´ore
`me fondamental de l’arithme
´tique
Le the
L’objectif de cette note est de d´emontrer quelques propri´et´es des entiers naturels
en utilisant des raisonnements par r´ecurrence et par l’absurde. Commen¸cons par
prouver l’existence de la d´ecomposition en produit de facteurs premiers.
Th´
eor`
eme 1. Tout entier naturel n > 1 est soit premier soit un produit de nombres
premiers.
Par r´ecurrence compl`ete. Comme 2 est premier la r´ecurrence d´emarre bien. Supposons par hypoth`ese de r´ecurrence que pour tout entier naturel 1 < k ≤ n l’affirmation
soit vraie et consid´erons n + 1. Si n + 1 est premier alors le th´eor`eme est vraie. Sinon, n est compos´e et donc n = a · b, o`
u a et b sont strictement plus petits que n et
sup´erieurs a` 1. Pour conclure, appliquons l’hypoth`ese de r´ecurrence sur a et b. Th´
eor`
eme 2. Il existe une infinit´e de nombres premiers.
Par l’absurde. Supposons le contraire. Posons E = {2, 3, 5, 7, . . . , pn } l’ensemble de
tous les nombres premiers. L’astuce d’Euclide consiste `a consid´erer le nombre m :=
2 · 3 · 5 · . . . · pn + 1. Ce nombre ne peut ˆetre divisible par aucun des nombres premiers
de E (car il y a toujours un reste de 1). Par le th´eor`eme pr´ec´edent m est soit premier,
soit divisible par un nombre premier qui n’est pas dans E. Ce qui est impossible
dans les deux cas puisque E ´etait cens´e contenir tous les nombres premiers de N. La cl´e de la preuve ci-dessous est la division euclidienne de deux entiers : ´etant
donn´es deux entiers, par exemple a = 7 et b = 95, il existe deux entiers q (le
quotient) et r (le reste) qui permet d’´ecrire 95 sous la forme d’un multiple de 7 +
un certain reste compris entre 0 et 6. En l’occurrence 95 = 13 · 7 + 4 et donc q = 13
et r = 4. Plus g´en´eralement, si a et b ∈ N avec a 6= 0 alors il existe q et r tels que
b = qa + r avec 0 ≤ r < a.
Th´
eor`
eme 3 (fondamental de l’arithm´etique). Tout entier naturel n > 1 de d´ecompose
de mani`ere unique en un produit de facteurs premiers, `a l’ordre pr`es.
Par descente infinie = absurde + r´ecurrence. Supposons le th´eor`eme faux. Il existe
donc un plus petit entier naturel n qui admet au moins deux d´ecompositions.
Parmi toutes les d´ecompositions de n, consid´erons celle contenant le plus petit facteur premier de n d´enot´e par p1 . On a alors n = p1 p2 . . . pk = m1 m2 . . . ml deux
d´ecompositions distinctes (en facteurs premiers). Par minimalit´e de n aucun des pi
´egale un mj . La division euclidienne de m1 par p1 donne
(1)
m1 = q · p1 + r
avec 0 ≤ r < p1 .
Comme m1 est premier on en d´eduit que r 6= 0. Si l’on multiplie les deux membres
de l’´egalit´e (1) par m2 · m3 . . . ml l’on obtient p1 . . . pk = p1 (m2 . . . ml ) + (m2 . . . ml )r.
Comme le membre de gauche est divisible par p1 et qu’il en est de mˆeme du 1e
terme de droite alors il s’ensuit de mˆeme concernant le 2e terme. Or, ce dernier est
strictement plus petit que n et donc admet une d´ecomposition en produit de facteurs
premiers unique. Absurde, puisque p1 diviserait alors r qui est < p1 .
1
2
´ore
`me de Fermat
Le petit the
Dans cette partie nous ´enoncerons et d´emontrerons un th´eor`eme c´el`ebre du XVIIe
si`ecle d´enomm´e le petit th´eor`eme de Fermat. Il fut formul´e par ce dernier dans
une lettre du 18 octobre 1640, adress´ee a` Frenicle de Bessy et sera d´emontr´e qu’en
1736 par L. Euler dans Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium
Demonstratio 1, en utilisant les propri´et´es des coefficients binomiaux.
Ex. 1. a) Montrer que pour tout n ∈ N, n3 − n est divisible par 6.
b) Montrer que pour tout n ∈ N, n5 − n est divisible par 10.
c) Montrer que pour tout n ∈ N, n7 − n est divisible par 14.
d) L’affirmation n9 − n est un multiple de 18 est-elle vraie ou fausse ?
e) Sur la base des exemples ci-dessus, voire d’autres, ´elaborer une conjecture.
La clef qui permet de comprendre les observations pr´ec´edentes est le r´esultat suivant :
Th´
eor`
eme (petit th´eor`eme de Fermat). Si p est premier alors p | np − n
D´emonstration. Nous allons suivre une d´emonstration de L. Euler (E54), d´emonstration
par r´ecurrence sur n. Si n = 1 alors c’est ´evident, car tout entier non nul divise 0.
Si n = 2 ´ecrivons
p
p
p
p
p
p
p
p
2 −2 = (1+1) −2 = 1+
+
+. . .+
+1−2 =
+
+. . .+
1
2
p−1
1
2
p−1
est un multiple de p, puisque le
Chaque coefficient binomial kp = p(p−1)...(p−k+1)
1·2·3...(k−1)k
d´enominateur de l’expression pr´ec´edente n’admet que des facteurs premiers< p.
Si n = 3 ´ecrivons
p p−1
p p−2
p
p
p
p
3 − 3 = (2 + 1) − 3 = 2 +
2
+
2
+ ... +
2+1−3
1
2
p−1
p p−1
p p−2
p
p
= (2 − 2) +
2
+
2
+ ... +
2
1
2
p−1
Par le calcul pr´ec´edent le terme (2p − 2) est divisible par p, de mˆeme que les coefficients binomiaux. Alors le th´eor`eme est vrai pour n = 3.
Supposons que nous ayons d´emontr´e le th´eor`eme pour n = k et montrons que cela
implique le cas n = k + 1. En effet, si l’hypoth`ese de r´ecurrence est que p | k p − k
alors
p p−2
p
p p−1
p
p
k
++
k
... +
(k + 1) − (k + 1) = k +
k + 1 − (k + 1)
1
2
p−1
p p−1
p p−2
p
p
= (k − k) +
k
+
k
+ ... +
k
1
2
p−1
Comme pr´ec´edemment, par hypoth`ese de r´ecurrence, p divise le premier facteur ainsi
que chaque coefficient binomial donc la somme aussi.
Ex. 2. Montrer que le petit Fermat est ´equivalent `a : si p est premier et (n, p) = 1
alors p | np−1 − 1.
1. La premi`ere preuve, non publi´ee, est en fait de G. Leibniz et date de 1668.