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- Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università di Firenze -
Rotori Eolici ed Eliche
 Versione:
1.04.00
 Ultimo aggiornamento: 8 Maggio 2015
 A cura di: Prof. F. Martelli, S. Salvadori, A.Mattana
 Testi di Riferimento
 Fox,
“Introduction to Fluid Mechanics", Wiley, ISBN: 0-470-54755-3
 Hau, “Windturbines”, Springer Verlag, ISBN: 3-540-24240-6
Pag. 1
Corso di Fluidodinamica e Macchine, AA 2014-2015
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Rotori Eolici ed Eliche
 Introduzione
 Caratteristiche
generali dei rotori Eolici e delle Eliche
 Modellistica
 Momentum Theory 1
 Applicazione
al rotore eolico
 Aerodinamica 2D del profilo
 Caratteristiche rotori eolici
 VAWTs
 Progettazione e modellazione HAWT
 Momentum Theory 2
 Applicazione
Pag. 2
all’ elica
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Caratteristiche generali delle macchine Eoliche
Un rotore eolico è una sistema a flusso assiale capace di assorbire energia
da una corrente fluida covertendola in energia meccanica.
 L‘ energia viene estratta per effetto della spinta che la corrente esercita sulle
pale, ovvero per effetto della riduzione della quantità di moto del flusso.
– Perchè la macchina operi è necessario
che la corrente fluisca perciò, all’ uscita
della stessa, il fluido deve possedere
ancora sufficiente energia cinetica.
– E’ principalemente per questo motivo
che, anche in assenza di perdite viscose,
il processo non può avere efficienza del
100%.
Pag. 3
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Caratteristiche generali delle eliche
Un’elica è un sistema propulsivo a flusso assiale.

Come altri dispositivi utilizzati per la propulsione, un’elica fornisce una spinta aumentando
la quantità di moto di un fluido.
– Nel processo che genera la spinta, non solo il
flusso possiede ancora una componente di
velcoità assiale, ma acquista anche un momento
angolare. Per questo motivo, pur in assenza di
perdite viscose, il processo non può avere
efficienza del 100%.
– In alcuni casi, a valle dell’elica si utilizzano
palettature statoriche, per ridurre la componente
tangenziale di velocità in uscita, in modo da
recuperare parte dell’energia cinetica associata.
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Modellistica
 Per questa tipologia di dispositivi si sono sviluppati vari modelli di analisi e
progetto, tra i quali troviamo i seguenti:

Momentum Theory
 Blade Element Theory (BET)
 Blade Element Momentum Theory (BEM)
 CFD (Computational fluid Dynamics)
– I vari approcci sono riportati in ordine di complessità, i primi tre consentendo lo sviluppo di un
sistema analitico di metodi ed espressioni per il calcolo ed il progetto di eliche e rotori eolici
Pag. 5
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Brevemente - Momentum Theory
 In tale modello, sviluappto da Rankine e R.E. Froude, il rotore viene modellato
mediante un disco attivo o disco attuatore capace di modificare la quantità di
moto del fluido che lo attraversa impartendogli una corrispondente variazione
di pressione.

Pag. 6
Il modello non richiede di specificare le caratteristiche aerodinamiche del rotore, e
le equazioni che vengono derivate sono concettualmente semplici, nondimeno
consentono di comprendere il funzionamento e la fisica generale del processo
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Brevemente - Blade Element Theory
 Tale teoria consente di legare la geometria delle sezioni di pala del rotore alle
forze aerodinamiche generate dalla loro interazione con il flusso incidente.

