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Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
Lucidi del corso di
Fluidodinamica delle Macchine
Capitolo II-1a: Discretizzazione del Dominio Fisico/Computazionale
Griglie di tipo Strutturato
Prof. Simone Salvadori
Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
La discretizzazione spaziale
• L’utilizzo di griglie cartesiane è preferibile per la regolarità
degli elementi, la semplicità di memorizzazione e perché da
origine a matrici regolari di cui è possibile memorizzare solo in
“non zero”, con risparmi di memoria e facilitazioni nella
scelta degli algoritmi di soluzione.
• L’utilizzo delle le griglie ibride è preferibile quando le
geometrie sono complesse, per contro hanno come
controindicazione la non regolarità delle matrici di soluzione e
quindi richiedono algoritmi di soluzione specifici per la loro
risoluzione.
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La discretizzazione spaziale
•
Considerando una griglia cartesiana, le variabili possono
essere associate:
1. CELL CENTERED: alla cella, memorizzate nel baricentro;
2. CELL VERTEX: ai punti della griglia, quindi ai vertici;
3. NODE CENTERED: ai punti della griglia considerati come centri della
griglia duale.
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Generazione griglie strutturate (1)
• Le equazioni scritte in forma discreta vengono risolte sui
punti (vertici/nodi) che a loro volta definiscono il volume di
controllo scelto:
– Punti ordinati nello spazio: griglie cartesiane (strutturate)
– Punti “disordinati”: griglie ibride (non strutturate)
• Vertici equispaziati su dominio rettangolare → FACILE
• Problema reale con diverse spaziature → come si fa?
– Per superare i problemi che si verificano nei pressi delle superfici
sulle quali si impongono le condizioni al contorno, si introduce la
trasformazione tra il dominio fisico e il dominio computazionale.
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Generazione griglie strutturate (2)
• La funzione di trasformazione permette di descrivere la griglia
di calcolo del dominio fisico (non rettangolare) come una
griglia rettangolare nel dominio di calcolo.
• Questo approccio permette di eliminare il problema della non
uniformità dei Δx facendo in modo che la distanza tra i nodi i
ed i+1 sia costante nel dominio computazionale.
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Generazione griglie strutturate (3)
• Obiettivi della generazione di griglia computazionale:
– Relazione biunivoca tra i nodi (curve di una stessa famiglia non si
intersecano l’un l’altra)
– Smoothness dei punti della griglia
– Il massimo possibile di ortogonalità tra le linee di famiglie diverse
– Concentrazione di nodi di calcolo dove più forti sono i gradienti.
• E’ necessario effettuare la trasformazione delle PDEs dal
dominio fisico a quello computazionale (forma e tipo
rimarranno comunque le stesse):
∂
∂
∂
ξ
η
=
+
x
x
 ∂x
ξ = ξ (x, y )
∂α
∂ξ
∂η
α
→
=
→
∂

κ
∂
∂
η = η (x, y )
∂κ
 = ξy
+η y
 ∂y
∂η
∂ξ
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Generazione griglie strutturate (4)
• i.e. consideriamo un’equazione lineare, primo ordine:
 ∂u
∂u 
∂u
∂u
∂u
∂u
 = 0
+η y
+ηx
+ a ξ y
+a
= 0 ⇒ ξx
∂y
∂ξ
∂η
∂η 
∂x
 ∂ξ
• Anche se la griglia computazionale è migliore di quella fisica,
le equazioni scritte in forma computazionale sono quasi
sempre più complesse.
• Le derivate ξx ηx ξy ηy si chiamano METRICA DELLA
TRASFORMAZIONE e sono ciò che deve essere determinato
per rendere possibile la simulazione.
• Ognuno di essi rappresenta il rapporto tra la lunghezza del
segmento nel dominio di calcolo rispetto alla lunghezza
dell’arco nel dominio fisico.
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Generazione griglie strutturate (5)
• Considerando dξ(x,y), dη(x,y), dx(ξ,η) e dy(ξ,η) e uguagliando
le matrici dei coefficienti si ha:
ξ x = Jyη , ξ y = − Jxη
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↔
J=
η x yη − yξ xη
η x = − Jyξ , η y = Jxξ
• Il termine J si chiama Jacobiano della trasformazione e
rappresenta il rapporto tra le aree (o i volumi) dello spazio
fisico rispetto a quelle corrispondenti di calcolo.
• I metodi di generazione delle griglie sono tre
– Metodo algebrico
– Metodi alle derivate parziali
– Trasformazioni conformi basate su variabili complesse
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Generazione griglie strutturate (6)
• Metodo algebrico
– Si usa un’equazione algebrica per legare i punti delle griglie
– Si introducono le funzioni di interpolazione ξ e η e attraverso di esse si
ricava la metrica della trasformazione e il suo Jacobiano.
– Parallelamente, la metrica della trasformazione può essere anche
valutata con una approssimazione alle differenze finite.
– La differenza tra i valori calcolati analiticamente e numericamente
rappresenta l’errore che si commette nella trasformazione tra i due
spazi.
– Per ogni problema è necessario individuare le funzioni ξ e η che
permettano di gestire zone con forti gradienti, la presenza di pareti
solide etcetera ...
– Il metodo algebrico permette di ottenere griglie di calcolo con
variazioni continue o graduali della metrica.
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Generazione griglie strutturate (7)
• Metodo alle derivate parziali
– Con questi metodi si risolve un sistema di PDEs per trovare la
posizione dei punti della griglia nello spazio fisico, mentre lo spazio
computazionale ha una metrica regolare rettangolare.
• Generatori tipo Ellittico
– Valido per domini chiusi, permette di ottenere griglie con variazioni
graduali degli elementi e nodi localmente addensati.
– E’ un procedimento lento, la metrica si calcola numericamente.
• Generatori tipo Iperbolico
– Buoni per domini aperti, permette ortogonalità delle linee nel 2D, è
veloce e permette di controllare la spaziatura degli elementi.
– Non può essere usato nel 3D a causa dell’ortogonalità, estremamente
sensibile alla specifica della spaziatura.
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Tipologie di griglie di calcolo (Base)
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Tipologie di griglie di calcolo – H
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Tipologie di griglie di calcolo – H-O e C
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Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
Tipologie di griglie di calcolo – I e H (3D)
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Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
Tipologie di griglie di calcolo – I
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Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
Tipologie di griglie di calcolo (Multiblocco)
SKEWING
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Tipologie di griglie di calcolo (Multiblocco)
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Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2014-2015
Tipologie di griglie di calcolo (Overlapping)
Prof. Simone Salvadori
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