Quatrième / Cercles et triangles rectangles
1. Théorème du triangle rectangle et du cercle circonscrit
:
C
Exercice 1084
C
On considère le triangle ABC dont les mesures ont pour valeur :
AB = 5,2 cm ; BC = 4,8 cm ; AC = 2 cm
1.
53 o
o
a. Tracer le triangle ABC.
37
b. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle
en C.
On note M le milieu de [BC], N le milieu de [AC], P le milieu
de [AB].
2.
a. Démontrer que (M P ) est parallèle à (AC).
b. En déduire que (M P ) est la médiatrice de [BC].
3. Démontrer que (N P ) est la médiatrice de [AC].
B
A
Exercice 6366
La ﬁgure ci-dessous présente deux demi-cercle de diamètre
respectif [AB] et [CD] où les points A, B, C, D sont alignés.
On note E le point d’intersection de ces deux demi-cercles.
Le point F appartient à une de ces demi-cercles tel que les
droites (AE) et (BF ) soient parallèles.
(AE)//(BF )
4. Que peut-on dire du point P ?
(Enoncer de nouvelles propriétés)
E
Exercice 1962
On considère le cercle C ayant pour diamètre le segment [AB].
Avec les indications portées sur la ﬁgure, montrer que le point
C appartient au cercle C .
F
A
C
B
D
Sans justiﬁcation, citer tous les triangles rectangles constructibles avec les points nommés sur cette ﬁgure.
2. Réciproque du triangle rectangle et du cercle circonscrit
Exercice 1086
:
A
On considère le triangle ABC inscrit dans le cercle C de
centre I où [BC] est un diamètre du cercle C .
J
C
La droite perpendiculaire à la droite (AC) passant par le point
I intercepte le segment [AC] en J.
I
B
C
1. Montrer que les droites (AB) et (IJ) sont parallèles.
2. En déduire que J est le milieu du segment [AC].
Exercice 1095
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On considère une demi-droite [Ax) et un point C appartenant
à cette demi-droite.
En utilisant uniquement la règle non-graduée et le compas,
placer un point B dans le plan de sorte à ce que le triangle
ABC soit un triangle rectangle en B.
Exercice 2933
On considère dans le plan le cercle C de centre A ; les deux
droites (d) et (d′ ) sécantes au point O sont également tangentes au cercle C ; une droite (∆) intercepte le cercle C au
point I et J ; M est le milieu du segment [IJ] :
1. Justiﬁer que le triangle JM A est rectangle en M .
2. En déduire que le point M appartient au cercle de diamètre [OA].
Exercice 4833
On considère un cercle C de centre O et un segment [AB]
formant un diamètre du cercle C .
’ = 40o
On considère un point C du cercle C vériﬁant : AOC
1. Eﬀectuer une représentation de cette conﬁguration.
2.
(d)
a. Justiﬁer que le triangle OAC est un triangle isocèle.
’
b. En déduire la mesure de l’angle ACO
J
I
M
(∆)
’
a. Déterminer la mesure de l’angle BOC.
3.
O
’
b. En déduire la mesure de l’angle OCB.
A
4. Déterminer la nature du triangle ABC.
(d0 )
3. Théorème et réciproque du triangle rectangle et du cercle circonscrit
:
2. Démontrer que les points K, B, L sont alignés.
Exercice 2932
On considère dans le plan les cercles C et C ′ de centre respectif O et P tels que :
ces deux cercles s’interceptent aux points A et B ;
les points I et J sont des points respectifs des cercles C
et C ′ tels que les points I, A, J sont alignés ;
Exercice 1963
On considère le cercle C de centre O et quatre points A, B,
C et D appartenant au cercle C tels que le segment [AC] soit
un diamètre de ce cercle.
B
les points K et L sont des points respectifs des cercles C
’ et AJL
‘ sont des angles droits.
et C ′ tels que KIA
C
C0
A
J
C
O
A
C
I
O
K
P
B
L
D
1. Montrer que le triangle ADC est un triangle rectangle
en D.
2.
1. Démontrer que le triangle AKB est un triangle rectangle
en B.
a. Quelle propriété doit posséder le segment [BD] aﬁn
que le triangle ABD soit un triangle rectangle en A ?
b. Si le triangle ABD est rectangle en A, quelle sera la nature du quadrilatère ABCD ? Justiﬁer votre réponse.
4. Cercle circonscrit et théorème de Pythagore
:
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Exercice 1088
On considère un cercle C de centre A et trois points B, C et
D du cercle C tels que le segment [DC] soit un diamétre du
cercle C .
B
E appartiennent respectivement aux segments [AD] et [BD].
A
5, 2 cm
B
4 , 8 cm
C
C
24
cm
E
D
26 cm
A
C
D
Certaines indications de longueurs sont portées sur la longueur.
Déterminez la longueur du segment [BD].
Exercice 1091
1. Montrer que le triangle BCD est rectangle en C.
Dans le plan, on considère un triangle ABD où les points C et
2. En déduire la longueur du segment [AC].
5. Théorème et réciproque du triangle rectangle et de la médiane
:
Montrez que le triangle AM B est rectangle en M .
Exercice 1085
Dans le plan, on considère un segment [AB] dont le point I
est un milieu.
Les points M et N forment deux triangles rectangles dont
leur hypothénuse est le segment [AB].
N
M
Exercice 6365
On considère un triangle ABC rectangle en C où AI = 4 cm
en notant I le milieu du segment [AB].
Le point D est placé tel que les points A, I et D soient alignés
et tel que BD = 2 cm.
Le point E est un point de la droite (AC) tel que les droites
(IC) et (DE) soient parallèles.
Voici une représentation de cette conﬁguration :
E
A
(IC)//(DE)
I
B
Montrer que le triangle M N I est isocèle en I.
C
Exercice 1092
On considère un triangle ABC isocèle en B. On note I le
milieu du segment [AB].
La droite passant par le point I et parallèle à la droite (BC)
intercepte le segment [AC] au point M .
M
A
4 cm
I
C
B2 c
m
A
D
1. Déterminer la mesure du segment [CI]
I
2. En déduire la mesure du segment [ED].
B
6. Caractérisation des points du cercle par une relation angulaire.
:
Exercice 1335
Considère ci-dessous la ﬁgure composée du segment [AB] et
de cinq autres points du plan :
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C
C
D
4,
8c
m
E
cm
F
5,
5
G
B
7, 3 cm
O
B
A
A
A l’aide de l’équerre non-graduée, préciser les points susceptibles d’appartenir au cercle de rayon [AB].
Exercice 4861
On considère la ﬁgure ci-dessous où O est le milieu du segment [AB] :
7. Tangente d’un cercle
D
Prouver l’existence d’un cercle, dont on précisera le centre,
passant par les quatres points A, B, C et D.
On dira alors que les points A, B, C et D sont cocycliques
:
1. A l’aide de l’équerre, vériﬁer que la droite (∆) est une
tangente du cercle C de centre O.
Exercice 1450
On considère la conﬁguration donnée ci-dessous :
2. Tracer le cercle C ′ de centre P et tangent à la droite (∆).
Par quel(s) point(s) passe(ent) de la ﬁgure, le cercle C ′
passe-t-il ?.
A
P
B
C
O
(∆)
C
8. Tangente d’un cercle
:
Soit C un cercle de centre O et A un point situé à l’extérieur
du cercle C . On note C ′ le cercle ayant pour diamètre [OA].
Exercice 1093
On considère la conﬁguration suivante :
“Soit (d) une droite et H un point de cette droite. C
est un cercle tangent à la droite (d) ayant pour point de
contact le point H.”
Eﬀectuer le tracé d’une telle conﬁguration et indiquer une
méthode de construction.
On note M et N les deux points d’intersection des cercles C
et C ′ .
1. Réaliser une ﬁgure représentant cette conﬁguration.
2. Que peut-on dire de la droite (AM ) relativement au
cercle C ? Justiﬁer votre aﬃrmation.
Exercice 1094
9. Un peu plus loin :
respectivement par rapport aux droites (BC) et (AB) :
Exercice 2936
Dans le plan, on considère le triangle ABC rectangle en B
÷
et M un point du segment [AC] tel que AM
B soit un angle
droit ; les point N et P sont les symétriques du point M ,
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C
M
1.
N
a. Justiﬁer les égalités suivantes de longueurs :
BM = BN = BP
b. Montrer que : P’
BN = 180o .
c. Justiﬁer que le cercle C de diamètre [N P ] admet la
droite (AC) comme tangente au point M .
2.
A
B
a. Démontrer que les points B, C, M , N sont cocycliques d’un cercle qu’on nommera C ′ .
b. Donner la position de la droite (AB) relativement au
cercle C ′ .
P
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