prix du call est donc
62
+
= er(T1 −T ) ST − e−r(T1 −T ) K
+
c = er(T1 −T ) St φ (d1 ) − e−r(T −t) e−r(T1 −T ) Kφ (d2 )
√
avec d1 = ln St e−r(T1 −T ) K + r + σ 2 /2 (T − t) σ T − t
√
et d2 = d1 − σ T − t.
Proposition 2.3.2 (Black’s formula)
c = e−r(T −t) [F (t, T1 ) φ (d1 ) − Kφ (d2 )]
avec
d1 =
ln(F (t,T1 )/K)+σ 2 (T −t)/2
√
σ T −t
√
d2 = d1 − σ T − t.
5. Exemple d’une option d’´echange
Supposons:
(0)
dSt0 = rSt0 dt
(1) dS1 (t) = α1 S1 (t)dt+ S1 (t)σ1 dBt1
(2) dS2 (t) = α2 S2 (t)dt + S2 (t)σ2 dBt2
avec corr Bt1 , Bt2 = 0.
Le payoff de l’option d’´echange est:
(S1 (T ) − S2 (T ))+
parce qu’il donne a` l’acheteur le droit mais pas l’obligation de changer un actif S2 pour l’actif S1 a`
l’instant T.
=⇒ EDP multidimensionnelle (voir la section suivante)
63
Ft + rs1 F1 + rs2 F2 + 12 s21 σ12 F11 + 12 s22 σ22 F22 − rF = 0
F (T, s1 , s2 ) = (s1 − s2 )+
Parce que (S1 (T ) − S2 (T ))+ est homog`ene d’ordre 1 on peut utiliser la transformation
F (t, s1, s2 ) = s2 . G t, ss12
o`u G (t, z) satisfait a`
Gt (t, z) + 12 z 2 Gzz (t, z) σ12 + σ22 = 0
G (T, z) = (z − 1)+


 r=0

K = 1p
−→ EDP de Black et Scholes avec


vol = σ12 + σ22
−→ G (t, z) = zφ (d1 (z)) − φ (d2 (z))
d1 (z) =
ln z+(σ12 +σ22 )(T −t)/2
√ 2 2√
(σ1 +σ2 ) T −t
d2 (z) = d1 (z) −
p
√
σ12 + σ22 T − t.
Nous avons donc comme conclusion que
F (t, s1 , s2 ) = s2 G t, ss12 = s1 φ d1 ss12
− s2 φ d2 ss12
.
64
2.4
Extensions de la formule de Black et Scholes
On va g´en´eraliser la formule obtenue dans le paragraphe pr´ec´edent a` un cas multidimensionnel, o`u les
actions versent des dividendes.
2.4.1
Strat´egies de financement
Le march´e comporte (d + 1) actifs: une obligation (sans risque) et d actions.
Le vecteur des prix des (d + 1) actifs est not´e St , celui des d actifs risqu´es St∗ .
On suppose que l’action i, ainsi que l’obligation, versent un dividende. On note Dti , i ≥ 0 les dividendes cumul´es pay´es par l’actif i jusqu’au temps t. Dt ∈ IRd+1 .
On appelle processus de gain le processus G : Gt = St + Dt . On suppose que G est un processus d’Itˆo.
Formellement, le gain total d’un portefeuille θ (capital plus dividende) est donn´e par
Rt
0
θ (s) · dGS ≡
Rt
0
mais nous supposons seulement l’existence de
R
θ (s) · dSs +
Rt
0
θ (s) · dDS
θ · dG (donc θ appartient a` Θ (G)).
D´efinition 2.4.1 Soit Z une variable al´eatoire positive FT -mesurable. On dit que θ ∈ Θ (G) finance Z
si
Z
θt · St = θ0 · S0 +
t
θ (s) · dG (s)
t ∈ [0, T ] p.s.
0
θT · ST = Z
p.s.
On peut g´en´eraliser cette d´efinition en consid´erant un processus ξ de consommation ou de refinancement.
D´efinition 2.4.2 Soit Z ∈ FT et ξt un processus Ft adapt´e tel que
RT
0
| ξ (s) | ds < ∞ p.s.
On dit que θ ∈ Θ (G) finance (ξ, Z) si
65
θt · St = θ0 · S0 +
θT · ST = Z p.s.
Rt
0
θ (s) · dG (s) −
Rt
0
ξ (s) ds t ∈ [0, T ] p.s.
La quantit´e θ0 · S0 est le prix implicite a` l’instant 0 de (ξ, Z). Sous A.O.A. ce prix ne d´epend que de
(ξ, Z). Le prix implicite a` l’instant t est
π (ξ, Z)t = θt · St .
2.4.2
Les variables d’´etat
On suppose a` pr´esent que l’´economie est d´ecrite par un vecteur d’´etat Yt ∈ IRd , v´erifiant l’EDS
dYt = ν (t, Yt ) dt + η (t, Yt ) dBt
(2.12)
o`u Bt est un m.b. multidimensionnel donn´e de dimension m,
ν est une fonction de [0, T ] × IRd a` valeurs dans IRd ,
η est une fonction de [0, T ] × IRd a` valeurs matricielles d × m.
On suppose que ν et η sont mesurables et sont lipschitziennes en x, uniform´ement par rapport a` t, pour
assurer l’existence d’un unique processus Y v´erifiant (2.12).
On suppose que les prix des actifs risqu´es sont des fonctions de Yt soit
St∗ = Y (t, Yt )
i
o`u Y est une fonction de C 1,2 [0, T ] × IRd , IRd telle que la matrice Yy = ( ∂Y
∂yj )i,j est inversible.
Nous supposons que le march´e est complet et donc que d = m et que η est inversible.
Cette hypoth`ese nous permettra d’obtenir l’existence d’un portefeuille financ¸ant une variable terminale.
L’obligation est suppos´ee avoir un prix constant St0 = 1.
Les processus des dividendes sont donn´es par les taux, on suppose que ce sont des fonctions de Yt :
dDtT
dt
= r (t, Yt ) , δ (t, Yt )T ,
o`u r (t, y) repr´esente le taux d’int´erˆet a` court terme; δ (t, y) ∈ IRd est le taux des dividendes.
66
2.4.3
EDP de Black et Scholes
On consid`ere les strat´egies qui financent (ξ, Z) dans le cas
o`u f : [0, T ] × IRd −→ IR
ξt = f (t, Yt )
o`u g : IRd −→ IR
Z = g (YT )
On suppose qu’il existe une fonction
C ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd , IR telle que π (ξ, Z)t = C (t, Yt )
et un portefeuille θ financ¸ant (ξ, Z) et on va d´eterminer C. Soit
Vt ≡ π (ξ, Z)t = θt · St .
En utilisant le fait que θ finance (ξ, Z) on obtient
dVt = θt · dGt − f (t, Yt ) dt
= θt · dSt + θt · dDt − f (t, Yt ) dt
= αt dSt0 + βt · dSt∗ + {αt r (t, Yt ) + βt · δ (t, Yt )} dt − f (t, Yt ) dt
o`u
θtT = αt , βtT
avec αt ∈ IR, βt ∈ IRd .
Nous utilisons le lemme d’Itˆo pour calculer dSt∗ .
Nous rappelons d’abors le lemme d’Itˆo multidimensionnel: Soit X = X 1 , ..., X d
multidimensionnel:
dXt = µt dt + σt dBt
o`u µt est un processus Ft -adapt´e, µt : Ω −→ IRd
σt est une matrice al´eatoire (d × k) adapt´e,
Bt un mouvement brownien de dimension k,
µ, σ processus verifiant (1.10).
67
T
un processus d’Itˆo
Lemme 2.4.1 Soit f ∈ C 1,2 [0, T ] × IRd ; IR .
On note
∂f
(t, x) , ..., ∂x
(t,
x)
le vecteur ligne
d
2
fxx (t, x) la matrice ∂x∂i ∂xj f (t, x)
et ft (t, x) = ∂f
∂t (t, x) .
fx (t, x) =
∂f
∂x1
i,j
Soit Yt = f (t, Xt ),
alors
dYt = ft (t, Xt ) + fx (t, Xt ) µt + 12 tr σt σtT fxx (t, Xt )
dt + fx (t, Xt ) σt dBt
o`u pour une matrice carr´ee (Ai,j )i,j on note trA =
d
P
Ai,i (la somme des e´ l´ements diagonaux).
i=1
Notation
dYt = Lf (t, Xt ) dt + fx (t, Xt ) σt dBt
o`u l’op´erateur L s’appelle le g´en´erateur infinit´esimal ou le Dynkin:
Lf (t, x) = ft (t, x) + fx (t, x) µt + 21 tr σt σtT fxx (t, x) .
Nous remarquons que dSt0 = 0 car St0 = 1 :
dVt =
d
X
(
βti dSti
=
αt r (t, Yt ) +
)
βti δ i (t, Yt )
dt − f (t, Yt ) dt
i=1
i=1
d
X
+
d
X
βti LY i (t, Yt ) + δ i (t, Yt ) dt + [αt r (t, Yt ) − f (t, Yt )] dt
i=1
+
d
X
βti Yyi (t, Yt )η(t, Yt )dBt
i=1
68
(2.13)
o`u
1
i
LY i (t, Yt ) = Yti (t, Yt ) + Yyi (t, Yt )ν(t, Yt ) + tr η(t, Yt )η(t, Yt )T Yyy
(t, Yt )
2
D’autre part, en utilisant Vt = C (t, Yt ) on obtient
dVt = LC (t, Yt ) dt + Cy (t, Yt ) η (t, Yt ) dBt
o`u
(2.14)
1
LC(t, Yt ) = Ct (t, Yt ) + Cy (t, Yt )ν(t, Yt ) + tr η(t, Yt )η(t, Yt )T Cyy (t, Yt ) .
2
On identifie les coefficients de Bt dans (2.13) et (2.14)
βtT Yy (t, Yt ) η (t, Yt ) = Cy (t, Yt ) η (t, Yt )

Yy1


d’o`u puisque Yy =  ...  est inversible
Yyd

βtT = Cy Yy−1
et
C (t, Yt ) = αt + βt · St∗ = αt + Cy Yy−1 St∗
d’o`u
αt = C − Cy Yy−1 St∗ .
On identifie a` pr´esent les coefficients de dt dans (2.13) et (2.14), en remplac¸ant αt et βt par leurs valeurs.
Il vient
Cy Yy−1 (LY + δ − rSt∗ ) = f + LC − rC.
69

LY 1


avec LY =  ...
.
d
LY

On explicite les op´erateurs LY et LC qui d´ependent des coefficients ν et η du processus Y.
2 i ∂ Y
i la matrice de composantes
Il vient, en notant Yyy
∂yl ∂yk
l,k
Cy Yy−1 Yy · ν + Yt +
+ δ − rSt∗
1≤i≤d
= f − rC + Cy · ν + Ct + 12 tr ηη T Cyy
1
2
i
tr ηη T Yyy

Yt1
T


i
T Y 1 , · · · , tr ηη T Y d
avec Yt =  ...  et tr ηη T Yyy
=
tr
ηη
yy
yy
1≤i≤d
Ytd

Apr`es simplification par Cy · ν, si l’on pose
n
γ (t, Yt ) = −Yy−1 (t, Yt ) Yt (t, Yt ) +
1
2
o
i (t, Y ))
tr(ηη T Yyy
+
δ
−
rY
(t,
Y
)
t
t
1≤i≤d
on trouve
Cy γ + Ct + 12 tr ηη T Cyy = rC − f
ˆ l’op´erateur d´efini par
Notons L
ˆ = Cy γ + Ct + 1 tr ηη T Cyy
LC
2
La fonction C est solution de l’EDP:
ˆ − rC = −f
LC
(2.15)
C (T, y) = g (y) .
(2.16)
et est soumise a` la condition fronti`ere
Nous avons une repr´esentation des solutions de (2.15) et (2.16) grˆace a` la formule de Feynman-Kac.
70
Th´eor`eme 2.4.1 Sous des conditions de r´egularit´e, l’unique solution de (2.15) - (2.16) est donn´ee par
hR
i
T
C (t, y) = IE t e−φ(s) f (s, Wsy,t )ds + e−φ(T ) g WTy,t
o`u Wsy,t est l’unique processus solution de
(
dWsy,t = γ s, Wsy,t ds + η s, Wsy,t dBs
Wty,t = y
avec
γ (t, x) = −Yy−1 (t, x) Yt +
1
2
i
tr ηη T yyy
+
δ
−
rY
(t, x)
1≤i≤d
o`u
φ (s) =
Rs
t
r(u, Wuy,t )du.
La fonction C repr´esente le prix implicite d’une strat´egie financ¸ant (ξ, Z) dans le cas
ξt = f (t, Yt ) et Z = g (YT )
Retournons a` la derni`ere application de la section 2.3.6:
St = Y (Yt ) =⇒ Y = identit´e
Yy = 1
Yyy = 0
Yt = 0
=⇒
γ (t, x) = +r (t, x) x
=⇒
ˆ = Cx r (t, x) x + Ct + 1 tr ηη T Cxx
LCˆ − rC = 0 avec LC
2
2.4.4
Probabilit´e risque-neutre.
On peut d´emontrer le th´eor`eme 2.4.1 avec le concept de probabilit´e risque-neutre en tenant compte que
la probabilit´e risque-neutre Q est d´efinie en g´en´erale telle que le processus du gain actualis´e Gat est une
martingale sous Q, o`u Gat est d´efinie par
Z t
Z s
Z t
a
Gt = exp −
ru du St +
exp −
ru du dDs .
(2.17)
0
0
71
0
Chapitre 3
Options exotiques
Dans une premi`ere section nous pr´esentons des options a` barri`eres. Dans une deuxi`eme section nous
pr´esentons d’autres options exotiques.
3.1
Les options a` barri`eres
Dans ce type d’options, un niveau (barri`ere) L ou H est fix´e au mˆeme moment que le prix d’exercice.
Nous nous restreignons au cas des options d’achat europ´eennes.
L’acheteur d’une option Down-and-out perd le droit d’exercice si le prix du sous-jacent (St )t≥0 descend
sous le niveau L avant la date d’´ech´eance T . On suppose que S0 > L. Sinon le d´etenteur de l’option
rec¸oit le payoff (x − K)+ pour une call option.
Le prix d’un down-and-out call est
h
i
DOC(S0 , K, L) = E Q e−rT (ST − K)+ 1(TL >T )
o`u TL est le temps d’arrˆet o`u le sous-jacent franchit pour la premi`ere fois la barri`ere, soit:
TL = inf {t |St ≤ L } = inf {t |St = L }, la derni`ere e´ galit´e r´esultant de l’hypoth`ese S0 > L et de la
continuit´e des trajectoires.
Les options Up-and-out, Up-and-in et Down-and-in sont d´efinies de mani`ere analogue.
On peut aussi consid´erer le cas o`u le d´etenteur de l’option rec¸oit une compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du bas L. Cette compensation est fix´ee a` la signature du contrat et est percue
au moment
du franchissement
de la barri`ere ou a` la date d’´ech´eance.
est major´e de
h
i
h Le prix de l’option
i
Q
−rT
Q
−rT
F E e L 1(TL ≤T ) dans le premier mode de paiement et F E e
1(TL ≤T ) dans le second. On
peut aussi envisager la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H.
72
h
i
Dans un premier paragraphe nous allons d’abord d´eriver la valeur de F E Q e−rT 1(TH ≤T ) et dans
h
i
un deuxi`eme paragraphe celui de F E Q e−rTH 1(TH ≤T ) . Nous aurons besoin de r´esultats de Calcul
Stochastique. Dans un dernier paragraphe nous nous concentrons sur la valorisation et couverture d’une
option Down-and-In.
Nous nous plac¸ons dans le mod`ele complet de Black et Scholes o`u sous la probabilit´e risque-neutre Q,
le prix du sous-jacent est donn´e par
dSt
= rdt + σdBt .
St
Dans ce chapitre, Φ(x) =
3.1.1
exp(−u2 /2)
√
du,
2π
Rx
−∞
x ∈ IR.
Prix de la compensation F en cas de franchissement de la barri`ere du haut H, pay´e
a` la date d’´ech´eance
En utilisant la formule de risque-neutral pricing, nous devons calculer
F e−rT EQ 1(TH ≤T ) =?
Parce que
dSt
= rdt + σdBt
St
on peut e´ crire que
1 2
= S0 exp
r − σ t + σBt
2
r
σ = S0 exp σ Bt +
−
t
σ
2
= S0 exp (σWt )
St
avec Wt = Bt + mt, avec m =
r
σ
−
σ
2
Ainsi on peut r´ee´ crire le temps de franchissement
73
TH
= inf {t, St ≥ H}
H
= inf t : σWt ≥ ln
S0
1
H
= inf t : Wt ≥ ln
σ S0
H
1
= Th avec h = ln
σ S0
Nous concluons que la compensation est e´ gale a`
"
−rT
Fe
EQ 1(TH ≤T ) = F e−rT Q
#
sup Wt ≥ h
0≤t≤T
"
−rT
= Fe
#
Q sup (Bt + mt) ≥ h
t≤T
Nous avons donc besoin de quelques r´esultats sur des mouvements Brownien, qui seront donn´es dans
l’Intermezzo suivant.
74
INTERMEZZO: CALCUL STOCHASTIQUE
Quelques r´esultats sur (Bt )t , un mouvement Brownien sans d´erive:
I. Principe de r´eflexion.
Proposition 3.1.1 Notons Mt = sup0≤s≤t Bs avec (Bs )s un m.B.

Pour 0 ≤ y, x ≤ y
 P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = P (Bt ≥ 2y − x) .



 Pour x ≥ y ≥ 0
P (Mt ≥ y, Bt ≥ x) = P (Bt ≥ x) .
D´emonstration
Le cas x ≥ y ≥ 0 est trivial. Prenons donc le cas 0 ≤ y, x ≤ y.
Soit Ty = inf {t : Bt ≥ y} le temps d’attente de y et Mt = sup0≤s≤t Bs . Par d´efinition
(Ty ≤ t) = (Mt ≥ y) .
Par continuit´e des trajectoires Ty = inf {t : Bt = y} et BTy = y. D’o`u
P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = P (Bt ≤ x, Ty ≤ t)
= P Bt − BTy ≤ x − y, Ty ≤ t
= E 1Ty ≤t P Bt − BTy ≤ x − y |Ty
∼
= E 1Ty ≤t P B t−Ty ≤ x − y
d
et−Ty =
o`u B
Bt − BTy , t ≥ Ty est un mouvement brownien ind´ependant de (Bt , t ≤ Ty ), de mˆeme
∼
loi que −B. Ainsi on trouve que
∼
P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = E 1Ty ≤t P B t−Ty ≥ y − x
et en remontant les calculs, on trouve que:
75
P (Bt ≤ x, Mt ≥ y) = E 1Ty ≤t P (Bt − BTy ≥ y − x | Ty )
= P (Bt ≥ 2y − x, Ty ≤ t)
= P (Bt ≥ 2y − x)
car 2y − x ≥ y.
II. R´esultats pour un mouvement Brownien avec d´erive.
La proposition suivante est tr`es importante pour les options a` barri`eres:
Proposition 3.1.2 Notons MtX = sup (σBs + µs).
0≤s≤t
Pour Xt = µt + σBt
y≥0
P MtX
σ>0:
2µy/σ 2 Φ −y−µt
√
√
−
e
.
≤ y = Φ y−µt
σ t
σ t
D´emonstration.
Nous remarquons que
P MtX ≥ y = P
avec τ = inf t | Bt ≥
y
σ
sup Bs +
s≤t
µs σ
≥
y
σ
= P (τ ≤ t)
− σµ t .
2
−2µ/σ Bt −2 µ2 t
σ
Puisque e
est une martingale:
t
Z
µ2
e−2µ/σ Bt −2 σ2 t dP
Z
=
(τ ≤t)
µ2
e−2µ/σ Bτ −2 σ2 τ dP
(τ ≤t)
Z
=
y
µ
(τ ≤t)
2
= e−2µy/σ P (τ ≤ t)
76
µ2
e−2µ/σ( σ − σ τ )−2 σ2 τ dP
Par cons´equent :
MtX
P
≥y
= P (τ ≤ t) = e
2µy/σ 2
2µ2
Z
e−2µ/σ Bt − σ2 t dP
(τ ≤t)
2
−2µ/σ Bt − 2µ2 t
2µy/σ 2
σ
1(τ ≤t)
= e
EP e
En utilisant le th´eor`eme de Girsanov dans le cas
et est un mouvement brownien. Ainsi:
B
dQ
dP |Ft =
"
P
MtX
≥y
2µy/σ 2
= e
EP e
"
2µy/σ 2
= e
EQ e
"
2µy/σ 2
= e
EQ e
µ2
e−µ/σ Bt − 2σ2 t , on sait que sous Q : Bt + σµ t =
2t
2σ 2
µ
−σ
Bt − µ
2
µ e
−σ
Bt − µ 2t
2σ
2
µ e
−σ
Bt − µ 2t
2σ
#
2
µ
− µ2t
−σ
(Bt + µt
σ )
2σ
e
e
1τ ≤t
#
1τ ≤t
#
1Mt ≥y/σ
es sous Q telle que:
avec Mt = sup0≤s≤t B
 h
 Q Mt ≥ a,
h
 Q Mt ≥ a,
i
et ≤ x = Q B
et ≤ x − 2a
B
i
et ≥ x
et ≥ x = Q B
B
x≤a
x>a
n
o
et = y/σ , et on obtient
par le principe de r´eflexion. En plus on sait que τ = inf t | B
77
P MtX ≥ y
2µy/σ 2
Z
2µy/σ 2
Z
= e
1(Mt ≥y/σ) e
y/σ
= e
e
2
µ e
−σ
Bt − µ 2t
2σ
2t
2σ 2
µ
−σ
x− µ
fBet (x − 2y/σ) dx + e
−∞
=
=
=
=
dQ
2µy/σ 2
Z
+∞
e
2
µ
−σ
x− µ 2t
2σ
y/σ
fBet (x) dx.
Z +∞ µ µ2 t − σ x− 2
dx
dx
2
2
2σ
)
√
e
e
e−(
e
e−x /2t √
+ e2µy/σ
2πt
2πt
−∞
y/σ
!
Z
Z y/σ
2
+∞
2 dx
2y
µt
1
1
µt
2 dx
exp −
e− 2t (x−( σ − σ )) √
+
x+
e2µy/σ √
2t
σ
2πt
2πt
y/σ
−∞
Z −y+µt
Z
2
2
√
+∞
σ t
e−u /2
e−u /2
2
√
√
du + e2µy/σ
du
y
2π
2π
√
√
−∞
+ µt
σ t
σ t
−y + µt
−y
−
µt
2
2µy/σ
√
√
Φ
+e
Φ
σ t
σ t
2µy/σ 2
Z
y/σ
2t
2σ 2
µ
−σ
x− µ
o`u nous avons utilis´e les substitutions u =
2
x− 2y
/2t
σ
x−( 2y
− µt
σ
σ )
√
t
et u =
x+µt/σ
√
.
t
Par la sym´etrie d’une loi normale,
on obtient le r´esultat:
P
MtX
≤ y = P (τ ≥ t) = Φ
y − µt
√
σ t
−e
2µy/σ 2
Φ
−y − µt
√
σ t
.
Fin de l’Intermezzo calcul stochastique
78
Nous allons maintenant appliquer les r´esultats pr´ec´edents a` la valeur de compensation:
"
#
F e−rT EQ [1TH ≤ T ] = F e−rT Q sup (Bt + mt) ≥ h
t≤T
= F e−rT
= F e−rT
en substituant l’expression m =
3.1.2
r
σ
−h − mT
−h + mT
2mh
√
√
+e
Φ
Φ
T
T
2
hσ + rT − σ 2 /2 T
−hσ + rT − σ T /2
2(r−σ 2 /2)h/σ
√
√
+e
Φ −
Φ
σ T
σ T
− σ2 . Maintenant h peut encore eˆ tre substitu´e.
Valeur de la compensation pay´e au moment du franchissement
Maintenant nous d´erivons le prix F EQ e−rTh 1(Th ≤T ) de la compensation F en cas de franchissement
d’une barri`ere du haut H pay´e au moment du franchissement
EQ e−rTH 1(TH ≤T ) = ER exp mWTh − 12 m2 Th e−rTh 1(Th ≤T )
avec
dR
dQ |t =
exp −mBt − 21 m2 t ou
dQ
dR |t =
exp mWt − 21 m2 t
sous R : Wt = Bt + mt est un mouvement brownien standard. Donc
i
h
2
EQ e−rTH 1(TH ≤T ) = emh ER 1(Th <T ) exp − 2r+m
Th
2
avec
TH = Th = inf t : Wt ≥
1
σ
ln H
x =h
et avec Wt un mouvement brownien standard sous R.
Nous avons a` nouveau besoin d’un r´esultat sur le mouvement Brownien.
79
Un r´esultat sur le mouvement brownien (Bt )t≥0 .
Proposition 3.1.3
√
√
p
p
−µTy
√
y
−y 2µ
+ e 2µy Φ −y/ a − 2µa
EQ e
1(Ty <a) = e
Φ
2µa − √
a
avec Ty = inf {t : Bt ≥ y} avec Bt mouvement brownien sous Q
D´emonstration:
h √
i
√
EQ e−µTy 1(Ty <a) = e−y 2µ EQ e 2µBTy e−µTy 1(Ty <a)
Nous utilisons le th´eor`eme de Girsanov avec
∼
dQ
dQ
∼
Sous Q,
= eBt
√
2µ−µt .
n
o
∼
√
et + √2µt = y
Bt = Bt − 2µt est un mouvement brownien. Donc avec Ty = inf t, B
−µTy
EQ e
1Ty <a
√
−y 2µ
√
e
E ∼ 1Ty < a = e−y 2µ Q
p
sup
2µs ≥ y
= e
Q
0≤s≤a
p
√
√
√
−y p
2µy
−y 2µ
√
Φ
Φ
= e
2µa − y/ a + e
− 2µa
a
es +
B
parce que pour Xt = σBt + µt
2µy/σ 2 Φ −y−µt
√
√
+
e
Q MtX ≥ y = Φ −y+µt
σ t
σ t
80
Application de ce r´esultat a` la valeur de compensation:
−rT
1 2
−rTh
H
EQ e
1(TH ≤T ) = ER exp mWTh − m Th e
1(Th <T )
2
2r + m2
mh
Th
= e ER 1(Th <T ) exp −
2
n
o
avec Th = inf t : Wt ≥ h = σ1 ln SH0 et Wt = Bt + mt un mouvement brownien sous R tel qu’on
peut utiliser la proposition ci-dessus:
−rT
−hσ + rT + σ 2 T /2
−hσ − rT − σ 2 T /2
−hσ
2rh/σ
H
√
√
EQ e
1(TH ≤T ) = e
Φ
+e
Φ
.
σ T
σ T
3.1.3
Valeur d’une down-and-in call.
Nous proc´edons maintenant a` la d´erivation du prix d’un Down-and-In call.
Proposition 3.1.4 Supposons x = S0 > L.
DIC (S0 , L, K) = e−rT EQ (ST − K)+ 1(TL <T ) .
Pour K ≤ L
DIC (S0 , L, K)
= S0
Φ (z1 ) − Φ (z2 ) +
L
S0
2r2 +1
σ
!
Φ (z3 )
− Ke−rT
Φ (z4 ) − Φ (z5 ) +
avec:
h
i
√
σ2
x
r
+
T
+
ln
;
z
=
z
−
σ
T
4
1
2
K
σ T
i
h
√
2
z2 = σ√1 T r + σ2 T + ln Lx ; z5 = z2 − σ T
i
h
√
2
z3 = σ√1 T r + σ2 T − ln Lx ; z6 = z3 − σ T .
z1 =
1
√
Pour K > L
81
L
S0
2r2 −1
σ
!
Φ (z6 )
DIC (x = S0 , L, K) =
L
S0
1+2r/σ2
KS 2
C S0 , L20 ,
ce qui permet de donner une strat´egie de couverture de l’option barri`ere avec des calls europ´eens.
Ou bien
DIC (x = S0 , L, K) =
L
S0
1+ 2r2 h
σ
S0 Φ (z7 ) −
KS02 −rT
e
Φ (z8 )
L2
i
avec
z7 =
1
√
σ T
+ r+
√
z8 = z7 − σ T .
h
ln
L2
S0 K
σ2
2
i
T
Pour la d´emonstration, nous nous limitons au cas o`u K > L. Nous utilisons la sym´etrie de Peter Carr.
Proposition 3.1.5 Sym´etrie de Peter Carr
Supposons que r = 0 et
dSt
St
= σdWt sous Q.
Alors, on a
Call (t, St , K, T ) = KSt Put
t, S1t , K1 , T
= Put (t, K, St , T )
D´emonstration. La derni`ere e´ galit´e est obtenue parce que l’homog´en´eit´e implique que
Put (t, ax, aK, T ) = a Put (t, x, K, T ) .
Maintenant:
Call(t, St , K, T ) = EQ (ST − K)+ |Ft = KEQ ST K1 −
1
ST
+
Nous introduisons une standardisation:
St = xMt avec M0 = 1,
dMt
Mt
= σdWt .
En utilisant le lemme d’Ito, on v´erifie que
d M1t = − M12 (Mt σdWt ) +
t
2
Mt2 σ 2 dt
2Mt3
82
= − Mσt (dWt − σdt)
|Ft .
D´efinissons
dR
dQ
= Mt = exp σWt −
σ2
2 t
.
∼
Alors, on a que W t = Wt − σt est un mouvement brownien sous R.
∼
Donc sous R, d M1t = − Mσt dW t .
D´efinissons aussi Zt =
x
St .
Nous rappellons la formule de Bayes:
ER (A |Ft ) =
EQ [AMT |Ft ]
.
Mt
En utilisant ces notations et ces r´esultats, on trouve que
Call(t, St , K, T ) = KxMt ER
1
K
−
ZT
x
+
sur un actif avec dynamiques d Zxu = −σ Zxu dWu de valeur
sym´etrie de Peter Carr est termin´ee.
|Ft = KSt Put t, S1t , , K1 , T
1
St
a` l’instant t. Ainsi la d´emonstration de la
D´emonstration.
Maintenant, nous d´emontrons le prix d’une down-and-in call dans le cas K > L comme corollaire de la
sym´etrie de Peter Carr. Nous commenc¸ons par le cas o`u r = 0.
EQ (ST − K)+ 1(TL <T ) = EQ 1(TL <T ) EQ (ST − K)+ | FTL
o`u EQ (ST − K)+ | FTL = call (TL , L, K, T ) = Put (TL , K, L, T ) par la sym´etrie de Peter Carr.
En utilisant l’homog´en´eit´e, on trouve que
i
h
2
EQ (ST − K)+ 1TL <T = EQ 1TL <T K/L Put TL , L, LK , T =
On remarque que pour
L2
K
K
L EQ
− ST > 0, on a que TL < T ; donc on conclut que
83
1TL <T EQ
L2
K
− ST
+
| FTL
.
EQ (ST − K)+ 1TL <T =
=
=
=
K
L2
Put x,
L
K
2 K
L
call
,x
L
K
K
call L, x
L
L
Kx2
call x, 2
x
L
(3.1)
Et nous trouvons donc bien le r´esulat dans le cas o`u r = 0, avec S0 = x:
DIC (x = S0 , L, K) =
L
S0
1+2r/σ2
KS 2
C S0 , L20 ,
Avant de consid´erer le cas de taux d’int´erˆet non-nuls, nous observons qu’en d´erivant (3.1) par rapport a`
K, on obtient
Q (ST > K, min St ≤ L) =
Kx2
x
Q ST > 2
L
L
parce que
L
call L, K
L x = EQ (ST x −
Kx +
L )
et donc
d
dK call
x
L
L, K
L x = − L Q ST x >
Kx
L
Nous d´erivons maintenant le prix d’un Down- and-In option dans le cas r 6= 0.
Soit S de dynamique
dSt = St (rdt + σdBt )
et
d´
ef
γ −1 = 1 −
84
2r
σ2
(3.2)
En utilisant le lemme d’Ito, on trouve que St = S0 (Mt )γ avec
dMt
Mt
= σγ −1 dBt parce que
γ
2
− 12 σ2 t+σγ −1 Bt
r−σ 2 /2)t+σBt
(
St = S0 e
= S0 e γ
Nous remarquons que
Q (ST ≥ K, min St ≤ L) = Q MT ≥
K
S0
1/γ
, min Mt ≤
L
S0
1/γ !
Nous utilisons maintenant (3.2) ici avec S0 = x:
!
Kx 1/γ
Q MT >
Q (ST ≥ K, min St ≤ L) =
L
L2
x 1/γ Kx2
=
Q ST > 2
L
L
x 1/γ
En int´egrant on trouve le r´esultat:
+
EQ (ST − K) 1TL ≤T
Z
+∞
Q (ST > k, min St ≤ L) dk
x 1/γ
L2
EQ ST 2 − K
=
L
x
+
2r2 −1 2
L
x2 K
L σ
EQ ST − 2
.
=
x
x
L
+
=
K
3.2
Autres options.
Ce paragraphe est tir´e du livre de Dana & Jeanblanc-Picqu´e.
Nous donnons en exemple quelques-unes des options trait´ees sur les march´es. Nous ne d´etaillons pas les
calculs, souvent tr`es p´enibles. Nous n’abordons pas le probl`eme primordial de couverture, encore plus
complexe que la valorisation.
85
3.2.1
Options li´ees au temps d’atteinte d’une barri`ere.
Les options type digitales.
- Les options asset-or-nothing sont li´ees a` un ”prix d’exercice” K. Le flux terminal est e´ gal a` la valeur du
sous-jacent si celui-ci est ”dans la monnaie” a` maturit´e, soit ST 1ST ≥K , et a` 0 sinon. Le ”prix d’exercice”
joue le role d’une barri`ere. La valeur d’une telle option est
e−rT EQ (ST 1ST ≥K )
et est facile a` e´ valuer (c’est le premier terme du prix Black et Scholes).
-Les options digitales sont associ´ees a` une barri`ere. Le payoff d’une option digitale up-and-out est 1 si
le sous-jacent n’a pas franchi la barri`ere avant maturit´e, 0 sinon. Le prix d’une telle option est
e−rT EQ (1TL >T ) = e−rT Q (TL > T ) .
La loi de TL sous Q est la loi du premier temps d’atteinte d’une barri`ere
l=
1
σ
ln SL0
par le brownien drift´e σr t + Bt . Le calcul correspondant a` e´ t´e fait lors du calcul de la compensation.
-Les options asset-or-nothing peuvent e´ galement avoir un caract`ere up-and-in li´e a` une barri`ere. Leur
prix sera alors
e−rT EQ (ST 1ST ≥K 1TL ≥T ) .
Elles sont utilis´ees pour obtenir des portefeuilles de couverture d’options barri`eres.
Les options barri`eres forward-start.
Dans ce type d’options, la barri`ere n’est mise en place qu’`a un instant t < T o`u T est la maturit´e. Leur
payoff est (ST − K)+ 1THt ≥T avec
THt = inf {u ≥ t : Su ≥ H} .
86
Les options early-ending ont une barri`ere qui n’est op´erante qu’entre l’´emission et une date t.
Les boost.
Une option boost est associ´ee a` deux barri`eres: une barri`ere haute H et une barri`ere basse L. Le payoff
d’une telle option est proportionnel au temps pass´e entre les barri`eres avant le premier instant de sortie.
Le calcul de la valeur d’une option boost se fait au moyen de la transform´ee de Laplace de T ∗ = TH,L ∧T,
d´
ef
o`u TH,L est le premier instant de sortie du “tunnel” TH,L = TH ∧ TL . Cette transform´ee de Laplace est
∗
d´efinie par ψ (λ) = EQ e−λT .
La connaissance de cette fonction donnera le r´esultat voulu par d´erivation par rapport a` λ qui conduit a`
0
−ψ (λ) = EQ T ∗ e−λT
Pour calculer ψ, on d´ecompose EQ e−λT
EQ e−λT
∗
∗
∗
.
en deux parties:
= EQ e−λTH,L 1TH,L <T + e−λT Q (TH,L > T ) .
La loi de TH,L est connue et est donn´ee par une s´erie double.
- Si le paiement a lieu a` maturit´e, le prix d’une option boost est, au coefficient de proportionalit´e pr`es
0
EQ e−rT T ∗ = −e−rT ψ (0) .
- Si le paiement a lieu ’at hit”, le prix est
∗
0
EQ e−rT T ∗ = −ψ (r) .
3.2.2
Les options avec temps d’occupation.
Les options cumulatives.
Ce sont des options qui disparaissent si le sous-jacent a pass´e plus d’un certain temps, pr´ecis´e dans
le contrat, au-dessus d’une barri`ere.R Si L est la barri`ere et D le temps a` ne pas d´epasser, le payoff
T
s’´ecrit (ST − K)+ 1AT ≤D o`u AT = 0 1St ≥L dt mesure le temps pass´e par le sous-jacent au-dessus de
la barri`ere L. Le probl`eme est alors r´esolu en calculant la loi du couple (AT , ST ) ce qui n´ecessite des
calculs que nous ne pouvons reproduire. On pourra consulter Chesney et al. (1997) et Hugonnier (1998).
87
Les options boost-cumultatives.
Les Rboost cumulatives unilat´erales ont un payoff proportionnel au temps pass´e au-dessus de la barri`ere,
T
soit 0 1St ≥L dt. Leur valeur est
RT
BC = EQ e−rT 0 1St ≥L dt
ce qui se calcule facilement
BC = e−rT
RT
0
Q (St ≥ L) dt
et le terme Q (St ≥ L) s’exprime, comme dans la formule de Black et Scholes, au moyen de la fonction
de r´epartition de la loi gausienne.
Les step-options.
RT
L
Introduites par Linetzky (1997), leur payoff est e−νAT (ST − K)+ o`u AL
T = 0 1St ≤L dt et ν est un
coefficient positif, pr´ecis´e comme les autres param`etres K et L au moment de la signature. Ce payoff
est plus petit que le payoff europ´een de mˆeme prix d’exercice, avec e´ galit´e si le sous-jacent est rest´e
en dessous de labarri`ere entre l’´emission et la maturit´e. Linetzky les valorise en d´eterminant la loi du
couple ST , AL
. On peut
e´ galement transformer l’expression en utilisant le brownien W et la loi du
RTT
couple WT , 0 1Wt ≤l dt qui figure dans l’ouvrage de Borodin-Salminen (1997).
Les options quantiles.
Introduites par Akahori (1995), leur payoff est (AαT − K)+ o`u
n
o
RT
AαT = inf x ∈ R : 0 1St ≤x dt ≥ αT .
Les options parisiennes.
Ce sont des options ayant des points communs avec les cumulatives, mais o`u ne cumule pas le temps.
L’option disparaˆıt si le sous-jacent reste pendant un intervalle de temps de longueur D au-dessus d’un
certain niveau L. Elles sont beaucoup plus difficiles a` valoriser. La premi`ere e´ tape est d’´ecrire le payoff
de fac¸on math´ematique. Pour cela, on introduit le dernier instant avant t o`u le sous-jacent a atteint le
niveau L que l’on note gt = sup {s ≤ t |Ss = L} , puis le temps d’arrˆet H o`u l’option meurt par
88
H = inf {t |(t − gt ) ≥ D, St ≤ L} .
Dans cette expression, t − gt ≥ D signifie que, entre gt et t le sous-jacent ne prend pas la valeur L,
et l’in´egalit´e St ≤ L pr´ecise qu’`a l’instant t la valeur du sous-jacent est sous le niveau L. La valeur de
l’option est
EQ e−rT (ST − K)+ 1H≥T .
Cette quantit´e demande la connaissance de la loi du couple (ST , H) ce qui n’est pas ais´e. On calcule la
transform´ee de Laplace en temps du prix (Chesney et al. (1997) et Yor et al. (1997)), c’est-`a-dire
R∞
0
dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≥t .
En fait il est plus facile de calculer
Z
∞
dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≤t
Z0 ∞
Z
+
−λt
−rt
=
dte EQ e (St − K) −
0
∞
dte−λt EQ e−rt (St − K)+ 1H≥t
0
La premi`ere int´egrale du second membre se calcule explicitement au moyen de la formule de Black et
Scholes. Cette technique permet d’appliquer la propri´et´e de Markov au temps H.
3.2.3
Autres produits.
Les options asiatiques ou options sur moyenne.
Ce sont des options de maturit´e fix´ee T dont le payoff terminal est
R
1 T
T
0
Su du − K
+
.
Les formules exactes de valorisation sont connues, et leur mise en place n´ecessitent des connaissances
qui d´epassent le cadre de ce cours. Nous renvoyons le lecteur a` l’article de Geman-Yor, qui utilise de
mani`ere intensive les processus de Bessel. L’id´ee essentielle est de calculer, non pas le prix, mais la
transform´ee de Laplace en temps de ce prix, c’est-`a-dire
89
R∞
0
e−λt EQ
R
1 t
t
0 Su du − K
+
dt.
Les calculs sont possibles grˆace au r´esultat, dˆu a` Lamperti, qui exprime St en fonction d’un processus de
Bessel e´ valu´e en un instant diff´erent de t (formule de changement de temps).
Une autre approche, d´evelopp´ee par Stanton (1994), Rogers et Shi (1995) et Descamps et Koehl (1997)
consiste a` e´ crire l’´equation aux d´eriv´es partielles de valorisation. La valeur d’une option asiatique est
donn´ee par CtAs = X (t) A (t, Yt )
o`u
d´
ef
Yt =
1
X(t)
R
1 t
t
X
(u)
du
−
K
,
0
et o`u A est solution de
∂A
∂t
+
1
T
− ry
∂A
∂y
2
+ 12 σ 2 y 2 ∂∂yA2 = 0
et satisfait a` la condition fronti`ere A (T, y) = y + .
Sur les march´es, on traite des produits bas´es sur la moyenne arithm´etique
payoff
1
n
n
P
!
S jT
j=1
n
n
1/n
ou (ce qui est plus simple) sur la moyenne g´eom´etrique payoff Π S jT .
j=1
3.2.4
n
Produits d´ependant d’une date interm´ediaire.
Dans les produits suivants, on consid`ere la maturit´e T et une date fix´ee t1 telle que t1 < T.
Les options compos´ees.
Aussi appel´ees options sur option. On distingue l’option m`ere et l’option fille. A la date 0, l’acheteur
ach`ete une option de maturit´e t1 de strike K1 sur une option de maturit´e T > t1 de strike K. Elles se
valorisent en remarquant que le payoff en t1 est, pour call sur call, (C (t1 , K, T ) − K1 )+ .
Les options chooser.
L’acheteur de l’option a la possibilit´e de d´ecider, a` une date t1 < T fix´ee, la nature du produit achet´e:
call ou put. En utilisant la parit´e call-put, il est facile de montrer que le payoff d’une telle option est,
dans le cas o`u les maturit´es et prix d’exercices du call et du put sont identiques
90
max (C (t1 ) , P (t1 )) = C (t1 ) + Ke−r(T −t) − St1
+
et la valorisation est facile.
Les options cliquet.
Leur payoff est max (ST − K, St1 − K, 0) . On peut imaginer des options cliquets portant sur plusieurs
dates interm´ediaires.
Les Bermuda.
Elles sont a` “mi-chemin” entre les europ´eennes et les am´ericaines, d’o`u leur nom. Le d´etenteur d’une
telle option peut exercer son droit avant maturit´e, mais uniquement en certaines dates pr´ed´efinies.
Encore d’autres produits.
Nous allons nous contenter de donner la d´efinition de quelques produits, notre liste n’´etant pas exhaustive.
Les options quanto sont des options faisant intervenir deux pays et le taux de change entre ces deux
pays. Ces options ont e´ t´e e´ tudi´ees par Ch´erif (1996). Leur valorisation repose sur le principe qu’un actif
e´ tranger transcrit en monnaie domestique est un actif domestique.
+
Un exemple est un call sur un actif e´ tranger avec strike en monnaie e´ trang`ere. Le payoff est STf − K f
o`u nous avons succomb´e a` la notation f pour d´esigner le pays e´ tranger. Ce flux est transform´e en monnaie “domestique” par le taux de change X et est alors valoris´
utilisant la probabilit´
e risque neutre
e en
+ f
f
d
. Une autre approche
domestique, index´ee par d, ce qui conduit au calcul de E XT ST − K
consiste a` valoriser le produit en monnaie e´ trang`ere en utilisant
e risque neutre e´ trang`ere et
la probabilit´
+ f
en transcrivant la valeur grˆace au taux de change, soit Xt E f
ST − K f
.
Les deux approches sont identiques par absence d’arbitrage, ce qui lie les probabilit´es risque neutre des
deux pays.
Les options russes.
d´
ef
Elles sont de type am´ericain. Exerc´ees
au temps τ leur payoff est Zτ = K ∨ maxt≤τ St . Il s’agit de
∗
r(τ
−t)
trouver τ qui optimise E Zτ e
.
Les options Rainbow.
Elles portent sur deux sous-jacents. Leur payoff est max (S1 (T ) , S2 (T ) , K) .
91
Chapitre 4
G´en´eralit´es de mod`eles de taux d’int´erˆet
stochastiques
4.1
4.1.1
G´en´eralit´es des mod`eles en temps continu.
D´efinitions.
On appelle z´ero-coupon de maturit´e T , un titre versant un euro a` la date T , et ne donnant aucun flux
entre t et T .
On suppose que, pour tout T , il existe un z´ero-coupon de maturit´e T .
Le prix a` la date t d’un z´ero-coupon de maturit´e T est not´e P (t, T ) ou B(t, T ). Dans un premier temps,
nous utiliserons la notation P (t, T ). Il est clair que P (T, T ) = 1.
On introduit “le rendement a` l’´ech´eance” en t ou le “taux a` terme pour la p´eriode [t, T ]” (= “yield to
maturity” en t), soit Y (t, T ), d´efini par
P (t, T ) = exp (−Y (t, T )(T − t)) .
Le “taux spot forward” ou le “taux a` terme instantan´e” en t pour la maturit´e T est:
92
f (t, T ) = −
∂ ln P (t,θ)
∂θ
θ=T
et on a donc
R
T
P (t, T ) = exp − t f (t, u)du et
RT
Y (t, T ) = T 1−t t f (t, u)du.
Le taux spot instantan´e est
r(t) = lim Y (t, T ) ≡ −
T →t
∂ ln P (t,T )
∂T
T =t
= f (t, t).
La courbe des taux est une des fonctions
θ → Y (t, θ),
θ → P (t, θ),
θ → f (t, θ).
Le facteur d’actualisation est
R(t) ≡ exp −
Rt
0
r(s)ds.
Dans un mod`ele d´eterministe, on doit avoir
P (t, T ) = P (t, u)P (u, T )
∀t 6 u 6 T,
pour e´ viter les opportunit´es d’arbritage.
Ceci n’est pas le cas dans un mod`ele stochastique.
Dans un mod`ele stochastique, on se donne comme toujours un espace probabilis´e muni d’une filtration
Ft que l’on supposera eˆ tre une filtration brownienne.
93
On suppose que les variables P (t, .) sont Ft mesurables.
On suppose que les processus P (., T ) sont ∀T positifs, adapt´es, continus et que P (t, T ) est d´erivable par
rapport a` T , de d´eriv´ee continue.
On suppose qu’il existe une probabilit´e IQ sous laquelle les processus de gain actualis´es (donc prix
actualis´e + toutes les dividendes actualis´ees cumul´ees) sont des martingales de carr´e int´egrable. En
particulier, dans le cas sans dividendes, le processus R(t) P (t, T ) est une martingale sous IQ.
Cette propri´et´e entraˆıne des r´esultats int´eressants. Tout d’abord, puisque P (T, T ) = 1, on obtient que
h
R
i
T
P (t, T ) = IE IQ exp − t ru du | Ft .
Remarque
dIQ
En notant LT = dI
P et Lt = IE IP (LT | Ft ) , on montre (voir Lamberton et Lapeyre p. 121 ou p. 114)
qu’il existe un processus adapt´e q ∈ L2LOC tel que
R
Rt
t
Lt = exp − 0 q(s)dBs − 21 0 q 2 (s)ds .
On en d´eduit que, pour chaque maturit´e T , il existe un processus adapt´e σ(t, T ) ∈ L2LOC tel que sous IP
∼
dP (t, T ) = P (t, T ) (rt + qt σ(t, T ))dt + σ(t, T )dB t
∼
o`u (B t )t est un IP − Ft m.b.. La quantit´e q(t)σ(t, T ) est la diff´erence entre le taux moyen du z´erocoupon et le taux sans risque. Le processus q est appel´e prime de risque, prix de march´e du risque.
∼
Rt
Sous IQ, Bt = B t + 0 qs ds est un m.b. et donc sous IQ:
dP (t, T ) = P (t, T ) (rt dt + σ(t, T )dBt ) .
94
(4.1)
4.1.2
Changement de num´eraire.
a/ Probabilit´e forward - neutre
La valeur a` la date t d’un flux d´eterministe F rec¸u a` la date T est
h
R
i
T
F IEIQ exp − t ru du | Ft = F P (t, T ).
Si ce flux FT est al´eatoire, la valeur a` la date t de ce flux est
h
R
i
T
IEIQ FT exp − t ru du | Ft .
Il est possible d’interpr´eter cette formule en l’´ecrivant Fc P (t, T ), o`u Fc est l0 e´ quivalent certain de FT et
est d´efini par
Fc =
1
P (t,T ) IEIQ
i
h
R
T
FT exp − t ru du | Ft .
Nous allons e´ crire cette derni`ere e´ galit´e en utilisant un changement de probabilit´e.
Par hypoth`ese, le processus R(t)P (t, T ) est une martingale strictement positive, son esp´erance est constante, e´ gale a` P (0, T ).
Pour tout T , le processus ζtT =
R(t)P (t,T )
P (0,T )
est une IQ-martingale strictement positive d’esp´erance 1.
On peut donc utiliser ζtT comme densit´e de changement de probabilit´e. Soit QT la mesure de probabilit´e
d´efinie sur (Ω, FT ) par
QT (A) = IEIQ ζtT 1A pour tout A ∈ Ft .
Lorsque T est fix´e, on notera ζt = ζtT .
La probabilit´e QT d´efinie sur Ft par
dQT
dIQ
|Ft = ζtT est appel´ee probabilit´e forward - neutre de maturit´e T .
Nous d´emontrons maintenant la R`egle de Bayes pour la formule du changement de probabilit´e dans les
esp´erances conditionnelles:
95
Proposition 4.1.1 Soient µ et ν deux mesures de probabilit´e sur un espace mesurable (Ω, G) telles que
dν (ω) = f (ω) dµ (ω) pour une f ∈ L1 (µ) .
Soit X une variable al´eatoire sur (Ω, G) telle que
IEν [|X|] =
R
Ω |X
(ω)| f (ω) dµ (ω) < ∞.
Soit H ⊂ G une sous-tribu, alors
IEν [X |H ] IEµ [f |H ] = IEµ [f X |H ] p.s.
D´emonstration
En vertu de la d´efinition de l’esp´erance conditionnelle on a que si H ∈ H, alors
R
H
IEν [X |H ] f dµ =
R
H
IEν [X |H ] dν =
R
H
Xdν =
R
H
Xf dµ =
R
H
IEµ [f X |H ] dµ.
D’autre part, on sait que
R
IEν [X |H ] f dµ = IEµ [IEν [X |H ] f · 1H ] = IEµ [IEµ [IEν (X |H ) f · 1H |H ]]
R
= IEµ [1H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ]] = H IEν [X |H ] · IEµ [f |H ] dµ ∀H ∈ H
H
d’o`u le r´esultat.
Corollaire 4.1.1 (Bayes’rule) Soit la fonction de densit´e de Radon-Nikodym ζsT s une martingale
strictement positive. Pour Y une variable al´eatoire Ft mesurable tel que IEQT |Y | < ∞, on a que
pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T :
IEQT [Y |Fs ] =
1
ζsT
IEIQ Y ζtT |Fs p.s.
Donc avec les notations ci-dessus:
Fc = IEQT [FT | Ft ] .
Remarquons que lorsque r est d´eterministe QT = IQ.
La mesure QT est la mesure martingale associ´ee au choix du z´ero-coupon de maturit´e T comme num´eraire,
comme l’explicite la propri´et´e suivante.
96
Proposition 4.1.2 Si Xt est un processus de prix (sans dividendes), le prix forward Xt /P (t, T ) est une
martingale sous QT .
D´emonstration
Soit T fix´e. Nous savons que (Xt Rt )t est une IQ-martingale.
D’apr`es la formule du changement de probabilit´e dans les esp´erances conditionnelles (R`egle de Bayes),
on a
IEQT
Xt
| Fs
P (t, T )
Xt ζtT
P (t,T )
IEIQ ζtT |
h
i
| Fs
=
Fs
IEIQ [Xt Rt | Fs ]
Xs
Xs R(s)
=
=
=
.
R(s)P (s,T )
P (0, T )ζsT
P
(s,
T)
P (0, T ) P (0,T )
IEIQ
(4.2)
97
b/ Contrats forward et futures
Un contrat forward (ou contrat a` terme), d’´ech´eance T et de sous-jacent un actif dont le prix a` l’instant t
est Vt , est un contrat qui permet a` son d´etenteur d’acheter ou de vendre l’actif a` l’instant T a` un prix fix´e
au moment de la signature du contrat en t. Ce contrat ne donne lieu a` aucun e´ change de flux au moment
de sa conclusion.
On appelle prix du contrat, le prix Gt convenu a` la signature en t auquel la transaction se fera a` l’instant
T.
Un contrat future d’´ech´eance T , e´ crit sur un actif de prix Vt a` l’instant t, est un contrat qui fixe un prix
Ht (le prix du contrat) sur la base duquel on pratique les “appels de marge”. Chaque op´erateur verse
un d´epˆot de garantie dont le montant lui est cr´edit´e sur un compte courant. A la clˆoture quotidienne, la
position de chaque op´erateur est ajust´ee. Si une perte apparait, l’op´erateur doit en assurer le financement,
dans le cas contraire, son compte est cr´edit´e.
Proposition 4.1.3 Le prix a` la date t d’un contrat forward de maturit´e T sur un actif dont le processus
de prix est V (s) est
G(t) = IEQT [V (T ) | Ft ] .
Le prix d’un contrat future avec des modalit´es des ”appels de marge” simplifi´ees, est
H(t) = IEIQ [V (T ) | Ft ] (= prix future).
Si r est d´eterministe, prix future et forward sont e´ gaux.
D´emonstration
1/ Pour d´eterminer le prix d’un contrat forward on utilise le fait que le processus Xt d´efini par
Xt = 0
pour t < T
XT = VT − Gt en T ,
98
est un processus de prix. Donc par risk-neutral pricing:
Z T
ru du (V (T ) − Gt ) | Ft = 0.
EIQ exp −
t
En utilisant la probabilit´e forward-neutre et en simplifiant:
0 = IEQT [V (T ) − G(t) | Ft ] .
On obtient le r´esultat parce que G(t) est Ft -mesurable.
2/ Un contrat future est caract´eris´e comme un actif dont le processus de dividendes est le processus
H, et dont le processus de prix S est nul. On cherche a` calculer le prix “future” associ´e a` l’obtention
de VT ,Rc’est-`a-dire la valeur en t d’un processus de dividendes cumul´es tel que HT = VT . Soit Rut =
u
exp − t rv dv. Le processus de dividendes actualis´es cumul´es
HsR =
Rs
t
Rut dHu
est une IQ-martingale (voir (2.17)). Nous pouvons supposer que IEIQ [(HTR )2 ] < ∞ tel que nous pouvons
utiliser le th´eor`eme 4.1.1 ci-dessous (voir aussi le chapitre de Calcul Stochastique).
Si l’on suppose r born´e, le processus R est born´e inf´erieurement et sup´erieurement, et de l’´egalit´e
dHsR = Rst dHs ,
on d´eduit que H est une IQ-martingale, d’o`u
Ht = IEIQ [HT | Ft ] et HT = VT .
On conclue que lorsque FT est la valeur d’un titre, l’´equivalent certain Fc est appel´e le prix a` terme (prix
forward) de FT . Par exemple, si S(t) est le prix d’un actif financier en unit´es de la date t, on appelle prix
forward SF (t) de S le prix exprim´e en unit´es de la date T , soit
SF (t) =
99
S(t)
P (t,T ) .
Th´eor`eme 4.1.1 (Th´eor`eme de repr´esentation comme martingale) Supposons que Xt est une {Ft }
martingale continue, o`u {Ft } est une filtration brownienne standard.
S’il existe un T tel que IE XT2 < ∞ et si X0 = x0 , alors il existe un φ (ω, s) ∈ H 2 [0, T ] tel que
Xt = x0 +
Rt
0
φ (ω, s) dBs pour tout 0 ≤ t ≤ T.
De plus, la repr´esentation est unique dIP × dt-p.s.
4.1.3
Valorisation d’une option sur obligation a` coupons
Le prix d’une option europ´eenne de payoff h(T ) a` la date T est donn´e par
C(t) = Rt−1 IEIQ [h(T )RT | Ft ] .
Consid´erons une option de maturit´e T sur un produit qui verse des flux d´eterministes Fn aux dates Tn
telles que
T < T1 < · · · < Tn < Tn+1 < · · · < TN
et soit
V (t) =
N
P
Fn P (t, Tn ).
n=1
Ceci est une obligation a` coupons.
Th´eor`eme 4.1.2 Le prix d’une option europ´eenne de prix d’exercice K et de maturit´e T sur un produit
qui verse des flux Fn aux dates Tn est
C(0) =
N
P
Fn P (0, Tn )Qn [V (T ) > K] − KP (0, T )QT [V (T ) > K]
n=1
100
o`u Qn est la probabilit´e forward neutre de maturit´e Tn .
D´emonstration
Par d´efinition,
i
h
P
F
P
(T,
T
)
−
K)
C(0) = IEIQ RT (V (T ) − K)+ = IEIQ RT ( N
n
n
+
n=1
ce qui s’´ecrit
C(0) =
N
P
Fn IEIQ [RT P (T, Tn )1{V (T )>K} ] − KIEIQ RT 1{V (T )>K} .
n=1
Par d´efinition de Qn on a
IEIQ RT P (T, Tn ) 1{V (T )>K} = P (0, Tn )IEQn 1{V (T )>K}
ce qui donne le r´esultat.
4.1.4
Valorisation d’une option sur z´ero-coupon
D´eterminer le prix a` la date t d’un call europ´een d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T et prix
d’exercice K, dans le cas o`u σ(t, T ) ∈ C[0, T ] est d´eterministe:
Z S
Ct = IE IQ exp(−
ru du)(P (S, T ) − K)+ | Ft
t
R(S)P
(S,
S)
IQ
= IE
(P (S, T ) − K)+ | Ft P (t, S)
R (t) P (t, S)
avec R(t) = exp −
Rt
0
rs ds, donc:
S
Ct = IE Q [(P (S, T ) − K)+ | Ft ] P (t, S).
)
Nous cherchons la loi de P (S, T ) sous QS . Nous savons que sous QS , PP (t,T
(t,S) est une martingale et nous
allons retrouver ainsi ce que doit eˆ tre la bonne densit´e de Radon-Nikodym.
Nous savons que
dP (t,T )
P (t,T )
= rt dt + σ(t, T )dBt sous IQ, et donc que
101
Rt
Rt
Rt
P (t, T ) = P (0, T ) exp( 0 ru du + 0 σ(u, T )dBu − 21 0 σ 2 (u, T )du)
et ensuite que
Z t
Z
P (t, T )
P (0, T )
1 t 2
2
(σ (u, T ) − σ (u, S))du
=
exp + (σ(u, T ) − σ(u, S))dBu −
P (t, S)
P (0, S)
2 0
0
Z
Z t
P (0, T )
1 t
(σ(u, T ) − σ(u, S))2 du +
(σ(u, T ) − σ(u, S))(dBu − σ(u, S)du)
=
exp −
P (0, S)
2 0
0
Z
Z t
P (0, T )
1 t
=
(σ(u, T ) − σ(u, S))2 du +
(σ(u, T ) − σ(u, S))dBuS )
exp(−
P (0, S)
2 0
0
avec dBuS = dBu − σ(u, S)du.
)
S
efinir cette mesure comme celle qui transforme
Pour que PP (t,T
(t,S) t soit une martingale sous Q , il faut d´
S
Bt t en un m.b. standard.
D’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, la densit´e de QS par rapport a` IQ doit alors eˆ tre e´ gale a` :
dQS
dIQ
Rt
Rt
= exp − 12 0 σ(s, S)2 ds + 0 σ(s, S)dBs =
R(t)P (t,S)
P (0,S) .
Le lemme suivant est tr`es utile:
Lemme 4.1.1 Si ln X | Ft suit une loi gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 , alors
IE [(X − K)+ | Ft ] = IE [X | Ft ] Φ(d1 ) − KΦ(d2 )
o`u Φ(.) est la fonction de r´epartition de la loi gaussienne centr´ee, r´eduite et o`u:
102
d1 =
µ−ln K+σ 2
σ
d2 = d1 − σ.
Si on note
∼2
σ (t, S) =
RS
t
(σ(u, T ) − σ(u, S))2 du,
le lemme s’applique ici pour X = P (S, T ) avec
loi
ln X | Ft = N ln
∼2
∼2
− 12 σ (t, S), σ (t, S)
P (t,T )
P (t,S)
parce que
P (S,T )
P (S,S)
=
R
RS
S
− 12 t (σ(u, T ) − σ(u, S))2du+ t (σ(u, T ) − σ(u, S))dBuS
P (t,T )
P (t,S) exp
et parce que la proposition suivante dit que :
Proposition 4.1.4 (Int´egrales gaussiens) Soit f ∈ C[0, T ], alors le processus d´efini par
Z t
f (s)dBs pour tout t ∈ [0, T ]
Xt =
0
est un processus gaussien de moyenne z´ero, d’incr´ements ind´ependants et de fonction de covariance
Z s∧t
cov(Xs , Xt ) =
f 2 (u)du.
0
En plus, si nous consid´erons pour t ∈ [0, T ] la partition de [0, t] donn´ee par ti =
si nous prenons t∗i ∈ [ti−1 , ti ] pour 0 ≤ i ≤ n, alors
lim
n→∞
n
X
f (t∗i )
Z
Bti − Bti−1 =
f (s)dBs ,
0
i=1
o`u la limite est prise au sens de la convergence en probabilit´e.
103
t
it
n
pour 0 ≤ i ≤ n et
Nous concluons que
Proposition 4.1.5 Soit sous IQ:
dP (t,T )
P (t,T )
= rt dt + σ(t, T )dBt avec (σ(t, T ))t ∈ C[0, T ] d´eterministe.
Le prix a` la date t d’une option d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T est donn´e par
Ct = P (t, S)
h
P (t,T )
P (t,S) Φ(d1 )
i
− KΦ(d2 )
⇐⇒
Ct = P (t, T )Φ(d1 ) − KP (t, S)Φ(d2 )
avec
∼
d1 =
ln P (t, T )/P (t, S) − ln K + σ(t, S)2 2
∼
σ(t, S)
∼
d2 = d1 − σ(t, S)
Z S
∼2
σ (t, S) =
(σ(u, T ) − σ(u, S))2 du.
t
104
4.2
Le taux spot connu
Diff´erentes approches sont utilis´ees en temps continu. La premi`ere consiste a` utiliser le taux spot comme
variable explicative. Une autre approche consiste a` mod´eliser le prix des z´ero-coupons en respectant
l’hypoth`ese d’AOA et a` en d´eduire l’expression du taux spot.
4.2.1
EDP de l’´evolution
Maintenant, on suppose que le taux spot est connu et on cherche a` d´ecrire la courbe des taux.
Supposons que le taux spot r(t) suive, sous la probabilit´e historique IP , un processus d’Itˆo d´efini par
∼
dr(t) = f (t, rt )dt + ρ(t, rt )dBt
(4.3)
∼
o`u B est un IP − m.b. unidimensionnel, et f , ρ sont des fonctions continues satisfaisant a` des conditions
de croissance et de Lipschitz de telle sorte que (4.3) admette une solution unique.
Comme dans la formule de Black et Scholes, on suppose que la valeur P (t, T ) d’un z´ero-coupon est une
fonction de r(t), que l’on note P (t, T ; r(t)), o`u P (t, T ; r) appartient a` C 1,2,2 (IR+ × IR+ × IR).
Maintenant on note P (t, T ) et on fixe T :
La formule d’Itˆo conduit a`
dP (t, T ) =
∂P
∂t
2
1
+ f ∂P
∂r + 2 ρ
∂2P
∂r2
∼
(t, T )dt + ρ ∂P
∂r (t, T )dB t
∼
= P (t, T )(µ(t, T )dt + σ(t, T )dB t )
avec
µ(t, T ) =
1
P (t,T )
∂P
∂t
σ(t, T ) =
1 2 ∂2P
+ f ∂P
+
ρ
(t, T )
∂r
2
∂r2
ρ(t,r(t)) ∂P
P (t,T ) ∂r (t, T ).
105
On regarde un portefeuille V avec des pourcentages uS en P (t, S) et uT en P (t, T ).
Les dynamiques du portefeuille relatif sont
dP (t, S)
dVt
dP (t, T )
= uS
+ uT
Vt
P (t, S)
P (t, T )
∼
= (uS µ(t, S) + uT µ(t, T ))dt + (uS σ(t, S) + uT σ(t, T ))dB t
avec uS + uT = 1. Nous choississons uS et uT tels que
uS σ(t, S) + uT σ(t, T ) = 0
parce que l’id´ee est de construire un portefeuille sans risque et d’exiger que son rendement soit e´ gal a`
r(t).
(
=⇒
uT =
uS =
−σ(t,S)
σ(t,T )−σ(t,S)
σ(t,T )
σ(t,T )−σ(t,S)
A.O.A. exige que
dVt
Vt
= rt dt
=⇒ uS µ(t, S) + uT µ(t, T ) = rt
⇐⇒ σ(t, T )µ(t, S) − σ(t, S)µ(t, T ) = rt [σ(t, T ) − σ(t, S)]
⇐⇒
µ(t, T ) − rt
µ(t, S) − rt
=
= q(t)
σ(t, S)
σ(t, T )
(4.4)
Donc s’il n’y a pas d’O.A., il existe un processus q(t) tel que (4.4) pour tout t et toutes les dates
d’´ech´eance.
En utilisant le fait que qt =
µ(t,T )−rt
σ(t,T ) ,
on trouve l’´equation d’´evolution:
∂P
1 ∂2P
∂P
+ (f − ρq)
+ ρ2 2 − rt P = 0
∂t
∂r
2 ∂r
On retrouve aussi que
106
(4.5)
dP (t,T )
P (t,T )
∼
= (rt + qt σ(t, T ))dt + σ(t, T )dBt
mais on sait en plus exprimer la fonction σ(t, T ):
∼
∂P
dP (t, T ) = (P (t, T )rt + ρq ∂P
∂r )dt + ρ ∂r dBt
L’EDP (4.5) s’applique a` n’importe quel titre li´e au taux d’int´erˆet, a` condition qu’il ne distribue pas de
coupons. Pour une r´esolution num´erique, il faut lui associer une condition terminale. Pour un z´erocoupon cette condition terminale est P (T, T ) = 1.
Par le lemme de Feynman-Kac, la solution de (4.5) a une repr´esentation:
h
i
RT
P (t, T ) = IE IQ exp − t r(s)ds | Ft
o`u les dynamiques du taux court sous IQ sont d´etermin´ees par
rt = r
drs = (f − ρq)ds + ρdBs
s≥t
∼
avec (Bs )s un IQ m.b., et donc sous IP : drs = f ds + ρdB s .
On obtient ces r´esultats aussi en utilisant le th´eor`eme de Girsanov. En effet nous allons utiliser le
th´eor`eme de Girsanov avec
dIQ
dIP |Ft =
Lt avec dLt = −qt Lt dBt
o`u
q(s) =
µ(s,T )−r(s)
σ(s,T ) .
Nous obtenons ainsi que les prix P (t, T ) actualis´es sont des IQ-martingales.
Donc
dP (t,T )
P (t,T )
= rt dt + σ(t, T )dBt
107
avec
∼
dBt = dBt + qt dt
un IQ-m.b.
En particulier
h
i
Rt
P (s, t) = IEIQ P (t, t) exp − s ru du | Fs
s6t
ou, en utilisant la probabilit´e historique
h
i
Rt
Rt
Rt
P (s, t) = IEIP exp(− s qu dBu − 21 s qu2 du − s ru du) | Fs
4.2.2
Le mod`ele de Vasicek (1977).
a/ Le mod`ele
Dans ce mod`ele, on suppose que le taux spot v´erifie, sous IP , l’´equation diff´erentielle stochastique
drt = a(b − rt )dt + ρdWt ,
r(0) = r0
avec a, b, ρ des constantes strictement positives. Ce processus est connu sous le nom de processus
d’Ornstein-Uhlenbeck avec retour a` la moyenne a` long terme b.
La moyenne instantan´ee est proportionnelle a` l’´ecart entre une valeur b et la valeur r (t) .
Une force de rappel tend a` rapprocher r (t) de la valeur b.
On suppose aussi que la prime du risque est une constante q (t) = +λ avec λ ∈ IR. Alors sous IQ
∼
∼
λρ
drt = a b −
− r (t) dt + ρdW t avec W t = Wt + λt
a
On note
∼
drt = a (b∗ − r (t)) dt + ρdW t
avec b∗ = b −
λρ
a ,
qui suit aussi un processus d’Ornstein-Uhlenbeck.
On voit clairement quand on e´ crit la solution sous IP :
rt = (r0 − b)e
−at
Z
+b+ρ
0
108
t
e−a(t−u) dWu
que ces taux sont gaussiens et peuvent donc devenir n´egatifs:
Z t
1 − e−2at
e−2a(t−u) du = ρ2
rt v N (r0 − b)e−at + b, ρ2
2a
0
On a le r´esultat analogue sous IQ, en remplac¸ant b par b∗ .
D´emonstration.
Il suffit de remarquer qu’en utilisant le lemme d’Itˆo, on a
d eat rt = aeat rt dt + eat a(b − r (t))dt + eat ρdWt = abeat dt + eat ρdWt
et en int´egrant cette e´ quation on obtient
Z
at
t
Z
as
abe ds +
e rt = r0 +
t
eas ρdWs
0
0
Par cons´equent:
−at
at
−at
−at
Z
+ b −1 + e e
+e
Z t
e−a(t−s) ρdWs
= (r0 − b) e−at + b +
rt = (r0 ) e
t
eas ρdWs
0
0
Si r(0) est une constante, r(t) est une variable gaussienne de moyenne (r0 − b) e−at + b et de variance
ρ2
−2at . En particulier, ce n’est pas une variable positive.
2a 1 − e
On peut e´ galement calculer l’esp´erance et la variance conditionnelle de rt .
b/ Le prix d’un z´ero-coupon en utilisant IQ.
On veut calculer le prix a` la date s d’un z´ero-coupon d’´ech´eance t, not´e P (s, t) dans les sections
pr´ec´edentes mais aussi not´e B(s, t) dans la lit´erature, une notation que nous utiliserons dans cette section:
Z t
B (s, t) = P (s, t) = IEIQ exp −
ru du |Fs
s
Z t
Z t
1
IQ
= exp −IEIQ
ru du |Fs + V ar
ru du |Fs
(Gaussien)
2
s
s
Parce que sous Q
∗
−a(u−s)
ru = (rs − b ) e
∗
Z
+b +
s
109
u
∼
e−a(u−v) ρdW v
on d´eduit que
"
1 − e−a(t−s)
ru du |Fs = b∗ (t − s) + (rs − b∗ )
1) IEIQ
a
s
Z tZ t
Z t
cov IQ (ru , rv |Fs ) dudv
ru du |Fs =
2) V arIQ
Z
t
s
s
#
s
avec
IQ
u
Z
2
−a(u−l)
∼
Z
e
dW l
cov [ru , rv |Fs ] = ρ IEIQ
s
Z u∧v
2
e−a(u+v−2l) dl
= ρ
v
−a(v−k)
e
∼
dW k |Fs
s
s
= ρ2 e−a(u+v)
e2a(u∧v) − e2as
.
2a
On trouve que la variance est e´ gale a`
Z t
Z tZ v
Z tZ t
e2au − e2as
e2av − e2as
IQ
ru du |Fs
=
ρ2 e−a(u+v)
dudv +
ρ2 e−a(u+v)
dudv
V ar
2a
2a
s
s
s
s
v
!
2 ρ2
−a(t−s)
1
−
e
ρ2 = − 3 1 − e−a(t−s) + 2 (t − s) −
2a
a
a
=⇒
b∗ −
ρ2
B (s, t) = exp − b∗ − 2 (t − s) + 1 − e−a(t−s)
2a
ρ2
2a2
− r (s)
a
!
2
ρ2 − 3 1 − e−a(t−s)
4a
= exp [− (t − s) Y (s, t)]
avec Y (s, t) le taux a` terme pour la p´eriode [s, t] .
Le taux Y (t, T ) = − T 1−t ln B (t, T ) se calcule facilement:
1 − e−a(T −t)
ρ2 1 − e−a(T −t)
+ 3
Y (t, T ) = Y (∞) + (r (t) − Y (∞))
a (T − t)
4a
T −t
2
et a` la limite
Y (∞) =
lim Y (s, t) =
t−s−→∞
lim
(t−s)−→∞
− ln B (s, t)
t−s
= b∗ −
ρ2
λρ
ρ2
=
b
−
−
2a2
a
2a2
Y (∞) s’interpr`ete comme taux a` long terme. Notons qu’il ne d´epend pas du “taux spot instantan´e ” r.
Cette derni`ere propri´et´e est consid´er´ee par les financiers comme un d´efaut du mod`ele.
110
!
Si on e´ tudie la courbe T −→ Y (t, T ) on voit que
- si r (t) ≤ Y (∞) −
ρ2
ρ2
,
4a2
la courbe est strictement croissante,
ρ2
,
2a2
- si Y (∞) −
4a2
≤ r (t) ≤ Y (∞) +
- si Y (∞) +
ρ2
2a2
< r (t), elle est strictement d´ecroissante.
elle est croissante puis d´ecroissante,
Remarque.
Sous IP
h
i
)
)
dB (t, T ) = B (t, T ) r (t) + ρq (t) ∂B(t,T
dt + ρ ∂B(t,T
∂r
∂r dWt
nh
−a(T −t) i
o
= B (t, T ) r (t) − ρλ 1−e a
dt − aρ (1 − e−a(T −t) )dWt
Sous IQ
dB (t, T ) = B (t, T ) r (t) dt −
ρ
a (1
−
∼
e−a(T −t) )dW
t
Discussion.
Avantages:
1) tr`es traitable −→ bond options
2) retour a` la moyenne
3) On a |σ (t, T )| =
ρ
a
1 − e−a(T −t) : plus la dur´ee r´esiduelle est grande, plus la volatilit´e est grande.
D´esavantages:
1- taux n´egatif
2-
lim
σ (t, T ) =
T −t−→∞
ρ
a
3- calage: seulement 3 param`etres
pricer: une erreur de 1 % sur un bond implique souvent une erreur de 20 a` 30% sur produits d´eriv´es,
comment couvrir le risque? pas fiable
4- la courbe de taux n’est pas assez flexible
5- corr(Y (t, T1 ), Y (t, T2 )) = 1, ce qui n’est pas observ´e sur le march´e.
111
c/ Prix de z´ero-coupon: Equation d’´evolution
Nous indiquons maintenant une autre m´ethode pour d´eterminer le prix a` l’instant t d’un z´ero-coupon
avec date d’´ech´eance T explicitement.
On recherche une solution de l’´equation
∂P
∂P
1 ∂2P
+ (a (b − r) − ρλ)
+ ρ2 2 − rP = 0
∂t
∂r
2 ∂r
P (T, T ) = 1
sous la forme
B (t, T ) = exp (α (T − t) r (t) + β (T − t))
D´esignons T − t par θ =⇒
1
0
0
−Bα (θ) r − Bβ (θ) + (a (b − r) − ρλ) α (θ) B + ρ2 α2 (θ) B − rB = 0
2
On recherche α et β comme solutions de
(
0
α (θ) + aα (θ) + 1 = 0
0
−β (θ) + (ab − ρλ) α (θ) +
ρ2 2
2 α (θ)
= 0.
avec les conditions initiales α (0) = 0 et β (0) = 0 qui proviennent de B (T, T ) = 1. Ce qui donne
(
−aθ − 1
e
ρ2
β (θ) = − b − ρλ
θ
−
b−
−
2
a
2a
α (θ) =
1
a
ρλ
a
−
ρ2
a2
e−aθ
a
−
ρ2 e−2aθ
4a3
−K
avec K telle que β (0) = 0.
On trouve que
1 − e−aθ
β (θ) = −Y (∞)θ +
a
ρ2
ρ2 Y (∞) − 2 + 3 1 − e−2aθ
2a
4a
avec Y (∞) repr´esentant le rendement d’un z´ero-coupon de maturit´e infinie.
Y (∞) = b −
λρ
− ρ2 /2a2 .
a
112
On retrouve l’expression du z´ero-coupon.
d/ Valorisation d’une option sur z´ero-coupon
Exercice
Dans le mod`ele de Vasicek, d´eterminer le prix a` la date t d’un call europ´een d’´ech´eance S sur un z´erocoupon d’´ech´eance T et prix d’exercice K.
R´eponse
Utilisez σ(t, T ) =
−ρ
a (1
− e−a(T −t) ) et la section 4.1.4.
113
Chapitre 5
Le mod`ele de Heath, Jarrow, Morton.
5.1
Introduction
Les premiers mod`eles de taux d’int´erˆet en temps continu sont apparus avant le mod`ele discret de Ho et
Lee, vers ± 1975 a` la suite des travaux de Black-Scholes sur l’´evaluation des prix d’option sur actions et
ceci pour une th´eorie propre au march´e des titres d´ependant de la structure des taux.
Comme vu dans le chapitre pr´ec´edent, le point de d´epart e´ tait le taux court (rt )t d´etermin´e par une
e´ quation diff´erentielle stochastique. Un des grands d´esavantages de ce genre de mod`eles est qu’il est
difficile d’obtenir une structure de volatilit´e r´ealiste pour des taux forward (= taux a` terme instantan´es).
Voila pourquoi Heath, Jarrow et Morton prennent comme point de d´epart les taux forward (f (0, t))t .
On obtient ainsi un calage parfait au taux forward, mais les taux courts (rt )t sont gaussiens dans les cas
traitables.
Nous d´enotons dans ce chapitre les probabilit´es par P , Q, . . . et la filtration par (Ft )t .
5.2
Les mouvements de la structure des taux sous P
Heath, Jarrow et Morton choisissent de sp´ecifier les taux a` terme instantan´es:
Z t
Z t
0
f (t, T ) = f (0, T ) +
α (s, T ) ds +
σ (s, T ) dWs
0
(5.1)
0
o`u (f (0, T ))T d´ecrit la structure des taux initiale et est suppos´ee donn´ee et o`u (Wt ) est un mouvement
brownien de dimension K sous la probabilit´e P , o`u P est la probabilit´e “objective” des e´ v´enements.
114
0
σ (t, T ) est la volatilit´e des taux a` terme instantan´es et σ (t, T ) = (σ1 (t, T ) , . . . , σK (t, T )) sa transpos´ee.
α (t, T ) et σ (t, T ) sont a priori quelconques et peuvent eˆ tre al´eatoires, mais sont des processus adapt´es a`
valeurs dans IR et IRd . Elles doivent toutefois satisfaire des conditions de r´egularit´e assurant l’existence
d’une solution pour l’´equation et la l´egitimit´e des calculs qui vont suivre.
Voir le papier de r´ef´erence pour les hypoth`eses pr´ecises de r´egularit´e.
Sous forme d’´equation de diffusion:
df (t, T ) = α (t, T ) dt +
K
X
σi (t, T ) dWit
i=1
ou encore
0
df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dWt .
Hypoth`ese 5.2.1 La fonction de volatilit´e satisfait:


0
σ (t, T1 )
 ..

 .
 est inversible pour tout t et tout (T1 , ..., TK ) distincts.
0
σ (t, TK )
Le processus du taux court est obtenu en choississant T = t :
Z t
Z t
0
rt = f (t, t) = f (0, t) +
α (s, t) ds +
σ (s, t) dWs
0
(5.2)
0
=⇒ le processus des prix z´ero-coupon, not´e B(t, T ) est d´eduit a` partir de la formule usuelle
Z T
B (t, T ) = exp −
f (t, s) ds .
t
En remplac¸ant f (t, s) par son expression
Z
f (t, s) = f (0, s) +
t
Z
α (u, s) du +
0
t
0
σ (u, s) dWu
0
et en utilisant le th´eor`eme de Fubini pour les int´egrales stochastiques, on obtient:
Z T
Z T Z t
Z T Z t
0
ln B (t, T ) = −
f (0, s) ds −
ds
α (u, s) du −
ds
σ (u, s) dWu
t
Z
= −
t
T
Z
f (0, s) ds −
t
0
t
Z
0
Z t Z
α (u, s) ds −
du
0
t
T
t
115
0
T
σ (s, τ ) dτ
0
t
dWs .
On sait que
T
Z
ln B (0, T ) = −
f (0, τ ) dτ.
0
D’apr`es l’´equation (5.2) on a:
Z t Z
Z t
Z t
dτ
f (0, τ ) dτ +
rτ dτ =
Z
t
t
Z
Z
0
σ (s, τ ) dWs
0
0
t
0
σ (s, τ ) dτ
α (s, τ ) dτ +
0
s
0
0
τ
Z
dτ
Z t Z
ds
f (0, τ ) dτ +
=
t
Z
α (s, τ ) ds +
0
t
0
0
0
τ
dWs
s
pour tout 0 ≤ s ≤ τ ≤ t. Donc
Z
t
ln B (t, T ) = ln B (0, T ) +
f (0, τ ) dτ +
−
t
Z
0
T
Z t Z
0
t
0
α (s, τ ) dτ +
σ (s, τ ) dτ
0
dWs
Z
T
Z t Z
α (s, τ ) dτ −
s
0
T
σ (s, τ ) dτ
0
Z
d ln B (t, T ) = rt −
T
Z
α (t, τ ) dτ dt + −
t
dWs
s
=⇒
dWs
s
0
T
ds
0
0
t
s
t
Z
rs ds −
= ln B (0, T ) +
Z t Z
σ (s, τ ) dτ
s
Z
t
s
α (s, τ ) dτ −
ds
0
Z
ds
0
Z
t
Z
0
T
σ (t, τ ) dτ
dWt
t
En utilisant le lemme d’Itˆo.
0
dB (t, T ) = [r (t) + b (t, T )] B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dWt
o`u b (t, T ) et σ
e (t, T ) d´esignent:
RT
σ
e (t, T ) = − t σ (t, τ ) dτ
RT
σ (t, T )k2
b (t, T ) = − t α(t, τ )dτ + 12 ke
Proposition 5.2.1 Si la dynamique des taux a` terme instantan´es s’´ecrit:
Z t
Z t
0
f (t, T ) = f (0, T ) +
α (s, T ) ds +
σ (s, T ) dWs
0
0
alors les prix z´ero-coupon et le taux court instantan´e s’´ecrivent:

