Avril 2015 ou «Comment t’assurer une maîtrise des outils qui te mèneront vers le secondaire 3» Document préparé John Pham par et révisé par Stéphane Lance *** ET CYLINDRE 2 Formules pour la circonférence du cercle d = 2r C=dπ C= 2 π r Cercle r d Où d = diamètre r = rayon C = circonférence C Formules pour l'aire du disque Cercle Ad = π r 2 r d Où r = rayon Ad = aire du disque Formules pour l'arc et le secteur du cercle Cercle A B O = 3 1. LE LANCER DU MARTEAU Le lancer du marteau est une discipline de l’athlétisme où l’athlète, situé dans le cercle de lancement, doit lancer le marteau le plus loin possible à l’intérieur de la zone de réception. (Voir l’illustration cidessous)  Le diamètre du cercle de lancement est de 2,14 m.  La zone de réception est une portion de secteur circulaire dont l’angle au centre est de 34,9°.  La longueur d’un lancer est la distance entre la limite extérieure du cercle de lancement et l’endroit où le marteau tombe. Le record du monde actuel est détenu par Yuriy Sedykh, un athlète ukrainien. Il a effectué un lancer de 86,75 m. Les organisateurs veulent délimiter la zone de réception des marteaux en collant au sol quatre bandes blanches. Ils ont décidé de placer le grand arc de cercle délimitant la zone de réception à 15 m de plus que le record du monde. Le schéma ci-dessous présente leur plan d’aménagement. Au centième de mètre près, quelle sera la longueur totale des quatre bandes blanches? PLAN D’AMÉNAGEMENT DU SITE DES COMPÉTITIONS DU LANCER DU MARTEAU Position du marteau lancé par Yuriy Sedykh 15 m 86,75 m 34,9° 2,14 m Légende Zone de réception Cercle de lancement Bande blanche 4 2. UNE ÉPINGLETTE ÉTOILÉE B Une ville hôte des Jeux olympiques remet à chaque athlète une épinglette souvenir. L’épinglette a la forme d’une étoile à cinq branches. C A Cette étoile est formée par le prolongement des côtés d’un pentagone régulier jusqu’à leur point d’intersection. Tous ces prolongements ont la même longueur. D E F Jonathan pense que la mesure de l’angle AFE est de 36°. En justifiant les étapes de votre raisonnement, montrez que Jonathan a raison. 3. LES DÉLÉGATIONS Au village olympique, les athlètes du Canada occupent un pavillon avec les athlètes de trois autres pays, soit l’Allemagne, le Mexique et les États-Unis.  Dans ce pavillon, la moyenne du nombre d’athlètes par pays est de 392.  La délégation canadienne compte 20 athlètes de plus que le quadruple de celle du Mexique.  La délégation de l’Allemagne compte 388 athlètes de plus que celle du Mexique.  La délégation des États-Unis compte deux fois plus d’athlètes que celle du Canada. Les athlètes du Canada sont logés deux par chambre. Le coût d’une chambre pour la durée des jeux est de 625 $. On a prévu un budget de 100 000 $ pour loger les athlètes du Canada. Le budget prévu est-t-il suffisant? 5 4. LE PLAN En analysant le plan du rez-de-chaussée, tu t’aperçois qu’il manque des informations concernant les dimensions de certaines pièces. Il semble bien que l’architecte vous a remis une copie de son plan initial. Ne pouvant le rejoindre pour avoir une copie de la version finale, tu voudrais connaître le périmètre du salon. (Toutes les données sont en mètres). Dînette Entrée Sur le plan tu lis que la dînette et l’entrée ont le même périmètre. 6-a a 2 a 2 Tu notes aussi que la salle à dîner et la salle d’eau ont la même aire. a 5a – 11 Salle d’eau Salle à dîner 2a – 4 2 5 3 p 2p + 2 1+p -a + 7 8 – 2p Quel est le périmètre du salon ? 6 5. NAGE SYNCHRONISÉE Pour la réouverture de la piscine municipale après la rénovation, les membres du club de nage synchronisée ont présenté un spectacle. Les nageuses ont formé, à la fin du spectacle, 2 cercles de même centre. Le cercle extérieur était formé de 10 nageuses, chacune ayant les pieds appuyés sur la tête de sa voisine. Le cercle intérieur, formé de manière semblable, ne comptait que 6 nageuses. La moyenne des tailles des nageuses était de 1,6 m. Au centimètre près, quelle était la distance entre les cercles formés par les nageuses? Justifiez votre réponse. 