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Beispiel 3.2 (Eigenwerte und Eigenvektoren des Deformationsgradienten im Fall einer einfachen Scherung).
Der Deformationstensor F besitzt die Basisdarstellung
F = F.ji ei ⊗ ej ,
wobei {e1 , e2 , e3 } eine Orthonormalbasis des E3 ist und die Tensorkomponenten F.ji im Fall einer einfachen Scherung durch die
Matrix in Beispiel 2.5 gegeben sind. Damit lautet die charakteristische Gleichung von F


1−λ
γ
0
1−λ
0 =0
det  0
0
0
1−λ
oder
(1 − λ)3 = 0.
Die algebraische Vielfachheit der (einzigen) L¨osung λ ist somit
r1 = 3, und die Eigenwerte von F lauten
λ1 = λ2 = λ3 = 1.
Die korrespondierenden Eigenvektoren von F ,
a = α i ei ,
ergeben sich aus der Gleichung
1
(F.ji − λδji )αj = 0,
i = 1, 2, 3.
Die einzige sich daraus ergebende nichttriviale Gleichung ist
γ α2 = 0,
woraus unter der Annahme γ 6= 0 (sonst ga¨be es ja keine Scherung) sofort α2 = 0 folgt. Die Gesamtheit der Eigenvektoren
von F la¨sst sich also in der Form
a = α1 e1 + α3 e3 ,
α1 , α3 ∈ R,
angeben. Diese Eigenvektoren sind Linearkombinationen von lediglich zwei linear unabh¨angigen Eigenvektoren e1 , e3 ; man sagt,
die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ1 = 1 sei t1 = 2.
2
Beispiel 3.3 (Eigenwerte fu
¨r Tensoren A ∈ L3 ).
Fu
¨r einen Tensor A ∈ L3 lautet das charakteristische Polynom
(1)
(∗ )
(2)
(3)
pA (λ) = −λ3 + IA λ2 − IA λ + IA
mit den Hauptinvarianten
(1)
IA = sp (A),
(2)
1 (sp (A))2 − sp (A2 ) ,
2
3
1
1
3
2
3
sp (A ) − sp (A ) sp (A) + (sp (A)) = det(A).
=
3
2
2
IA =
(3)
IA
Aufgrund des Satzes von Vieta1 k¨onnen diese Ausdru
¨cke mithilfe der Eigenwerte von A formuliert werden:
(1)
IA = λ1 + λ2 + λ3 ,
(2)
IA = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ,
(3)
IA = λ1 λ2 λ3 .
Die Eigenwerte von A, also die Nullstellen des kubischen Polynoms pA (λ) aus (∗ ), k¨onnen mithilfe der Formeln von Cardano2
in geschlossener Darstellung angegeben werden durch
1
λk =
3
1
2
(1)
IA
q
ϑ + 2π(k − 1)
(1) 2
(2)
+ 2 (IA ) − 3IA cos
,
3
`te (Vieta) (1540, Fontenay-le-Comte - 1603, Paris).
Fran¸cois Vie
Girolamo Cardano (1501, Pavia - 1596, Rom).
3
k = 1, 2, 3,
mit
(1)
ϑ = arccos
(1)
(1) (2)
(3)
2(IA )3 − 9IA IA + 27IA
(1)
(2)
2((IA )2 − 3IA )3/2
(2)
(1)
,
(2)
falls (IA )2 − 3IA 6= 0 gilt. Im Fall (IA )2 − 3IA = 0 lauten die
Eigenwerte hingegen
λk =
1 (1) 1
2πk
2πk
(3)
(1)
IA + (27IA − (IA )3 )1/3 (cos
+ i sin
),
3
3
3
3
4
k = 1, 2, 3.
Beispiel 3.4 (Eigenwerte, Eigenprojektionen und Spektralzerlegung eines Tensors A ∈ L3 ).
Gegeben sei der Tensor A = Ai.j ei ⊗ ej mit den Komponenten


−2
2
2
i
A.j =  2 1 4  .
2 4 1
Man bestimme die Eigenwerte von A mit den in Beispiel 3.3
angegebenen Formeln, alle Eigenprojektionen von A mithilfe der
Formel von Sylvester3 sowie die Spektralzerlegung von A.
Die charakteristische Gleichung von A lautet


