Lineare Algebra II
21.04.2015
Zusammenfassung der Vorlesung (Woche 9)
VII
Euklidische und unitäre Vektorräume
VII.1
Bilinearformen
Denition VII.1.1. Sei V ein K -Vektorraum. Eine Abbildung ϕ : V
× V → K heisst Bilinearform auf V , wenn die Abbildungen ϕw : V → K , v →
7 ϕ(v, w) und ϕv : V → K , w 7→ ϕ(v, w)
linear sind.
Ist B = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , so deniert man die Darstellungsmatrix der Bilinearform ϕ als MB (ϕ) = (ϕ(vi , vj ))1≤i,j≤n ∈ M(n × n, K).
Behauptung VII.1.2. Sei V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum, sei B eine Basis von V
und sei ϕ eine Bilinearform auf V .
(i) Sind X = [v]B und Y = [w]B die Spaltenkoordinatenvektoren von Vektoren v und w, so
gilt ϕ(v, w) = t X · MB (ϕ) · Y .
(ii) Ist B0 eine andere Basis von V , so gilt MB0 (ϕ) = t TBB
0
· MB (ϕ) · TBB
0
, wobei TBB die
0
Transformationsmatrix des Basiswechsels von B0 nach B bezeichnet.
Denition VII.1.3. Eine Bilinearform
ϕ(v, w) = ϕ(w, v) für alle v, w ∈ V gilt.
ϕ : V × V → K auf V heisst symmetrisch, wenn es
Behauptung VII.1.4. Eine Bilinearform ϕ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V ist
genau dann symmetrisch, wenn ihre Darstellungsmatrix bezüglich einer (und somit jeder) Basis
von V symmetrisch ist.
Denition VII.1.5. Eine symmetrische Bilinearform ϕ auf einem reellen Vektorraum V heisst
Skalarprodukt, wenn sie positiv denit ist, d.h., wenn ϕ(v, v) > 0 für alle v ∈ V \ {0} gilt.
Einen R-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt nennen wir euklidischen Vektorraum.
VII.2
Sesquilinearformen
Denition VII.2.1. Sei V ein C-Vektorraum. Eine Abbildung ϕ : V
× V → C heisst Sesquili-
nearform auf V , wenn folgendes für alle v, v1 , v2 ∈ V und alle λ ∈ C gilt.
ϕ(v1 + v2 , v) = ϕ(v1 , v) + ϕ(v2 , v),
ϕ(λv1 , v) = λ · ϕ(v1 , v)
ϕ(v, v1 + v2 ) = ϕ(v, v1 ) + ϕ(v, v2 ),
ϕ(v, λv2 ) = λ · ϕ(v, v2 ).
Ist B = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , so deniert man die Darstellungsmatrix der Sesquilinearform ϕ als MB (ϕ) = (ϕ(vi , vj ))1≤i,j≤n ∈ M(n × n, K).
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Behauptung VII.2.2. Sei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum, sei B eine Basis von V
und sei ϕ eine Sesquilinearform auf V .
(i) Sind X = [v]B und Y = [w]B die Spaltenkoordinatenvektoren von Vektoren v und w, so
gilt ϕ(v, w) = t X · MB (ϕ) · Y .
(ii) Ist B0 eine andere Basis von V , so gilt MB0 (ϕ) = t TBB
0
· MB (ϕ) · TBB
0
, wobei TBB die
0
Transformationsmatrix des Basiswechsels von B0 nach B bezeichnet.
Denition VII.2.3. Eine Sesquilinearform
ϕ(v, w) = ϕ(w, v) für alle v, w ∈ V gilt.
ϕ : V × V → C auf V heisst hermitesch, wenn es
Behauptung VII.2.4. Eine Sesquilinearform ϕ auf einem endlich-dimensionalen C-Vektorraum
V ist genau dann hermitesch, wenn ihre Darstellungsmatrix A bezüglich einer (und somit jeder)
Basis von V hermitesch ist, d.h. wenn t A = A.
