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Lineare Algebra II
05.05.2015
Prüfungsvorbereitungsblatt (keine Abgabe)
Aufgabe 1.
Richtig oder Falsch?
1. Jede Matrix
A ∈ M(n × n, C)
hat einen Eigenwert.
2. Jede Matrix
A ∈ M(n × n, R)
hat einen Eigenwert.
3. Jede reelle Matrix
A ∈ M(n × n, R)
besitzt eine Jordan-Normalform.
4. Zwei Eigenvektoren sind immer linear unabhängig.
5. Zwei Eigenvektoren sind immer zueinander orthogonal.
6. Ein Eigenvektor kann nicht Null sein, aber ein Eigenwert kann Null sein.
7. Ein Eigenwert kann nicht Null sein, aber ein Eigenvektor kann Null sein.
!
λ
8. Eine Matrix
λEn =
.
.
ist nur zu sich selbst ähnlich.
.
λ
9. Eine Matrix, die nur zu sich selbst ähnlich ist, ist eine Matrix der Form
10. Die Matrix
11. Die Matrix
1 8
0 1
λEn .
∈ M(2 × 2, C)
1
8
0 0.9999
auch nicht.
12. Jeder Eigenraum Eig(f, λ) ist
13. Sei
ist nicht diagonalisierbar.
V ein K -Vektorraum.
P ∈ K[t] mit P (f ) = 0.
f -invariant.
Für jeden Endomorphismus
f ∈
End(V ) gibt es ein Polynom
14. Zwei ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom. Die Umkehrung gilt
nicht.
Wir nennen
Spektrum
einer Matrix
Sp(A) für das Spektrum von
A
die Menge aller Eigenwerte von
A.
Wir schreiben
A.
das Polynom
P = (t − 1)2 (t − 2)(t − 4),
so ist
P
das charakteristische
für das Polynom
P = (t − 1)2 (t − 2)(t − 4),
so ist
P
das Minimalpolynom
von
P (A) = 0
f.
17. Gilt
P (A) = 0
für das Polynom
P = (t − 1)2 (t − 2)(t − 4),
so ist
18. Gilt
P (A) = 0
für das Polynom
P = (t − 1)2 (t − 2)(t − 4),
so ist Sp(A)
15. Gilt
P (A) = 0 für
Polynom von f .
16. Gilt
19. Ist Sp(A)
so gilt
P (A) = 0
für das Polynom
= {1, 2, 4}.
P = (t − 1)(t − 2)(t − 4).
P (A) = 0 aber Q(A) 6= 0 für P = (t − 1)2 (t − 2)(t − 4)
ist A nicht diagonalisierbar.
20. Sind
so
= {1, 2, 4},
2015 ∈
/ Sp(A).
und
Q = (t − 1)(t − 2)(t − 4),
Lineare Algebra II
21. Ist Sp(A)
22. Ist
A
Kn
25. Ist
Kn
= {0},
so ist
A
invertierbar.
= {0}.
nilpotent.
Aufgabe 3.
(b)
so gilt
1 i
∈ M(2 × 2, C),
i −1
2 −11
∈ M(2 × 2, R),
1 −4
(e)
S,
so dass
SAS −1
(c)
6 3
−3 0
∈ M(2 × 2, R),
2 −11
A=
∈ M(2 × 2, C).
1 −4
Sind die nachfolgenden reellen Matrizen
invertierbare Matrix
A
so gilt
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenräume der folgenden Matrizen.
−2 2
∈ M(2 × 2, R),
−2 3
falls
A
A ∈ M(n × n, K) mit PA = (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk ,
= Ker((A − λ1 En )r1 ) ⊕ · · · ⊕ Ker((A − λk En )rk ).
(d)
A,
so ist
A ∈ M(n × n, K) mit charakteristischem Polynom PA = (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk ,
= Ker(A − λ1 En ) ⊕ · · · ⊕ Ker(A − λk En ).
Aufgabe 2.
(a)
= {1, 2, 4},
nilpotent, so ist Sp(A)
23. Ist Sp(A)
24. Ist
05.05.2015
A diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine
diagonal ist. Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von
eine Jordan-Normalform besitzt.
(a)


4 4 4
A = 0 2 3  ,
0 0 −1
(b)
1 −2 0
A = −2 0 −2 ,
0
2
1
(e)
Aufgabe 4.
Bestimmen Sie das Exponential
Aufgabe 5.
Zeigen Sie, dass
B =
√1
21
exp(A)
2
4
−1
, √15
Was bedeutet es für die Matrix
Aufgabe 6.
Zeigen Sie, dass
B=
des kanonischen Skalarprodukts ist.
A=
√1
6
1+i
2
2
√
5
−1
√
5
0
√
5
, √13
(c)
für die obigen Matrizen
2
−1
0
R3 bezüglich des kanonischen Skalarprodukts ist.
√2
21
√4
21
−1
√
21

3 1 1
A = 2 4 2  ,
1 1 3



−1 6
7
7
 0 −1 0
0
.
A=
0
2
1
2
0
3 −2 −3


(d)


4 4
4
3 ,
A = 0 2
0 −1 −1
√1
105
√2
105
10
√
105
1−i
i
1
, √105
1 2
10
A.
eine Orthonormalbasis von
!
?
eine Orthonormalbasis von
C2
bezüglich
Lineare Algebra II
Aufgabe 7.
05.05.2015
R3
Sei
gesehen mit dem kanonischen
Skalarprodukt. Bestimmen Sie eine Orthonor-
malbasis des Unterraums
W :=
span(
1
−2
3
0
3
1
,
)
und ergänzen Sie diese Basis zu einer Ortho-
normalbasis von R3 . Geben Sie die Matrix der Projektion prW
kanonischen Basis von R3 .
A ∈ M(n × n, R) eine Matrix, die
A2 diagonalisierbar ist und dass die
Sei
Aufgabe 8.
dass die Matrix
A ∈ M(n × n, R) eine Matrix,
von A eine gerade ganze Zahl ist.
Sei
Aufgabe 9.
dass die Spur
Aufgabe 10.
Minimalpolynom gleich
Aufgabe 11.
3)3 und
Es sei
A
Aufgabe 13.
Matrix
die die Gleichung
A4 = 4A2
Sei
Sie,
erfüllt. Zeigen Sie,
3 × 3-Matrix A ∈
× 3, R)
mit
7 × 7-Matrix A
mit
A3 = 0 .
Was
M(3
+ t + 1 ∈ R[t].
PA = −(t −
1)2 (t
+
5 × 5-Matrix A
von A?
eine
ist die Jordan-Normalform
bezüglich der
W
A3 = A2 erfüllt. Zeigen
N := A2 − A nilpotent ist.
Finden Sie alle möglichen Jordan-Normalformen für eine
MA = (t − 1)(t +
Aufgabe 12.
MA =
auf
die Gleichung
Zeige oder Widerlege: Es gibt eine reelle
t2
: R3 → R3
3)5 .
mit Rang(A)
= 3,
V = C[t]≤3 = {P ∈ C[t] | deg(P ) ≤ 3}
Rang(A2 )
der
=2
und
C-Vektorrtaum
aller Polynome
von Grad höchstens 3. Bestimmen Sie die Jordan-Normalform und das Minimalpolynom der
Abbildung
f : V → V,
Aufgabe 14.
jeden
v∈V
V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei f ∈ End(V ),
k ∈ N mit f k (v) = 0 gibt. Zeige oder widerlege: f ist nilpotent.
Sei
ein
Aufgabe 15.
a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 7→ a1 + a2 t + a3 t3 .
Seien
A, B ∈ M(n × n, C)
zwei komplexe Matrizen mit
AB = 0.
so dass es für
Zeigen Sie, dass
sie einen gemeinsamen Eigenvektor haben.
Aufgabe 16.
Sei
Zeigen Sie, dass
A
K
ein Körper mit char(K)
=0
un sei
A∈
M(n
× n, K)
mit Spur(A)
zu einer Matrix, deren Diagonaleinträge alle Null sind, ähnlich ist.
= 0.