0
 B (t, T ) = B (0, T ) exp R t r − R T α (s, τ ) dτ ds + R t − R T σ (s, τ ) dτ dW
s
s
0
s
0
s
R
R

t
t
rt = f (0, t) + 0 α (s, t) ds + 0 σ (s, t)0 dWs
116
(5.3)
5.3
Le mod`ele sous la probabilit´e Q.
En fait, on va v´erifier si dans
c’est-`a-dire ∃Q
R
ele, il existe une mesure de martingale e´ quivalente,
ce mod`
t
B(t,T )
est une martingale sous Q avec βt = exp 0 ru du = 1/R(t).
probabilit´e Q v P tel que
βt
t
Proposition 5.3.1 ∃Q v P mesure de martingale e´ quivalente
⇐⇒
Q v P probabilit´e e´ quivalente donc ∃ processus ϕ avec ϕ (t) Ft mesurable tel que
1)
Z t
Z
0
dQ 1 t
2
= Lt = exp
ϕ (s) dW (s) −
kϕ (s)k ds
dP t
2 0
0
et
∼
Z
W t = Wt −
est une P − martingale
t
est un Q − mouvement brownien.
ϕ (s) ds
0
0
et 2) ∃ϕ = (ϕ1 , ..., ϕK ) tel que ∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T
0
b (t, T ) = −ϕ (t) σ
e (t, T )
ou de fac¸on e´ quivalente:
0
0
α (t, T ) + σ
e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T )
avec
Z
σ
e (t, T ) = −
T
σ (t, s) ds
t
Preuve de 2), donc que l’absence d’opportunit´es d’arbitrage implique:
0
0
∃ϕ = (ϕ1 , ...., ϕK ) tel que: b (t, T ) = −ϕ (t) σ
e (t, T )
0
∀t ≤ T ou de fac¸on e´ quivalente:
0
α (t, T ) + σ
e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T ) .
Preuve: On sait que
1
dB (t, T ) = B (t, T ) d ln B (t, T ) + < d ln B (t, T ) >
2
0
= [r (t) + b (t, T )] B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dWt
avec
117
RT
σ
e (t, T ) = − t σ (t, u) du
RT
b (t, T ) = − t α (t, u) du + 21 ke
σ (t, T )k2
Sous Q, on veut que
0
∼
dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
∼
avec dW t = dWt − ϕ (t) dt un mouvement brownien sous Q, par Girsanov.
Ceci est satisfait si et seulement si ∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T :
0
b (t, T ) = −ϕ (t) σ
e (t, T )
ou bien
T
Z
−
t
2
Z T
Z T
0
1
σ (t, u) du
α (t, u) du + σ (t, u) du = +ϕ (t)
2 t
t
La contrainte d’absence d’opportunit´es d’arbitrage impose donc des restrictions sur les termes de d´erive
et de volatilit´e de la dynamique des prix z´ero-coupon. En d´erivant cette condition par rapport a` T , on
obtient de fac¸on e´ quivalente une contrainte sur les termes de d´erive et de volatilit´e correspondant aux
taux a` terme instantan´es.
0
0
α (t, T ) + σ
e (t, T ) σ (t, T ) = −ϕ (t) σ (t, T )
Regardons cette relation un peu
Z
K
X
α (t, T ) =
σi (t, T )
i=1
T
σi (t, s) ds −
t
K
X
σi (t, T ) ϕi (t)
i=1
∀T ≥ 0 et ∀t ≤ T
Syst`eme lineaire en ϕi (t) de dimension infinie.
Il y a clairement une relation entre le terme de d´erive α et la fonction de volatilit´e σ.
−→ par exemple on peut sp´ecifier les volatilit´es σ (t, T ) pour toutes les maturit´es. On peut fixer des
maturit´es T1 , ...., TK quelconques et d´eterminer aussi d’une mani`ere exog`ene les termes
α (t, T1 ), ...., α(t, TK ) .
Sous l’hypoth`ese que

σ (t, T1 )0
 ..

