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REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Cuando empleamos las reglas de la adición se
determinaba la probabilidad de combinar dos
eventos ( que suceda uno u otro o los dos)
Cuando queremos estimar la probabilidad de
que ocurran dos eventos de manera simultánea
emplearemos la regla de la multiplicación
EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA
MULTIPLICACIÓN
• Si la ocurrencia de que A ocurra no afecta la probabilidad de que
B ocurra, entonces se dice que A y B son independientes.
• Si A y B son dos eventos independientes, entonces la
probabilidad de que ocurran tanto A como B es igual al
producto de sus probabilidad es respectivas
• P ( a ⋂ b) = P (a) x P ( b)
EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA
MULTIPLICACIÓN
• Se consideran dos eventos independientes siempre y cuando
la intersección entre el evento A y el evento B sean cero
• Además consideramos que la probabilidad de un experimento
no cambia ni se ve afectada por otro
• Es considerar un muestreo con reemplazo
EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA
MULTIPLICACIÓN
•
• Por ejemplo la probabilidad de que al tirar dos monedas
DE MANERA CONSECUTIVA los dos resultados sean Cara.
• ( 0.5) (0.5) = 0.25
• Ejercicio: cuál es la probabilidad de que aparezcan dos
puntos en la primera, segunda y tercer tirada de un
dado?
• 1/6 x 1/ 6 x 1/ 6 = .0046
EJERCICIO
• El Sr. Castro y su esposa tienen 55 y 50 años de edad
respectivamente
• Si la probabilidad de que un hombre de 55 años viva la menos otros
15 años es de 0.70
• Si la probabilidad de que una mujer de 50 años viva al menos otros
15 años es de 0.85
• ¿Cuál es la probabilidad de que tanto el Sr. Castro como su esposa
continúen vivos dentro de 15 años
• 0.595 = ( 0.7) ( 0.85)
Y SI NO SON INDEPENDIENTES?
EVENTOS DEPENDIENTES Y LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN
PARA LA CONDICIÓN DE NO REEMPLAZO
• Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de A o de B
afecta la probabilidad de que B o A dejen de ocurrir
• La probabilidad condicional de cualquier evento es la
probabilidad de que este evento ocurra con la condición de
que otro evento haya ocurrido .
• Es decir, es saber la probabilidad del evento A, dada
información previa acerca de la ocurrencia de otro evento B
(“ como le afecta”)
P= PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN
PROBABILIDAD DE EL EVENTO QUE
CONDICIONA
•La probabilidad condicional de A dado B, se
calcula suponiendo que el evento B ya ocurrió
y/o tenemos información
•Bajo ese supuesto, se calcula la
probabilidad de que el evento A ocurra
• El evento B , es el que ya ocurrió o del que tenemos
información previa
• Si …
• Dado…
• Tenemos información de…
• El 60 % de los cereales que se consumen en la ciudad de México
son de la Marca K, y se sabe que el 45 % de la población ha visto
los anuncios espectaculares de dicho cereal. Por otro lado una
encuesta revela que hay un 30% de la población que consume
este cereal y ha visto los espectaculares.
• Determine si la compra de los cereales de esta marca ha sido estimulada
por haber visto el nuevo espectacular
• Hay que considerar que el evento que condiciona es :
• si han visto los anuncios espectaculares, dado que se evalúa si hay un
efecto en el aumento de compradores por su observación.
• El 60% es la probabilidad que se tenía antes de colocar los
espectaculares y será contra la que se compare.
• El 30% es la intersección
• En la bolsa de valores se tiene la probabilidad de que se
compren acciones de tipo A de 0.54 y una probabilidad de que
compren acciones de tipo B de 0.35, así como una probabilidad
de que compren ambas de 0.3.
• ¿ Cuál es la probabilidad de que un accionista compre
acciones de tipo A si ya compro acciones de tipo B?
• ¿ Cuál es la probabilidad de un accionista compre acciones de
tipo B si ya compro acciones de tipo A?
maneja
propietario inquilino
total
Si
824
681
1505
no
176
319
495
1000
1000
2000
• En Puebla una encuesta sobre vivienda estudió cómo
llegan al trabajo los propietarios de casa .