6. FABRICATION D'UNE BOÎTE À LUNCH Une entreprise de fabrication de boîte à lunch dessine un nouveau modèle. Ce modèle est formé d'un prisme droit à base rectangulaire et d'un demi-cylindre. Voici le croquis: L'extérieur de la boîte à lunch sera recouvert d'un tissu. En prévision des achats, l'entreprise doit calculer la quantité nécessaire de ce tissu. Pour compenser les pertes lors des coupes, elle doit prévoir acheter 8% de plus que la quantité de tissu calculée par boîte. Quelle sera la quantité de tissu achetée par l'entreprise pour fabriquer une boîte à lunch? Arrondissez votre résultat au centième près. 7 7. LA CONSIGNE C’EST D’EN RAPPORTER Au mois de mai, Recyc-Québec concentre ses énergies à la fabrication de tentes, tshirts et sacs à dos à partir de bouteilles recyclées. On sait que :  450 bouteilles recyclées servent à la fabrication de 18 sacs à dos;  170 bouteilles recyclées servent à la fabrication de 34 t-shirts;  90 bouteilles recyclées servent à la fabrication d’une tente. Voici le diagramme qui représente le nombre d’articles fabriqués au mois de mai au Québec : Nombre d'articles fabriqués au Québec pour le mois de mai à partir de bouteilles recyclées Articles Sacs à dos T-shirts Tentes 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Nombre d'articles Si 80 % des bouteilles mises en circulation en mai au Québec sont recyclées, déterminez la quantité de bouteilles qui n’ont pas été recyclées durant ce mois. 8 8. L’UN DANS L’AUTRE M. Lapierre, enseignant en arts plastiques, demande à ses élèves de créer une affiche circulaire pour inciter tout le personnel à recycler les cartouches d’encre des imprimantes de l’école. Le cercle utilisé pour faire l’affiche devra entrer parfaitement dans un carton carré (cercle inscrit dans un carré) fourni par l’enseignant. Les élèves n’auront qu’à découper le cercle dans le carton et enlever les morceaux en trop (zone grise). Pour faire les affiches, les élèves devront choisir entre différentes grandeurs de carton. M. Lapierre s’interroge sur la quantité de carton qui sera jetée. Que pouvez-vous conclure concernant le pourcentage de perte de carton (zone grise), peu importe la grandeur du carton? Arrondissez votre réponse au centième près. Votre réponse doit être appuyée de 3 exemples. 9. PEINTURE RECYCLÉE Une compagnie québécoise fabrique actuellement des blocs de bois de différentes couleurs en forme de prisme droit à base carrée. Le bloc de bois a une surface totale de 330 cm2 et chacune des bases a une surface de 25 cm2. La compagnie désire maintenant fabriquer des blocs en forme de pyramides droites à base rectangulaire. Elle prévoit peindre 1400 pyramides avec un contenant de peinture recyclée. Chaque contenant permet de peindre une surface de 500 000 cm2. Sachant que la base de la pyramide sera isométrique à l’une des faces latérales du prisme, déterminez si la prévision de la compagnie est exacte. Justifiez votre réponse. Les blocs actuels Le plan des prochains blocs 15 cm 9 10. DÉCORATION DE SCÈNE Le groupe de musique Les Barons a demandé deux tours comme décoration de scène. La tour A sera un prisme à base octogonale et la tour B sera un prisme à base carrée. Toutes les faces de ces deux tours seront peintes, à l'exception des dessous. Voici quelques informations sur les deux tours:  L'aire d'une base de la tour A est de 14,7 m2  L'apothème d'une base de la tour A est de 2,1 m.  L'aire latérale de la tour A est de 84 m2.  Les deux tours ont la même hauteur.  L'aire d'une base de la tour B est de 11,56 m2. Les figures ne sont pas à l'échelle. Quelle sera la surface de la tour B à peindre sachant que toutes ses faces seront peintes, à l'exception du dessous? 10 11. ARMOIRES À PEINDRE Dans les vestiaires de la piscine municipale, les armoires servant à l'entreposage des effets personnels des baigneurs doivent être peintes. En tout, il faut repeindre 120 armoires. Chacune a la forme d'un prisme droit à base trapézoïdale rectangle.  Chaque armoire a une profondeur de 40 cm et une largeur de 120 cm.  La hauteur du dos d'une armoire est de 180 cm.  Sa hauteur avant est de 150 cm.  Chacune des arêtes inclinées du dessus de l'armoire mesure 50 cm.  On va peindre seulement l'extérieur des armoires sans toutefois peindre le dessous. Afin d'aider le responsable à calculer le coût des travaux, l'entrepreneur qui peindra les armoires lui a remis le tableau ci-dessous. Il contient les informations sur trois travaux de peinture qu'il a réalisés dernièrement pour la municipalité. Aire de la surface peinte Coût des travaux de peinture Rambardes des estrades de l'aréna 180 m2 270 $ Poutres de la salle du conseil municipal 250 m2 375 $ Escaliers de la bibliothèque municipale 930 m2 1395 $ Combien en coûtera-t-il pour peindre ces 120 armoires? 11