–
Pag. 7
Il rotore è considerato nella sua configurazione effettiva, costituito da un certo
numero di pale, che poi vengono suddivise in elementi differenziali di segmenti
di corona circolare di spessore dr, ognuno situato a distanza r dall’asse.
Le prestazioni del rotore vengono trovate
integrando le azioni di LIFT e DRAG dell’
elemento considerato lungo il raggio basandosi
sulle velocità del flusso e la geometria delle
pale
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Brevemente - Blade Element MomentumTheory
 Quando la corrente fluida attraversa il rotore le pale vengono investite da un
flusso relativo che dipende dal moto del rotore e quello della corrente, ma
anche dalla variazione di pressione che genera delle velocità indotte.

e
–
Pag. 8
L‘ approccio BEM nasce quando tali velocità indotte vengono calcolate nel BET
risolvendo localmente la conservazione della quantità di moto in direzione assiale
tangenziale.
Tra i modelli di tipo analitico il BEM è
quello più evoluto. Costituisce il
modello base su cui vengono
implementati ulteriori sub-modelli per
tenere in conto altri effetti determinanti
(tip-losses, non uniformità del flusso,
flusso non allineato, scia…)
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Brevemente - CFD
 L’ utilizzo di strumenti numerici avanzati consente di conoscere completamente
tutte le caratteristiche del dominio fluido, e quindi di caratterizzare il rotore nelle
sue performance globali e puntuali.

Il dominio fluido viene discretizzato
in un numero sufficiente di elementi
rispetto ai quali le equazioni dNS
vengono trasformate in forma algebrica
e risolte con l’ utilizzo di computers.
Pag. 9
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Momentum Theory
Tutto il modello si basa su diverse ipotesi semplificative:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Flusso stazionario
Incomprimibile
Non viscoso
Flusso monodimensionale
Flusso uniforme ad ogni sezione
Tutto il CV è sottoposto alla stessa pressione (quella del flusso indisturbato)
Il rotore intercetta il fluido in modo che ogni effetto d’ interazione si “spalmi” uniformemente su
tutto il disco, che è completamente permeabile al flusso

Pag. 10
Nonostante le semplificazioni di cui sopra, dalle equazioni che deriveranno, si
potranno individuare considerazioni fondamentali molto importanti, il tutto
sempre a prescindere dalla specifica geometria del rotore
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Momentum Theory – Wind Rotor
 Applichiamo il modello del disco attuatore al rotore di una turbina eolica:
 Si consideri il tubo di flusso corrispondente al disco (CV)
– a causa del rallentamento della corrente il tubo di flusso diverge (continuità)
– calcoliamo il flusso di potenza attraverso il tubo:
1 U 2 dm
dE
1
1
2
P =
m
=
= U 2=
ρU 3 A
dt
dt
2
2
1
1
1
3
3
3
3
A
V
−
=
ρ AV
ρ
ρ ( AV
1 1
3 3
1 1 − A3V3 )
2
2
2
m ρ=
AV
=
ρ A3V3
1 1
P1 =
− P3
=
∆P
Pag. 11
1
m (V12 − V32 )
2
Potenza assorbita 1
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Momentum Theory – Wind Rotor
 La potenza assorbita può essere calcolata anche applicando la
conservazione della quantità di moto in senso assiale:
=
Rx m (V1 − V3 ) SPINTA o THRUST sul rotore

Il contributo di pressione è nullo perchè questa ha lo stesso valore su tutto il bordo del CV.
Le azioni di taglio al contorno sono nulle per l’ ipotesi sull’ idealità del flusso.

Questa stessa forza è quella che il disco esercita sul fluido attraverso l’ azione di pressione
a cavallo del disco. Su questo ogni grandezza è distribuita in modo uniforme.

Se quindi si calcola l’ integrale della pressione sul disco e lo si moltiplica per la velocità del
flusso sul disco stesso si ottiene un‘ altra espressione per la potenza
=
P V2 ∫ pdA
= V2 ∫
A2

Pag. 12
A2
Rx
 2 (V1 − V3 )
=
dA V=
mV
2 Rx
A2
Potenza assorbita 2
Uguagliando le due espressioni della potenza si può trovare il valore della velocità al disco.
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Momentum Theory – Wind Rotor
La velocità al disco è la media aritmetica delle velocità all’ ingresso ed all’
uscita del CV:
1
1
2
 2 (V1 − V3 )
m (V12 − V3=
m (V1 − V3 )(V1 + V=
mV
)
3)
2
2
(V + V )
V2 = 1 3
2
Si
introduce ora il parametro “a” detto axial induction factor
Al numeratore compare la velocità
V1 − V2
V2
a=
= 1−
indotta che realizza la compressione
V1
V1
del flusso a monte
 Si trovano quindi le seguenti espressioni per le varie grandezze:
V2 =
V1 (1 − a )
Pag. 13
V3 =
V1 (1 − 2a )
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Rx =
ρ A2V12  2a (1 − a ) 
2
P=
ρ A2V13  2a (1 − a ) 


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Momentum Theory – Wind Rotor
 Adimensionalizzando potenza e spinta rispetto alle stesse grandezze che si
avrebbero in corrispondenza di una sezione pari a quella del disco si ha:
P0
1
1
=
ρ A2V13 e Rx 0
ρ A2V12
2
2
Ct>0 forza equiv. col flusso indisturbato
Cp>0 potenza in uscita dal rotore
Si definscono quindi i seguenti coefficienti adimensionali
=
Ct
Rx
= 4a (1 − a )
Rx 0
Coeff. di spinta
C=
p
P
2
= 4a (1 − a )
P0
Coeff. di potenza
Ct _ MAX 1=
per a 0.5
=
C p _ MAX
=
Pag. 14
16
1
a
= 0.593 per =
27
3
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Limite di Betz
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Momentum Theory – Wind Rotor
Osservazioni:
quando
l’ induction factor tende a 0.5 la velocità allo sbocco del CV tende a zero:
=
V3 V1 (1 − 2a )
questo significa che il modello, pur con le dovute ipotesi, non è in grado di
rappresentare la fisica del problema al di fuori di suddetto range
–
–
nella pratica si riscontra che il range di validità è ancora più stretto.
Quando l’ induction factor si approssima al valore 0.4 sperimentalmente si dimostra
che il rotore inizia a produrre una scia di vortici a valle che rende ancor più apprezzabile
la discrepanza dal modello dalla realtà
–
quando l’ axial induction factor cambia segno, lo fa anche la spinta ed il modello
consente di analizzare correttamente anche il comportamento delle eliche

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Momentum Theory – Regione di Validità
Regione di validità del modello
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Aerodinamica 2D del profilo
 Si definiscono due coefficienti
 Lift Coeff. CL:
CL = L / [ 0.5 ρ V∞2 c]
 Drag Coeff.CD:
CD = D / [ 0.5 ρ V∞2 c]

c è la corda del profilo, ρ la densità.

In un profilo per uso aeronautico, L/D deve essere massimizzato.

L è la forza che si oppone alla gravità (maggiore L, maggiore il carico
(payload) trasportabile)

D è bilanciato dalla spinta del propulsore
 E’ inoltre definito un terzo coefficiente
 Moment Coeff. CM:
Pag. 17
CM = M / [ 0.5 ρ V∞2 c]

M agisce circa ad ¼ della corda dal leading edge

Il momento è positivo se il profilo ruota in senso orario (nose up)
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Aerodinamica 2D del profilo
 Spiegazione del Lift:
 La forma del profilo forza il flusso a curvare attorno alla geometria
 Un gradiente di pressione è necessario per curvare le linee di flusso
1 ∂ p V2
=
ρ ∂r r

nella parte superiore del profilo si ha una p < patm, mentre
in quella inferiore p > patm .
 Profilo allineato al flusso  SL non separato.
La resistenza è principalmente causata dall’attrito con l’aria.
 In generale, CL, CD e CM = f(α, Re, Ma)
 α = ang.di attacco (tra corda e V∞)
 Re = c V∞ /ν (Re basato su corda e V∞)
 Ma = V∞ / a (a=vel.del suono)
 Per turbine eoliche, CL, CD e CM = f(α, Re)
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Aerodinamica 2D del profilo
 CL aumenta linearmente con α, fino ad un max, dove il profilo “stalla” e CL diminuisce
rapidamente.
 Per piccoli angoli di attacco, CD è circa costante, ma poi aumenta rapidamente.
 Dipendenza da Re: diventa sempre meno significativa oltre un certo valore
 Questa dipendenza è correlata al punto in cui avviene la transizione SL laminare–SL turbolento
 Il comportamento allo stallo dipende dalla geometria. Profili molto fini, con leading edge molto
stretto, tendono ad andare in stallo in modo più improvviso di quelli con grosso spessore
Pag. 19

Questo dipende da come lo SL si separa sul lato superiore del profilo: se la separazione avviene in modo
morbido dal trailing edge all’aumentare dell’angolo di attacco  soft stall

Se la separazione avviene sul leading edge, l’intero SL può separarsi istantaneamente  perdita
immediata di portanza
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 Perdite
Aerodinamica 2D del profilo
 Free tip vortices  induced drag  Blade tip losses

Dalla diff.di pressione al tip tra le due facce
 Hub losses (scia dietro all’Hub)
 Si usano modelli (complex vortex model)
 Power coefficient: CP = P / [0.5 ρ vw3 A]
 Torque coefficient: CQ = M / [0.5 ρ vw2 A R]

CP = λ CQ
(A = Area del rotore)
 Blade tip-speed ratio: λ = u /vw = R ω / vw dove


u = vel.tangenziale della pala al tip
vw = velocità del vento
 La dipendenza di CP da λ è una caratteristica del rotore

La Teoria di Betz fornisce un CP costante ed ideale (0.593), indipendente da λ

Quando si considerano i vortici nella scia  CP = f(λ). Solo quando λ è infinitamente elevato si ha
che CP approssima il valore ideale indicato da Betz.

CP ha un ottimo per un dato valore di λ  per ogni rotore caratterizzato da un numero “n”
di pale, esiste un λ tale da massimizzare CP .
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Caratteristiche rotori Eolici
 I mulini a vento raggiungevano CP ≈ 0.3
 Erano basati essenzialmente sul concetto di Drag
 I moderni generatori raggiungono CP ≈ 0.5
 Superiorità del concetto di Lift rispetto a quello di
Drag
 Relativamente a CP, i rotori a più alto tip-speed
ratio sono preferibili
 Rispetto a CQ, i rotori lenti multi-pala hanno la
coppia più alta

Possibili problemi di avvio per rotori mono e bi-pala
 Rotore tripala = il miglior compromesso
Power coefficient: CP = P / [0.5 ρ vw3 A]
Torque coefficient: CQ = M / [0.5 ρ vw2 A R]
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Vertical Axis Wind Turbines (VAWTs)
Sono turbine ad asse verticale:
tra queste distinguiamo le Lift-type dalle
Drag-type

̶ le Lift-type sono macchine il cui
funzionamento deriva dallo sviluppo di
portanza ai profili. Esse non intercettano il
fluido per ostacolarne il flusso, possono
quindi raggiungere valori di λ superiori all’
unità
̶ i dispositivi drag-type intercettano invece il
flusso ostacolandolo, perciò senza l’ ausilio
di un’ azione di lift non possono superare al
tip di pala la velocità del vento (λ<1)
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VAWTs classiche
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Funzionamento Drag-Type
 Generatori Drag-type
 Valutiamo la massima potenza estraibile:

P = D vr
dove vr = (vw – v). Dalla definizione del coeff.CD si ha:

D = CD (ρ/2) (vw – v)2 A, da cui risulta una Potenza pari a:

P = CD (ρ/2) (vw – v)2 A vr
Esprimendo il tutto in termini del coefficiente di potenza si ha:

CP = P / P0 = [CD (ρ/2) (vw – v)2 A vr] / [(ρ/2) vw3 A ]

In modo analogo a quanto fatto in precedenza, si trova CPmax per
v/vw = 1/3 CPmax = (4/27) CD