Denition VII.2.5. Eine hermitesche Sesquilinearform ϕ auf einem komplexen Vektorraum V
heisst Skalarprodukt, wenn sie positiv denit ist, d.h., wenn ϕ(v, v) > 0 für alle v ∈ V \ {0} gilt.
Einen C-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt nennen wir unitären Vektorraum.
VII.3
Orthonormalbasen
Denition VII.3.1. Sei V ein euklidischer (bzw. unitärer) Raum mit Skalarprodukt h·, ·i.
(i) Zwei Vektoren v, w ∈ V heissen orthogonal, wenn hv, wi = 0.
(ii) Zwei Unterräume W1 , W2 ⊂ V heissen orthogonal, wenn hw1 , w2 i = 0 für alle w1 ∈ W1 ,
w2 ∈ W 2 .
(iii) Eine Familie (v1 , . . . , vk ) von V heisst orthogonal, wenn hvi , vj i = 0 für alle i 6= j . Sie heisst
orthonormal, wenn zusätzlich hvi , vi i = 1 für alle i.
Behauptung VII.3.2. Jede orthogonale Familie (v1 , . . . , vk ), mit allen vi 6= 0, ist linear unabhängig.
Behauptung VII.3.3. Sei (v1 , . . . , vn ) eine Orthonormalbasis eines euklidischen (oder unitären)
Vektorraums V . Dann gilt v = hv, v1 i · v1 + · · · + hv, vn i · vn für alle v ∈ V .
Satz VII.3.4. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (oder unitärer) Vektorraum und sei
W ⊂ V ein Unterraum mit einer Orthonormalbasis (w1 , . . . , wk ). Dann gibt es eine Ergänzung
zu einer Orthonormalbasis (w1 , . . . , wk , vk+1 , . . . , vn ) von V .
Insbesondere besitzt jeder endlich-dimensionale euklidische (oder unitäre) Vektorraum eine
Orthonormalbasis.
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Behauptung VII.3.5. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (oder unitärer) Vektorraum
und sei W ⊂ V ein Unterraum. Dann ist das orthogonale Komplement
W ⊥ := {v ∈ V | hv, wi = 0 für alle w ∈ W }
von W ein Unterraum von V . Weiter gelten V = W ⊕ W ⊥ und W ⊥W ⊥ .
Behauptung VII.3.6. Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (oder unitärer) Vektorraum
und sei W ⊂ V ein Unterraum. Sei weiter (w1 , . . . , wk ) eine Orthonormalbasis von W . Für jeden
v ∈ V denieren wir die senkrechte Projektion von v auf W durch
prW (v) = hv, w1 i · w1 + · · · + hv, wn i · wn ∈ W.
(i) Diese Denition hängt nicht von der Wahl der Orthonornalbasis ab.
(ii) Es gilt v = prW (v) + (v − prW (v)) mit prW (v) ∈ W und v − prW (v) ∈ W ⊥ .
(iii) Die Abbildung prW : V → V ist linear und erfüllt Im(prW ) = W , prW |W = id|W ,
Ker(prW ) = W ⊥ und prW ◦ prW = prW .
Gram-Schmidt-Verfahren. Gegeben sei eine linear unabhängige Familie (v1 , . . . , vk ) eines eu-
klidischen (bzw. unitären) Vektorraum V . Das Gram-Schmidt-Verfahren liefert eine orthonormale
Familie (e
v1 , . . . , vek ) mit span(v1 , . . . , vi ) = span(e
v1 , . . . , vei ) für alle 1 ≤ i ≤ k .
Dafür denieren wir induktiv ve1 , . . . , vek durch:
1
• ve1 := p
· v1 .
hv1 , v1 i
1
0
0
• vei+1 := q
· vi+1
mit vi+1
= vi+1 − prWi (vi+1 ), wobei Wi = span(v1 , . . . , vi ) =
0
0
hvi+1 , vi+1 i
span(e
v1 , . . . , vei ).