Lineare Algebra II 28.04.2015 Übungsblatt 9 Am 5. Mai 2015 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Departement Mathematik und Informatik. Abgabe: Sei V = M(n × n, R) der R-Vektorraum der reellen n × n-Matrizen. Zeigen Sie, dass die Abbildung s : V × V → R, (A, B) 7→ Spur(tA · B) ein Skalarprodukt auf V ist. Aufgabe 1. S Aufgabe 2. Wir betrachten V = R4 mit dem kanonischen Skalarprodukt. −1 −5 4 −1 −5 −2 (a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraums W := span( 1 , 7 , 0 ). 1 7 6 (b) Ergänzen Sie diese Basis zu einer Orthonormalbasis von V . S Aufgabe 3. Wir betrachten R4 als euklidischen Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt. Sei W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x2 + x4 = 0 und x2 − x3 = 0}. (a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von W . (b) Sei prW : V → W die senkrechte Projektion auf W . Bestimmen Sie das Bild prW (x) von einem beliebigen Punkt x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 unter prW . Sei ϕ : R2 × R2 → R deniert durch ϕ(x, y) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 für alle x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 . Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ ein Skalarprodukt auf R2 ist. (b) Finden Sie eine Orthonormalbasis bezüglich dieses Skalarproduktes. Eine symmetrische Matrix A ∈ M(n×n, R) heisst positiv denit, wenn t X ·A·X > 0 für alle Spaltenvektoren X ∈ Rn , X 6= 0, gilt. Aufgabe 5. (a) Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix A ∈ M(n × n, R) genau dann positiv denit ist, wenn ϕ(X, Y ) := t X · A · Y ein Skalarprodukt auf Rn deniert. (b) Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix A ∈ M(n × n, R) genau dann positiv denit ist, wenn es eine invertierbare Matrix T ∈ GLn (R) gibt, so dass A = t T · T ist. 2 1 (c) Zeigen Sie, dass die Matrix A = denit positiv ist. Finden Sie weiter eine T ∈ GL2 (R) 1 2 mit A = t T · T . Lineare Algebra II 28.04.2015 E Aufgabe 6 (Rieszscher Darstellungssatz). Sei h·, ·i ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen euklidischen (bzw. unitären) Vektorraum V . Sei ϕ : V → K eine lineare Abbildung mit ϕ 6≡ 0, wobei K = R (bzw. K = C) ist. (a) Zeigen Sie, dass es einen Vektor η ∈ V mit ϕ(η) = 1 gibt, so dass (Ker(ϕ))⊥ = K · η ist. (b) Zeigen Sie, dass ϕ = h·, yi für y = 1 · η gilt. kηk2 (c) Zeigen Sie, dass der obige Vektor y der einzige Vektor aus V mit der Eigenschaft ϕ = h·, yi ist.
© Copyright 2024