Collège Jean Lecanuet ROUEN Année scolaire 2014-2015 BREVET BLANC n°2 MATHEMATIQUES L’usage de la calculatrice est autorisé Durée de l’épreuve 2 heures Notation sur 40 points En plus des 36 POINTS du barème, 4 points sont réservés à la rédaction et à la présentation. Le sujet comporte 4 pages numérotées Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 1 : ( 6,5 points) On donne le programme de calcul suivant :     Choisir un nombre. Lui ajouter 1. Calculer le carré de cette somme. Enlever 16 au résultat obtenu. 1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4, on obtient comme résultat 9. b) Lorsque le nombre de départ est (−3), quel résultat obtient-on ? c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. On appelle P cette expression. d) On a utilisé un tableur pour calculer les résultats obtenus par ce programme pour certains nombres choisis. Voici ce qu’on a obtenu : Parmi les trois formules suivantes, recopier sur votre copie, celle qui a été saisie dans la cellule B2 puis qui a été recopiée vers la droite : = B1+1^2 − 16 = (B1+1)^2 − 16 = A1+1^2 − 16 e) Développer l’expression P puis vérifier que P = x² + 2x – 15. 2) a) Vérifier que P = (x – 3)(x + 5). b) Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit 0 ? Justifier votre réponse. Exercice 2 : ( 4,5 points) Trois affirmations sont données ci-après. Pour chacune de ces affirmations, dire si elle vraie ou fausse. Vous justifierez vos réponses. Affirmation n°1 : 27 + 5 12 − 8 3 = 4 3 Affirmation n°2 : Si on factorise l’expression (2x − 5)(3x − 1) + (4 − 7x)(2x − 5) on trouve ( 2x − 5)(4x + 3). Affirmation n°3 : Parcourir 10 km à bicyclette à la vitesse moyenne de 25 km/h prend plus de temps que de parcourir à pied 3,2 km à la vitesse moyenne de 8 km/h. 1/4 Exercice 3 : ( 5,5 points) ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm et BC = 24 cm. On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l’on colorie en noir. 1) Dans cette question, les quatre carrés gris ont tous 7 cm de côté. Dans ce cas : a) quel est le périmètre d’un carré gris ? b) quel est le périmètre du rectangle noir ? 2) Dans cette question, on note x la longueur du côté des quatre carrés gris. a) Exprimer le périmètre d’un carré gris en fonction de x. b) Exprimer le périmètre du rectangle noir en fonction de x. c) Est-il possible que le périmètre du rectangle noir soit égal à la somme des périmètres des quatre carrés gris ? Justifier la réponse. Exercice 4 : ( 6 points) Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l'agence de voyages ALAVOILE pour préparer une croisière en voilier au départ de Marseille. L'agence lui propose deux formules :  Formule A : 75 € par jour de croisière.  Formule B : un forfait de 450 € puis 25 € par jour de croisière. 1) Compléter le tableau figurant sur la feuille ANNEXE, qui sera à remettre avec votre copie. 2) Avec 750 €, combien de jours Julien peut-il partir avec la formule B ? Justifier votre réponse. 3) La lettre x représente le nombre de jours de croisière, on note f A (x) et f B (x) le prix payé en fonction de x suivant la formule utilisée. On a : f A (x) = 75x et f B (x) = 25x + 450. Les fonctions fA et fB sont représentées respectivement par les droite (dA) et (dB) sur le graphique de la feuille ANNEXE. a) Déterminer par lecture graphique le prix payé avec la formule A pour 12 jours de croisière. (Répondre par une phrase et faire apparaître sur le graphique les pointillés ayant permis la lecture). b) Julien ne veut pas dépenser plus de 550 € tout en souhaitant prolonger sa croisière le plus longtemps possible. Déterminer par lecture graphique la durée de sa croisière. (Répondre par une phrase et faire apparaître sur le graphique les pointillés ayant permis la lecture). 4) Résoudre l'inéquation 25x + 450 < 75x. Interpréter cette inéquation et sa résolution en termes de comparaison de prix. Exercice 5 : ( 6,5 points) La figure ci-contre, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes : • Le segment [AB] est un diamètre du cercle (C) de centre O. • Les points K et F sont deux points extérieurs au cercle (C). • Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T situé sur le cercle (C). • AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK = 3 cm. 1) 2) 3) 4) 5) Démontrer que le triangle ATB est rectangle. Calculer la longueur AB Calculer la mesure de l’angle BAT arrondie au degré près. Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles ? Justifier. Calculer l’aire du triangle TKF. 2/4 Exercice 6: ( 7 points) Pour préparer un séjour d’une semaine à Naples, un couple habitant Rennes a constaté que le tarif des billets d’avion allerretour Rennes-Naples était beaucoup plus élevé que celui des billets Paris-Naples. Il étudie donc quel serait le coût d’un trajet aller-retour Rennes-Paris pour savoir s’il doit effectuer son voyage en avion à partir de Rennes ou à partir de Paris. Voici les informations que ce couple a relevées : Information 1 : Prix et horaires des billets d’avion. Vol aller-retour au départ de Rennes Vol aller-retour au départ de Paris Départ de Rennes le 23/07/2015 : 06 h 35 Départ de Paris le 23/07/2015 : 11 h 55 Arrivée à Naples le 23/07/2015 : 09 h 50 Arrivée à Naples le 23/07/2015 : 14 h 10 Départ de Naples le 30/07/2015 : 12 h 50 Départ de Naples le 30/07/2015 : 13 h 10 Arrivée à Rennes le 30/07/2015 : 16 h 25 Arrivée à Paris le 30/07/2015 : 15 h 30 Prix par personne du vol aller-retour : 530 € Prix par personne du vol aller-retour : 350 € Arrivée à Rennes le 30/07/2015 : 16 h 25 Les passagers doivent être présents 2 heures avant le décollage pour procéder à l’embarquement. Prix par personne duhoraires vol aller-retour : 530 € un passager Information 2 : Prix et des trains pour Trajet Rennes - Paris (Aéroport) Trajet Paris (Aéroport) - Rennes 23 juillet Départ Prix Durée Voyagez avec 06 h22 51 € 03 h 16 direct TGV 30 juillet Départ 18 h20 42 € Prix Durée 03 h 19 direct Voyagez avec Information 3 : Trajet en voiture TGV Information 4 : Parking de l’aéroport de Paris Consommation moyenne : 6 litres aux 100 km. Péage Rennes-Paris : 35,90 €. Distance domicile-aéroport de Paris : 409 km. Carburant : 1,30 € par litre. Temps estimé : 4 h 24 min. Tarif : 58 € pour une semaine. 1) Justifier que la différence entre les prix des 2 billets d’avion s’élève à 360 € pour ce couple. 2) Si le couple prend la voiture pour aller à l’aéroport de Paris : a) Déterminer l’heure avant laquelle il doit partir de Rennes. b) Montrer que le coût du carburant pour cet aller est de 31,90 €. 3) Quelle est l’organisation de voyage la plus économique ? 3/4 Numéro du candidat : ….……………………….. ANNEXE DE L’EXERCICE 4 (à remettre avec votre copie) Nombre de jours 5 Prix (en €) avec la formule A 375 Prix (en €) avec la formule B 575 8 14 x (dA) (dB) 4/4