• Si una persona responde que maneja hacia su
trabajo, ¿ cuál es la probabilidad de que él o ella
sea propietario de su casa?
• si quien responde es un propietario, ¿ cuál es la
probabilidad de que él o ella maneje hacia el
trabajo?
• ¿ Es más probable que los blancos presenten demandas
por prejuicios? De acuerdo a una encuesta de
Goldman(2001) encontró que de 56 trabajadores
despedidos, 29 presentaron demandas por prejuicios. De
407 trabajadores negros despedidos, 126 demandaron por
prejuicios.
• Si un trabajador es blanco, ¿cuál es la probabilidad de que se haya
presentado una demanda por prejuicios?
• Si un trabajador presentó una demanda por prejuicios, ¿ cuál es la
probabilidad de que sea blanco?
• Si quien demanda es negro, ¿ cuál es la probabilidad de que no
demande?
• Si no demanda , ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanco?
• Un inversionista se enfrenta una cartera que contiene un
bono estatal cuyo riesgo es de 25% y una acción de una
escuela cuyo riesgo es de 35%. Cuál es la probabilidad de
que el inversionista al adquirir una acción de una escuela
enfrente el riesgo dado que ya enfrentó el riesgo del bono
estatal?
• La probabilidad de que el área de producción de una
empresa trabaje con eficiencia es de 0.80, se ha
observado que el buen funcionamiento de la empresa
depende en gran medida de la eficiencia del área de
producción. De acuerdo con estudios realizados se
estima que la probabilidad de que el área de
producción sea eficiente y que la empresa tenga un
buen funcionamiento es de 0.72. ¿ cuál es la
probabilidad de que si producción es eficiente la
empresa tenga un buen funcionamiento?
• 2.- Pruebe que la carrera de Ingeniería aumenta la
proporción de hombres estudiando una
licenciatura
• 3.- Pruebe que la carrera de educación aumenta la
proporción de las mujeres que estudiando una
licenciatura
• Una encuesta realizada a 200 trabajadores de la industria
automotriz, mostró que 100 de ellos muestran ansiedad,
mientras que 120 de ellos presentaron problemas de
insomnio. Si consideramos que 60 de ellos presentaron
ambos problemas , cuál es la probabilidad de un trabajador
hay presentado ansiedad o insomnio?
• Cuál es la probabilidad de que un trabajador no presente ninguno de
los dos problemas?
TEOREMA DE BAYES
P R O B A B I L I DA D C O N D I C I O N A L
• La probabilidad condicional se emplea cuando ya sabemos
lo que ocurrió en un evento y queremos determinar la
probabilidad de que otro evento ocurra , pero el primero
tiene cierta influencia sobre el segundo.
• La siguiente tabla nos muestra una encuesta donde se le
pregunto a las personas si quería comprar un aparato
electrónico así como si las personas compraron o no dicho
producto.
Planea comprar
si compro
No compro
Si
200
50
no
100
650
• A veces es necesario modificar los valores de la probabilidad
cuando se obtiene una actualización de los datos.
• Esta probabilidad se conoce como probabilidad a posteriori
• Es muy útil cuando se tiene información adicional sobre un
evento.
• La información adicional se refiere a características adicionales de los
experimentos ( se debe hacer un diagrama de árbol)
• Para el calculo de esta probabilidad se emplea el Teorema de
Bayes
TEOREMA DE BAYES
• Se parte de que tenemos información a priori ( anterior),
es decir ,es la información actual sobre un hecho
• Sin embargo sobre el mismo hecho podemos tener
información adicional o a posteriori
• P ( A/B) Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B
( probabilidad posteriori)
• P( B/A) probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A
• P(A) Probabilidad de que ocurra A (probabilidad a priori)
• P(Ac) probabilidad de que ocurra el complemento del
evento A
• En una maquiladora de circuitos, se tienen dos turnos de
producción. En el primer turno (1) se produce el 68% de la
producción total de la maquiladora, mientras que en el
segundo turno (2) se produce el 32%
• En el primer turno el 2% de su producción es defectuosa,
en tanto que la producción del turno dos el 5% es
defectuosa
• 1.- Calcular cuál es la probabilidad de que al revisar un circuito
resulte defectuoso
• 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar aleatoriamente un
circuito defectuoso provenga del segundo turno?
• 1.- Para calcular la probabilidad de obtener un circuito
defectuoso
• Es el promedio de defectos que produce cada turno
• Por lo que tenemos que ponderar el porcentaje de su producción
por la probabilidad de producir un defecto de cada turno
•
• P(A) = Circuito defectuoso
• = (0.02)((0.68) + (0.05)(0.32) = 0.0296
• 2.- La probabilidad de que al revisar aleatoriamente un
circuito defectuoso provenga del turno dos
• P(A) circuito defectuoso = 0.00296
• P(B) Obtener un circuito del segundo turno = 0.32
• P(A/B) Probabilidad condicional de obtener un circuito defectuoso si
proviene de turno dos P(A/B)P(B) O P(AYB) / P(B) = ( 0.05)
• P(B/A) = P(A/B) P(B)
•
P(A)
= (O,05)(0.32)/ 0.0296 = 0.5405
• Una fábrica productora de artículos cosméticos cuenta
con tres sucursales, las cuales producen 40, 35 y 25 % del
total de la producción, respectivamente. Sin embargo, en
cada sucursal se presentan los siguientes porcentajes de
artículos defectuosos: 4, 6 y 8% respectivamente. Si se
elige aleatoriamente un artículo, calcula cual es la
probabilidad
• 1.- de que el articulo sea no defectuoso
• 2.- si el artículo resultó defectuoso, cuál les la probabilidad de que
proceda de la primera sucursal
• 3.- si el artículo no resultó defectuoso, cuál es la probabilidad de que
proceda de la segunda sucursal
• En una escuela universitaria , 40% de los alumnos cursan
el primer año, 25% el segundo año , 20 % el tercer año y
15% el cuarto año
• Como tienen el ingles obligatorio el porcentaje de
asistencia es el siguiente.: el 100% en el primer año; el
40% en el segundo año y el 20% en tercer año ; el 10% en
el último año
• ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a clases de ingles?
• ¿Cuál es la probabilidad de que no vaya a clases de ingles?
• Si se escoge a un alumno de va a Ingles , ¿ cuál es la probabilidad de
que sea del segundo año?
• si se escoge a un alumno que no va al ingles, ¿ cuál es la probabilidad
de que sea del primer año?
• Suponga que el 5% de una población padece una enfermedad
causada por ingerir productos tóxicos. Si llamamos al evento A1,
tiene la enfermedad y al evento A2 no tiene la enfermedad,
entonces si seleccionamos una persona al azar de dicha
población la probabilidad de (A) sería 0.05. Este dato es
probabilidad a priori
• Si tenemos una técnica de diagnóstico para detectar la
enfermedad y que de acuerdo a datos históricos tiene un 90%
de efectividad cuando muestra un resultado positivo si la
persona realmente tiene la enfermedad.
• considere que la probabilidad de que un persona en realidad no
tenga la enfermedad, pero que de resultado positivo es de 0.15.
• Cuál es la probabilidad de que un persona tenga la enfermedad, dado
que la prueba resulto positiva?
• cuál es la probabilidad de que una persona no tenga la enfermedad
dado que dio positiva en la prueba
• Una empresa que produce camisas ha advertido que su
máquina 1 produce el 45% del total de camisas y la
máquina 2 produce el 55%. Se observó que la máquina 1
produce sólo el 10% de camisas defectuosas y que la
máquina 2 produce un 8% de camisas defectuosas.
• ¿Cuál es la probabilidad de que un CAMISA que fue rechazado por
mala calidad haya sido producido por la máquina 2?
• ¿ Cuál es la probabilidad de que un CAMISA que fue rechazado por
mala calidad haya sido producido por la máquina 1?
• Los científicos en cierta compañía se clasifican: 40% tienen
doctorado; 40% tienen maestría y 20% tiene grado
universitario. De aquellos con grado de doctor, el 70%son
hombres; de aquellos con grado de maestría el 50 % son
hombres y de los que tienen grado de licenciatura el 70%
son hombres. Si se selecciona aleatoriamente a un
científico, ¿ cuál es la probabilidad de que sea mujer?