 .
 est inversible pour tout t et tout T1 , ...., TK distincts
0
σ (t, TK )

118
(qui est satisfait si les incertitudes ne sont pas redondantes), (ϕ1 (t) , ....., ϕK (t)) est d´etermin´e d’une
mani`ere unique par le syst`eme lin´eaire des e´ quations:
Z
K
X
α (t, Tj ) =
σi (t, Tj )
K
X
Tj
σi (t, s) ds −
t
i=1
σi (t, Tj ) ϕi (t)
j = 1, ...., K
i=1
−→ Q d´etermin´e et en plus α (t, T ) d´etermin´e pour T 6= Tj
j = 1, . . . , K.
En terme des z´ero-coupons, c¸a veut dire que nous pouvons choisir les volatilit´es des prix z´ero-coupons
et les termes de d´erive pour K z´ero-coupons.
−→ tous les prix des autres z´ero-coupon sont d´etermin´es par la suite.
−→ donc K sources ind´ependantes d’incertitude
=⇒ le march´e est complet si on sp´ecifie K prix de z´ero-coupon.
Nous concluons de cette section que, comme dans les mod`eles en temps discret, l’absence d’opportunit´es
d’arbitrage implique l’existence d’une nouvelle mesure de probabilit´e dite risque-neutre, not´ee Q sous
laquelle les processus de prix actualis´es sont martingales.
En effet on voit que:
0
∼
dB (t, T ) = rt B (t, T ) + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
avec
∼
dW t = dWt − ϕ (t) dt
Les ϕ1 (t) , ...., ϕK (t) s’interpr`etent comme des prix du risque associ´es a` chacun des processus browniens.
)
est alors martingale sous la mesure de probabilit´e
Le processus des prix actualis´es Z (t, T ) = B(t,T
βt
t
∼
)
qui fait de W t un mouvement brownien standard et le processus Z (t, T ) = B(t,T
est donc marβt
t
tingale sous Q puisque
0
∼
dZ (t, T ) = Z (t, T ) σ
e (t, T ) dW t .
Comme B (T, T ) = 1, on a alors
B (t, T ) = E Q
Z T
βt
|Ft = E Q exp −
rs ds |Ft
βT
t
ou encore, en utilisant la probabilit´e P :
B (t, T ) = E
P
Z
exp −
t
119
T
LT
rs ds
|Ft .
Lt
Ayant d´efini ce changement de probabilit´e, on peut exprimer tous les processus de diffusion donn´es
jusqu’`a pr´esent (taux a` terme instantan´es, prix z´ero-coupon, taux court,...) sous cette nouvelle mesure de
probabilit´e.
On obtient tr`es simplement la dynamique des taux a` terme instantan´es a` partir de l’´equation de base:
Z
0
0
T
df (t, T ) = α (t, T ) dt + σ (t, T ) dWt =
σ (t, τ ) dτ
0
∼
σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW (t)
t
t
Z
f (t, T ) = f (0, T ) +
σ (s, T )0
Z
T
σ (s, τ ) dτ
∼
0
σ (s, T ) dW s
s
0
t
Z
ds +
0
Exemple Volatilit´e constante.
σ (t, T ) = σ et K = 1 (Ho-Lee)
=⇒
∼
df (t, T ) = σ 2 (T − t) dt + σdW t
Soit en int´egrant:
∼
t2
+ σW t.
f (t, T ) = f (0, T ) + σ T t −
2
2
On retrouve ainsi comme cas particulier le mod`ele de Ho et Lee.
On pourrait retrouver de mˆeme les mod`eles a` volatilit´e exponentielle en prenant σ (s, t) de la forme
σe−λ(t−s) .
Processus du taux court.
∼
Le processus du taux court s’´ecrit d´esormais a` l’aide de W t
:
t
Z t Z
(∗) rt = f (0, t) +
0
t
σ (s, τ ) dτ
0
Z
σ (s, t) ds +
s
t
0
∼
σ (s, t) dW s
0
Ainsi, sous Q, le processus suivi par (rt ) ne d´epend plus du prix du risque de mˆeme que les prix des
titres z´ero-coupon.
Volatilit´e constante et volatilit´e exponentielle
et K = 1.
Lorsque la volatilit´e est constante, (*) devient
rt = f (0, t) + σ 2
120
∼
t2
+ σW t
2
ou
∼
drt = µ (t) dt + σdW t
avec
µ (t) = σ 2 t + ∂2 f (0, t)
Le processus (rt ) est donc un mouvement brownien avec d´erive.
Lorsque la fonction de volatilit´e est exponentielle:
σ (s, τ ) = σe−λ(τ −s) ,
alors rt est e´ gale a` :
σ2
rt = f (0, t) +
λ
t
Z
e
−λ(t−s)
−λ(t−s)
1−e
t
Z
fs
e−λ(t−s) dW
ds + σ
0
0
(rt ) suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck de la forme:
∼
drt = (θ (t) − λrt ) dt + σ dW t
avec
1 − e−2λt
.
2λ
Il faut remarquer que le processus du taux court est e´ galement un processus de type Ornstein-Uhlenbeck
sous P si le prix du risque est une fonction non al´eatoire du temps. Dans ce cas, seule la fonction θ (t)
est modifi´ee.
θ (t) = ∂2 f (0, t) + λf (0, t) + σ 2
Les prix z´ero-coupon.
Sous Q, le processus des prix v´erifie:
∼
0
dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
Nous r´ecapitulons ces r´esultats sous la proposion suivante:
Proposition 5.3.2 Sous Q, les taux a` terme instantan´es et les prix z´ero-coupon suivent les e´ quations de
diffusion suivantes:
Z
df (t, T ) =
0
T
σ (t, τ ) dτ
0
∼
σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW (t)
t
0
∼
dB (t, T ) = r (t) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
121
(∗∗)
avec
T
Z
σ
e (t, T ) = −
σ (t, τ ) dτ
t
et la dynamique du taux court instantan´e s’´ecrit:
Z t Z
0
t
Z
σ (s, τ ) dτ
rt = f (0, t) +
0
t
σ (s, t) ds +
s
∼
σ (s, t)0 dW s
0
∼
o`u W t est un mouvement brownien sous Q.
On voit a` ce stade qu’on aurait pu sp´ecifier les prix z´ero-coupon en disant qu’il existe une mesure de
probabilit´e Q telle que les prix z´ero-coupon suivent une diffusion du type (**). Le mod`ele est alors
param´etr´e par la fonction σ
e (., .) et non plus par σ (., .) .
La dynamique des taux a` terme instantan´es s’en d´eduit par la formule:
f (t, T ) = −∂2 ln B (t, T )
en remarquant que les deux param´etrages σ
e (., .) et σ (., .) sont e´ quivalents:
T
Z
σ
e (t, T ) = −
σ (t, τ ) dτ
t
⇐⇒
σ (t, T ) = −∂2 σ
e (t, T )
σ
e (t, t) = 0
∀t
Cette approche est utilis´e par El Karoui et al. (1992).
Exemple:
B (t, T ) = E
Q
βt
|Ft
βT
soit
Z
B (t, T ) = E exp −
Q
T
rs ds |Ft
t
La loi de rs est donn´ee sous Q par l’´equation:
Z t Z
rt = f (0, t) +
0
t
σ (s, τ ) dτ
0
s
Z
σ (s, t) ds +
0
∼
σ (s, t) dW s
0
122
t
Dans le cas o`u les fonctions de volatilit´e sont d´eterministes, (rt ) est un processus gaussien sous Q.
RT
−→ t rs ds est donc aussi gausienne et B (t, T ) est e´ gale a`
V (t, T )
B (t, T ) = exp −M (t, T ) +
2
o`u
M (t, T ) = E
Q
Z
T
rs ds |Ft
t
V (t, T ) = V ar
Q
T
Z
rs ds |Ft
t
Partons de la dynamique de (rt ) sous l’hypoth`ese de volatilit´e constante (avec K = 1):
rt = f (0, t) +
∼
σ 2 t2
+ σW t.
2
Par cons´equent, le taux rτ suit conditionnellement a` Ft une loi gausienne d’esp´erance
rt − f (0, t) + f (0, τ ) +
σ2 2
τ − t2
2
et de variance σ 2 (τ − t) .
La variance al´eatoire Y =
RT
t
rτ dτ suit donc elle-mˆeme une loi gaussienne:
Q
Y Ft v N (M (t, T ) ; V (t, T ))
avec
Z
T
M (t, T ) = (T − t) (rt − f (0, t)) +
f (0, τ ) dτ +
t
et
V (t, T ) =
σ2
(T − t)3
3
123
σ2
(T − t)2 (T + 2t)
6
En effet,
V arQ
Z
T
ru du |Ft
= EQ
"Z
T
∼
∼
2
#
|Ft
σ W τ − W t dτ
t
t
= V arQ
T
Z
t
= V ar
Q
τ
Z
t
T
Z
∼
= σ V ar
Z
Q
T
σdτ |Ft
dW s
s
t
2
∼
dW s |Ft
σdτ
Z
T
∼
(T − s) dW s |Ft
t
= σ
2
Z
T
(T − s)2 ds
t
= σ2
Z
T −t
(v)2 dv
0
= σ2
5.4
5.4.1
(T − t)3
3
Evaluation des actifs contingents.
Introduction.
L’un des buts essentiels d’un mod`ele est d’une part permettre d’´evaluer des biens contingents d´ependant
de la structure des taux et d’autre part de construire les portefeuilles de couverture associ´ees.
5.4.2
Principes d’´evaluation sous Q.
Les conditions et hypoth`eses du mod`ele de Heath-Jarrow-Morton permettent d’´evaluer le prix a` la date t
d’un titre g´en´erant des flux al´eatoires d´ependant de la structure des taux.
Proposition 5.4.1 Le prix en t, not´e Ct , d’un titre d´elivrant en s (s > t) le flux al´eatoire Xs Fs mesurable est donn´e par:
h
i
Rs
Q βt
Ct = E
Xs |Ft = E Q Xs e− t ru du |Ft
βs
124
Par extension, on peut donner le prix en t d’un titre g´en´erant plusieurs flux futurs al´eatoires Xt+1 , ...., Xs
s
X
Ct =
E
Q
τ =t+1
βt
Xτ |Ft
βτ
Sous cette forme, le prix d’un bien contingent ne n´ecessite pour eˆ tre calcul´e que la dynamique actualis´ee
du mod`ele sous la probabilit´e risque-neutre Q.
5.4.3
Des probabilit´es forward-neutres.
B(t,T )
Nous cherchons la mesure de probabilit´e qui rend B(t,m)
martingale. Cette probabilit´e est alors la
t
m
probabilit´e associ´ee au num´eraire de la date m et est not´ee Q .
D´efinissons
Lm
t =
B (t, m)
.
βt
Il est clair que
Lm
t =
B (t, m)
= E Q [Lm
s |Ft ]
βt
ce qui nous permet de d´efinir la nouvelle mesure de probabilit´e Qm pour toute variable Fs -mesurable par
Lm
s
Qm
Q
E
[Xs |Ft ] = E Xs m |Ft
Lt
En particulier
E
Qm
B (s, T )
βt
B (t, T )
Q B (s, T ) B (s, m)
|Ft = E
|Ft =
B (s, m)
B (s, m)
βs
B (t, m)
B (t, m)
On voit alors rapidement que, pour tout T,
B(t,T )
B(t,m) t
est martingale sous cette nouvelle mesure.
Cette nouvelle mesure permet de simplifier les calculs. Cependant pour pouvoir concr`etement utiliser ce
r´esultat il est n´ecessaire de r´ee´ crire le mod`ele de base sous ces diff´erentes mesures.
5.4.4
Le mod`ele sous une probabilit´e forward-neutre.
Partons de l’´equation de diffusion des prix (B (t, T )) sous Q:
0
∼
dB (t, T ) = r(t)B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
125
∼
o`u W t est un mouvement brownien standard sous Q.
m
∼
Nous allons d´eterminer quel nouveau mouvement brownien W t
rend le processus Ztm =
B(t,T )
B(t,m)
martingale. En utilisant le lemme d’Ito, nous obtenons que
0
∼
d ln B (t, T ) = rt dt + σ
e (t, T ) dW t −
1
ke
σ (t, T )k2 dt,
2
et donc
Z t (∗) B(t, T ) = B(0, T ) exp
0
Z t
∼
0
1
2
σ
e (s, T ) dW s
rs − ke
σ (s, T )k ds +
2
0
ce qui donne pour Ztm :
Ztm
Z
Z t
∼
0
B (0, T )
1 t
2
2
=
exp −
ke
σ (s, T )k − ke
σ (s, m)k ds +
(e
σ (s, T ) − σ
e (s, m)) dW s
B (0, m)
2 0
0
Notons alors
∼m
∼
Z
Wt = Wt −
0
t
σ
e (s, m) ds.
Ztm s’´ecrit alors:
Ztm
Z
Z t
∼m
0
1 t
B (0, T )
2
exp −
ke
σ (s, T ) − σ
e (s, m)k ds +
(e
σ (s, T ) − σ
e (s, m)) dW s .
=
B (0, m)
2 0
0
=⇒
0
vm
dZtm = Ztm (e
σ (t, T ) − σ
e (t, m)) dW t
m
m
Pour
mque
(Zt )t soit martingale sous Q , il faut d´efinir cette mesure comme celle qui transforme
∼
Wt
en mouvement brownien standard. D’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, la densit´e de Qm par
rapport a` Q doit alors eˆ tre e´ gale a` :
Z
Z t
∼
0
dQm
1 t
B (t, m)
Lm
= exp −
ke
σ (s, m)k2 ds +
σ
e (s, m) dW s =
= tm .
dQ
2 0
βt B (0, m)
L0
0
Ayant caract´eris´e le changement de brownien associ´e au changement de mesure, on peut alors tr`es facilement e´ crire les e´ quations de diffusion sous Qm des prix z´ero-coupon, des taux a` terme instantan´es etc.
Proposition 5.4.2 Sous
Qm ,
m
∼
∼
Rt
Wt = Wt − 0 σ
e (s, m) ds est un mouvement brownien standard. Le
processus des prix z´ero-coupon est donn´e par
∼m
0
0
(∗) dB (t, T ) = rt + σ
e (t, T ) σ
e (t, m) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t .
126
Le processus des prix actualis´es par le num´eraire de la date m est donn´e par:
0 ∼ m
B (t, T )
B (t, T )
dZtm = d
=
(e
σ (t, T ) − σ
e (t, m)) dW t .
B (t, m)
B (t, m)
Le processus des taux a` terme instantan´es est donn´e par:
0
∼m
0
(∗∗) df (t, T ) = (e
σ (t, m) − σ
e (t, T )) σ (t, T ) dt + σ (t, T ) dW t
Le taux court s’´ecrit:
Z
rt = f (0, t) +
0
t
Z
0
(e
σ (s, m) − σ
e (s, t)) σ (s, t) ds +
t
0
∼m
σ (s, t) dW s
0
Ceci implique en particulier que
t
E Q [rt |F0 ] = f (0, t)
(si m = t)
et plus g´en´eralement:
T
f (t, T ) = E Q [rT |Ft ]
Les taux a` terme instantan´es sont donc e´ gaux a` l’esp´erance des taux courts futurs sous la probabilit´e
forward-neutre correspondante.
5.5
Quelques exemples de valorisation.
Dans des cas simples des calculs explicites sont possibles. Nous nous limiterons au cas des volatilit´es
d´eterministes qui est quasiment le seul a` fournir des formules de prix explicites.
5.5.1
Options europ´eennes sur z´ero-coupon.
Consid´erons en t une option d’´ech´eance S dont le sous-jacent est un z´ero-coupon d’´ech´eance T.
Le prix d’une telle option a` la date t s’´ecrit:
h
i
RS
Ct = E Q (B (S, T ) − K)+ e− t ru du |Ft
En utilisant la mesure de probabilit´e QS on obtient imm´ediatement:
S Ct = B (t, S) E Q (B (S, T ) − K)+ |Ft
βt
+
Q B (S, S)
(B (S, T ) − K) |Ft
= B (t, S) E
βS B (t, S)
127
On a sous QS
B (S, T ) =
=
B (S, T )
B (S, S)
B (t, T )
exp
B (t, S)
Z
S
t
∼S
1
(e
σ (τ, T ) − σ
e (τ, S)) dW τ −
2
0
Z
S
t
2
ke
σ (τ, T ) − σ
e (τ, S)k dτ
La variable B (S, T ) suit donc une loi lognormale si les volatilit´es sont d´eterministes.
On va utiliser le lemme suivant:
Lemme 5.5.1 Si ln X suit une loi gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2 , alors:
E (X − K)+ = E (X) N (d1 ) − KN (d2 )
o`u N (.) est la fonction de r´epartition de la loi gaussienne centr´ee et o`u:
d1 = µ−ln σK+σ
d2 = d1 − σ
Si on note
Z
2
σ =
t
S
2
ke
σ (τ, T ) − σ
e (τ, S)k2 dτ,
le lemme s’applique ici pour X = B (S, T ) avec
1 2
B (t, T ) 2
d
ln X = N − σ + ln
;σ
2
B (t, S)
ce qui donne:
Proposition 5.5.1 Le prix a` la date t d’une option d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T est
donn´e par
B (t, T )
Ct = B (t, S)
N (d1 ) − KN (d2 ) = B (t, T ) N (d1 ) − KB (t, S) N (d2 )
B (t, S)
avec
ln B (t, T ) − ln B (t, S) − ln K + σ 2 /2
σ
= d1 − σ
Z S
ke
σ (τ, T ) − σ
e (τ, S)k2 dτ.
=
d1 =
d2
σ2
t
128
5.5.2
Options sur obligation.
Supposons dans ce paragraphe que K = 1 (un facteur).
Consid´erons une option d’´ech´eance S sur une obligation de prix PS (de date d’´ech´eance T ).
Si on note (cτ )τ les flux (non al´eatoires) g´en´er´es par cette obligation, alors le prix PS s’exprime par:
PS =
T
X
cτ B (S, τ )
τ =S+1
Le prix de l’option a` la date t est donn´e par:
βt
|Ft
Ct = E (PS − K)+
βS
Q
Lemme 5.5.2 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation peut se mettre sous la forme:
T
X
Ct =
τ
cτ B (t, τ ) E Q
S 1(PS ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft
τ =S+1
Preuve.
T
X
+
(PS − K) =
cτ B (S, τ ) 1(PS ≥K) − K1(PS ≥K)
τ =S+1
et par cons´equence
"
Ct = βt E Q
T
X
#
B (S, τ )
Q βt
1
|Ft B (t, τ ) − KE
1
|Ft
cτ
βS B (t, τ ) (PS ≥K)
βS (PS ≥K)
τ =S+1
T
X
=
cτ B (t, τ ) E Q
τ
S 1(PS ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft
τ =S+1
Lemme 5.5.3 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation d’´ech´eance T peut s’´ecrire:
Ct =
T
X
cτ B (t, τ ) E
τ =S+1
QS
B f (S, S, τ )
S 1(Ps ≥K) |Ft − KB (t, S) E Q 1(PS ≥K) |Ft
f
B (t, S, τ )
129
Preuve. B f (t, S, τ ) =
E
B(t,τ )
B(t,S)
QS
B f (S, S, τ )
XS |Ft
B f (t, S, τ )
τ
= E Q [XS |Ft ]
B (S, τ ) βt
= EQ
XS |Ft
βS B (t, τ )
Pour trouver Ct , il faut donc connaˆıtre sous QS les lois des diff´erentes variables al´eatoires intervenant
dans les esp´erances.
En th´eorie il n’y a pas de difficult´es puisque tous les r´esultats ont d´ej`a e´ t´e donn´es sous QS mais techniquement, PS apparaˆıt comme une somme de variables al´eatoires lognormales non ind´ependantes, ce
qui conduit a` des calculs inextricables.
Regardons au cas particulier d’un mod`ele a` un facteur (K = 1) et a` volatilit´e d´eterministe, par exemple
exponentielle avec σ (t, T ) = σe−λ(T −t) . Alors on peut obtenir une expression quasi-explicite. Ecrivons
B (S, τ ) sous la forme
Z S
Z
∼S
B (S, τ )
B (t, τ )
1 S
2
B (S, τ ) =
(e
σ (u, τ ) − σ
e (u, S)) du +
(e
σ (u, τ ) − σ
e (u, S)) dW u
=
exp −
B (S, S)
B (t, S)
2 t
t
avec
τ
Z
σ
e (u, τ ) = −
−λ(s−u)
σe
u
Or les variables al´eatoires
Z
σ 1 − e−λ(τ −u)
ds =
λ
S
∼S
(e
σ (u, τ ) − σ
e (u, S)) dW u
Zτ =
t
d
peuvent eˆ tre e´ crites comme Zτ = V (S, τ ) Z avec Z une variable gaussienne sous QS centr´ee et r´eduite
(N (0, 1)) et la volatilit´e
Z
V (S, τ ) =
t
S
1/2
(e
σ (u, τ ) − σ
e (u, S)) du
2
On peut alors e´ crire B (S, τ ) comme
B (t, τ )
1
2
B (S, τ ) =
exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) Z
B (t, S)
2
d
Comme V (S, τ ) ≥ 0, PS est une fonction croissante de Z, l’´ev´enement PS ≥ K peut encore s’´ecrire
d
{PS ≥ K} ≡ {Z ≥ d0 }
130
o`u d0 est d´efini par:
T
X
1
B (t, τ )
2
exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) d0 = K
cτ
B (t, S)
2
τ =S+1
Preuve.
T
X
(
{PS ≥ K} =
)
cτ B (S, τ ) ≥ K
τ =S+1
(
d
=
T
X
)
1
B (t, τ )
exp − V (S, τ )2 + V (S, τ ) Z ≥ K
cτ
B (t, S)
2
τ =S+1
On peut alors calculer le prix de l’option a` partir de la valeur d0 . En effet, on a:
EQ
E
QS
S
1(Z≥d0 ) |Ft = N (−d0 )
B f (S, S, τ )
1
|Ft
B f (t, S, τ ) [PS ≥K]
=
=
=
=
=
Z v N (0, 1)
1
2
E
exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) Z 1(PS ≥K) |Ft
2
Z ∞
1
1
2
exp − V (S, τ )2 exp (V (S, τ ) x) √ e−x /2 dx
2
2π
d0
Z ∞
(x−V (S,τ ))2
1
2
√
e−
dx
2π d0
Z ∞
1
2
√
e−y /2 dy
2π d0 −V (S,τ )
N (− (d0 − V (S, τ ))) = N (−d0 + V (S, τ )) .
QS
Comme conclusion:
Proposition 5.5.2 Le prix en t d’une option d’´ech´eance S sur une obligation d’´ech´eance T avec (cτ )τ
T
P
les flux non al´eatoires PS =
cτ B (S, τ ) s’´ecrit:
τ =S+1
Ct =
T
X
cτ B (t, τ ) N (−d0 + V (S, τ )) − KB (t, S) N (−d0 )
τ =S+1
131
o`u
Z
S
V (S, τ ) =
t
1/2
[e
σ (u, τ ) − σ
e (u, S)]2 du
avec
σ
e (t, T ) = σ
1 − e−λ(T −t)
λ
et o`u d0 est solution de:
T
X
τ =S+1
5.5.3
B (t, τ )
1
2
cτ
exp − V (S, τ ) + V (S, τ ) d0 = K
B (t, S)
2
Contrat forward et future.
Les prix en t d’un contrat forward et future d’´ech´eance S sur un z´ero-coupon d’´ech´eance T sont donn´es
par:
S
1) B f (t, S, T ) = E Q [B (S, T ) |Ft ]
)
Ceci est triviale parce que B(u,T
est une martingale sous QS : donc
B(u,S)
u
S
B f (t, S, T ) = E Q
B (S, T )
B (t, T )
|Ft =
B (S, S)
B (t, S)
2) B F (t, S, T ) = E Q [B (S, T ) |Ft ]
On peut expliciter l’expression en e´ crivant:
B(S, T ) = E
Q
Z
T
exp −
ru du |FS
S
Donc
T
Z
B F (t, S, T ) = E Q exp −
ru du |Ft
S
et a` l’aide du lemme usuelle si (ru )u gaussien
V (t, S, T )
B (t, S, T ) = exp −M (t, S, T ) +
2
F
avec
M (t, S, T ) = E
Q
Z
T
ru du |Ft
S
V (t, S, T ) = V ar
Q
Z
T
ru du |Ft
S
132
On peut effectuer les calculs de M et V en fonction de la structure des taux a` la date t et de la fonction
de volatilit´e.
Exemple. Dans le cas que la volatilit´e est constante: σ (t, T ) = σ.
D’abord la moyenne vaut:
Z
T
M (t, S, T ) =
i
σ2 h
(T − t)3 − (S − t)3
6
f (t, u) du +
S
En effet parce que
Z
T
E Q [ru |Ft ] du =
S
Z
T
f (t, u) du +
S
i
σ2 h
(T − t)3 − (S − t)3
6
parce que d’une cˆot´e
ru = f (0, u) + σ 2
et d’autre cˆot´e
∼
u2
+ σW u
2
∼
t2
f (0, u) = f (t, u) − σ ut −
− σW t.
2
2
Donc au totale:
ru
∼
∼
σ2 2
2
= f (t, u) +
u − 2ut + t + σ W u − W t
2
∼
∼
σ2
2
= f (t, u) +
(u − t) + σ W u − W t .
2
En ce qui concerne la variance:
V (t, S, T ) = V ar
Q
Z
T
S
Z
σ
u
∼
dW s du |Ft
t
1
= σ (T − S) S − t + (T − S)
3
Soit au total: B F (t, S, T ) = B f (t, S, T ) exp − 21 (T − S) (S − t)2
2
2
La r´ealit´e est en fait plus complexe. Par exemple, le contrat Matif sur le notionnel est certe un contrat de
type Future mais sur une obligation fictive (et non un z´ero-coupon). Cependant le prix d’un tel contrat
peut encore eˆ tre calcul´e par la formule habituelle.
133
5.5.4
Valorisation des swaps.
(El Karoui et Geman (1991)).
Un swap de taux est un e´ change d’int´erˆet: un taux d’int´erˆet variable contre un taux fixe. Le prix d’un
swap sera ce taux fixe: 2 parties A et B font un swap lorsque
* A verse a` B un int´erˆet variable sur un capital fictif (de valeur donn´ee initialement).
* B verse a` A un int´erˆet fixe sur ce mˆeme capital.
Les dates auxquelles ont lieu ces versements sont not´ees s = t + 1, ...., T.
Supposons que la r´ef´erence variable soit un taux de maturit´e θ donn´ee: Y (s, s + θ) . Alors:
* A verse a` B: Y (s, s + θ) a` chaque date s.
* B verse a` A: Rt a` chaque date s o`u Rt est le taux fixe convenu au d´epart entre ces deux parties (Rt est
le “prix” du swap).
Comme aucun flux n’a lieu au moment de la conclusion du contrat, Rt doit eˆ tre tel que
" T
#
X Y (s, s + θ) − Rt
Q
E
|Ft = 0
βs
s=t+1
ou bien
Rt
T
X
E
Q
T
X
1
Q Y (s, s + θ)
|Ft =
E
|Ft
βs
βs
s=t+1
s=t+1
ou encore
T
P
Rt =
s
E Q [Y (s, s + θ) |Ft ] B (t, s)
s=t+1
T
P
B (t, s)
s=t+1
Il faut donc connaˆıtre la loi de Y (τ, τ + θ) sous la probabilit´e Qτ . Or sous Qτ nous savons que
Z τ
Z
∼τ
0
B (t, τ + θ)
1 τ
2
exp
[e
σ (u, τ + θ) − σ
e (u, τ )] dW u −
ke
σ (u, τ + θ) − σ
e (u, τ )k du
B (τ, τ + θ) =
B (t, τ )
2 t
t
en utilisant
1
Y (τ, τ + θ) = − ln B (τ, τ + θ)
θ
et donc
E
Qτ
1 B (t, τ + θ) 1
−
[Y (τ, τ + θ) |Ft ] = − ln
θ
B (t, τ )
2
Z
t
τ
ke
σ (u, τ + θ) − σ
e (u, τ )k2 du.
En pratique, la variable de r´ef´erence n’est pas aussi simple qu’un taux Y (s, s + θ) et les calculs d’esp´erance
sont alors plus compliqu´ees.
134
5.6
Swaps / Caps / Floors / Swaptions / Captions sur LIBOR+ Mod`eles de
March´es.
1) Les swaps de taux d’int´erˆet.
On a d´ej`a e´ tudi´e un swap de taux d’int´erˆet o`u le taux d’int´erˆet variable e´ tait un taux a` terme Y (s, s + θ).
Ceci n’est presque pas vendu sur le march´e. Le plus souvent le taux d’int´erˆet variable est un taux LIBOR.
(London Interbank Offered Rate).
Regardons un peu plus en d´etails:
Donc un swap de taux est un e´ change d’un taux d’int´erˆet variable contre un taux fixe.
On appelle “forward start payer swap settled in arrears”, swap a` terme in fine (du point de vue de
l’acheteur) le swap avec dates de versement Tj , j = 1, ...., n, avec Tj − Tj−1 = δ
∀ j = 1, ....., n.
T0 est appel´ee la date initiale.
Le taux variable L (Tj ) est rec¸u a` la date Tj+1 .
LTj est fix´e a` la date Tj en utilisant la formule suivante:
1
= 1 + (Tj+1 − Tj ) L (Tj ) = 1 + δL (Tj ) .
B [Tj , Tj+1 ]
Ce sont des quotations du LIBOR au comptant.
En g´en´eral, le taux LIBOR a` terme L (t, Tj ) pour la p´eriode future [Tj, Tj+1 ] satisfait
1 + (Tj+1 − Tj ) L (t, Tj ) =
B (t, Tj )
= B f (t, Tj , Tj+1 )−1
B (t, Tj+1 )
Aux dates de versement Tj , j = 1, ...., n les flux d’un “payer swap” sont L (Tj−1 ) δN et −KδN o`u K
est un taux d’int´erˆet fix´e ( et le nominal = 1).
n est appel´e la longueur du swap.
Un cas sp´ecial est le taux fixe κ qui annule la valeur d’un swap a` terme. Ce taux est appel´e le “forward”
swap rate κ (t, T, n) .
135
En g´en´eral la valeur a` la date t d’un swap a` terme avec taux d’int´erˆet fixe est d´enot´e par F St (κ) avec


