Chapitre 8 - Trigonométrie -activités 1- Le cercle trigonométrique et le radian Enoncé 1 : quelques rappels On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique. 𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 1- Construire C et représenter sur le cercle les points associés aux réels 0 ; ; ; ; 4𝜋; − ; 𝜋; −𝜋. 4 2 2 2 2- Déterminer le point auquel on peut associer tout nombre réel s’écrivant – 𝜋 + 𝑘 ∗ 2𝜋 avec k entier 𝜋 positif ou négatif. Reprendre la question avec : tout nombre s’écrivant + 𝑘 ∗ 2𝜋 k entier positif ou 2 négatif Enoncé 2 : le radian A et B sont deux points du cercle trigonométrique. � est l’angle au centre qui intercepte l’arc 𝐴𝐵 . L’angle 𝐴𝑂𝐵 On sait que la mesure de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre qui l’intercepte. 1- Faire une figure. 2- Compléter le tableau suivant : � en ° Mesure de L’angle 𝐴𝑂𝐵 Longueur de l’arc AB pour r=1 360° 180° 45° 𝜋 𝜋 𝜋 7 2 12 3 3- Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la deuxième ligne à la première. 4- L’observation du tableau conduit à définir une nouvelle unité d’angle , le radian, telle que la mesure d’un angle soit égale à la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1. a- Quelle est la mesure en radian d’un angle de 45° ? de 35° ? 𝜋 5𝜋 b- Quelle est la mesure en degrés d’un angle de radians ? de ? 3 6 2- Angles orientés et mesure principale : Enoncé 3 : angles orientés Une bille se déplace sur une piste circulaire de rayon un mètre dans les deux sens de parcours possibles. Les points A,B,C,D,E,F, G et H du cercle sont les sommets d’un octogone régulier. � ? de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐻 �? 1- Quelle est la mesure, en radians , de l’angle géométrique 𝐴𝑂𝐵 ��⃗, 𝑂𝐵 ��⃗ ) dont une mesure Pour aller de A à B , la bille parcourt le cercle dans le sens positif. On définit l’angle (𝑂𝐴 𝜋 est . Donner un réel associé au point B par enroulement. 4 ��⃗, 𝑂𝐻 ��⃗ ) dont une Pour aller de A à H , la bille parcourt le cercle dans le sens négatif. On définit l’angle (𝑂𝐴 −𝜋 mesure est . Donner un réel associé au point H par enroulement. 4 2- La bille part de A et parcourt le cercle dans le sens positif. Pour chacune des longueurs parcourues 𝜋 5𝜋 25𝜋 suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; 𝜋; ; 2 4 4 3- La bille part de D et parcourt le cercle dans le sens négatif. Pour chacune des longueurs parcourues 𝜋 5𝜋 47𝜋 suivantes, indiquer le point d’arrivée : ; 𝜋; ; 4 4 4 4- Pour aller de D à A, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la ��⃗ , 𝑂𝐴 ��⃗). mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐷 5- Pour aller de H à B, dans le sens positif, quelle est la longueur du trajet le plus court ? Indiquer la ��⃗ , 𝑂𝐵 ��⃗ ). mesure correspondante de l’angle (𝑂𝐻 17𝜋 ��⃗, ��⃗ 6- Placer le point M tel qu’une mesure de (𝑂𝐴 𝑂𝑀) est 3 Enoncé 4 : mesure principale Donner la mesure principale d’un angle dont la mesure est : 43𝜋 a4 b- 425𝜋 c- d- 72𝜋 5 46𝜋 4 3- Cosinus et Sinus – angles associés Enoncé 5 : Rappels - Cosinus et sinus des angles remarquables : compléter le tableau ci-dessous : 𝑹é𝒆𝒍 𝒙 𝝅 𝟔 𝟎 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝝅/𝟒 𝝅/𝟑 𝝅/𝟐 𝑺𝒊𝒏 𝒙 Enoncé 6 : Utilisation des Angles associés On considère (O,I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique. 𝜋 𝜋 5𝜋 29𝜋 1- Construire C et placer les points A,B,C et D respectivement associés à − ; − ; 3 2- En vous aidant du tableau de l’énoncé 5, calculer les valeurs exactes de : 𝜋 5𝜋 a- 𝑐𝑜𝑠(− ) c- 𝑐𝑜𝑠 � � 3 𝜋 b- sin (− ) d- sin ( 6 Enoncé 7 : Utilisation des Angles associés 𝜋 Soit 𝑥 un réel de l’intervalle [ ; 𝜋]. M est le point du cercle C associé à 𝑥. 2 𝑠𝑖𝑛( + 𝑥) 2 6 4 ; 6 ) 2 1- Placer M tel que sin(𝑥 ) = 5 2- Placer les points du cercle associés aux réels : 𝜋 𝜋 a+𝑥 b−𝑥 2 2 3- Calculer 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 4- Calculer: 𝜋 𝜋 a- 𝑐𝑜𝑠( + 𝑥) b- 𝑐𝑜𝑠( − 𝑥) 2 𝜋 4 29𝜋 6 2 𝜋 𝑠𝑖𝑛( − 𝑥) 2 𝜋+𝑥 d- 𝜋−𝑥 c- 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 + 𝑥) d- cos (𝜋 − 𝑥) c- 𝑠𝑖𝑛( 𝜋 + 𝑥) sin (𝜋 − 𝑥) 4- Formules et résolutions d’équations Enoncé 8 : utilisation des formules du cours 𝜋 𝜋 7𝜋 1- Calculer + . En déduire la valeur exacte de sin( ) 3 4 3𝜋 3𝜋 12 2- Déterminer la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠( ) et 𝑠𝑖𝑛( ). Après avoir observé que 3𝜋 3𝜋 valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠( ) et 𝑠𝑖𝑛( ). 8 8 4 4 𝜋 𝜋 3𝜋 4 = 2∗ 3𝜋 8 , calculer la 3- Montrer que pour tout réel x : 𝑐𝑜𝑠 �𝑥 − � = 𝑠𝑖𝑛 �𝑥 + � 6 3 Enoncé 9 : Résolution d’équations : 1- Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] l’équation sin(𝑥 ) = sin (𝜋6) et représenter ses solutions sur le cercle 2- trigonométrique. 2𝜋 Résoudre dans ℝ l’équation cos(𝑥) = cos � � . 3 3- Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] l’équation cos(𝑥 ) = √22 et représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique.