PROBABILIDAD
CONCEPTOS BÁSICOS
J UA N J O S É H D E Z . O
PROBABILIDAD
• Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento
“el arte de saber contar”
CONCEPTOS
• Fenómeno aleatorio.- Es un fenómeno es aleatorio si factores
fortuitos determinan su ocurrencia , esto es, sólo si el resultado
se presenta al azar….. ( sin intención o elección)
 Tirar una moneda
 Tirar un dado …
 que no esté “cargado”
 Hacer una pregunta ( reactivo) no inducido en una encuesta
 Por ejemplo un reactivo inducido sería: Este año se ha
incrementado la violencia en el país, ¿cree que ha
disminuido la seguridad en su distrito?
CONCEPTOS
• Para calcular la probabilidad de un evento todos los resultados
posibles deben de conocerse de antemano, pero el resultado
particular de un solo ensayo de cualquier operación experimental
no puede determinarse previamente.
 Por ejemplo ,en una pregunta de escala Lickert…

CA, A , I , D , CD
 El resultado de arrojar una moneda
 sol o águila
 Tirar un dado
 1 ,2 ,3,4,5,6,
 Conocemos todos los resultados posibles, pero no la respuesta
CONCEPTOS PREVIOS
• A cada uno de los posibles resultados se les puede asignar una
fracción de probabilidad o en otras palabras el porcentaje de
probabilidad de que ocurra un evento.
 Por ejemplo cuando tiramos un dado la probabilidad de que un
número sea obtenido ( el 1, o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 ) es de 1/6 para
cada uno en particular en cada experimento.
• Un experimento .• Proceso que induce a que ocurra una y sola una de
varias posibles observaciones
• Por ejemplo cuando lanzamos una moneda para
ver el resultado
• Lo podemos definir también como cualquier acción
o proceso cuyo resultado está sujeto a la
incertidumbre
ESPACIO MUESTRAL
Experimento
Resultados del Experimento
Contestar una pregunta en la
escala Likert
C A , A , I , D , CD
La tirada de una moneda
Sol, águila
Seleccionar una parte para
inspeccionarla
Tirar un dado
Defectuosa, no defectuosa
1,2,3,4,5,6
Cuando hayamos especificado todos los resultados posibles,
habremos identificado el ESPACIO MUESTRAL del experimento, y
entonces podemos determinar su probabilidad de ocurrencia
ESPACIO MUESTRAL
 Un espacio muestral es un conjunto universal, debido a que
es el conjunto de todos los posibles resultados diferentes
de un experimento.
 El espacio muestral de tirar dos monedas sería
 CC , CX, XC, XX
 Se puede hacer con un diagrama de árbol
 ¿ Cuál sería el espacio muestral en el experimento de arrojar tres
monedas para determinar cuantas caras ( .C) ó cruz (X) ocurren?
 CCC , CCX, CXC, CXX, XXC, XXX, XCX, XCC
 En el caso de tirar dos dados, el espacio muestral serían 36 todos los
resultados posibles ( tarea)
EVENTO
• Es la colección de uno o varios resultados posibles o
puntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral
• Es un subconjunto del espacio muestral, esto es, todas las
posibles combinaciones de los resultados que pueden
darse
• Hay dos tipos de eventos
• Evento simple
• Evento compuesto
EVENTO ALEATORIO SIMPLE
• Evento aleatorio simple.- Es el resultado de un solo ensayo en cualquier experimento en
particular.
• Dentro del espacio muestral un evento aleatorio simple es cualquier resultado
obtenido y solo un resultado posible
• Por ejemplo el resultado de 6 + 6 = 12 en la tirada de dos dados es un evento
aleatorio simple y el espacio muestral sería el total de 36 resultado posibles.
• O en el lanzamiento de una moneda que el resultado sea cara … y no cruz
• O que en una pregunta de una encuesta contesten SI y no incluye a NO
EVENTO ALEATORIO COMPUESTO
• Evento compuesto.- Es un subconjunto del espacio muestral, que contiene dos o
más eventos aleatorios simples
• Por ejemplo si se quiere saber los posibles resultados que pueden dar como
resultado 5 en un tirada de dos dados tendríamos
• 4+1 , 2+3, 3+2 , 1+4
• Ejercicio: Cuál sería el evento compuesto ( subconjunto) para obtener
cuando menos dos caras ( C ) en la tirada de tres monedas
• CCC, CCX, CXC, XCC.
EVENTOS COMPUESTOS
 Ejercicio : Un investigador de mercados realiza una encuesta a una familia de
cuatro personas, dos hijos adolescentes y sus padres, para determinar
cualquiera de las dos respuestas sobre la preferencia de un producto
 les agrada (A) o desagrada.
 Forme una secuencia con todas las posibles respuestas del padre, la madre, el
hijo mayor y el segundo hijo
Cuál es el espacio muestral del experimento?
16
¿ NO HAY OTRA FORMA DE OBTENER EL ESPACIO
MUESTRAL?
VAMOS A CONTAR SIEMPRE ASÍ????
experimento
Resultado
posible en cada
experimento
Resultado
obtenido en los
ejercicios
Cuál es el patrón?
Lanzar tres
monedas
Sol
Águila
( dos)
8
23
Tirar dos dados
6 resultados
posibles para cada
dado
36
62
cuatro Miembros
de una familia
Las posibles
16
respuestas son dos
Aprobado
Desaprobado
24
DOS REGLAS PARA CONTAR EVENTOS
• Primera Regla de la multiplicación
• 1.-Si se lleva a cabo un cierto número (n) de actos o
experimentos , y cada acto puede realizarse en el mismo
número de formas (k), entonces el número total de posibles
resultados para n actos es
• ( k) (k)…(k)n = kn
• Por ejemplo en el caso de la tirada de dos dados sería
• . n= 2 dos tiradas de dados
• k = 6 formas o resultados posibles
•
SEGUNDA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA CONTAR EVENTOS
• 2.-Si hay n actos que pueden realizarse de en k1, k2, …kn formas diferentes e,
independientes del resultado, entonces el número total de posibles resultados
diferentes para los n actos en sucesión es:
•
(n) ( k) formas de hacer las cosas
• Esta formula se aplica para determinar el número de posibles disposiciones o
arreglos de dos o más grupos.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA CONTAR EVENTOS
• En resumen si tenemos n actos y k formas de hacerlos.
• La regla de la multiplicación es
• Numero total de arreglos= (n) (k)
• Son actos independientes
• Por ejemplo si un vendedor de autos tiene tres modelos de vehículos y dos
planes de financiamiento, cuántos arreglos diferentes pueden hacerse?
• Total de arreglos ( n) ( k) = 3 (2) = 6
EJERCICIOS
• Pioneer fabrica tres modelos de estéreos, dos
reproductores MP3, cuatro tipos de bocinas y tres
carruseles para CD. Cuando se venden juntos los cuatro
tipos de componentes forman un sistema. ¿ cuántos
diferentes sistemas puede ofrecer la empresa?
•
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
UN SOLO GRUPO
PERMUTACIONES
• Una permutación es un arreglo ordenado: se refiere a cualesquiera de las formas
en la cual se arreglan distintos objetos, cuando tenemos n actos y k formas de
realizarlos.
• La empleamos cuando no se tiene el mismo número de elementos y de la forma de
seleccionar
• Hay que considera que en las permutaciones si importa el orden del arreglo
• Otra restricción es que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es,
los n objetos son todos diferentes
PERMUTACIONES
• Una nPk
• Entonces la probabilidad es un cálculo factorial
• P= n factorial
= n!
(n – k) factorial
(n-k)!
•
• P es el número de permutaciones o formas en que pueden ordenarse los objetos
• n es el número total de objetos
• k es el número de objetos que se van a disponer cada vez
EJERCICIOS
• 7 P3
•
•
7(6)(5)(4)(3)(2)(1)
( 7-3) !
• 7(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 210
•
( 4)(3)(2)(1)
• 8P 2
PERMUTACIONES
 Ejemplo : Tenemos 10 alumnos de UNITEC para cuatro
puestos en la sociedad de alumnos: presidente, vicepresidente,
tesorero y secretario. ¿Cuáles son todas las posibles
combinaciones?
 n = 10 y k = 4
 Hay diez formas de ocupar el puesto de presidente. Una vez que se ha
hecho, quedan nueve candidatos , por lo que hay nueve formas de
ocupar el segundo puesto, una vez que se selecciona hay 8 candidatos y
por lo tanto ocho formas de ocupar el tercer puesto y así solo siete
formas de ocupar el cuarto puesto.
 Podríamos hacer un diagrama de árbol?
 P = (10) (9 ) ( 8) ( 7) = 5040
• Si se tienen 6 alumnos para ordenarlos en cuatro puestos diferentes cuál
sería el resultado?
• P= (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
(6)(5)(4)(3)(2)(1)
• P = (10) (9 ) ( 8) ( 7) = 5040
• Y sí se tienen 6 alumnos para ocupar cuatro puestos cuál sería el resultado?
• (6)(5)(4)(3)= 360
COMBINACIONES
• Una combinación es simplemente un subconjunto de k objetos
a partir de n objetos. Las permutaciones toman en
consideración el orden en el cual los objetos se seleccionan…
las combinaciones no
• En realidad lo que estamos contando es un grupo
nCk
= n !
(n-k)! k!
donde
n≥ k ≥ 1
COMBINACIONES
• Supóngase que tenemos diez alumnos que son candidatos para la mesa directiva
y deseamos elegir tres elementos para dicha mesa ( no importa quienes de ellos
sean) , ¿ de cuantas maneras pueden ser seleccionadas
• C = (10) (9) (8)( 7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
( 3) (2) (1) ( 10 – 4) !
= 720/ 6= 120
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
• Ejemplos
• En esta clase de estadística consta de 12 alumnas. De cuántas formas puede
seleccionarse un comité de tres alumnas.
• C = (12)(11)(10 ) = 1320/6= 220
3 ( 2) (1)
ES una combinación porque no hay arreglos , esto es, no importa el orden,
cada trío constituye una forma
PERMUTACIÓN Y COMBINACIONES
• Si al mismo grupo se les selecciona para tres puestos diferentes?
• Entonces tendríamos una permutación ya que el orden si importa
(12)(11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(|)
(12-3) !
• ( 12) (11) (10) = 1320
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
• Usted desea descifrar un código en sucesión compuesto
por 6 letras diferentes de un alfabeto de 27 letras. Cuál
sería la probabilidad de que en la primera elección hecha al
azar usted pudiera encontrar dicho código? Es el ejemplo de
que alguien quiera obtener su password.
• 27 P 6
• el resultado es 213127200
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
• Usted desea participa en una lotería donde el premio se dará a una planilla
compuesta por 6 letras diferentes de un alfabeto de 27 letras. Cuál sería la
probabilidad de que ganara al escoger una planilla hecha al azar ?
• C276
• el resultado es 296010
•p
• p2.-¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar,
si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero,
Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser
formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña
empresa.
• Usted tiene problemas económicos¡¡¡¡, y para resolverlos juega a los
pronósticos cada semana, si el premio a ganador se da con atinar a 6 números
de 48, cuál sería su probabilidad de ganar
• si considera la probabilidad como 1/ número de arreglos o espacio muestral
• De cuantas formas distintas podemos acomodar 4 sólidos geométricos en una
repisa; si los escogemos entre 9 sólidos geométricos?
• ¿ De cuántas formas distintas podemos poner 4 sólidos geométricos en una
bolsa; si los escogemos entre 9 sólidos geométricos?
• ¿ de cuántas formas distintas podemos escoger 7 cartas de un juego de 52
cartas?
• ¿ de cuantas formas las podemos poner en línea (acomodar) , sobre una mesa,
estas cartas?
• De un total de 30 boletos de una rifa se extraen 5, los
cuales serán premiadas en orden de importancia. ¿ cuantos
puntos muestrales hay asociados a este experimento?
• Permutación 30p5
• Se llevó a cabo un estudio para determinar las actitudes de
las enfermeras de un hospital frente a diversas
disposiciones administrativas. Si se seleccionó a una
muestra de 8 enfermeras de un total de 20, ¿ cuántos
grupos combinados de enfermeras se pueden hacer?
• 20c8
• Un supervisor administrativo asigna a 11 trabajadores diferentes 10 actividades
distintas para realizar. ¿ podría calcular de cuántas manera se puede ordenar a
lo trabajadores para desarrollar las 10 actividades
• 11p10
PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
• Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y
los eventos son mutuamente excluyentes
• La probabilidad de que ocurra un evento siempre estará
dentro del rango de 0 y 1
• 0≤P≤1
Es válido para eventos equi –probables y cuando conocemos todo
el espacio muestral
PROBABILIDAD
• 1.- La probabilidad de cualquier evento debe ser un valor
dentro del intervalo de uno a cero.
• 2.-Si la probabilidad es cero, esto significa que el evento que
se está considerando, no ocurrirá
• 3.- Si se tiene la certeza de que un evento ocurrirá la
probabilidad de un evento es 1, esto incluye a todos los
posibles resultados o eventos
• 4.- La suma de las probabilidades para todos los resultados
experimentales debe ser igual a uno
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
• Consiste en todos los valores de una variable aleatoria,
junto con sus probabilidades correspondientes
• ∑ P(xi) = 1
• para cada valor
0≤ P(x) ≤ 1
ENFOQUE CLÁSICO
• Es un método de asignación de probabilidades apropiado
cuando :
• 1.-Los resultados experimentales son equiprobables.
• 2.- Los resultados pueden ser previsibles( ya se conocen
todos los posibles resultados)
• P = número de resultados favorables
•
número total de resultados
• En el caso de la tirada de una dado, la probabilidad de obtener un
resultado de 6 , sería 1/6
EJERCICIO
• Una feria ofrece una tómbola, donde usted puede sacar
diferentes premios en efectivo. En teoría hay 100 esferas: 1
que da 100 pesos; 9 que dan 50 pesos; 10 que dan 30 pesos;
10 que dan 20 pesos; 20 que dan 10 pesos y 50 que dan la
leyenda: gracias por cooperar
• Cuál es la probabilidad de que usted obtenga en la primera
oportunidad
• Un premio de 100
• un premio de 30
• un premio de 20
CON REEMPLAZO O SIN REEMPLAZO?
SELECCIÓN CON REEMPLAZO
• Ocurre cuando una opción que ya fue seleccionada, puede ser seleccionada
nuevamente (“ se regresa al espacio muestral inicial)
• Consideramos que “regresamos” la opción al espacio muestral inicial.
• En el ejercicio anterior siempre consideramos que es siempre la primera vez
que se realiza un experimento
SELECCIÓN SIN REEMPLAZO
Ocurre cuando una opción que ya fue seleccionada, ya no
puede ser seleccionada de nuevo.
Ejemplos:
• Un premio de 100 en la segunda oportunidad
• Un premio de 30 en la cuarta oportunidad, considerando que no ha salido
ninguna de este valor
• Un premio de 20 en la decima oportunidad, considerando que ya salieron
dos premios de este valor.
• un premio que dice gracias por cooperar en la décima oportunidad si ya
salieron 3 de este tipo anteriormente.
EJERCICIO
• Si consideramos que una baraja tiene 52 cartas diferentes : Calcular la
probabilidad
• Obtener un as ( 4 opciones ) o un ocho ( 4 opciones) en la quinta oportunidad, considerando
que salió primero un 7; en segundo lugar un 8; en tercer lugar un 3; en cuarto lugar un as
•
• obtener un 7 en la tercera oportunidad si en la primera salió un 4 y en la segunda salió un 5
• Si considera selección con reemplazo, cuál es la probabilidad que se observaría en los casos
anteriores
PROBABILIDAD EMPÍRICA O DE FRECUENCIA
RELATIVA
• El método de frecuencias relativas de asignar probabilidades es
apropiado cuando se cuenta con datos para estimar la proporción
de veces en que ocurrirá el resultado experimental si el
experimento se repite un gran número de veces
Numero de
estudiantes
ausentes
Días en que
ocurrió el
resultado
Frecuencia
relativa
0
2
2/ 20 …. 0.1
1
5
5/ 20…..0.25
2
6
6/20…..0.3
3
4
4/20…..0.2
4
3
3/ 20…..0.15
Total 20
Se basa en el
número de veces
que ocurre el
evento como
proporción de
intentos conocidos
y en este caso el
calculo de la
probabilidad sería
nuestra frecuencia
relativa
Categoría
frecuencia
Verde café
6
anaranjado
3
verde
3
amarillo
2
rojo
2
azul
5
• Una bolsa de cacahuates de
M&M contiene 21 dulces de
diferentes colores y distribuyen
de la siguiente manera
• Cuál es la probabilidad de que se
obtenga un dulce de color rojo
en la primera oportunidad
• Cuál es la probabilidad de que se
obtenga una de color naranja en
la primera oportunidad
• Si ya se obtuvo una roja, una azul
y una naranja, cual es la
probabilidad de que obtenga una
naranja en la cuarta oportunidad
Categoría
frecuencia
Frecuencia
relativa
%
Ind.
Verde café
6
6/21
28…
anaranjado
3
3/21
14….
0.14
verde
3
3/21
14
0.14
amarillo
2
2/21
10
0.1
rojo
2
2/21
10
0.1
azul
5
5/21
24
0.24
O.28
• De acuerdo con la experiencia de la tienda de super-descuentos, las ventas de
aparatos eléctricos es la siguiente: 245 televisores; 55 lectores de cd; 120
minicomponentes y 100 planchas
• Cuál es la probabilidad de que un cliente que entra pida una plancha
• cuál es la probabilidad de que un cliente pida un televisor?
EJERCICIOS
• De acuerdo a la Secretaría de salud de cada 3500 muertos en la población
adolescente en los últimos meses, 350 se deben a accidentes automovilísticos;
20 a cáncer; 55 a problemas cardiacos; 175 a problemas relacionados con fumar.
• Cuál es la probabilidad de que un adolescente haya muerto por una causa diferente a la
señalada
• Cuál es la probabilidad de la muerte se deba a cáncer
• cuál es probabilidad de que la muerte se deba a problemas cardiacos
• Una empresa de seguros tiene 6000 alumnos asegurados. Se sabe que 13 de
cada 100 generan gastos mayores; 17 de cada 100 generan gastos menores.
• Cuál es la probabilidad de que un estudiante genere gastos médicos mayores
• Cuál es la probabilidad de que un estudiante genere gastos médicos menores
EVENTO SIMPLE Y COMPUESTO
PROBABILIDAD SIMPLE
• Es la posibilidad de que ocurra un evento simple, esto es, la probabilidad que se
presente un punto muestral, misma que ya no puede ser descompuesta en otras
• Cuál es la probabilidad de que usted sea seleccionado en un puesto de jefe de grupo si en su
salón hay 10 candidatos?
• Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja en una caja donde hay 7 bolas de diferentes
colores
PROBABILIDAD CONJUNTA O COMPUESTA
• Se denomina a la probabilidad de que ocurra un evento conjunto, esto es, la
probabilidad de que se presenten dos o más puntos muestrales
• La probabilidad de que al nacer la persona sea de un género masculino o femenino es del
50% . Si acaban de nacer 4 bebés en el hospital,
• Cuál es la probabilidad de que sean solo dos niños?
• Cuál es la probabilidad de sean 2 o más niños?
• Primero hay que conocer el espacio muestral
• 24
ESPACIO MUESTRAL
•
•
•
•
•
•
•
•
(m,m,m,m)
mmmf
m m fm
mfmm
fmmm
mmff
m ffm
f fmm
•
•
•
•
•
•
•
•
mfmf
fmmf
f mfm
Mfff
fffm
fmff
ffmf
ffff
• Probabilidad
•
•
•
•
•
De que sean tres niños
de que sea una niña
de que sean 4 niñas
de que sean cuando menos tres niñas
de que no sea ninguna niña
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento formado por
todos los puntos muestrales que no están en A.
• En cualquier aplicación de probabilidades, debe suceder ya sea el evento A o su
complemento A´
• P (A) + P (A´) = 1
• P(A) = 1 - P (A´)
EJERCICIOS
• A.-Un estudio de 150 vuelos de AA, seleccionados aleatoriamente, mostró que
108 llegaron a tiempo.¿ cuál es la probabilidad de que un vuelo de AA llegue
retrasado?
• Cuándo el fármaco Viagra se probó , 117 pacientes reportaron tener dolor de
cabeza de un total de 734 . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona no tenga
dolores de cabeza al emplear dicho fármaco?
• Usted está atento en el sorteo para saber si hará servicio militar o no. En la urna
se encuentran 100 esferas ( 20 negras que significa que no tiene obligación) y 80
blancas que indican que tiene la obligación de reportarse
• Si considera una selección sin reemplazo
• 1.-¿Cuál es la probabilidad de que se evite el servicio en la primera oportunidad?
• 2.-Cuál es la probabilidad de que se evite en la trigésima oportunidad, si ya salieron 25
blancas y 4 negras
• 3.-Cuál es la probabilidad de que no se evite en el ejercicio anterior?
LA LEY ADITIVA ES ÚTIL CUANDO SE
TIENEN DOS EVENTOS Y SE DESEA
CONOCER LA PROBABILIDAD DE QUE
OCURRA AL MENOS UNO DE ELLOS O
AMBOS
LEY ADITIVA
LEY ADITIVA
PARA EVENTOS
EXCLUYENTES
• Si sólo uno de varios eventos
puede ocurrir cada vez, se
dice que son eventos
mutuamente excluyentes
• La ocurrencia de cualquier
evento implica que ningún otro
puede ocurrir al mismo tiempo
• Esto es, que no tienen ningún
punto de intersección
• Se denomina exhaustivo si se
incluye a cada uno de los
todos los resultados posibles.
UNIÓN DE EVENTOS
• Si se tienen dos eventos A B, la unión de éstos es la suma
de puntos muestrales que se encuentran en el evento A o
en el evento B, o en ambos y se representa como A U B (
A unión con B)
• ESTO ES, QUE SEA UNO U OTRO O EN LOS DOS
• En el caso de eventos excluyentes no se tienen puntos
muestrales comunes
EVENTOS EXCLUYENTES
 La probabilidad de eventos excluyentes, es la suma de las
probabilidades de los eventos individuales.

P ( a) + P (b) = 1
 Por lo que P (a) = 1 – P (b)
 En el caso de lanzar una moneda
 La probabilidad de que salga cara es 0.5 y la probabilidad de que salga
cruz es 0.5… el total es 1
 Si usamos la notación de conjuntos tendríamos
P (a u b) = P (a) + P ( b) = 1
P (A u B u C…uN) = P(A) +P(B) +P(c )+ …P(N)

EJERCICIO EVENTOS EXCLUYENTES
• Dadas 10 esferas que se encuentran marcadas del 1 al 10
• Cuál es la probabilidad de que salga un número par?
• Total de resultados posibles al sacar una esfera= 10
• Probabilidad de sacar una esfera = 1/10
• Hay que definir cuantos números par hay en todo el espacio muestral….
• 2, 4, 6, 8, 10
• Total de resultados posibles al sacar una esfera= 10
• Probabilidad de sacar una esfera = 1/10
• la probabilidad de sacar el 2 = 1/10
• La probabilidad de sacar el 4 = 1/10
• La probabilidad de sacar el 6 = 1/ 10
• La probabilidad de sacar el 8 = 1/10
• La probabilidad de sacar el 10 = 1/10
• Por lo que 5/ 10 = 0.5
EJERCICIO 1
• Dadas 10 esferas marcadas del 1 al 10 y que se encuentran en
una bolsa. Cuál es la probabilidad de encontrar
•
•
•
•
Evento 1.-Una esfera marcada con un valor de 3 o menos
Evento 2.- una esfera marcada con 6 o más
Evento .- Una esfera marcada con 4 o 5
4.- Cuál es la probabilidad que ocurra el evento 1 o el evento
2 ( cualquiera de los dos)
REGLA PARA LA SUMA DE N EVENTOS
• Si tenemos varios eventos… A, B, C, los cuales son
mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la
unión de estos eventos es la suma de todas sus
probabilidades individuales
• P ( a U b U c …n)= P(a) + p(b) +P (c) + P ( n)
Y SI NO SON EVENTOS EXCLUYENTES?
E N T O N C E S E M P L E A M O S L A R E G L A G E N E R A L A D I T I VA
REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
• Eventos de ocurrencia
conjunta.
• Es un subconjunto del espacio
muestral, donde dos o más
eventos ocurren al mismo
tiempo
REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
• Ejemplo p-2
• Dadas 10 esferas que se encuentran marcadas del 1 al 10 y si consideramos
al evento A el de extraer una esfera marcada con un numero par y el evento
B una esfera marcada con 5 o menos. Cuál es la probabilidad de que A o B
ocurran.
• Y si se repite el 2 y el 4
• y dónde quedan el 7 y el 9
• Para este caso se emplea la regla general de la adición
REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
 Se emplea esta regla general a eventos cualesquiera ya sean
mutuamente excluyentes o no. Es útil para casos de
ocurrencias conjuntas
P ( a U B) = P (a) + P (b) – P ( a Ω b)
 P ( a Ω b) es la intersección de a y
b
Por lo que P (a) , que sea un número par, es 0.5
Por lo que la P(b) , que sea un número del 1 a 5 es de 0.5
Pero 2 y 4 pertenecen a ambos eventos y es de 0.2
Por lo que la P ( a U b) = 0.8
• La intersección de dos eventos A
y B es el conjunto de todos los
puntos muestrales que se
encuentran contenidos en ambos
eventos A y B simúltaneamente,
y se representa por AΩ B ( A
intersección con B)
• Solo se consideran aquellos
puntos muestrales que se
encuentran contenidos en ambos
eventos … esto es que ocurren en
ambos eventos
INTERSECCIÓN DE
EVENTOS
EJERCICIOS
EJERCICIO P-2
• Supóngase que se extrae un naipe de una baraja de
52 ( y si reemplaza el naipe). Obténgase la
probabilidad de extraer ya sea un rey, joto y Reina
(como evento a) o una figura de un trébol (evento
b) . Considere que hay 12 figuras ( rey , reina y
joto) y 13 tréboles.
• Cuál es P (a u b ) ?
• 12/52 + 13/52 – 3/52= 0.42
EJERCICIO
• En el proceso de admisión de Maestrías en negocios en el año 2000, la
universidad de Stanford admitió a 8.5% de los aspirantes, la universidad de
Harvard admitió a 13.5% de los aspirantes, mientras que el 5.1% de los
aspirantes fue admitido en ambas universidades.
• ¿ cuál es la probabilidad de que un estudiante sea admitido en una universidad o en otra?
REGLA DE LA SUMA
¿ son A y B
mutuamente
excluyentes?
P(A o B)=
P(A)+P(B)- P(A y B)
P (A o B)= P(A) + P(B)
Unión
o
Intersección
y
clasificación
evento
Número de empleados
Supervisores
A
120
Mantenimiento
B
50
Producción
C
1460
Administración
D
302
secretarias
E
68
Una muestra de empleados de una compañía se va a encuestar.
¿cuál es la probabilidad de que la primera persona elegida sea:
1.- de mantenimiento o secretaria’
2.- que no sea de mantenimiento?
3.- de administración o supervisores?
4.- de producción o de mantenimiento?
• De acuerdo a información presentada en la siguiente tabla la distribución de los
estudiantes de acuerdo a las carreras en las que están anotados. Si se definen los
siguientes eventos
•
•
•
•
•
•
(A) mujeres en el nivel superior
(B) Hombres en el nivel superior
( C) alumnos inscritos en áreas administrativas y sociales
(D) alumnos inscritos en ingeniería
( E) Alumnos inscritos en educación
(F) alumnos inscritos en Salud
área
mujer
hombre
total
Agropecuaria
960
29 00
3860
Salud
78 0
52 90
6070
Exactas
13 55
16 49
3004
Administrativa
412 70
32913
74183
Educación
36 90
20 40
5730
Ingeniería
138 45
343 08
48153
TOTAL
61900
79100
141000
G.- Que sea mujer y que estudie salud
H.- Que estudie ingeniería y que sea hombre.
• 1. Cuál es la
probabilidad que al
seleccionar a un
estudiante:
• A) estudie en
Administración o en
Ingeniería
• B) Sea mujer o estudie
administración
• C) Sea hombre o
estudie ingeniería
• D) sea mujer o estudie
educación
• E) Sea hombre o
estudie en Salud
• F) Qué estudie
educación o
administración