−2 − λ
2
2
det 
2
1−λ
4 =0
2
4
1−λ
bzw.
−λ3 + 27λ + 54 = 0.
Durch Vergleich mit den Hauptinvarianten aus Beispiel 3.3 erhalten wir
(1)
(2)
(3)
IA = 0, IA = −27, IA = 54.
Mit dem in den Formeln von Cardano auftretenden Winkel
27 · 54
= arccos 1 = 0
ϑ = arccos
2 · (3 · 27)3/2
3
James Joseph Sylvester (1814, London - 1897, London).
5
erhalten wir fu
¨r die Eigenwerte von A
λk =
2π(k − 1)
1 √
2π(k − 1)
· 2 3 · 27 cos
= 6 cos
,
3
3
3
k = 1, 2, 3,
also
λ1 = 6, λ2 = λ3 = −3.
Die Formel von Sylvester liefert, da A nur s = 2 verschiedene
Eigenwerte besitzt, fu
¨r die Eigenprojektionen
P1 =
2
Y
A − λj I
λ1 − λj
j=1
j6=1
P2 =
2
Y
A − λj I
j=1
j6=2
λ2 − λj
=
A − λ2 I
A + 3I
=
= pi.j ei ⊗ ej ,
λ1 − λ2
9
=
A − λ1 I
A − 6I
=
= q.ji ei ⊗ ej
λ2 − λ1
−9
mit


1
2
2
i 1
p.j =  2 4 4  ,
9
2 4 4


8
−2
−2
i 1
q.j =  −2 5 −4  .
9
−2 −4 5
Die Spektralzerlegung von A erhalten wir unter Verwendung
der soeben bestimmenten Eigenprojektionen gem¨aß (†) als
A = λ1 P1 + λ2 P2 = 6P1 − 3P2 .
6
Beispiel 3.5 (Darstellung der Eigenprojektionen eines Tensors
u
¨ber seine Eigenvektoren).
Man bestimme fu
¨r den Tensor A aus Beispiel 3.4 die Eigenprojektionen von A mithilfe der Eigenvektoren von A.
Aus Beispiel 3.4 ist bekannt, dass λ1 = 6, λ2 = λ3 = −3 die
Eigenwerte von A sind. Die Komponenten eines Eigenvektors
a = αi ei erh¨alt man aus dem linearen Gleichungssystem
(Ai.j − δji λ)αj = 0,
i = 1, 2, 3.
Fu
¨r λ1 = 6 bekommt man zwei linear unabh¨angige Gleichungen:
−8α1 + 2α2 + 2α3 = 0,
2α1 − 5α2 + 4α3 = 0,
woraus sich α2 = α3 = 2α1 ergibt. Fordert man noch die Normiertheit des Eigenvektors, das heißt
(α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 = 1,
so erhalten wir fu
¨r den mit dem Eigenwert λ1 korrespondierenden Eigenvektor
a1 =
1
2
2
e1 + e2 + e3 .
3
3
3
Fu
¨r λ2 = λ3 = −3 bekommt man nur eine linear unabh¨angige
Gleichung:
α1 + 2α2 + 2α3 = 0.
7
Dieses System“ hat zwei linear unabha¨ngige Lo¨sungsvektoren.
”
Fu
¨r die Konstruktion w¨ahlen wir zun¨achst α1 = 0, woraus α2 =
−α3 folgt; Normieren ergibt den Eigenvektor
1
1
(1)
a2 = √ e2 − √ e3 .
2
2
(2)
(1)
Aus der Zusatzforderung, dass a2 zu a2 orthogonal sein soll,
(2)
folgt fu
¨r die Komponenten von a2 die Relation α2 = α3 . Nach
neuerlichem Normieren erha¨lt man den Eigenvektor
−4
1
1
(2)
a2 = √ e1 + √ e2 + √ e3 .
3 2
3 2
3 2
Da die Orthonormalbasis {ei } zu sich selbst dual ist, gilt dies
(1)
(2)
auch fu
¨r die daraus abgeleiteten Eigenvektoren {a1 , a2 , a2 },
und mit diesen ergeben sich gema¨ß (∗∗∗ ) folgende Ausdru
¨cke fu
¨r
die Eigenprojektionen von A:
P 1 = a1 ⊗ a1 =
= 13 (e1 + 2e2 + 2e3 ) ⊗ 31 (e1 + 2e2 + 2e3 ) =
= pi.j ei ⊗ ej ,
(1)
(1)
(2)
(2)
P 2 = a2 ⊗ a2 + a2 ⊗ a2 =
= √12 (e2 − e3 ) ⊗ √12 (e2 − e3 )+
+ 3√1 2 (−4e1 + e2 + e3 ) ⊗ 3√1 2 (−4e1 + e2 + e3 ) =
= q.ji ei ⊗ ej ,
wobei die Tensorkomponenten pi.j und q.ji wie in Beispiel 3.4
erkl¨art sind.
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