n
X
β
t
F St (κ) = EQ 
(L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft 
βTj
j=1
n
X
βt −1
=
B (Tj−1 , Tj ) − (1 + κδ) |Ft
EQ
βTj
j=1
X
n
n
X
βTj−1 βt
βt
−1
FT
−
=
B
(T
,
T
)
|F
(1
+
κδ)
E
EQ
EQ
|F
j−1 j
t
t
Q
j−1
βTj−1
βTj
βTj
j=1
j=1
n
n
X
X
βt
βt
|Ft − (1 + κδ)
EQ
|Ft
=
EQ
βTj−1
βTj
=
j=1
j=1
n
X
B (t, Tj−1 ) − (1 + κδ)
j=1
n
X
B (t, Tj )
j=1
= B (t, T0 ) −
= B (t, T0 ) −
n−1
X
B (t, Tj ) κδ − (1 + κδ) B (t, Tn )
j=1
n
X
cj B (t, Tj )
∀t ∈ [0, T ] .
j=1
o`u cj = κδ pour j = 1, ..., n − 1 et cn = 1 + κδ
On a aussi celui regl´e a` l’avance (“in advance”). Les flux a` Tj en US et Europe sont d´efinis par:
L (Tj ) δ (1 + L (Tj ) δ)−1
et
− κδ (1 + L (Tj ) δ)−1