Dato che CD difficilmente supera il valore di 1.3, si ha
CPmax ≈ 0.2

Pag. 23
Quindi, si raggiunge circa solo un terzo del valore 0.593.
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 Vantaggi

Rotori Savonius
Macchina auto-avviante

Struttura robusta e facile da costruire (bassa
manutenzione)

Esistono molteplici soluzioni per migliorarne le
performance
 Svantaggi

Coefficiente di potenza massimo basso (circa 0.2)

Campo di velocità estremamente complesso (non è
possibile farne uno studio analitico)

Studio a mezzo di tecniche CFD (alto costo
computazionale)
Pag. 24
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Rotori Savonius
Sulla
macchina
monostadio si verificano
settori angolari a coppia
negativa
(pb
autoavviamento). Sfalsando
mezzo stadio di 90° il
momento
è
sempre
positivo e la coppia oscilla
meno. Il caso limite si ha
per rotore elicoidale
Pag. 25
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Tipologie
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 Vantaggi
Rotori Darrieus

Elevato valore del coefficiente di potenza
(circa 0.4)

E’ possibile sviluppare approcci analitici
basati sul BEM estremamente efficienti

Sono silenziose
 Svantaggi

La macchina opera presenta problemi di natura strutturale
collegati agli sforzi centrifughi

La macchina con profili simmetrici presenta problematiche
di auto-avviamento importanti (avvio-assistito)

I profili in rotazione presentano problemi aerodinamici
collegati al fenomeno dello stallo dinamico
Pag. 26
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Torque
Coefficient
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Rotori Darrieus
 Osservazioni:

il singolo profilo opera con triangoli di velocità
variabili in funzione dell’ angolo azimutale

i metodi BEM si basano sull’ utilizzo dei valori di lift
statici
̶ nelle reali condizioni di moto in cui l’ angolo di attacco varia
continuamente, le azioni di lift si discostano molto dal caso
statico
̶
Stallo
Dinamico
per valori di λ<4 si verifica il
fenomeno dello stallo dinamico:
l’ azione di lift presenta isteresi
e si ha il rilascio di scie interferisce
con le pale a valle generando
vibrazioni aero-elastiche, rumore
e sollecitazioni a fatica
Stallo Dinamico
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Rotori Darrieus
Helicoidal Rotor
Rope Shaped Rotor
Pag. 28
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Progettazione e modellazione HAWT
Parco Eolico
Griglia di Calcolo
← Blade design:
→ Blade study:
• Teoria di Betz
• NACA profile
• Profilo NACA
• Boundary conditions
• Velocità del Vento
• Velocità di Rotazione
• Potenza
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Modello Solido
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Simulazione CFD
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Valutazione della corda ottimale per il profilo selezionato
Profilo NACA-63-006
copt
2πr 8vwd
=
z 9cl λvr
 Corda locale :
copt
 Velocità del vento (des) : v wd
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 Rapporto λ locale:
λ
 Lift Coefficient locale :
cl
 Raggio :
r
 Numero di pale :
z
λ=
utip
vwd
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Esempio di progetto di una turbina eolica
 Design parameters
 Tip Speed Ratio = 7
 Power Coefficient Cp=0.45
 Actual Cp = 0.38
 Blade Number = 3
 Diameter D = 70m
 Wind Velocity v = 10.5m/s
 Rotational Velocity Ω = 20RPM
 Rated Power ≈ 1MW
 Design Cl = 1.2
 Design section = 70% Span-wise
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Swirled and linear wind turbines – Campi di pressione
Cylindrical
Swirled Swirled Pressure
Side
Suction Side
Suction Side
Cylindrical
Pressure Side
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Risultati numerici ottenuti su pale lineari
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Caratteristiche generali delle eliche
Un’elica è un sistema propulsivo a flusso assiale.
Come altri dispositivi utilizzati per la propulsione, un’elica fornisce una spinta
aumentando la quantità di moto di un fluido.
Nel processo che genera la spinta, si cede al
fluido anche momento angolare non utile
per la spinta. Per questo motivo, anche in
assenza di perdite viscose, il processo non
può avere efficienza del 100%.
In alcuni casi, a valle dell’elica si utilizzano
palettature statoriche, per ridurre la
componente tangenziale di velocità in uscita,
in modo da recuperare parte dell’energia
cinetica associata.
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Climb
Momentum Theory – Eliche
Slow descent
Wind Rotor
state
Le regioni in cui il
Cp è negativo sono
quelle in cui la
potenza
non
è
estratta dal fluido ma
conferita allo stesso:
Propeller State
Pag. 35
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Vortex ring
Wind Rotor
state
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Momentum Theory – Eliche
Propeller state
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Momentum Theory – Eliche
Valutiamo ora la potenza richiesta per
esprimere il salto cinetico (minima):
∆V= V3 − V1
⇒ V3= V1 + ∆V
Riferimento solidale l’ elica
1
1
m (V12 −=
V32 )
m (V3 − V1 )(V3 + V1 )
2
2
 ∆V 
1

⇒ Pmin
=
∆
m ∆V ( 2V1 + ∆V=
mV
V
)
1 +

1
V
2
2

1 
=
∆P

a ben vedere il fattore tra parentesi è la
potenza associata all’ avanzamento:
Putile = V1m ∆V = V1 FT
⇒ηp=
Pag. 37
Putile
1
=
Pmin  ∆V 
1 +

 2V1 
Potenza Utile
Rendimento di
Propulsione
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FT
(V1 è la velocità di avanzamento dell’ elica)
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Momentum Theory – Eliche
 Il rendimento di propulsione η può essere aumentato in due modi
diversi:
1.
riducendo la variazione di velocità ∆V prodotta dall’elica;
A parità di spinta FT, ∆V può essere ridotto aumentando la quantità di fluido
accelerato dall’elica
FT = m ∆V e m = V1 ⋅ ρ ⋅ AFrontale
Ciò richiede un aumento del diametro D dell’elica. Limitazioni alle dimensioni dell’elica
sono poste dalla velocità periferica raggiunta all’apice della pala.
2.
Aumentando la velocità relativa del flusso V1.
Nel caso di flussi incomprimibili (eliche navali), un limite all’aumento di V1 è posto
dall’insorgenza di cavitazione in prossimità delle pale.
Nel caso di flussi comprimibili (propulsori aeronautici), la velocità V1 è limitata dagli
effetti di comprimibilità all’apice della pala (flussi transonici).
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Rendimento di propulsione -3Oltre al rendimento di propulsione η si può definire il
Rendimento Globale come rapporto fra l’Energia del
Combustibile e La Potenza Utile come prima definita:
Se supponiamo che l’Energia ceduta al Fluido (per unità di
Tempo) Pt provenga da un ciclo termodinamico , si può dire:
Pt = m f ⋅H i ⋅ηterm = PComb ⋅ηterm ; PComb = m f ⋅H
Putile
Putile Pmin
Pt
ηGlob =
=
⋅
⋅
PComb Pmin Pt PComb
Pt Pmin  Putile 
 = ηt ⋅η p
⋅
ηGlob =
⋅
PComb Pt  Pmin 
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Momentum Theory – Eliche
Le curve caratteristiche di prestazione di un elica, sia navale che aeronautica, sono
generalmente espresse in termini di alcuni coefficienti aerodinamici:
V1
J=
nD
CF =
FT
ρn 2 D 4
Coefficiente di Spinta
T
CT = 2 5
ρn D
Coefficiente di Coppia
P
CP = 3 5
ρn D
Coefficiente di Potenza
η=
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Coefficiente di Avanzamento ([n] = giri/s)
FT C
Tω
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Rendimento
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Momentum Theory – Eliche
Curve caratteristiche
Propulsore aeronautico
Elica navale
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