• Dado que la persona seleccionada es mujer, ¿cuál es la probabilidad
de que tenga grado de doctor?
• Supóngase que dos procesos de producción A y B
se emplean para producir partes idénticas. Se
considera que las capacidades de los dos procesos
son iguales. De acuerdo a registros adicionales, se
sabe que el 10% de las partes producidas por A y el
5% de las de B son defectuosas. Todas las partes
producidas por ambos procesos se mezclan y ya no
es posibles diferenciar de dónde provienen.
• Se selecciona aleatoriamente un parte producida y se
descubre que es defectuosa.
• Cuál es la probabilidad que hay sido producida por A?
• ¿Cuál es la probabilidad de que haya producido en B?
• Un equipo de la universidad juega 70% de sus partidos por
la noche y el 30% durante el día. El equipo gana 50% de
sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos. Si el equipo
ganó el último encuentro, ¿cuál es la probabilidad de que el
partido se haya desarrollado por la noche?
• Una empresa de alimentos reportó que el 80% material para
empaque recibido del proveedor 1es de buena calidad y que
sólo el 50% del material recibido por el proveedor 2 es de buena
calidad. Si el proveedor 1 sólo proporciona el 40% del material
de empaque y el otro 60% lo proporciona el proveedor 2:
• CUAL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UNA MATERIAL DE
BUENA CALIDAD
• CUAL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UNA MATERIAL DE MALA
CALIDAD
• Al inspeccionar un embarque se encontró un material de buena calidad ,
cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor B
• Al inspeccionar un embarque se encontró que un material es de buena
calidad, cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor A
•
• Después de un proceso de mejora, el proveedor 2 ofrece ahora
productos con una buena calidad de hasta el 60 % (tarea)
• Al inspeccionar un embarque se encontró que un material es de buena
calidad, cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor A
ANEXO
R E S P U E S TA S Y G R Á F I C O S
TAREA EJERCICIO P-3
• Una empresa determinó la evaluación de desempeño de sus
trabajadores y encontró lo siguiente: 5 de los 50 trabajadores habían
terminado tarde su trabajo; 6 de los 50 habían armado productos
defectuosos y dos de los que habían terminado tarde el trabajo
también los habían armado productos defectuosos. El gerente de
producción optó por asignar una mala calificación al desempeño cuyo
trabajo presenta: entrega tarde o defectuosa. ¿Qué probabilidad hay de
que asigne una mala calificación a uno de sus empleados?
• P ( T U D) = P(T) + P( D) - P( L Ω D )
• = 0.1 + 0.12+ 0.04 = 0.18
TAREA
• Una encuesta realizada a 200 trabajadores de la industria
automotriz, mostró que 100 de ellos muestran ansiedad,
mientras que 120 de ellos presentaron problemas de
insomnio. Si consideramos que 60 de ellos presentaron
ambos problemas , cuál es la probabilidad de un trabajador
hay presentado ansiedad o insomnio?
• Cuál es la probabilidad de que un trabajador no presente ninguno de
los dos problemas?
EJERCICIO
• La lotería nacional emplea una selección aleatoria
de seis números de un grupo de 47 para
determinar al ganador. Cuál es la probabilidad de
ganar el sorteo eligiendo 6 números al azar.
• (C 476) = 47! =
(47)(46)(45)(44)(43)(42)
6!(47-6)!
(6)(5)(4)(3)(2)(1)
= 10 737 573 son todas las posibles
combinaciones.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
• Usted desea descifrar un código en sucesión compuesto
por 4 números diferentes del cero al 9 . Cuál sería la
probabilidad de que en la primera elección hecha al azar de
4 números, usted pudiera encontrar dicho código?
COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
• Para una combinación
•
C52 = 5 ! = (5)(4)(3)(2)(1)
2!
(2) (1) ( 3)(2)(1)
= 120/ 12 = 10
PERMUTACIÓN
• Para una permutación
• Donde si importa el orden de selección
• P52 = (5)(4)(3)(2)(1)
(3)(2)(1)
= 20