n−1
X βt (L (Tj ) − κ) δ
|Ft
F St∗ (κ) = EQ


β
1 + L (Tj ) δ
j=0 Tj


n−1
X βt
= EQ 
(L (Tj ) − κ) δB (Tj , Tj+1 ) |Ft 
βTj
j=0


n
X
βt
= EQ 
(L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft 
βTj
j=1
= F St (κ)
= B (t, T0 ) −
n−1
X
κδB (t, Tj ) − (1 + δκ) B (t, Tn )
j=1
136
Maintenant, d´eterminons aussi le taux swap a` terme κ(t, T, n) avec T = T0 . Puisqu’il annule le swap a`
terme:
B (t, T ) − B (t, Tn )
κ (t, T, n) =
n
P
δ B (t, Tj )
j=1
Un swap est un swap a` terme avec t = T .
Un taux swap est un taux swap a` terme avec t = T.
Donc
κ (T, T, n) =
1 − B (T, Tn )
n
P
δ B (T, Tj )
j=1
2) Les caps et floors a` terme.
A ceiling rate agreement (CRA) ou un cap de taux est un contrat dans lequel le vendeur a l’obligation de
payer des flux a` l’acheteur si un taux d’int´erˆet devient plus haut qu’un certain niveau convenu et cela a`
des dates futures fix´es.
Analogue: Un floor de taux d’int´erˆet est un contrat dans lequel le vendeur a l’obligation de payer des
flux a` l’acheteur si un taux d’int´erˆet devient plus bas qu’un certain niveau convenu et cela a` des dates
futures fix´es.
Comme des swaps, les caps et floors peuvent eˆ tre “in fine” ou “in advance”.
Regardons un cap a` terme “in fine” (in arrears) aux dates Tj , j = 1, ..., n o`u Tj − Tj−1 = δ et T0 = T.
Les flux aux dates Tj sont
(L (Tj−1 ) − κ)+ δ
et on rappelle que le taux LIBOR instantan´e est:
B (Tj−1 , Tj )−1 = 1 + L (Tj−1 ) (Tj − Tj−1 )
Le prix d’un cap a` terme est alors (et un terme est appel´e un caplet):
F Ct
n
X
βt
+
=
EQ
(L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft
βTj
j=1
"
#
+
n
X
1
1
βt
−1
−κ
δ |Ft
=
EQ
βTj
B (Tj−1 , Tj )
δ
j=1
"
#
n
X
∼ +
βt
1
=
EQ
−δ
|Ft
βTj B (Tj−1 , Tj )
j=1
137
∼
avec δ = 1 + κδ. Donc:
F Ct =
n
X
"
EQ
βTj−1
j=1
=
n
X
j=1
=
n
X
"
EQ
βt
βt
βTj−1
βTj−1 FT
j−1
βTj
+
∼
1
#
−δ
|Ft
B (Tj−1 , Tj )
#
+
∼
1 − δB (Tj−1 , Tj )
∀t ∈ [0, T ]
|Ft
EQ
B (t, Tj−1 ) E
QTj−1
"
∼
1 − δB (Tj−1 , Tj )
#
+
|Ft
j=1
∼
Donc un cap a` terme est la somme des options puts sur δ z´ero-coupon.
A) Supposons qu’on est maintenant dans le mod`ele HJM et en plus particulier dans le mod`ele gaussien
(donc avec volatilit´e d´eterministe).
Nous rappelons que sous Qm :
∼m
0
0
dB (t, T ) = rt + σ
e (t, T ) σ
e (t, m) B (t, T ) dt + B (t, T ) σ
e (t, T ) dW t
avec
Z
σ
e (t, T ) = −
et donc
T
σ (t, u) du
t
∼m
0
B (t, T )
[e
σ (t, T ) − σ
e (t, m)] dW t
B (t, m)
et on rappelle aussi que pour ln X v N m, σ 2
d
B (t, T )
B (t, m)
=
E (κ − X)+ = −E [X] N (−d1 ) + κN (−d2 )
avec
m − ln κ + σ 2
σ
= d1 − σ
d1 =
d2
Donc ∀t ≤ T0 le prix d’un cap de taux d’int´erˆet avec niveau d’exercice κ, “settled in arrears” a` des dates
de versement Tj , j = 1, ..., n
F Ct =
n
X
∼
j
j
f
B (t, Tj−1 ) N −d2 (t) − δB (t, Tj−1 , Tj ) N −d1 (t)
j=1
138
o`u B f (t, Tj−1 , Tj ) est le prix a` temps t d’un Tj−1 maturity contrat a` terme sur un z´ero-coupon de
maturit´e Tj et o`u
∼
dj1 (t) =
+ ln B f (t, Tj−1 , Tj ) + ln δ + σj2 (t)/2
σj (t)
dj2 (t) = dj1 (t) − σj (t)
Z Tj−1
σj2 (t) =
ke
σ (τ, Tj ) − σ
e (τ, Tj−1 )k2 dτ.
t
En effet, puisque
Z Tj−1
∼ Tj−1
0
B (t, Tj )
(e
σ (τ, Tj ) − σ
e (τ, Tj−1 )) dW τ
×
exp
B (t, Tj−1 )
t
Z
1 Tj−1
× exp −
ke
σ (τ, Tj ) − σ
e (τ, Tj−1 )k2 dτ
2 t
B (Tj−1 , Tj ) =
on a que
h
i
∼
∼
e (Tj−1 , Tj ) = B (t, Tj ) δ = B f (t, Tj−1 , Tj ) δ
E [X] = E δB
B (t, Tj−1 )
et que
σj2 (t) =
Z
Tj−1
t
ke
σ (τ, Tj ) − σ
e (τ, Tj−1 )k2 dτ.
Les flux pour le floor a` terme aux dates Tj sont e´ gaux a` (κ − L (Tj−1 ))+ δ
F Ft =
n
X
j=1
E
Q
βt
(κ − L (Tj−1 ))+ δ |Ft
βTj
Donc on peut refaire le raisonnement mais on peut aussi utiliser la parit´e cap-floor. En effet, puisque
(κ − L (Tj−1 ))+ δ = (L (Tj−1 ) − κ)+ δ − (L (Tj−1 ) − κ) δ
on a que
F C(t) − F F (t) = F S(t)
cap a` terme - floor a` terme = swap a` terme. =⇒
F Ft =
n ∼
X
δB (t, Tj ) N +dj1 (t) − B (t, Tj−1 ) N +dj2 (t)
j=1
Comme avant, on parle d’un cap ou floor spot si t = T.
139
B) Mod`eles de taux LIBOR a` terme.
Parce que les produits d´eriv´es du LIBOR sont e´ norm´ement trait´es, on peut mod´eliser les taux LIBOR
directement. Mentionnons par exemple les r´ef´erences:
Sandmann et al. (1995)
Jamshidian (1997)
Miltersen (1997)
Musiela and Rutkowski (1997)
Brace et al. (1997)
Ils mod´elisent les taux LIBOR par un mod`ele lognormal parce que c¸a e´ tait d´ej`a depuis longtemps la
m´ethode utilis´ee par les practiciens.
Les dynamiques des taux LIBOR a` terme L (t, Tj−1 ) sous la probabilit´e forward-neutre QTj sont
Tj
dL (t, Tj−1 ) = L (t, Tj−1 ) λ (t, Tj−1 )0 dWt
o`u W Tj sont des mouvements browniens de dimension d sous la probabilit´e forward-neutre QTj et
λ (., Tj−1 ) : [0, Tj−1 ] −→ Rd est une fonction d´eterministe.
On rappelle que le prix d’un cap a` terme F Ct =
n
P
Cpltj est e´ gal a`
j=1
F Ct =
n
X
j=1
E
Q
X
n
Tj βt
+
(L (Tj−1 ) − κ) δ |Ft =
B (t, Tj ) E Q (L (Tj−1 , Tj−1 ) − κ)+ δ |Ft
βTj
j=1
Donc le prix a` la date t ∈ [0, T ] est e´ gale a`
F Ct = δ
n
X
j j ∼
∼
B (t, Tj ) L (t, Tj−1 ) N d 1 (t) − κN d 2 (t)
j=1
avec
d 1 (t) =
ln (L (t, Tj−1 ) /κ) + υj2 (t)/2
υj (t)
∼j
∼j
∼j
d 2 (t) = d 1 (t) − υj (t)
Z Tj−1
∼2
υ j (t) =
kλ (u, Tj−1 )k2 du
t
parce que
140
L (Tj−1 , Tj−1 ) = L (t, Tj−1 ) exp
R
Tj−1
t
T
λ (u, Tj−1 ) dWu j −
1
2
R Tj−1
t
kλ (u, Tj−1 )k2 du
Remarques.
Les dynamiques sous les probabilit´es forward-neutres sont obtenus dans des mod`eles sans arbitrages.
La pratique du march´e e´ tait ou est de regarder sous Q
dL (t, Tj ) = L (t, Tj ) σdWt
∀j
∀t ≤ Tj
Facile pour d´eterminer les prix mais le mod`ele a des d´efauts −→ arbitrage.
Lien avec HJM.
−→ Sous QTj+1
T
dL (t, Tj ) = L (t, Tj ) λ (t, Tj ) dWt j+1
B (t, Tj )
1
−1
L (t, Tj ) =
δ B (t, Tj+1 )
Sous QTj+1 dans le mod`ele HJM:
d
0
B (t, Tj )
B (t, Tj )
T
=
(e
σ (t, Tj ) − σ
e (t, Tj+1 )) dWt j+1
B (t, Tj+1 )
B (t, Tj+1 )
Donc par cons´equence:
0
1 B (t, Tj )
T
(e
σ (t, Tj ) − σ
e (t, Tj+1 )) dWt j+1
δ B (t, Tj+1 )
0
1
T
=
(1 + δL (t, Tj )) (e
σ (t, Tj ) − σ
e (t, Tj+1 )) dWt j+1
δ
T
= L (t, Tj ) λ (t, Tj ) dWt j+1
dL (t, Tj ) =
avec
λ (t, Tj ) =
1+δL(t,Tj )
δL(t,Tj )
(e
σ (t, Tj ) − σ
e (t, Tj+1 ))
Maintenant on suppose λ (., Tj ) function d´eterministe!!!
3) Autres produits r´eli´es aux swaps et caps.
Caption:
141
call option sur un cap

+

n
X
β
t 
CCt = E Q 
CplTj − κ |Ft 
βT

j=1
payer swaption:
avec taux d’exercise κ, de maturit´e T = T0 qui donne le droit a` l’acheteur d’obtenir un payer swap a`
terme qui est sous-jacent.
+
Q βt
(F ST (κ)) |Ft
P St = E
βT



+ 

n
X
βt  Q 
βT
= EQ 
E
(L(Tj−1 ) − κ) δ |Ft   |Ft 
βT
βTj
j=1

+


n
X
β
t 
1−
cj B (T, Tj ) |Ft 
= EQ 
βT
j=1
Put option sur une obligation avec coupons cj = κδ for j = 1, . . . , n.
Options sur un spread de taux swap: swap rate spread.
payoff avec swap rates avec m1 6= m2 .
CT (κ, m1 , m2 ) = (κ (T, T, m1 ) − κ (T, T, m2 ) − κ)+
Exotic caps.
5.7
D´eriv´ees de taux d’´echanges.
A. Mod`eles de deux e´ conomies (Amin Jarrow (1991)) qui sont reli´es entre elles par un taux d’´echange.
Maintenant on a besoin d’un mod`ele qui d´ecrit plusieurs march´es reli´es par un taux de change.
Nous nous restreignons a` deux e´ conomies: domestique et e´ trang`ere.
La mod´elisation ici est celle de Amin et Jarrow (1991) et s’inspire directement du mod`ele Heath-JarrowMorton (1992).
142
La seule diff´erence provient de la pr´esence simultan´ee de deux num´eraires (associ´es a` chacune des
e´ conomies).
Dans la plupart des cas, nous privil´egierons le point de vue domestique, et nous raisonnerons a` partir du
num´eraire de l’´economie domestique.
1. Notations.
Nous noterons d’un indice d tout ce qui se r´ef`ere a` l’´economie domestique et d’un indice f (foreign)
pour ce qui concerne l’´economie e´ trang`ere.
- B d (t, T ) = le prix d’un titre z´ero-coupon donnant droit a` une unit´e de num´eraire domestique a` la date
T (donc B d (T, T ) = 1).
- B f (t, T ) = ...... num´eraire e´ tranger
- rtd
= les taux courts domestiques
- rtf
= les taux courts e´ trangers
- S(t)
= le taux de change
= le prix exprim´e en num´eraire domestique d’une unit´e de num´eraire e´ tranger: 1£ = 1,5 Euro
(num´eraire domestique = 1 Euro)
2. L’absence d’opportunit´es d’arbitrage pour l’´economie domestique.
Comme nous prenons le point de vue domestique, on est ici dans le cadre de ce pr´esent chapitre et on
caract´erise l’absence d’opportunit´es d’arbitrage par l’existence d’une probabilit´e Qd sous laquelle les
prix actualis´es sont martingales
0
∼
dB d (t, T ) = rtd B d (t, T )dt + B d (t, T )σ d (t, T ) dW t
∼
o`u W t est un mouvement brownien standard de dimension n.
σ d (t, T ) est un processus continu, adapt´e tel que σ d (t, t) = 0 pour tout t.
3. Absence d’opportunit´es d’arbitrage pour l’´economie e´ trang`ere.
Il n’y a aucune raison pour penser que les prix e´ trangers actualis´es au taux court rtf puissent eˆ tre martingales sous la mˆeme probabilit´e Q = Qd .
Regardons a` l’op´eration qui consiste a` changer une quantit´e St de num´eraire domestique (`a la date t)
en num´eraire e´ tranger que l’on replace continˆument au taux Rcourt e´ tranger rf jusqu’en T puis qu’on
T f
reconvertit en num´eraire domestique en T pour obtenir S(T )e t rs ds (en monnaie domestique).
143
Il s’agit d’une op´eration “domestique” puisque l’investissement et l’unique flux terminal sont r´ef´erenc´es
en num´eraire domestique. Donc cet investissement initial doit eˆ tre e´ gal a` l’esp´erance du flux terminal
actualis´e au taux rd , soit:
i
h RT d
RT f
d
∀t ≤ T.
S(t) = E Q e− t rs ds S(T )e t rs ds |Ft
Ceci implique que, sous la probabilit´e risque-neutre Qd , la dynamique du taux de change doit s’´ecrire:
∼
0
dS(t) = rtd − rtf S(t)dt + S(t)σ S (t) dW t
o`u σ S (t) est la volatilit´e du taux de change.
Une autre fac¸on de voir les choses est de dire que le taux de change est le prix d’un actif domestique qui
d´elivrerait continˆument un dividende e´ gal a` rtf .
Pour d´ecrire la dynamique des prix z´ero-coupon e´ tranger sous Qd , consid´erons l’op´eration qui consiste
a` acheter en t un titre z´ero-coupon e´ tranger d’´ech´eance T au prix domestique S(t)B f (t, T ) puis de le
0
0
0
revendre en t pour r´ecup´erer S(t )B f (t , T ). Il s’agit ici aussi d’une op´eration “domestique” et donc
sous Q = Qd :
f
S(t)B (t, T ) = E
Q
0
f
0
−
S(t )B (t , T )e
R t0
t
rsd ds
|Ft
Autrement dit, le processus de prix domestiques S (t) B f (t, T ) actualis´es par rd est martingale sous Qd .
Par cons´equent sous Q:
∼
d S(t)B f (t, T )
0
d
d,f
=
r
dt
+
σ
(t,
T
)
d
W
t.
t
S(t)B f (t, T )
=⇒ en utilisant la formule d’Itˆo:
∼
dB f (t, T )
0
f
f
S
= rt dt + σ (t, T ) dW t − σ (t)dt
B f (t, T )
avec
σ f (t, T ) = σ d,f (t, T ) − σ S (t).
Donc, les prix e´ trangers actualis´es par le taux court e´ tranger rf sont bien martingale mais sous une autre
probabilit´e, sous Qf o`u Qf v´erifie
144
Z
Z T
∼
2
0
1 T
dQf S
S
= exp −
σ (s) ds +
σ (s) dW s
dQ T
2 0
0
∼
tel que W t −
Rt
0
σ S (u) du est un mouvement brownien sous Qf .
B. Options sur taux de change
On veut d´eterminer le prix d’un call europ´een sur taux de change avec payoff a` la date d’´ech´eance:
(S (T ) − K)+
o`u K est le taux de change d’exercice, T la date d’´ech´eance et S (T ) est le taux de change aussi d´ecrit
par
S (T ) = FS (T, T )
o`u FS (t, T ) est le taux de change a` terme qui peut eˆ tre interprˆet´e comme le taux a` terme a` la date T
d’une unit´e de la monnaie e´ trang`ere.
=⇒
FS (t, T ) =
B f (t, T )S(t)
B d (t, T )
∀t ∈ [0, T ] .
= forward exchange rate for the settlement date T.
∼
dFS (t, T ) = FS (t, T ) σ S (t) + σ f (t, T ) − σ d (t, T ) (dW t − σ d (t, T )dt)
∼
o`u (dW t − σ d (t, T )dt) est e´ gale a` dWtT sous QT .
=⇒ Si σ S (t) + σ f (t, T ) − σ d (t, T ) est d´eterministe, alors c’est facile d’obtenir des expressions pour les
prix d’option.
+
Qd β t
Ct = E
(FS (T, T ) − K) |Ft
βT
parce que l’option est exprim´e en monnaie domestique, on peut prendre l’esp´erance du payoff actualis´e
sous la probabilit´e risque-neutre domestique, ou sous la probabilit´e forward-neutre
T Ct = B(t, T )E Q (FS (T, T ) − K)+ |Ft
On a une loi lognormale
1
ln FS (T, T ) v N (ln FS (t, T ) − υS2 (t, T ), υS2 (t, T ))
2
145
o`u
υS2 (t, T )
Z
=
t
T
2
S
σ (u) + σ f (u, T ) − σ d (u, T ) du
Nous concluons que
Ct = B (t, T ) [FS (t, T ) N (d1 ) − KN (d2 )]
avec
ln (FS (t, T ) /K) + υS2 (t, T ) /2
υS (t, T )
= d1 − υS (t, T ) .
d1 =
d2
146
C. Exercice
Consid´erez le mod`ele de Amin-Jarrow (1991) dans lequel deux e´ conomies sont reli´ees entre elles par un
taux d’´echange et o`u il n’y a pas d’opportunit´es d’arbitrage.
a/ Notons B d (t, T ) (et B f (t, T ) respectivement) le prix d’un titre z´ero-coupon donnant droit a` une unit´e
de num´eraire domestique (´etranger) a` la date T .
Supposons que l’EDS de B d (t, T ) sous la probabilit´e risque-neutre Qd du march´e domestique est e´ gale
a`
0
∼d
dB d (t, T ) = rtd B d (t, T )dt + B d (t, T )σ d (t, T ) dW t .
Donnez l’EDS analogue pour B f (t, T ) sous la probabilit´e risque-neutre Qf du march´e e´ tranger.
∼f
Utilisez la notation W t pour un mouvement Brownien sous Qf et le fait que le taux de change suit
l’EDS:
∼d
0
dS(t) = rtd − rtf S(t)dt + S(t)σ S (t) dW t .
∼d
b/ Supposons maintenant que σ S , rd et rf sont des constantes et que W t est un mouvement Brownien
unidimensionnel.
Notons Stf le prix d’une action, not´ee dans le num´eraire e´ tranger, avec EDS sous la probabilit´e risqueneutre Qf :
∼f
dStf = Stf (rf dt + σS f dW t ),
avec σS f une constante.
Donnez l’EDS et la solution de cette EDS sous la probabilit´e risque-neutre Qd .
c/ Consid´erez un produit d´eriv´e (appel´e equity-linked foreign exchange call) avec payoff a` la date de
maturit´e T :
CT = (ST − K)+ STf ,
avec K le strike, et exprim´e dans le num´eraire domestique.
D´emontrez que son prix a` la date t est e´ gal a` :
Ct = Stf (St N (d1 (St , T − t)) − Ke−γ(T −t) N (d2 (St , T − t)))
avec γ = rd − rf + σ S σS f et
d1,2 (s, t) =
ln( Ks ) + (γ ± 12 |σ S |2 )t
√
.
σS t
Hint:
Introduisez la probabilit´e Q∗∗ :
∼d
dQ∗∗
1
= exp(σS f W T − |σS f |2 T ).
d
2
dQ
147
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